Revised at 00:04, May 16, 2015
解析学Ａ 第3
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3
べき級数の収束半径 演習問題解答例基本演習
1 (
教科書問題3.1 )
次のべき級数の収束半径を求めて下さい。（１）
X 1 n=0
n!x n
（２）X 1 n=1
( − 1) n − 1 x n
n
（３）X 1 n=0
( − 1) n x 2n (2n)!
（１）
n
次の係数はa n = n!
ですから、Ø Ø Ø Ø a n
a n+1
Ø Ø
Ø Ø = n!
(n + 1)! = 1
n + 1 → 0 as n → 1
となって収束半径は
0
、即ち任意のx = 0
のときのみ絶対収束しています。（２）
n
次の係数はa n = ( − 1) n
n−1 ですから、Ø Ø Ø Ø
a n
a n+1
Ø Ø Ø Ø =
1 n 1 n+1
= n + 1 n → 1
より収束半径は
1
です。x = 1
では1 − 1
2 + 1
3 − · · · = log 2
であり、既に見たように絶対収束はしていませんが収束しています。
（３）係数列は
0
番目から始めて奇数番目は0
になってしまいますね。こう云った場 合はどう考えたら良いのでしょうか？こう云う場合は先ず級数を書き下してみて1 − 1 2! x 2 + 1
4! x 4 − · · ·
ここでx 2 = y
と置いて1 − 1 2! y + 1
4! y 2 − · · ·
y
のべき級数と考えて収束半径を求めて後でx
に変換します。この級数はP
a n y n
とす るとa n = ( − 1) n (2n)! 1
ですから、Ø Ø Ø Ø a n
a n+1
Ø Ø Ø Ø =
1 (2n)!
1 (2n+2)!
= (2n + 2)(2n + 1) → 1
となり、
y
のべき級数として収束半径は1
です。従ってx
で考えても収束半径は1
と なります。基本演習
2 (
問題集3.1 )
次のべき級数の収束半径を求めて下さい。（１）
X 1 n=1
x n
n
（２）X 1 n=0
( − 1) n (n + 1)x n
（３）X 1 n=1
x n
√ n
（４）
X 1 n=0
x n
2 n
（５）X 1 n=1
x n
3 n n 2
（６）X 1 n=1
x n n n
それぞれの問題ごとに、級数の
n
次の係数をa n
と書く事にします。（１）前問の（２）とほぼ同じなので省略。
（２）
Ø Ø Ø Ø a n
a n+1
Ø Ø
Ø Ø = n + 1 n + 2 → 1
となりますから収束半径は1
です。（３）
Ø Ø Ø Ø a n
a n+1
Ø Ø Ø Ø =
√ 1 n
√ 1 n+1
=
r n + 1
n → 1
から収束半径は1
です。（４）
Ø Ø Ø Ø a n
a n+1
Ø Ø Ø Ø =
1 2
n1 2
n+1= 2
によれば収束半径は2
です。（５）
Ø Ø Ø Ø a n
a n+1
Ø Ø Ø Ø =
1 3
nn
21 3
n+1(n+1)
2= 3 µ n + 1
n
∂ 2
→ 3
となりますから収束半径は3
です。（６）
Ø Ø Ø Ø a n
a n+1
Ø Ø Ø Ø =
1 n
n1 (n+1)
n+1= (n + 1) µ n + 1
n
∂ n
= (n + 1) µ
1 + 1 n
∂ n
→ 1
となりますから収束半径は1
です。Revised at 00:04, May 16, 2015
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発展演習
3 (
問題集3.2 )
次のべき級数の収束半径を求めて下さい。（１）
x + x 3 3 + x 5
5 + · · · + x 2n+1 2n + 1 + · · ·
（２）
1 + x 2 2! + x 4
4! + · · · + x 2n (2n)! + · · ·
（３）
x + 2!
3 x 2 + 3!
5 x 3 + · · · + n!
2n − 1 x n + · · ·
（１）
x + x 3 3 + x 5
5 + · · · + x 2n+1
2n + 1 + · · · = x µ
1 + x 2 3 + x 4
5 + · · · + x 2n 2n + 1 + · · ·
∂
なので、括弧内が収束する範囲を考えれば良い。また、
x 2 = y
と置いて1 + y
3 + y 2
5 + · · · + y n
2n + 1 + · · ·
の収束半径を
y
のべき級数として求めてやってあとでx
に変換する方向で考えましょう。y
のべき級数としてのn
次の項の係数をa n
と書けばØ Ø
Ø Ø a n
a n+1
Ø Ø
Ø Ø = 2n + 3
2n + 1 = 2 + 3 n 2 + 1 n → 1
ですから、
y
の級数として収束半径は1
です。従ってx
の級数としても収束半径は1
で あることが分かります。（２）既にほぼ同様の問題をやりましたので省略します。
（３）
n
次の係数をb n
と書けば、Ø Ø Ø Ø b n
b n+1
Ø Ø Ø Ø =
n!
2n − 1 (n+1)!
2n+1
= 2n + 1
(n + 1)(2n − 1) → 0
が分かり、従って収束半径は0
です。発展演習
4
次のべき級数の収束半径を求めて下さい。（１）
X 1 n=1
n n
n! x n
（２）X 1 n=0
n 2 x 2n
（３）
X
( − 1) n − 1 x n
log(n + 1)
（４）X 1 n=0
(2n − 1)!!
(2n)!!
x 2n+1 2n + 1
ただし、
n!!
は１個飛ばしの階乗で、便宜上0!! = ( − 1)!! = 1
と定義します。（１）
n
次の係数をw n
と書けば、Ø Ø Ø Ø w n
w n+1
Ø Ø Ø Ø =
n
nn!
(n+1)
n+1(n+1)!
= (n + 1)n n (n + 1) n+1 =
µ n n + 1
∂ n
=
µ n + 1 n
∂ − n
= Ωµ
1 + 1 n
∂ n æ − 1
ですが、この最後の項は
e − 1
に収束しますから収束半径はe − 1
です。（２）
x 2 = y
と置けばこの級数はP
n 2 y n
ですから、これをy
の級数として収束半 径を求めます。n
次の係数をp n
と書けば、Ø Ø Ø Ø
p n
p n+1
Ø Ø
Ø Ø = n 2
(n + 1) 2 → 1
ですから
y
の級数として収束半径は1
であることが分かり、従ってx
の級数としても 収束半径は1
です。（３）
n
次の係数をw n
と書けば、Ø Ø Ø Ø w n
w n+1
Ø Ø
Ø Ø = log(n + 2) log(n + 1)
であってこれは不定形です。そこで実数化したlog(x+2)
log(x+1)
を考えて、分母・分子の微分の比を見ると、
（分子）
0
（分母）
0 =
1 x+2
1 x+1
= x + 1 x + 2 → 1
ですからロピタルの定理から元の比の極限値も存在して
1
です。従って自然数で極限を とったものも同じ値1
になります。以上から収束半径は1
です。Revised at 00:04, May 16, 2015
解析学Ａ 第3
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（４）
X 1 n=0
(2n − 1)!!
(2n)!!
x 2n+1 2n + 1 = x
X 1 n=0
(2n − 1)!!
(2n)!!
x 2n 2n + 1
なので、和記号の部分だけを考えて収束半径を見ます。また、
x 2 = y
と置けばX 1
n=0
(2n − 1)!!
(2n)!!
y n 2n + 1
ですからこの
