低次元de Sitter空間におけ る場の理論とLiouville理論 ―宇宙項問題―

低次元de Sitter空間におけ る場の理論とLiouville理論 

―宇宙項問題―

鈴木真理子 

静岡大学 自然科学系教育部 情報科学専攻

目次

１ 宇宙項、宇宙項問題とは

3 研究 Loopによる量子補正の計算 ２ de Sitter時空上の場の理論

3-1 摂動計算による量子効果 dS non-invariantな伝播子

3-3Liouville理論による二次元量子重力効果

3-2 摂動計算による量子効果 dS non-invariantな正則化と 

相殺項

研究の目的

宇宙項

Λ

dS

dS

dS

宇宙項Λとは？

R_µ + 1

2 g_µ R + g_µ = T_µ curvature of space matter

equation for metric .

g

アインシュタイン方程式

ニュートン定数

= 8 G

T_µ  エネルギー運動量テンソル スカラー曲率

R g R^µ _µ

宇宙項 ＝ ダークエネルギー 宇宙の約７６パーセントを占める 真空自身の持っているエネルギー

正の値の宇宙項は加速膨張を記述  

→ インフレーションと関係

１ 宇宙項、宇宙項問題とは

v

=

= constant

宇宙の加速膨張はスケールファクター  によって記述されるa(t)

H² 1 3M_P²

m0

a(t)³ + ^r0

a(t)⁴ + _v

H = a ˙

a

真空のエネルギー

スケールファクター:宇宙が広がるにつれ変化する          距離のスケール

a(t) = e

H

宇宙項問題

th = ( M _pl ) ⁴ (10 ¹⁹ GeV) ⁴

exp = (10 ³ eV) ⁴

測定された宇宙項と理論値の宇宙項の間に  大きなギャップのある問題

１0０桁以上の差が存在する！ 

世紀の大問題！！！

H

= 8 G 3

K

a

+

3

宇宙項の存在する一様等方宇宙を考える

3H

現在の加速膨張から計算が出来る 理論値の計算方法

vac

=

0

d

k (2 )

k

+ m

2

運動量の最大値を理論が有効である上限値と考えられる  プランク質量   と取るのが自然^Mpl

M

16

宇宙項問題に対するいろいろなアプローチ 修正重力理論

量子補正を考える string landscape

大スケールでの重力理論の変更を示唆している可能性 ブランス・ディッケ理論 f(R)重力理論、 

      ディラトン重力理論

超弦理論において正の真空を持つde SItter解を構築 KKLT解 パラメータの調整が必要 

     真空解が    個以上も現れうる

10

量子補正の考え方

R

+ 1

2 g

R + g

= T

R_µ + 1

2g_µ R + (

4 T )g_µ = 0 effective cosmo const (observed value)

eff

量子効果を考える事で、宇宙項の理論値と測定値を 結びつけられるのでは？

exp

=

C

exp

=

C

宇宙項Λの測定値が小さい理由を、理論値と量子効果を考え る事によって求める。

研究の目的 １

４次元の場合 Einstein方程式

 摂動効果

    matter loop 重力 loop  非摂動効果

    Y-M instanton  重力instanton

S_Euc = 1

2g² d⁴xTr[G_µ G_µ ]

量子補正の効果には、２種類ある

worm hole の足し上げ

   Kawai, Okada (11) ^[川合光氏のセミナーより]

量子補正について

de Sitter 時空とは

•正の宇宙項 Λを持つ時空

> 0

= 0

< 0 Anti de Sitter space

(z⁰)² (z¹)² (z²)² · · · (z^D)² = 1

H²

D dim dS space

(t, x ) = (z⁰, zⁱ) i = 1, 2, · · · , D

de Sitter space  Minkowski space

= H² (4D)

D次元のdS時空はD+1次元のMinkowski 時空内に張る事が出来る では、どのように計算するのか？

インフレーションを記述するのに適した曲がった時空  de Sitter時空を用いて計算する。

z⁰

z¹

z^D

２ de Sitter時空上の場の理論

座標の取り方

z⁰

z¹

z^D

= const.

x = const.

a( ) = 1

H = e^Ht スケールファクター

conformal time

( 0)

dS時空上の上半分を覆う

z = e^x0x ( = 1, 2, · · · , D 1)

( < x⁰, x < )

z⁰ = sinh x⁰ + 1

2e^x0| x |² z^D = cosh x⁰ 1

2e^x0| x |² Flat chart (Poincaré coordinate) is convenient to discuss . ^Tµ

=

= 0

ds

= dt

+ a

(t)d x

= a

( )( d

+ d x

) = a

( ) (flatgeometry)

指数関数的に宇宙が広がる事を示す

真空について

Bunch-Davies vacuum

曲がった時空上での真空 

場の量子論に基づいて、量子数０の真空に対応する  生成消滅演算子で粒子の生成などが記述できる 

真空

曲がった時空上ではMinkowski時空上の運動方程式が異なる

S = 1 2

! √

−g d⁴x[−g^µν∂_µφ∂_νφ]. (A.0.7) ここでφ の導出を行うために、φ → Hτ φ とリスケールを行う。そうすると、以下の様に書き換 えられる。

√−g = "

−detg_µν = "

e^3(2Ht) =

# 1

−Hτ

$₃

(A.0.8)

d⁴x = dtd−→x = 1

−Hτ dτd−→x (A.0.9)

S → 1 2

!

dτd−→x φ

%

−(∂_τ)² + (∂−→x )² + 2 τ²

&

φ]. (A.0.10)

これより運動方程式を求めると、以下の様に求められる。

#

−∂_τ² + ∂_−→²_x + 2 τ²

$

φ = 0 (A.0.11)

D 次元でも同様に運動方程式は得られる。

'

−∂_τ² + k² + ν² − ¹₄ τ²

(

φ = 0 (A.0.12)

ν ≡ D − 1

2 (A.0.13)

この運動方程式はよく知られていて、ハンケル関数という特殊関数を用いた簡単な解となる。

φ =

)π|τ|

4 H_ν⁽¹⁾(−kτ) (A.0.14)

以上より、D 次元 de Sitter 時空上の場の方程式は座標空間ではフーリエ変換を用い以下の様に書 く事が出来る。

φ(τ,−→x ) = !

d^D−1k (2π)^D−1 [

)π|τ|

4 a^1−D2 H_ν⁽¹⁾(−kτ)e^{i−→k ·−→x} α(−→ k ) +

)π|τ|

4 a^1−D2 H_ν^∗(1)(−kτ)e^{−i−→k ·−→x} α^†(−→

k )] (A.0.15) 生成消滅演算子は以下のような正準交換関係を満たす。

[α(−→

k ),α^†(−→

k^′)] = (2π)^D−1δ^D−1(−→

k − −→

k^′) (A.0.16)

この交換関係を用いて２点相関関数を計算する。２点相関関数の計算の際には真空を定義しなけれ 27

S = 1 2

! √

−g d⁴x[−g^µν∂_µφ∂_νφ]. (A.0.7) ここでφ _{の導出を行うために、}φ → Hτ φ とリスケールを行う。そうすると、以下の様に書き換 えられる。

√−g = "

−detg_µν = "

e^3(2Ht) =

# 1

−Hτ

$₃

(A.0.8)

d⁴x = dtd−→x = 1

−Hτ dτd−→x (A.0.9)

S → 1 2

!

dτd−→x φ

%

−(∂_τ)² + (∂^−→_x )² + 2 τ²

&

φ]. (A.0.10)

これより運動方程式を求めると、以下の様に求められる。

#

−∂_τ² + ∂−→²x + 2 τ²

$

φ = 0 (A.0.11)

D 次元でも同様に運動方程式は得られる。

'

−∂_τ² + k² + ν² − ¹₄ τ²

(

φ = 0 (A.0.12)

ν ≡ D − 1

2 (A.0.13)

この運動方程式はよく知られていて、ハンケル関数という特殊関数を用いた簡単な解となる。

φ =

)π|τ|

4 H_ν⁽¹⁾(−kτ) (A.0.14)

以上より、D 次元 de Sitter 時空上の場の方程式は座標空間ではフーリエ変換を用い以下の様に書 く事が出来る。

φ(τ, −→x ) = !

d^D−1k (2π)^D−1[

)π|τ|

4 a^1−D2 H_ν⁽¹⁾(−kτ)e^{i−→k ·−→x} α(−→ k ) +

)π|τ|

4 a^1−D2 H_ν^∗(1)(−kτ)e^{−i−→k ·−→x} α^†(−→

k )] (A.0.15) 生成消滅演算子は以下のような正準交換関係を満たす。

[α(−→

k ), α^†(−→

k^′)] = (2π)^D−1δ^D−1(−→

k − −→

k^′ ) (A.0.16)

この交換関係を用いて２点相関関数を計算する。２点相関関数の計算の際には真空を定義しなけれ 27

S = 1 2

! √

−g d⁴x[−g^µν∂_µφ∂_νφ]. (A.0.7) ここで φ の導出を行うために、φ → Hτ φ とリスケールを行う。そうすると、以下の様に書き換 えられる。

√−g = "

−detg_µν = "

e^3(2Ht) =

# 1

−Hτ

$3

(A.0.8)

d⁴x = dtd−→x = 1

−Hτ dτd−→x (A.0.9)

S → 1 2

!

dτd−→x φ

%

−(∂_τ)² + (∂−→x )² + 2 τ²

&

φ]. (A.0.10)

これより運動方程式を求めると、以下の様に求められる。

#

−∂_τ² + ∂_−→²_x + 2 τ²

$

φ = 0 (A.0.11)

D 次元でも同様に運動方程式は得られる。

'

−∂_τ² + k² + ν² − ¹₄ τ²

(

φ = 0 (A.0.12)

ν ≡ D − 1

2 (A.0.13)

この運動方程式はよく知られていて、ハンケル関数という特殊関数を用いた簡単な解となる。

φ =

)π|τ|

4 H_ν⁽¹⁾(−kτ) (A.0.14)

以上より、D _次元 de Sitter 時空上の場の方程式は座標空間ではフーリエ変換を用い以下の様に書 く事が出来る。

φ(τ, −→x ) = !

d^D−1k (2π)^D−1 [

)π|τ|

4 a^1−D2 H_ν⁽¹⁾(−kτ)e^{i−→k ·−→x} α(−→ k ) +

)π|τ|

4 a^1−D2 H_ν^∗(1)(−kτ)e^{−i−→k ·−→x} α^†(−→

k )] (A.0.15) 生成消滅演算子は以下のような正準交換関係を満たす。

[α(−→

k ), α^†(−→

k^′ )] = (2π)^D−1δ^D−1(−→

k − −→

k^′) (A.0.16)

この交換関係を用いて２点相関関数を計算する。２点相関関数の計算の際には真空を定義しなけれ 27

作用

運動方程式

dS時空 時間発展してしまう 

→ 同じ状態に戻ってこない     in-out formalismを使えない In-in formalism

in-out formalism  同じ状態に 

戻ってこられる

in-in formalism  同じ状態に 

戻ってこられない

in-in formalismで計算する事に注意して具体的に計算

z x

z

< in | 4!

(x) | in >=< exp( i d

z (

4!

(z ))

4!

(x) exp(i d

z(

4!

(z)) >

ーのvertexに対応 +のvertexに対応

< 4!

(x) > +i d

z <

4!

(z )

4!

(x) >

i d

z <

4!

(z )

4!

(x) > + · · ·

=

D次元のmassless スカラー場を考える

x x

de Sitter不変距離

i (x : x ) = · · · D

2 1 4

y

D2 1

2F₁ 1

2 + , 1

2 ; 2 D

2 ; y

4 + · · ·

= · · · D

2 1 4

y

D2 1

+ (2 ^D₂ )

(¹₂ + ) (¹₂ )

n=0

· · · y

4

n ^D₂ +2

· · · y

4

n

D 1 2 dS時空上でのプロパゲータ

in-in formalismであったように２通りの時間の  取り方が存在する。 ＋とー

距離の取り方が４通り存在

y

, y

このプロパゲータはUV発散と紫外発散両方を含む UV div→次元正則化

IR div→cut off

この赤外発散のcut offを含むため、プロパゲータはdS不変性を  破っている

dS対称性を破らない計算法が無いか？

重力理論 阿部，北村，榎本，中静，滝川      ゲージ理論とヒッグス場 井山  研究の目的 ２

対称性を保つ

dS時空上の場の理論でのdS対称性を保つ計算法を求める

i (x, x ) = ( H

2 )

( H

) [ 1

y + ln y + ln(a( )a( )) + · · · ]

(3 dim)

6 theory 1 摂動効果

4 theory (2 dim) (Landau-Ginzburg theory)

Non linear sigma model 2 非摂動効果 (2dim)

Liouville theory

dS時空特有のIR発散の効果を見るために、massless理論を用いる

L = 1

2 g

6!

L = 1

2 g

4!

L = 1

2 g

e L = 1

2g

g

(x)

(x)

(x)G

( )

3-1 摂動計算による量子効果 dS non-invariantな伝播子

•赤外遮蔽効果とは？

•dS時空上での場の理論

1

H e ^Ht

赤外発散

1 H

dP = _H^{U V} dP + ^H

0H| | dP

UV IR

| | 0 (t )

大きなスケールで、ある量が小さく見える事

今回のdS時空の場合では赤外発散の効果がMinkowski時空と異なるので その影響を考える

IR (screening) 効果に着目すれば、dS時空特有の効果を見る事が出来る

運動量積分→ UV 領域 / IR 領域

(x) (x)

= (U V finite) + H

4

| log(H | | ) |

この積分を用いて、coincidenceを取ったプロパゲータを求める dS時空で特徴的な性質と赤外遮蔽効果

•摂動効果

重力ループ matterループ

•２種類の量子補正

S_Euc = 1

2g² d⁴xTr[G_µ G_µ ]

cf: 2D Gravity Callan et al. (92)

L = 1

2g^µ _µ

6! ⁶

•非摂動効果

 Instanton, 2D Liouville 理論, 可解モデル,1/N 展開,...

低次元の場合

Minkowski時空では、次元が低い方が赤外発散が強くなる。

可解なモデルがいくつもあり、その性質を調べられる。

(Y-M)

in-in formalismを用いて摂動計算

エネルギー運動量テンソルの導出

leading term

（Potential termの寄与）＞（Kinetic termの寄与）

= 1

g g^µ g d⁴x [g + V ( )]

= _µ 1

2 ^µ g_µ (V ( ))

eff

=

4 T

微分によって、赤外発散の効果が小さくなる

!

IR発散の効果はpotential termがleading termとなる

T

2

g

S g

エネルギー運動量テンソルを  計算すれば良い

T_µ = _µ 1 2 ^µ

プロパゲータを用いて計算できる

x

x x

lim x x

1-loop vacuum energy

= _µ 1

2 ^µ lim

x x (x) (x )

は計算されている

(x) (x )

２次元 Freeな理論の場合

x

lim

(x) (x ) = H

8 g

T_µ = _µ 1

2 ^µ

H²

8 g ^{= 0 eff =}

3H⁴

32 ² ４D ２D

eff =

4 theory (2 dim) (Landau-Ginzburg theory)

ラグランジアン

1

2 Z

g 1

4!

g

L = 1

2 m

g + (R D(D 1)H

)

g

8 G g L = 1

2

g 1

4!

g + L

counter term

Counter Termを考える事で、次元正則化した紫外発散を  取り除いている

R = D(D 1)H² スカラー曲率

T

(x) 2

g (x)

S

g

(x)

= (1 + Z )[

1

2 g

(x)g (x)] (x) (x)

D次元 Counter termを含めたエネルギー運動量テンソル

in-in formalismを用いて摂動計算を行う

g

(x)

4!

(x) · · ·

Coupling constant λ 一次の効果

< 4!

+ 1

2 m

>=

8 <

>

+ 1

2 m

<

>

x

m²

x

Coincidence Limitを取ったプロパゲータ

massのcounter term

i (x, x) = 1

4 ( 2

+ 2 ln(a( )) + const.)

m

=

4 ( 1

+ O (

))

Coupling constant λ 二次の効果

z x x

+ z

x

m²

x

+

m²

摂動計算

Counter Term

2

32i d²z i ₊₊(x, x) i ₊₊(z, z)(i ₊₊(x, z))² i (z, z)(i ₊ (x, z))² g

3 m

4 i d

z i

(x, x) (i

(x, z ))

(i

(x, z))

g

QEDの場合

UV発散 Eが大きい形のloop積分

IR発散 mass lessなphoton 正則化の必要がある UV発散の正則化

dp Cut off Λを入れて計算する このとき、ゲージ不変性が破れる

counter termを導入し、photonのmassをmasslessにする

ゲージ対称性が回復する

L = 1

4 F

F

L + m

A

A

F

F

m

A

A

(m

)

m

= 0

3-2 摂動計算による量子効果 dS non-invariantな正則化と  counter term 

dS時空上のIR発散に対しても同じ事を考えられるのではないか？

Counter termを導入する事によって赤外発散を 

取り除き、dS対称性を回復させる事が出来るのではないか？

2D dS時空 masslessスカラー場のプロパゲータ

(x, x ) ln y + ln(a( )a( ))

dS不変 dS不変性を破る ラグランジアンにIR質量項を含む事を考える

m

= H

L = 1

2 m

+

4!

L + L

dS時空上で、dS不変量の  計算が出来るのでは？

(x, x ) ln y + 1

+ · · ·

時間依存性が現れない Kinetic Termからの寄与

Potential termの寄与 （計算の途中）

時間依存性が現れる→プロパゲータの赤外cut offに対応して現れる in 3D constant effect

in 2D

摂動論

in 4D constant effect   (KK) (11)

Kinetic termには微分が掛かるため、

赤外発散の効果が現れない T_µ^µ = 0

摂動論での計算結果

T_µ = g_µ

2

32( 1

4 )³( 1

H² )(2 ln²(a( )) + 3

a( ) ln(a( )) + · · · ) counter termの計算の途中

Liouville 理論とは

1 2D Minkowski 時空上で量子レベルで可解な理論

Liouville理論は戸田理論の特殊な場合(SU(2)) 2D 場の理論 = 1D量子統計力学

戸田格子は可解なモデル Ford,Stoodard,Tuner Hénon 幾つかの特徴的な性質を持っている

2 共形不変な理論

LiouvilleはMinkowski時空上で可解

無限個の保存則がある事に対応する

3 Liouville理論は2D量子重力と見なせる 非摂動効果の計算

3-3Liouville理論による二次元量子重力効果

•2D量子重力 (QG)

Polyakov 87 Einstein重力との比較

S[g_ab(x)] = d²x g[ 1

2 R(g_ab) + ]

Liouville理論は共形アノマリーを持つ

2D 量子重力（宇宙項μを含む）（スカラー曲率Rをのぞく）

(Kawai et al)

Z = DX^µDg_ab(x)e^iS[gab,Xµ]

について積分を行うと、Liouville理論が現れる

X^µ

Z D e^{iSL( )}

Rはメトリック 

g

T

|

= c R ˆ c = 1 + 3(2Q)

S_L = 1

4 d²x g(ˆ 1

2gˆ^ab _{a b} + Q R(ˆg) + µ

2 ² e )

の項が２次元量子重力理論には存在する cRˆ

S_2D[g_ab, X^µ] = dx² g(g^ab _aX^µ _bX_µ + µ)

宇宙項がLiouvilleポテンシャルの係数となる ２次元量子重力の修正

メトリックのワイル変換と、スカラー曲率の共形変換を行う

g

= e

g ˆ

S[ˆg_ab(x)] = d²x gˆgˆ^ab[ 1

2 e ^(x)(e ^(x)R(g_ab) e ^(x) _gˆ (x)) + e ^(x)]

R(e ^(x)gˆ) = ˆge ^(x)R(ˆg_ab) e ^(x) _gˆ (x) S[g_ab(x)] = d²x g[ _aX^{µ a}X_µ + 1

2 R(g_ab) + ]

重力ループ+ matterループ

Liouville 理論を用いる事によって、２次元重力とmatterの効果を計算する事

が出来る

重力とmatterの相互作用項

S_L+matter[ , ] = d²x gˆ[ˆg^ab _{a b} + QRˆ + e + ˆg^ab _{a b} e V ( )]

４次元重力 + matter の２次元でのtoy modelを作る事が出来た ２次元重力

Liouville

まだ、研究の途中である

どのように、時間依存性を持つハミルトニアンを扱うか？

我々は場の理論をdS時空に拡張し、量子補正を計算したい

しかし、ハミルトニアンが時間依存性を持つため、自明ではない 可解な理論は、無限個の保存量を必要とする

どのようにLiouville理論の保存則をMinkowski時空からdS時空 に拡張するか？

1 dS時空上でのLiouville理論の可解性

2 2D重力とLiouville理論

我々は２次元重力＋matterの効果を計算し、宇宙項への 補正効果を見たい。

まとめと展望

•Matterのポテンシャルからの赤外高価に注目して宇宙項への補

正を計算 (dS対称性を破るプロパゲータ、dS対称性を破るプロ パゲータ）

•Liouville理論の可解性をdS時空に拡張したい

Question :保存則をdS時空上に作る事が出来るか？

もし可解であるならば、非摂動論で宇宙項への補正を計算する事が 出来る。

•2Dのtoy model（２次元重力＋matter）の量子補正効果を計算

•dS対称性を保つプロパゲータでの物理量の計算