電磁気学

電磁気学 C

Electromagnetics C

山田 博仁

静電場、静磁場における Maxwell の式

4/23 講義分

Maxwell の方程 式

t t t



 

 ( , ) )

, (

rot B x

x

E

ファラデーの電磁誘導則

アンペール・マクスウェルの法則 電場に関するガウスの法則

磁場に関するガウスの法則

0 ) , (

) , ( )

, (

) , ) (

, ( )

, (

) , ) (

, (















 









 







t

t t

t t t

t

t t t

e e

x B

x x

D

x x D

i x

H

x x B

E



E(x, t):

電場

(V/m) SI

国際単位系

H(x, t):

磁場

(A/m)

D(x, t):

電束密度

(C/m

²

)

B(x, t):

磁束密度

(

磁場

) (Wb/m

²

) i

_e

(x, t):

伝導電流密度

(A/m

²

)



_e

(x, t):

真電荷密度

(C/m

³

)

物質中

(

勿論真空中も

)

の電磁場を規定する基本法則

変位電流

t t t

t

_e



 

 ( , )

) , ( )

, (

rot D x

x i x

H

) , ( )

, (

div D x t  

_e

x t 0

) , (

div B x t 

Maxwell 方程式の意 味

t t t



 

 ( , ) )

, (

rot B x

x E

1.

ファラデーの電磁誘導則

磁場

(

磁束密度

)

の時間的減少が、その周りに電場の渦を右ネジ方向に作る

変化する磁場の周りの電界は、そこに導線

(

コイル

)

が有る無しに関わらず生じる たまたま導線が有ると、導線内の自由電子

が電界により動き、電流

I

が流れる

I

コイル

B(x, t

₂

)

E(x, t

₂

)

B(x, t

₃

)

E(x, t

₃

) B(x, t

₁

)

E(x, t

₁

)

Maxwell 方程式の意

2.

アンペール・マクスウェルの法則

味

さらに、電場

(

電束密度

)

の時間的増加が、その周りに磁場の渦を右ネジ方向に作る

t

t t

t

_e



 

 ( , )

) , ( )

, (

rot D x

x i x

H

定常電流が、その周りに磁場の渦を右ネジ方向に作る

i

_e

(x, t)

H(x, t)

E(x, t

₁

)

H(x, t

₁

)

E(x, t

₂

)

H(x, t

₂

)

E(x, t

₃

)

H(x, t

₃

)

Maxwell 方程式の意

3.

電場に関するガウスの法則

味

4.

磁場に関するガウスの法則

電荷密度が電場

(

電束密度

)

の発散を引き起こす

)

, ( )

, (

div D x t  

_e

x t

0 ) , (

div B x t 

磁場

(

磁束密度

)

の発散源

(

磁荷

)

は存在しない

D(x)



_e

(x)

B(x)



_m

(x)

ローレンツ力

)

( E v B

F  q  

ニュートン力学と電磁気学を関係付ける式

ニュートン力学 電磁気学 磁場

B

v F

+q

ファラデーの単極誘

[1] 導

1)

図の方向に電圧が発生する

2)

図と反対方向に電圧が発生する

3)

発生しない

[

答

]

回転する導体円盤

V

B

- +

S N



静止した永久磁石

[2]

1)

図の方向に電圧が発生する

2)

図と反対方向に電圧が発生する

3)

発生しない

[

答

]

V

B

- +

S N



回転する磁石

静止した導体円板 起電力は発生するのか

?

起電力は発生するのか

?

ファラデーの単極誘導と単極誘導 モータ

回転する導体円盤

V

B

- +

S N



回転する磁石

 [3]

起電力は発生するのか

?

1)

図の方向に電圧が発生する

2)

図と反対方向に電圧が発生する

3)

発生しない

[

答

]

http://www.youtube.com/watch?

v=7CiEFsQstsI

単極誘導モータに関しては、以下の

URL

を参照

[4]

単極誘導モータ

http://sysplan.nams.kyushu-u.ac.jp/

gen/hobby/elec/Motor/UniMotor.html - +



S N

永久磁石と円盤が一体になっていても回る

クイ ズ

[5]

1)

図の方向に電圧が発生する

2)

図と反対方向に電圧が発生する

3)

発生しない

[

答

]

[6]

1)

図の方向に電圧が発生する

2)

図と反対方向に電圧が発生する

3)

発生しない

[

答

]

起電力は発生するのか

?

起電力は発生するのか

? V

B - +

S N

静止した永久磁石

v

速度

v

で移 動する導体棒

V

B - +

S N

速度

v

で移動する永久磁 石

静止した導体 棒

v

クイ ズ

[7]

1)

図の方向に電圧が発生する

2)

図と反対方向に電圧が発生する

3)

発生しない

[

答

]

起電力は発生するのか

? V

B - +

S N

速度

v

で移動する永久磁 石

v

速度

v

で移 動する導体棒

v

荷電粒子の磁場

B

に対する速度

? )

( E v B

F  q  

ローレンツ力

で記述される

v

は、何の何に対 する速度なのか

?

それとも、荷電粒子の観測者に対す る速度

?

注

) [5]

～

[7]

の実験を行ったとし

ても、外部回路に起電力

(

電流

)

を取り出すことはできない。何 故なら、外部回路にも導体棒で 生じた起電力を打ち消す方向に 起電力が発生するから。従って

、これらはあくまでも思考実験 である。

静磁場中を運動している荷電粒子のパラド クス

F = q v B

x

y

z

一様な磁場

B

₀

+q v

v

F v = 0

荷電粒子と同じ速度で運動している観測 者から見ると

v = 0

ローレンツ力が働き

、粒子はこちらに近 づいて来る

x

y

z

一様な磁場

B

₀

v F

+q

従って、ローレンツ力

F

は働かず、粒 子はこちらには近づいて来ない。本当 か

?

より本質的な量としてのベクトルポテン シャル

この問題は、磁場

B

で考えると分からなくなる。何故なら、一様な静磁場

B(x, t) = B

₀ は

互いに等速度運動をするどの座標系から見ても

B

₀ だからである。

しかし、ベクトルポテンシャル

A(x, t)

には違い がある。

従って、ベクトルポテンシャル

A(x, t)

で考えると理 解できる。

ベクトルポテンシャル

A

は磁場

B

よりも本質的な物理量 である

!!

一様な磁場

B

ベクトルポテンシャル

A

より本質的な量としてのベクトルポテン シャル

一様な磁場

B

を作っている根源

(

例えば電流の流れているコイルのような もの

)

がロケットの中にある場合、同じロケットに乗っている観測者から見 るとベクトルポテンシャルは時間的に変化しない。つまり、∂

A/∂ t = 0

x

y

z

一様な磁場

B

₀

+q v v

ベクトルポテンシャル

A F

この場合、荷電粒子に力

F

は働かない

より本質的な量としてのベクトルポテン シャル

ところが、一様な磁場

B

を作っている根源

(

電流の流れているコイル

)

が ロケットの外にある場合、ロケットに乗っている観測者から見るとベクト ルポテンシャルは時間的に変化している。つまり、∂

A/∂ t ≠ 0

x

y

z +q v

v

一様な磁場

B

₀

ベクトルポテンシャル

A

この場合、荷電粒子に力

F

が働く

F

ローレンツ力と相対運 動

B

_z

q +

E

-v

x’

y’

z’

K’

x y

z K

v

F

_y

’ = q v×B

_z

F

_y

’

座標系

K

に対して静止している 荷電粒子

q

を考える

電場が無く、

z

方向の磁場

B

_z しか存在しない場合

粒子はいつまでも静止し続ける

)

( E v B

F  q  

ところが、座標系

K

に対して –

x

方向に速度

v

で運動をしている座標系

K’

から見ると、荷電粒子

q

は

+x

方向に速度

v

で運動をしていることになる それなら、粒子にはローレン ツ力が作用するのか

?

種明か し

) 2 ( )

, ( rot )

, (

) 1 ( )

, ( ) grad

, ) (

, (



 t

t

t t t t

x A x

B

x x x A

E



 

 

 

電場や磁場は座標系によって見え方が変わる

ベクトルポテンシャルが時間的に変化する場合、電場

E

が見えてくる。

砂川重信著　電磁気学 岩波書

p.162

参照

座標系

K

B

_z 座標系

K’

電磁場

B

_z

’

E

_y

’

この場合の電磁場は、座標系

K

から見ると 磁場

B

_z に見える。

ところが、別の座標系

K’

から見ると 磁場

B

_z

’

と電場

E

_y

’

に見える

先のケースでは、座標系

K

においては電場が無いと言っているから、ベクト ルポテンシャルは時間的に変化していない。つまり、

∂ A/∂ t = 0 。 (

電荷も無い として、従って

ϕ = 0

としている

)

しかし、座標系

K

に対して等速度運動し ている座標系

K’

から見ると、 ∂

A/∂ t ≠ 0

ために、式

(1)

より、電場

E

が存在 することになる。この電場が

F

_y

’

を打ち消す方向に作用するために、座標系

K’

から見ても粒子はこちらには近づいては来ない。

電場や磁場は座標系によって見え方が変わる。

普遍的なのは電磁場

!!

静電場、静磁 場

全ての物理量が時間

t

に依存しない時、

Maxwell

方程式は以下のように電場、

磁場に対して各々独立な方程式系に分離できる

) ( )

(

) ( )

(

0 ) (

x E x

D

x x

D x E



















e 静電場に関する基本法則

定常電流による静磁場の基本法則

電荷も電流も時間的に不変である限り、電気と磁気は別々の現象と見なせる 当初は、電気力

(

クーロン力

)

と磁力とは全く別のものだと考えられていたが、

Maxwell

がこれら二つの力を電磁力として統一した。

(

力の統一理論

)

) ( )

(

0 ) (

) ( )

(

x H x

B

x B

x i x H

















_e

媒質中での電磁場を扱うため の構造関係式

力の統一理 論

電磁力

(

ローレンツ力

)

重力

強い相互作用

弱い相互作用

物質間に働く

4

つの基本的な力

(

相互作用

)

慣性力

摩擦力 強い

弱い

10

²

1

10

^-40

力の強さ

長距離 短距離

10

^-15

m

力の働く距離

1m

10

¹⁰

m

核力

核力

大統一理論

電弱統一理論

超弦

(

ひも

)

理論

?

量子色力学

電気力

(

クーロン力

)

と磁力の統一

(

マクスウェル

)

一般相対性理論

(

アインシュタイン

)

天体間引力

万有引力 ニュートン

静電 場

) 3 ( )

( )

(

) 2 ( )

( )

(

) 1 ( 0

) (











 x

E x

D

x x

D x E



















e

静電場の基本方程式

。 (1)

式より、静電ポテンシャル

(x)

が定義できる

)

4 ( )

( )

( x x  

E   

。 (3)

式の関係を用いて、上式を第

(2)

式に代入すると、以下のポアソン方程式を得る



  ( )

)

( x

x  

^e



上記ポアソン方程式の無限遠方でゼロとなる解は、

 _



V

e

' x' '

x x

x ( x )

4 d ) 1

(

³



 

上式を

(4)

式に代入することにより、電場

E(x)

が求まる

 ^ _



V

e

' '

x' '

₃

3

( ) ( )

4 d ) 1

( x x

x x

x x

E 



(

局所的な電荷密度分布とその周りの電位を関係付け

。 )

0 ) ( grad

rot       



ベクトル恒等式

静電ポテンシャル   の意 味

) ( )

( x x

E   

山の等高線　

(x)

　スカラー量

山の斜面の勾配　

E(x)

　ベクトル量

{E

_x

(x), E

_y

(x), E

_z

(x)}

静電ポテンシャルはスカラーなので、スカラー・ポテンシャルとも呼ばれている

山の等高線

(

スカラー量

)

と斜面の勾配

(

ベクトル量

)

とは同じ情報

(

地形

)

を伝えている 等高線に相当するのが静電ポテンシャル

(

電位

) 

であり、電位の勾配が電場

E (

ベクトル量

)

である

静電 場

) ( )

( x x

D  

_e





微分形式でのガウスの法則

両辺をある体積

V

について積分する



 ^{  }

V e V

dV

dV ( )

)

( x x

D  dS

V S n D(x)



_e

(x)

積分形のガウスの法則

(

局所的な電荷密度分布とその周りの電束密度の発散を関係付けている

)

 ^

S

dS n x

D ( ) Q

e

Gauss

の定理

e S

Q dS 

 ^{D ( x )}  ⁿ

球状電荷分布の周りの静電

誘電率が 、半径が

a

の球内に電荷が密度 で一様に分布している。球の中心

場

O

より

r

だけ離れた点

P

における電場を求めよ。

a

O P



r

) ( )

( x x

D  

_e





電場に関するガウスの法則

) ( )

( x E x

D  

(

局所的な電荷密度分布とその周り の電束密度の発散を関係付けてい る

)



 ( ) )

( x

x

E 

^e



 (

局所的な電荷密度分布とその周り の電場の発散を関係付ける式

)

構造関係式



 ^{  }

V e V

dV

dV 1 ( )

)

( x x

E 

 E(x)

ガウスの定理

 ^

S

dS n x E ( )

電荷分布が球対称だから、

電場は球の中心から放射状



S

dS r) ( E

) ( 4  r

²

E r



 

3 0

3

4

1 a

2 0

3

) 3

( r

r a



  E



 

3

3 4

1 r

(r > a)

(r < a)



 ) 3

( r

r  E

V S

dS n

静磁 場

静磁場の基本方程式

第

(2)

式のガウスの法則から、磁場

B(x)

はベクトル・ポテンシャル

A(x)

を用いて

)

4 ( )

( )

( x A x  

B   

第

(3)

式の関係を用いて、上式を第

(1)

式に代入し、ベクトル公式を用いると以下の式を 得る

) ( )

( )

( x A x i

_e

x

A    





上式の解は、

 _



V

e

x'

' '

₃

) d ( ) 4

( x x

x x i

A 



上式を

(4)

式に代入することにより、磁場

B(x)

が求まる

 ^ _ ^



V

e

x'

' '

'

₃

3

) d

( ) ( ) 4

( x x

x x x

x i

B 



) 3 ( )

( )

(

) 2 ( 0

) (

) 1 ( )

( )

(











 x

H x

B

x B

x i x H

















_e

ビオ・サバールの法則

A A

A      







 ( ) ( )

0 ) (

rot

div E      E 



ベクトル恒等式

静磁 場

微分形式でのアンペールの法則

両辺をある面

S

について積分する

)

( )

( x i x

H 

_e





dS x dS

x

S e S

) ( ) ( )

( )) (

( H x n  i x n

 ^{    }

積分形式でのアンペールの法則

I

_e

H(x) dS

i

_e

(x)

S C dr

n(x)

H(x)

(

局所的な電流密度分布とその周りの磁場の回転を関係付けている

)

 ^

C

dr x H ( ) Stokes

の定理

e C

I d 

 ^{H ( x )}  ^r

I

e

直流電流

I

_e から距離

r

だけ離れた点での磁場の強さ

H(r)

は

?

H(r) 2πr H(r)

r r I

H

^e

 ) 2

( 

r

ベクトル解析の復 習

E E

E E

E E

E E

0







































































) (

) (

rot rot

ベクトル場

) (

) (

スカラー場

) (

) ( grad

div

0 ) (

rot div

ゼロベクトル

) (

) ( grad

rot

2

 









ガウスの定理



 ^{   }

V S

dV

dS F

n F

ストークスの定理



 ^{    }

S C

dS

d r F n

F ( )

dS F

V S n

dS

F S

C dr

n

重要なベクトル恒等式

ベクトル解析の復 習

 

 







 



 



 











 

 















 



2 2 2

2 2

2

, ,

z y

x z y

x

演算子∇

(

ナブラ

)

と 、、、、、、の意味

勾配

(gradient) 　 ‥　スカラー量に作用して、ベクトル量を導く演算子

z y

x

y z

x z

y

x x e

x e x e

x x

x x

x 

 



 



 

 

 















 



 ( ) ( ) ( ) ( )

) , , (

) ) (

( )

(

grad        

発散

(divergence) 　 ‥　ベクトル量に作用して、スカラー量を導く演算子

z E y

E x

E

x y _z



 



 



 





 ( ) ( ) ( )

) ( )

(

div x x x

x E x

E

ナブラ∇と

E(x)

のスカラー積

スカラー積

(

内積

) A  B  A

^x

B

^x

 A

^y

B

^y

 A

^z

B

^z

(

ベクトルと見なせる

)

(

スカラーと見なせる

)

ベクトル解析の復 習

回転

(rotation) 　 ‥　ベクトル量に作用して、ベクトル量を導く演算子

x z y

z y x x

z y

z y

x

z y

x

y E x

E x

E z

E z

E y

E

E E

E

z y

x

x e e x

x e x

x x

x x

x

e e

e x

E x

E

 

 







 



 

 

 







 



 

 

 







 



 











 







) ) (

) ( ( )

) ( ) (

(

) ( )

( )

( )

( )

( rot

ベクトル積

(

外積

)



y z z y



x



z x x z



y



x y y x



z

z y

x

z y

x

z y

x

B A B

A B

A B

A B

A B

A B

B B

A A

A e e e

e e

e B

A        

ナブラ∇と

E(x)

のベクトル積

1

2

電磁気学のパラドッ クス

磁場

同一方向に電流が流れてい る導線間には引力が働く

電流

電流

力

1

2 -

-

-

-

-

-

-

-

-

-

電子と一緒に動いている座標 系から見るとこのように見え る

二本の導線間には、クーロン力による反発力が働く

ファインマン物理学Ⅲ13-6

磁場は存在しない

?

一本目の導線を流れる電流

が作る磁場により、二本目の 導線を流れる電流

(

電子

)

が 力を受ける

(F=q v×B)