Revised at 00:30, May 8, 2015 解析学Ａ 第2回 http://my.reset.jp/˜gok/math/ 1
2 正項級数の収束／発散判定 演習問題解答例
基本演習1 次の級数は収束するでしょうか？ 判定して下さい。
（１）
X1 n=0
n100
2n （２）
X1 n=0
n!
3n （３）
X1 n=1
n （４）
X1 n=1
1 n3
（１）この級数の第n項をpnで表すことにすると、隣接項の比は pn+1
pn
=
(n+1)100 2n+1 n100 2n
= (n+ 1)1002n n1002n+1 =1
2
µn+ 1 n
∂100
→ 1 2 <1
となっていますのでd’Alembertの判定法によりこの級数は収束します。
（２）この級数の第n項をpnで表すことにすると、隣接項の比は pn+1
pn
=
(n+1)!
3n+1 n!
3n
= n+ 1 3 → 1
となっていますのでd’Alembertの判定法によりこの級数は+1に発散します。
（３）これは明らかに+1に発散する級数ですが、試しにやってみましょう。隣接 項の比は
n+ 1
n →1
ですね。と云う事は、d’Alembertの判定法では判定出来ないんですね。何だかな。
（４）隣接項の比を計算してみると
1 (n+1)3
1 n3
= µ n
n+ 1
∂3
→1 ですからこれもd’Alembertの判定法では判定出来ません。
発展演習2 定理2.4の（２）を証明して下さい。
1< L <1であると仮定します。このとき 1< R <limpn+1
pn
となるようなRが存在します。すると十分大きなnについては R < pn+1
pn
が成り立っています。そこで十分大きなNを固定しておいて、N 番目以降のpnにつ いて見ると、
pn= pn
pn−1 ·pn−1
pn−2· · ·pN+1
pN ·pN > Rn−NpN =R−NpN·Rn
が成り立っていますが、右辺の項を一般項にもつ級数は等比級数であり、その公比Rが 1より大きいことからその級数は+1に発散しています。
従ってその級数よりも大きな級数であるP
pn も+1に発散することが分かりま す。
発展演習3 P 1
n2 が収束することをy=x12 のグラフを利用して証明して下さい。
これは簡単ですよね。面積比較で行ける筈です。頑張って下さい。
