数学演習第二 （演習第２回） 【解答例】
線形：直線・平面の方程式と外積 2019年 10月9日 実施
1
(1) ppˆqq ˆr“«2 11 10 ff
ˆ
«0 1 1 ff
“
«1
´2 2
ff
, pˆ pqˆrq “
«1
´2 2
ff ˆ
«9
´3 3
ff
“
«0 15 15 ff
. (外積の結合律は一般に不成立!) (2) b“ta`b2 とa との内積をとり, b¨a “t}a}2. よって t“ b¨a
}a}2 となり, b1 “ b¨a
}a}2a, b2 “b´b¨a }a}2a.
更に, }b1} “ |a¨b|
}a} , }b2} “ a
}b}2´ }b1}2 “
a}a}2}b}2´ pa¨bq2
}a} (b1,b2,b が直角三角形をなすことに注 意). ここまでは Rn (ně2) のベクトルで成立するが, }b2}については, 空間ベクトルであれば外積を用いて }b2} “ }aˆb}
}a} ,平面ベクトルであれば行列式を用いて}b2} “ |detra bs|
}a} と表せる. (3) p¨q“3´8´10“ ´15, }p} “3, }q} “5?
2. また,p,qのなす角θp0ďθďπqは, cosθ“ p¨q
}p}}q} “ ´15 3¨5?
2 “ ´ 1
?2 より, θ“3π 4 . 更に,qのp方向の直線への正射影は q¨p
}p}2p“ ´15 9
«1
´2 2
ff
“
«´5{3 10{3
´10{3 ff
. (4) detra b cs “
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
を第3列に関して余因子展開し,そのあと外積の定義を用いて, detra b cs “c1
ˇ ˇ ˇ ˇ
a2 b2 a3 b3
ˇ ˇ ˇ ˇ
´c2
ˇ ˇ ˇ ˇ
a1 b1 a3 b3
ˇ ˇ ˇ ˇ
`c3
ˇ ˇ ˇ ˇ
a1 b1 a2 b2
ˇ ˇ ˇ ˇ
“ pa2b3´a3b2qc1` pa3b1´a1b3qc2` pa1b2´a2b1qc3“ paˆbq ¨c.
この関係式を用いて, ①paˆbq ¨a“detra b as “0, paˆbq ¨b“detra b bs “0 (同じ列を含む行列式 の値は0). ②detra b aˆbs “ paˆbq ¨ paˆbq “ }aˆb}2ě0. あとはa,bが1次独立のとき aˆb‰0 を示す必要があるが, 図形的に考えれば}aˆb} “(a,bの作る平行四辺形の面積)なので,これは明らか. (5) 転置行列の定義より, 一般にPa¨b“a¨tPbが成り立つ. これを用いて,Qa¨Qb“a¨tQQb“a¨b. 更に,
pQaˆQbq ¨c“detrQa Qb QtQcs “ pdetQqdetra b tQcs “ ˘paˆbq ¨tQc“ ˘Qpaˆbq ¨c p@cPR3q であるから,QaˆQb“ ˘Qpaˆbqが従う.
【注】直交変換(直交行列の掛け算)はベクトルの回転移動(行列式1)や鏡像変換(行列式´1)を表す. ここでの主張より,
① 内積やノルムは直交不変,すなわちベクトルを直交変換する前後で値が変わらない. ② ベクトルを直交変換してから外積 をとったものと,外積をとってから直交変換したものを比べると,回転移動なら一致するが,鏡像変換なら向きが逆転する.
2
(1) ÝÑAB“tp1,´4q,ÝÑAC“tp2,´2qより,p△ABCの面積)“1 2
ˇˇdetrÝÑ AB ÝÑ
ACsˇ ˇ“3.
(2) ÝÑ
AB“tp2,´2,´6q,ÝÑ
AC“tp´2,´1,1q, ÝÑ
AD“tp3,0,´2qより,ÝÑ ABˆÝÑ
AC“tp´8,10,´6qとなり, p△ABCの面積)“ 1
2}ÝÑ ABˆÝÑ
AC} “ 1
2}tp´8,10,´6q} “5? 2, (四面体ABCDの体積)“ 1
6 ˇ ˇpÝÑ
ABˆÝÑ ACq ¨ÝÑ
ADˇ ˇ“ 1
6 ˇ
ˇtp´8,10,´6q ¨tp3,0,´2qˇ ˇ“ 1
6| ´12| “2.
3
(1) ① 点x1と の直線ℓとの距離は 1 (2)で b“x1´x0 と考えたときの}b2} に等しい(下左図). よって, 求める距離は }aˆ px1´x0q}}a} . (“垂線の足”は x0`b1“x0`a¨ px1´x0q
}a}2 a で与えられる.)
② 点x1と の平面P との距離は 1 (2)でb“x1´x0 と考えたときの}b1}に等しい(下右図). よって, 求める距離は |a¨ px1´x0q|
}a} . (“垂線の足” は x1´b1 “x1´a¨ px1´x0q
}a}2 a で与えられる.) 平面が ax`by`cz`d“0と表されるならa¨x0`d“0であるから,a¨ px1´x0q “a¨x1`dとなり,距離 は |ax1`by1`cz1`d|
?a2`b2`c2 と表される.
b“x1´x0 b1
b2 x1
x0 a
b“x1´x0 b1
b2 x1
x0 a
(2) ① ÝÑAB“
«´1 1 3
ff
が直線ABの方向ベクトルを与えるので,直線ABの方程式は x´1
´1 “y´2“ z`1 3 .
② ÝÑ ABˆÝÑ
AC“
«´1 1 3
ff ˆ
«´3
´1 2
ff
“
«5
´7 4
ff
が平面ABCの法線ベクトルを与えるから,平面ABCの方程式は 5px´1q ´7py´2q `4pz`1q “0. これを整理して, 5x´7y`4z`13“0.
次に, (1)② を利用するために, x0 “
«1 2
´1 ff
(Aの位置ベクトル), x1 “
«2
´1 0
ff
(Dの位置ベクトル),a “
«5
´7 4
ff
(平面ABCの法線ベクトル)とおけば,点Dと平面ABCの距離は |a¨ px1´x0q|
}a} “ 30 3?
10 “? 10.
③ ② と同じ意味でx0,x1,a を用いる. 直線ℓは点Aを通り, a“
«5
´7 4
ff
を方向ベクトルとするから,その 方程式は x´1
5 “y´2
´7 “z`1
4 . また,aˆ px1´x0q “
«5
´7 4
ff ˆ
«1
´3 1
ff
“
«5
´1
´8 ff
より, (1)① を用いて, 点Dとこの直線の距離は }aˆ px1´x0q}
}a} “3? 10 3?
10 “1.
【注】②,③の距離はDから平面,直線に下ろした垂線の長さである. ②ではDから平面ABCに垂線DEを下ろせば, Ep2`5s,´1´7s,4sqが5x´7y`4z`13“0上にあるからs“ ´1{3となり,}ÝÑ
DE} “?
10. ③ではDから“Aを通る 平面ABCの法線”に垂線DFを下ろせば, Fp1`5t,2´7t,´1`4tqがÝÑ
DFKaを満たすからt“1{3となり,}ÝÑ DF} “1.
(3) 2平面の法線ベクトルがa “
«´1 2 1
ff , b“
« 3 2
´1 ff
であるから, aˆb“
«´4 2
´8 ff
“ ´2
«2
´1 4
ff
が交線の方向ベクトル
となる. 一方, 交線とxy平面との交点は
$
&
%
´x`2y`z“3 3x`2y´z“ ´1
z“0
を解いて, px, y, zq “ p´1,1,0q. よって,交 線の方程式は x`1
2 “ y´1
´1 “ z 4
`ô x“ ´1`2t, y “1´t, z “4t˘
. あるいは, 交線上の点は連立 1次方程式 !´x`2y`z“3
3x`2y´z“ ´1 の解であると考えて, 行基本変形
„´1 2 1 3 3 2 ´1 ´1
ȷ Ñ
„1 ´2 ´1 ´3
0 4 1 4
ȷ Ñ
„1 0 ´12 ´1 0 1 14 1
ȷ
により,上と同じパラメータ表示を得る. 次に, 2平面のなす角θp0ďθď π2
::::::::qは2平面の法線 同士のなす角に等しいから, cosθ“ |a¨b|
}a}}b} “ 0
?6?
14 “0. よって,θ“π 2.
【注】2直線の方向ベクトルがa,bであるとき,この2直線のなす角θp0ďθďπ2qは「a,bのなす角」または
「a,´bのなす角」のいずれかで与えられる. 従って, cosθ“ |a¨b|
}a}}b} が成り立つ.
(4) ① 直線ℓ上の点 p´2`t,´1`3t,4´2tqを平面αの方程式2x´y`3z“2 に代入して, 2p´2`tq ´ p´1`3tq `3p4´2tq “2. 6 t“1.
よって,交点x0の座標はp´1,2,2q.
② αの法線ベクトルがa:“
«2
´1 3
ff
,ℓの方向ベクトルがb:“
«1 3
´2 ff
であるから, bの平面αへの正射影は
b´b¨a }a}2a“
«1 3
´2 ff
´´7 14
«2
´1 3
ff
“ 1 2
«4 5
´1 ff
{{
«4 5
´1 ff
.
よって,直線mの方程式は x`1
4 “y´2
5 “z´2
´1 .
③ c:“
«4 5
´1 ff
が直線mの方向ベクトルであるから,直線ℓ, mのなす角を θp0ďθďπ2qとすれば, cosθ“ |b¨c|
}b}}c} “|4`15`2|
?14?
42 “ 21 14?
3 “
?3
2 . 6 θ“ π 6.
④ 求める平面はx0を通り,bˆc“
«1 3
´2 ff
ˆ
«4 5
´1 ff
“7
«1
´1
´1 ff
{{
«1
´1
´1 ff
を法線ベクトルとする. よって, px`1q ´ py´2q ´ pz´2q “0, すなわち x´y´z“ ´5.
