Evaluation of interface properties between a bump of different atom

日本機械学会［No.147-1］北陸信越支部 第51期総会・講演会 講演論文集 [

2014.3.8

富山県射水市]

0801

分子動力学法による異原子バンプと基板の界面特性評価

Evaluation of interface properties between a bump of different atom

and substrate using molecular dynamics

○ 平澤 勇気（長岡技科大院） 正 古口 日出男（長岡技科大）

Yuki HIRASAWA, Graduate School of Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamitomioka, Nagaoka, Niigata Hideo KOGUCHI, Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamitomioka, Nagaoka, Niigata

Key Words: Molecular Dynamics, Interface, Elastic constants, Interface stress

1. 緒言

本研究では,分子動力学法を用いてナノメートルの異方 性異材接合体の界面特性および界面端部の特異応力場の特 性について調べる.二つの異なる材料からなる異原子バン プと基板の接合体における原子応力の分布を調べ,界面上 の原子応力分布と

Stroh

形式を用いた特異性オーダの解析 との比較を行う.

2. 分子動力学法

本研究では分子動力学(

MD

)法を用いて解析を行う.

MD

法では原子の動きを以下のようなニュートン運動方程式に より求める.

m^αa^α=F^α=∂E^α

∂γ^αβ

(1)

ここで,m^αは原子αの原子質量, a^αは原子αの加速度, F^αは 原子αに加わる力

, E

^αは原子αのもつポテンシャルエネル ギ

, γ

^{αβは原子}α,β間の距離を表す

.

本研究では式(1)のポテンシャルエネルギに

GEAM

ポテ ンシャル⁽¹⁾を用いた

.

3. 原子界面応力,界面応力,界面弾性係数

原子レベルの不連続構造体における有効な弾性係数とし て原子弾性係数C_ijkl^α ,原子応力σij

αがある.原子弾性係数,原 子応力は式

(2)

で表される⁽²⁾.

Cijkl α = 1

Ω^α

∂²Eα

∂εij∂εkl

, σij α= 1

Ω^α

∂Eα

∂εij

(2)

ここで,Ω^αは原子αに対するボロノイ多面体の体積であり, ε_ijはひずみテンソルである.原子レベルの界面応力_τij^α,原 子界面弾性係数dijkl

α は,界面エネルギ

γ

^{αを界面ひずみで微} 分した次式で得られる.

τij α= a

Ω^α

∂γ^a

∂ε_ij, d_ijkl^α = a Ω^α

∂²γ^a

∂ε_ij∂ε_kl

(3)

ここで，aはレイヤー厚さである

.

4. 界面特性を考慮した特異性固有値の算出方法

異材界面角部の特異応力場は,角部の特異点を原点とし て

,

特異点からの距離rとすると次式で表される．

τxy=k_xy

{

r^−λΙ−

(

L−r

)

^−λΙ

}

(4)

ここで，kxyは応力集中の大きさを示すスカラー,λ_Ιは特 異性のオーダ,Lは界面の長さである．

次に,界面特性を考慮した特異性固有値 λ は以下のよう に求められる⁽³⁾．Kは材料定数と角度から成る

6×6

の行列

であり，次式で求める．

K= K₁ K₂ K₃ K₄

!

"

# #

$

%

&

&

p^* 0

' ( )

* ) + , )

- )

=

! "

G₁₍₁₎G₁₍₀₎⁻¹ pˆ*1

1−λ

(θ1) ˆp*1

−1+λ

(θ0) 0

0 pˆ_*1^1−λ(θ₁) ˆp_*1^−1+λ(θ₀)

!

"

# #

#

$

%

&

&

&

−

A₂ A₂

B2 B2

!

"

# #

$

%

&

&

G₂₍₂₎⁻¹

pˆ_*2^1−λ(θ1) ˆp_*2^−1+λ(θ2) 0 0 pˆ_*2^1−λ(θ₁) ˆp_*2^−1+λ(θ₂)

!

"

# #

#

$

%

&

&

&

$

%

&

&

&

p^* 0

' ( )

* ) + , )

- )

= 0

0

' ( )

* ) + , ) - )

(5)

ここで，p^*は変位の固有ベクトル，<>は

3×3

の対角行列，

AkとBkは

Stroh

固有ベクトルによって与えられる材料kの

行列，p*kは

Stroh

の固有値，¯は共役複素数を表す⁽⁴⁾．θiは 図

1

における角度を表す．Gk(s)は

6×6

の行列であり式

(6)

で 定義される．

Gk(s)=Ωk

Ak Ak

B_k B_k

"

#

$$

%

&

''− H10−H21s

 λ )

*+ ,

-.Ωk

0 0

Ak Ak

"

#

$$

%

&

''

(6)

ここで，は応力場の代表寸法であり，本研究では

1nm

と する．Ωk

, H

10k

, H

21kは次式となる．

Ω_k=

cosθ sinθ 0

−sinθ cosθ 0

0 0 1

#

$

%

%

%

&

' ( ( (

(7)

H10k=1



d_1111i^k(a) 0 d_1131i^k(a)

0 0 0

d3111i k(a)

0 d3131i k(a)

!

"

##

##

$

%

&

&

&

&

(8)

H21k=

d_a1111i^k(a) 0 d_a1131i^k(a) 0 τa11i

k(a) 0

d_a3111i^k(a) 0 d_a3131i^k(a)

!

"

##

##

$

%

&

&

&

&

(9)

式

(3)

より得られる原子レベルの界面応力τij

α，原子界面弾 性係数d_ijkl^α を用いて，式

(8),(9)

は求められる．次式を解くこ とで，特性異固有値λを求める．

K3p^*=0, K3=0

(10)

Fig.1 Wedge model

5. 解析条件

接合体として図

2

のようなΓ2を界面とし，異材界面角部 を有するモデルを用いた．Γ1と Γ3の外向き法線方向に

100MPa

の力を加える

.

Γ4はy方向変位を固定する

.

また

,

界

面は

[100]

になるような結晶構造を持つ

.

解析に用いたモデ

ルの厚さは約

2nm

とし

,

材料

1

の開き角ωは

70°, 90°, 130°

と変え,モデル全体の原子数は

14,000~16,000

個である.1ス テップを

1fs

とした

.

計算中の温度変化は

0K

から計算を始

め

25,000

ステップで

0.5K

までに上げ,その後

75,000

ステッ

プから

100,000

ステップまでに

0K

に下げ，

150,000

ステッ

プ ま で 計 算 し た ．

z

方 向 に 周 期 境 界 条 件 を 設 定 し た ．

Material1, 2

はそれぞれ金(Au), 銅(Cu)を用い，界面は整合

界面になるようにした．

Fig.2 Model for analysis

6. 解析結果

6・1 原子界面応力，原子界面弾性係数

開き角

70°

において

MD

解析により得られた

Au

と

Cu

の 原子界面弾性係数d1111について近似した結果を図

3

に示す．

図

3

より界面端y≒1.5nm以内で異なる傾向を示すことがわ かる．τ11

, d

1131

, d

3131においても同様の傾向を得る．

-15 -10 -5 0

Atomic interface elastic modulusd1111 , N/m

6 5 4 3 2 1 0

r , nm

Interface edge of Au and interface Interface edge of Cu and interface -73.5exp(-8.70r)cos(5.90r)+10.7r^-0.0226-10.9 -5623exp(-15.6r)cos(-4.15r)+10.8r^-0.0218-11.0

Fig.3 Distribution of interface elastic modulus d

1111

along the interface

6・2 固有値解析結果と MD 法における界面上の応力比較

開き角

70°において, 6・1

節より得られた結果と式(10)を 用いて固有値解析を行った.固有値解析により得られた

Au

と

Cu

の固有値λⅠについて近似した結果を図

4

に示す

.MD

法により得られた界面上の応力分布 τxyおよび式

(4)

による 結果を図

5

に示す. 式(4)はそれぞれλ_Ⅰに図

4

の式，kxyは

0.985

を適用している

.

図

5

より

,MD

法の結果と固有値解析

により求めた結果が良く一致していることが分かる.

他の開き角の結果については講演時に報告する.

0.48 0.47 0.46 0.45 0.44 1-λΙ

3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0

r , nm Au : λΙ

Cu : λΙ

0.0172exp(-6.46r)cos(-4.26r)-0.561r^-0.000113+1.00 0.115exp(-5.24r)cos(-2.56r)+1.72r^-0.000319-1.28

Fig.4 The order of stress singularity λ

Ⅰ

-2 -1 0 1 2

Atomic stressτxy , GPa

12 10 8

6 4 2 0

r , nm

Interface edge of Au and interface Interface edge of Cu and interface Fitting curve of Au : 0.985{r^-λΙ-(11.43-r)^-λΙ} Fitting curve of Cu : 0.985{r^-λΙ-(11.43-r)^-λΙ}

Fig.5 Distribution of stress τ

xy

along the interface

6. 結言

MD

法により

,Au

と

Cu

の接合モデルにおいて原子界面応 力

,

原子界面弾性係数を求めた

.MD

法による結果と

Stroh

形 式を用いた固有値解析により得られた結果の比較を行い，

良く一致していることを示した.

参考文献

(1)

X.W.Zhou. et al., Atomic scale structure of sputtered metal multilayer, Acta materialia., 49 (2001), pp. 4005-4015.

(2)

Izumi, S. et al., The atomic level evaluation of the interface stress and interface elastic constants for semiconductor materials, Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers, No.03-06 (2003), pp. 1- 6

(3)

Koguchi, H., Analysis for Stress singular fields near a wedge corner in 2D joints considering interface stress and interface elasticity, ASME 2012 International Mechanical Engineering Congress & Exposition (IMECE2012), Technical Paper (Reviewed paper), IMECE2012-86097.

(4)

Ting T. C. T., Anisotropic Elasticity: Theory and

Applications, Oxford University Press, (1996), pp.134-263.