一般化三角関数に対する積分公式

一般化三角関数に対する積分公式

Integration formulas of the generalized trigonometric functions

シ ス テ ム 理 工 学 専 攻

こばやし

小 林 

佑 行

非 線 形 解 析 研 究 指導教員 竹内 慎吾

1

^{研究の背景と目的}

定数

に対して

一般化三角関数

を

sin⁻_p,q¹x:=

∫ x 0

dt

(1−t^q)^1/p, 0≤x≤1

の逆関数として定義し, cos

と定義 する

また一般化円周率

を

π_p,q := 2 sin⁻_p,q¹1 = 2

∫ 1 0

dt

(1−t^q)^1/p (1)

と定義する. これらは

のとき, それぞれ

と一致する

Dr´abek-Man´asevich(1999)

は上記の一般化三角関数 を導入して

の非斉次固有値問題





−(|u^′|^p−2u^′)^′ =λ|u|^q−2u, x∈(0, L), u(0) =u(L) = 0

の固有値

と解

を次のように与えた：任意の

に対して

λ=λ_n,R= (p−1)q p

(nπ_p,q L

)p

|R|^p−q, u=un,R=Rsinp,q

(nπp,q

L x

)

と表せる

一般化三角関数はこのような

の固有値問題や

アルゴリズムを用い た

の計算公式の研究に用いられている

特に

の場合はより古く

によって導入され たのち, Elbert(1979) が半分線形微分方程式の振動理 論の研究に用いて以来

多くの研究者によって利用さ れている.

一般化三角関数に対する基本公式として

次が知ら れている：

のとき,

cos^p_p,qx+ sin^q_p,qx= 1,(sinp,qx)^′= cosp,qx, (cos_p,qx)^′=−q

psin^q_p,q⁻¹xcos²_p,q^−px

が成り立つ. 一般化三角関数は

の定理を はじめとして三角関数によく似た性質をもつ. 一般化

三角関数の性質については

も参考にされたい. し かし, cos

の導関数が

を陽に含むことから も想像されるように, しばしば三角関数と同様に計算 を行うことができず, 未だ解明されていない性質が多 い

特に

の原始関数は

の場合を除いて 与えられておらず, これまで具体的な積分計算を行う ことができなかった

加法定理が成り立 つのかどうかは特別な場合を除いて知られていない).

本研究の目的は, 一般の

に対する一般化三角関 数の積分公式を導出し

新しい関係式と諸性質を発見 することによって,

の計算公式等の研究の発展に 寄与することである

2

一般化三角関数に対する積分公式

定数

に対して,

関数を

∫ 1 0

t^a−1(1−t)^b−1dt

で定義する.

と表せるこ とに注意する

また

記号を

(α)n:=α(α+ 1)(α+ 2)· · ·(α+n−1),(α)0:= 1

と定義する

さらに実数

と

に対 して, Gauss の超幾何級数を

F(a, b;c;x) :=

∑∞ n=0

(a)n(b)n

(c)n

xⁿ n!

と定義する

一般の

に対して, 次の積分公式を得た.

定理

とする. このとき, 任意の

に対して

∫ x 0

sin^k_p,qtcos^ℓ_p,qt dt

= 1

k+ 1sin^k+1_p,q xF

(k+ 1 q ,1−ℓ

p ; 1 +k+ 1

q ; sin^q_p,qx )

.

証明は, 左辺において

を 用い

として置換積分すると

1 q

∫ sin^q_p,qx 0

z^(k+1)/q−1(1−z)^{(l−1)/p+1−1}dz

となる. さらに

の積分公式を用いてこれを

の超幾何級数で表すと定理

を得る

特に

とすると, sin

の原始関数を, また

とすると定積分の公式を得る：

系

に対して,

∫ x 0

sinp,qt dt=1

2sin²_p,qxF (2

q,1 p; 1 +2

q; sin^q_p,qx )

.

系

とする. このとき,

∫ πp,q/2 0

sin^k_p,qtcos^ℓ_p,qt dt= 1 qB

(1 +k

q ,1 +ℓ−1 p

) .

さらに

の導関数公式の両辺を積分し定理

を用いると, cos

の超幾何級数による表示を得る：

系

に対して,

psin^q_p,qxF (

1,1−1

p; 1; sin^q_p,qx )

.

以下では

とする

Takeuchi[2]

は一般化三角関数に対して次の倍角公

式を示した.

補題

に対して,

cos2,p(2^2/px) = cos^p_p^∗∗,px−sin^p_p∗,px.

補題

は

のとき通常の三角関数の倍角公 式に一致する. また, パラメータ

と

を関 連付ける式としても重要で

の固有関数と

の固有関数の関係や, sin

の

Gurka-Lang(2012)

による倍角公式の別証明等に応用

される.

式

の両辺を積分して, 各辺にそれぞれ定理

を 適用すると次の等式を得る

この等式は補題

と同 様に, パラメータ

と

の新しい関係を与え ている.

系

に対して,

(2 p,1−2

p; 1 + 2

p; sin^p_p∗,px )

=F (2

p,1 2; 1 +2

p; sin^p_2,p(2^2/px) )

.

3

特別な

の場合

定理

において,

の値によっては積分値が有限 和であったり帰納的に計算できる場合がある

例えば, 定理

において

とすると

右辺の超幾何級数の第

パラメータが

に等しい. (

であるので, 右辺 の超幾何級数は有限和になる. すなわち

系

とする. このとき任意 の

に対して

∫ x 0

sin^k_p,qtcos^pn+1_p,q t dt

=

∑n m=0

(−1)^m (n

m

)sin^k+1+mq_p,q x k+ 1 +mq

ただし

右辺の

m

)

は二項係数を表す

次に

を実数とし

∫ πp,q/2 0

sin^k_p,qt dt, J_ℓ:=

∫ πp,q/2 0

cos^ℓ_p,qt dt

と定義する

これらは系

を用いれば

関数で表せ るが, 次の公式も有益である：I

は漸化式

I_k = k+ 1−q

k+ 1−q+q/p^∗I_k−q, J_ℓ= ℓ−1

ℓ−1 +p/qJ_ℓ−p

を満たすことがわかる. よって

をそれぞれ,

r < p)

と表せば,

についての漸化式に帰着できる.

この漸化式を繰り返し用いて次の定理を得る.

定理

とする.

このとき,

Iqm+r= u(1/u)m

q(1/u+ 1/p^∗)_m πp,u

2 , J_pm+r= v(1/v)_m

q(1/v+ 1/q)m

π_q∗,v

2 .

定理

は

の積分公式の一般化である. 実際,

とすると

の場合の

は それぞれ

∫ π/2 0

sin^2mt dt=(1/2)_m (1)m

π

2 = (2m−1)!!

(2m)!!

π 2,

∫ π/2 0

sin^2m+1t dt= (1)m

(3/2)_m π2,1

4 = (2m)!!

(2m+ 1)!!

となって

の積分公式と一致する

ただし

は二重階乗であり, (

である.

参考文献

[1] J. Lang and D. Edmunds, Eigenvalues, Embed- dings and Generalized Trigonometric Functions, Springer, Lecture Notes in Mathematics, 2011.

[2] S. Takeuchi, Multiple-angle formulas of general- ized trigonometric functions with two param- eters. J. Math. Anal. Appl. 444 (2016), no.2, 1000–1014.