数学演習第二 （演習第２回） 【解答例】
線形：直線・平面の方程式と外積 2017年 10月11日 実施
1
(1) uˆv“« 6
´6 3
ff
, vˆu“ ´uˆv “
«´6 6
´3 ff
,
puˆvq ˆw“
« 6
´6 3
ff ˆ
«0 1 2
ff
“
«´15
´12 6
ff
, uˆ pvˆwq “
« 2 1
´2 ff
ˆ
«´2 2
´1 ff
“
«3 6 6
ff
. (外積の結合律は不成立!) (2) b“ta`b2 と a との内積をとり, b¨a “t}a}2. よってt “ b¨a
}a}2 となり, b1 “ b¨a
}a}2a, b2 “b´b¨a }a}2a.
更に, }b1} “ |a¨b|
}a} , }b2} “a
}b}2´ }b1}2 “
a}a}2}b}2´ pa¨bq2
}a} (b1,b2,bが直角三角形をなすことに注 意). ここまではRn (ně2) のベクトルで成立するが,}b2}について, 平面ベクトルであれば行列式を用いて }b2} “ |detra bs|
}a} ,空間ベクトルであれば外積を用いて}b2} “ }aˆb}
}a} と表せる. (3) u¨v“ ´2`1´8“ ´9, }u} “3, }v} “3?
2. また,u,vのなす角 θp0ďθďπqは, cosθ“ u¨v
}u}}v} “ ´9 3¨3?
2 “ ´ 1
?2 より, θ“ 3π 4 . 更に,vのu方向への正射影は v¨u
}u}2u“ ´9 9
« 2 1
´2 ff
“
«´2
´1 2
ff .
(4) detra b cs “ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
を第3列に関して余因子展開し,そのあと外積の定義を用いて,
detra b cs “c1
ˇ ˇ ˇ
a2 b2
a3 b3
ˇ ˇ ˇ´c2
ˇ ˇ ˇ
a1 b1
a3 b3
ˇ ˇ ˇ`c3
ˇ ˇ ˇ
a1 b1
a2 b2
ˇ ˇ ˇ
“ pa2b3´a3b2qc1` pa3b1´a1b3qc2` pa1b2´a2b1qc3“ paˆbq ¨c.
この関係式を用いて, ①paˆbq ¨a“detra b as “0, paˆbq ¨b“detra b bs “0 (同じ列を含む行列式 の値は0). ②detra b aˆbs “ paˆbq ¨ paˆbq “ }aˆb}2. あとはa,bが1次独立のときaˆb‰0を示 せばよいが, 図形的に考えれば}aˆb} “(a,bの作る平行四辺形の面積)なので,これは明らか.
2
(1) ÝÑPQ“tp´2,4q,ÝÑPR“tp1,5qより,p△PQRの面積q “1 2ˇˇdetrÝÑPQ ÝÑPRsˇ ˇ“7.
(2) ÝÑPQ“tp2,´2,´6q,ÝÑPR“tp´2,´1,1q,ÝPSÑ“tp3,0,´2qより,ÝÑPQˆÝÑPR“tp´8,10,´6qとなり, p△PQRの面積q “1
2}ÝÑ PQˆÝÑ
PR} “ 1
2}tp´8,10,´6q} “5? 2, p四面体PQRSの体積q “1
6 ˇ ˇpÝÑ
PQˆÝÑ PRq ¨ÝÑ
PSˇ ˇ“1
6 ˇ
ˇtp´8,10,´6q ¨tp3,0,´2qˇ ˇ“2.
3
(1) ① 点x1と の直線との距離は 1 (2)でb“x1´x0 と考えたときの}b2}に等しい(下左図). よって,求 める距離は }aˆ px1´x0q}}a} . (“垂線の足” は x0`b1“x0`a¨ px1´x0q
}a}2 a で与えられる.)
② 点x1と の平面との距離は 1 (2)でb“x1´x0 と考えたときの}b1}に等しい(下右図). よって,求 める距離は |a¨ px1´x0q|
}a} . (“垂線の足” は x1´b1 “x1´a¨ px1´x0q
}a}2 a で与えられる.) 平面が ax`by`cz`d“0と表されるならa¨x0`d“0であるから,a¨ px1´x0q “a¨x1`dとなり,距離 は |ax1`by1`cz1`d|
?a2`b2`c2 と表される.
b“x1´x0 b1
b2 x1
x0 a
b“x1´x0 b1
b2 x1
x0 a
(2) ① 直線は通る点と方向ベクトルにより決定される. ÝÑPQ“
« 1
´3 3
ff
が直線PQの方向ベクトルを与えるので, 直線PQの方程式はx´1“ y´1
´3 “ z 3.
② 平面は通る点と法線ベクトルにより決定される. まず, ÝÑ PQˆÝÑ
PR“
« 1
´3 3
ff ˆ
« 2
´2 1
ff
“
«3 5 4
ff
が平面PQR の法線ベクトルを与える. よって,平面PQRの方程式は
3px´1q `5py´1q `4z“0. これを整理して, 3x`5y`4z“8.
次に, (1)② を利用するために,x0 “
«1 1 0
ff
(Pの位置ベクトル),x1 “
«´1 3 4
ff
(Sの位置ベクトル), a“
«3 5 4
ff
(平面PQRの法線ベクトル)とおけば,点Sと平面PQRの距離は |a¨ px1´x0q|
}a} “ 20
?50 “2? 2.
③ 平面PQRの法線は ÝÑ PQˆÝÑ
PR “
«3 5 4
ff
を方向ベクトルとする直線であるから, これが点Pを通ると き, その方程式は x´1
3 “ y´1 5 “ z
4. 次に, ② と同じく x0, x1, a を定めれば, aˆ px1´x0q “
«3 5 4
ff ˆ
«´2 2 4
ff
“4
« 3
´5 4
ff
より, (1)① を用いて,点Sとこの直線の距離は }aˆ px1´x0q}
}a} “ 4?
?50 50 “4.
【注】②,③の距離はSから平面,直線に下ろした“垂線の長さ”に他ならない. ②ではSから平面PQRに垂線STを下ろ せば, Tp´1`3t,3`5t,4`4tqが3x`5y`4z“8上にあるからt“ ´25 となり,}ÝÑ
ST} “2?
2. ③ではSから“Pを通 る平面PQRの法線”に垂線SUを下ろせば, Up1`3u,1`5u,4uqがÝÑ
SUKaを満たすからu“25 となり,}ÝÑ SU} “4.
(3) 2平面の法線ベクトルが a“
« 1 1
´3 ff
,b“
«2 1 1
ff
であるから,aˆb“
« 4
´7
´1 ff
“ ´
«´4 7 1
ff
が交線の方向ベクトルと
なる. 一方,交線とxy平面との交点は
$
&
%
x`y´3z“1 2x`y`z“ ´1
z“0
を解いて, px, y, zq “ p´2,3,0q. よって,交線の 方程式は x`2
´4 “ y´3 7 “z `
ô x“ ´4t´2, y“7t`3, z“t˘
. あるいは,交線上の点は連立1次方程 式 !x`y´3z“1
2x`y`z“ ´1 の解であると考えて,行基本変形
„1 1 ´3 1 2 1 1 ´1
ȷ Ñ
„1 1 ´3 1 0 ´1 7 ´3
ȷ Ñ
„1 0 4 ´2 0 1 ´7 3
ȷ
により,上と同じパラメータ表示を得る. 次に, 2平面のなす角 θp0ďθď π2
::::::::qは2平面の法線のなす角に等し いから, cosθ“ |a¨b|
}a}}b} “ 0
?11?
6 “0. よって,θ“π 2.
【注】2直線の方向ベクトルがa,bであるとき,この2直線のなす角θp0ďθďπ2qは「a,bのなす角」または
「a,´bのなす角」のいずれかで与えられる. 従って, cosθ“ |a¨b|
}a}}b} が成り立つ.
(4) ① 直線ℓ上の点 p5t`1, 3t´1,´4t`5qを平面Pの方程式 5x´4y´3z“19に代入して, 5p5t`1q ´4p3t´1q ´3p´4t`5q “19. 6 t“1.
よって, 交点x0の座標はp6,2,1q.
② Pの法線ベクトルがa:“
« 5
´4
´3 ff
,ℓの方向ベクトルがb:“
« 5 3
´4 ff
であるから,bの平面Pへの正射影は
b´b¨a }a}2a“
« 5 3
´4 ff
´25 50
« 5
´4
´3 ff
“ 5 2
« 1 2
´1 ff
{{
« 1 2
´1 ff
.
よって, 直線ℓ1の方程式は x´6“ y´2
2 “ z´1
´1 .
③ b1“
« 1 2
´1 ff
が直線ℓ1の方向ベクトルであるから,直線ℓ, ℓ1のなす角をθp0ďθď π2qとすれば, cosθ“ |b¨b1|
}b}}b1} “ |5`6`4|
?50?
6 “ 15 10?
3 “
?3
2 . 6 θ“π 6.
