Picone’s Identity and Sturm-Liouville Oscillation Theorems

Picone

Sturm-Liouville

Picone’s Identity and Sturm-Liouville Oscillation Theorems

非線形解析研究室

BV11030

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Sturm-Liouville型微分方程式の振動する解と,その 解の零点に関する考察において, Sturm-Liouvilleの分 離定理と比較定理が用いられる. Sturm自身による比 較定理の元々の証明はGreenの公式やP¨rufer変換を 用いるが, 計算が複雑になり困難な部分がある. しか

し, Picone等式という等式を用いて比較的明快に示さ

れるようになった.

本論文では, Sturm-Liouville型微分方程式の定義を 確認し, Picone等式を用いた比較定理の証明, 解の振 動理論などを考察し, 微分方程式のさらに発展した解 析の研究に用いたい.

2 Sturm-Liouville

同次二階線形微分方程式 d²u

dx² +λ²u= 0 (λは実定数)

解はy₁= sinλxとy₂= cosλxの線形結合の形で与え られるので振動する. 一般に, 次の形の微分方程式を Sturm-Liouville型微分方程式とよぶ.

d dx

(

K(x)dy dx

)

−G(x)y= 0

ここでK(x), G(x)は閉区間[a, b]全体で定義された実 数値連続関数とする. Sturm-Liouville型微分方程式の 解も振動することが期待される.

3

Sturm-Liouville理論を考察するにあたり,解の存在

と一意性について次の定理で保証する.

Cauchy-Peanoの存在定理

関数f は領域D = {(x, y);|x−α| ≤ a,|y−β| ≤ b}上で連続かつLipschitz連続であると仮定する. D における|f(x, y)|の最大値M とすると, 初期値問題 y^′ =f(x, y), y(α) =βの解が区間, I={x;|x−α| ≤ min{

a,_M^b}

} で存在し,一意である.

これをCauchy-Peanoの存在定理という.

存在定理の証明は, 逐次近似法を用いて近似解列を

導き, Weierstrassの優級数定理より近似解列が極限関

数y =φ(x)へ一様収束し初期条件を満たすことで示 せる.

4 Sturm-Liouville

Sturm-Liouville型微分方程式の解の,y = 0の周り を振動する様子を調べるため,挙動を考える.

Sturm-Liouvilleの分離定理

y₁, y₂をSturm-Liouville型微分方程式の異なる一 次独立な解とする. x1, x2 ∈ [a, b]をy1の二つ の隣り合った零点とする. このとき, y₂は開区間 (x1, x2)内に少なくとも一つの零点をもつ.

証明は, (x₁, x₂)の任意の点でy₂は零点を持たない とし,y1, y2が(x1, x2)で常に正として背理法で証明す る. この定理によって, y1, y2が[a, b]の中に同じ数の 零点を持つとき,y1の隣り合った零点の間に必ずy2は 零点をもち,零点は交互に現れることが分かる.

図1: 分離定理

分離定理により,二つのSturm-Liouville型微分方程 式の解の挙動についても考えられる. 係数G(x)に大 小関係のある二つのSturm-Liouville型微分方程式の それぞれの解をu, vとして, (a, b)内にvがuよりも多 くの零点をもつとする. このときSturm-Liouvilleの分

離定理とGreenの公式を用いると, uの隣り合った零

点の間に必ずvは少なくとも一つ零点をもつことが示 される.

5 Sturm-Liouville

二つの微分方程式, d dx

(

K1(x)du dx

)

−G1u= 0, (1) d

dx (

K2(x)dv dx

)

−G2v= 0, (2) 0< K₂≤K₁, G₂≤G₁,

u(a) =a₁, u^′(a) =a^′₁, v(a) =a2, v^′(a) =a^′₂,

の振動する解の挙動と,零点の様子を調べる. 比較定理 の証明はPicone等式を用いると, Pr¨ufer変換などの複 雑な手続きを省略でき,証明が比較的明快になる.

Picone等式

[u

v(K1u^′v−K2uv^′) ]x1

x₂

=

∫ x2

x1

(G1−G2)u²dx

+

∫ x2

x₁

(K₁−K₂)(u^′)²dx+

∫ x2

x₁

K₂(u^′v−uv^′)² v² dx

Picone等式を用いて比較定理を証明する. (1), (2)に 対し, 以下の仮定を与える.

• a1, a^′₁̸= 0, a2, a^′₂̸= 0

• K₁(a)a^′₁

a1 ≥K₂(a)a^′₂ a2

(a1, a2̸= 0)

• G1≡G2≡0ではない.

このとき, (1), (2) の解と零点について, Sturm-

Liouvilleの第一の比較定理が示される.

Sturm-Liouvilleの第一の比較定理

区間a < x≤bにu(x)はm個の零点をもつとす る. このとき,v(x)は同じ区間内に少なくともm 個の零点をもつ. また, 連続したu(x)の零点x_i とxi+1の間にv(x)の零点が少なくとも一つ存在 する.

第一の比較定理の証明は, vが(a, x₁)に零点を持た ないとして, Picone等式を用いて背理法で証明する.

u(x)もしくはv(x)の零点でない, 区間(a, b)の任意 の内点をcとする. (1), (2)に対し, 以下の仮定を与 える.

• K1(c)u^′(c)

u(c) >K2(c)v^′(c) v(c)

このとき, (1), (2)の解と零点について, Sturm-

Liouvilleの第二の比較定理が示される.

Srurm-Liouvilleの第二の比較定理

u(x)とv(x)が区間a < x < c内に同じ数の零点 をもつ.

第二の比較定理の証明は,xiを区間(a, b)内で,cより も前にあるv(x)の零点でないu(x)の零点とし, Picone 等式を用いて示せる.

比較定理を用いれば与えられた(1), (2)の解を求め ずに,解の挙動を調べることができる.

6

三つのSturm-Liouville型微分方程式を用意する. d

dx (

K(x)dy dx

)

−G(x)y= 0, (3)

d dx

( kdy

dx )

−gy= 0, (4)

d dx

( Kdv

dx )

−Gv= 0, (5)

0< k≤K(x)≤K, g≤G(x)≤G(k,K, g,Gは定数).

(3)の解の振動について考える.

まず, (4)に注目し, (3)の非振動条件を調べる. (4)の 解を求めると,係数gの値によって解が変化する. g <0 のとき(4)の解sin√

−^g_kxが区間(a, b)内で連続した 零点をもつときの隣り合った零点の間の長さはπ

√−^k_g となる. このこととSturm-Liouvilleの分離定理によ り, (3)は次のとき, (a, b)内で零点をもたないことがわ かる.

• g≥0⇒非振動

• g <0⇒ −g

k < π²

(b−a)²のとき非振動 次に, (5)に注目し, (3)の振動条件を調べる. (5)の 解が振動するとき,隣り合った零点の間の長さはπ

√K G

となる. 従って, (3)は次のとき, (a, b)内で少なくとも 一つの零点をもつ.

−G

K ≥ π² (b−a)²

である. また,振動する解に関する他の条件を得ること

ができる. 解が区間(a, b)内に少なくともm個の零点

をもつときの条件は,

−G

K ≥ m²π² (b−a)² である.

参考文献

[1] Edward L. Ince, Ordinary Differential Equations, Dover Publications, 2012.

[2] 柳田英二 他,常微分方程式論,朝倉書店, 2002.

[3] 笠原晧司,常微分方程式の基礎, 朝倉書店, 1982.

[4] 堀内利郎 他,関数解析の基礎,内田老鶴圃, 2005.