折り紙を用いた図形学習の実践事例 : H29体験ふむ ふむ数学クラブ「折り紙で図形を作る」の実践報告
著者 西村 保三, 大石 美咲, 田嶋 祥大, 松本 智恵子, 間庭 彰郎, 河端 尚輝
雑誌名 福井大学教育実践研究
巻 43
ページ 63‑68
発行年 2019‑02‑28
URL http://hdl.handle.net/10098/10663
実践報告・資料
１．はじめに
福井大学教育学部数学教室では，平成19年度から「体 験ふむふむ数学クラブ」という公開講座を実施してい る。この公開講座の狙いは，一般の社会人や中高生を対 象に，体験的なグループ学習によって数学を楽しんで学 び，参加者の数学に対する興味・関心を高めるとともに，
数学が社会のさまざまな場面において果たす役割を理解 してもらうことである。またそれを実現するカリキュ ラムを開発することも目的としている(西村他, 2015）。
平成26年度から，本公開講座は，福井大学の教員と学 生が協働で運営を行う形で実施している。本稿では，平 成29年度に実施した折り紙の作図を題材とした数学の 公開講座「折り紙で図形を作る」の実践事例を報告して，
折り紙を用いた図形学習について考察する。
折り紙を用いた図形学習は，これまでにも多くの人に よって研究・実践されている。1970年代に，堀井(1977) は折り紙を用いた小学校算数の授業実践を報告してい る。また伏見（1979）は折り紙の幾何に関する記事を『数 学セミナー』誌において連載している。1980年に阿部
（1980）によって折り紙による角の三等分の作図が発表 されたことがきっかけとなり，折り紙の作図が数学的に 研究されるようになった（ゲレトシュレーガー(2002)， 芳賀(1999)等）。芳賀（1996）は，折り紙による作図を「オ リガミクス」と名付けて，中学校における授業実践につ いて検討している。その後，今日に至るまで，折り紙を 使った数学の学習は，多くの人によって提案・実践され ている（加藤(2008)，Yoshita(2008)，ハル(2015)等）。
本講座では，折り紙を用いた体験的なグループ活動に
よって，図形の性質や作図について，楽しみながら学ん でもらうことを目標とする。折り紙による図形学習には，
様々なテーマが考えられるが，今回の講座では，正多角 形の作図と，それを組み合わせて正多面体を作る活動の ２つを設定した。また正多角形の作図では，黄金比を利 用した正五角形の作図を講座の最終目標とした。
２．授業実践
本講座は，平成29年12月16日に，福井大学で実施 したもので，テキストの作成から講座の進行までを大石 が中心になって務めた。また，本実践は大石の卒業研究 の一環でもある（大石, 2018）。本講座は，「体験的なグ ループ活動で数学を楽しく学ぶ」ことを謳っており，参 加者17名を３〜５名の班に分けて，講師５人がファシリ テーターとして各班の活動を支援する形式で行った。講 習時間は途中１回の休憩を入れて３時間である。
本講座で作成した配布テキストの講習内容は以下の通 りである。
（1）ウォーミングアップ （2）正多角形を作ろう！
（3）正五角形 （4）正多面体
（5）正多面体を作ろう！
2.1.
ウォーミングアップはじめにウォーミングアップと称して，１枚の折り紙 を全員で決まった手順で折っていき，山折り谷折りなど
折り紙を用いた図形学習の実践事例
― H29体験ふむふむ数学クラブ「折り紙で図形を作る」の実践報告 ―
福井大学教育学部 西 村 保 三 福井市円山小学校 大 石 美 咲 大野市尚徳中学校 田 嶋 祥 大 福井大学教育学部 松 本 智恵子 啓新高等学校 間 庭 彰 郎 鯖江市神明小学校 河 端 尚 輝
本稿は，福井大学公開講座「体験ふむふむ数学クラブ」の実践報告である。この公開講座では，一般の 社会人や中高生を対象に，グループによる体験的活動を通して，数学を楽しみながら学んでもらうこと，
及びそれを実現するカリキュラムを開発することを目的としている。本稿では，平成29年度に実施した，
折り紙を使った数学の公開講座の事例を報告して，折り紙を用いた図形学習について考察する。
キーワード：
数学教育，図形，作図，折り紙
西村 保三，大石 美咲，田嶋 祥大，松本智恵子，間庭 彰郎，河端 尚輝
の基本操作や，基本的な図形の名称について確認した。
折り方は，実物投影機でスクリーンに拡大して示した
（図１）。また，説明がわからない人には，各班のファシ リテーターが個別に支援した。手順は，『折り紙で算数 トレーニング』（加藤, 2008）に沿ったもので，正方形，
長方形，平行四辺形，菱形，台形，二等辺三角形，直角 三角形，直角二等辺三角形という小学校までに学ぶ基本 的な平面図形の多くが一つの手順の中に現れるものであ る（図２）。
次に，『折り紙で学ぶ図形パズル』（山口, 2008）の中 から，折り紙を組み合わせて図形を作るパズルを幾つか 出題して，参加者全員に考えてもらった（図３）。複数 の小学生がすぐに正解を見つけたので，前に出て皆の前 で発表してもらった。
図１：折り方の説明
図２：『折り紙で算数トレーニング』（加藤, 2008）より
問題１
① ２枚の折り紙をそれぞれ半分に折って組み合わせ，
三角形と平行四辺形を作ってください（図３）。
図３：図形パズル
ここで，基本的な三角形（正三角形，二等辺三角形，
直角三角形，直角二等辺三角形）と四角形（正方形，菱 形，長方形，平行四辺形，台形）について，用語の定義 を確認して，それらの包摂関係をベン図に描いてまとめ た。なお，これらの図形の定義は小学校で学ぶが，包摂 関係については今日では中学校の学習内容となっている
（大日本図書『新版数学の世界２』５章参照）。
2.2.
正多角形を作ろう！ウォーミングアップの最後で正三角形と正方形の定義 を確認した流れに沿って，正多角形の定義を示した。
定義（正多角形）．全ての辺の長さが等しく，全ての
角の大きさが等しい多角形を正多角形という。角数（辺 数）がｎ
個の正多角形を正ｎ角形という。図４：正多角形
三角形の内角の和は180度であり，ｎ角形は対角線に よってn-2個の三角形に分割できることから，一般にｎ 角形の内角の和は180(n-2)度であることを説明し，そ のことから正多角形の内角の大きさが求められること を，正六角形を例に挙げて説明した。この説明は講義形 式で行い，その後，正五角形や正七角形の内角の大きさ を演習問題として出題した。
問題２
①正五角形の内角の和と，一つの内角の大きさを求めよ。
答．内角の和： 180×(5-2)＝540度 一つの内角の大きさ： 540÷５＝108度
次に，正三角形の作図を考えるために，60度の三角 比に関する基本的な性質を説明した（図５左）。
(1) 正三角形を半分にした三角形は，３つの角が90, 60, 30度の直角三角形で，60度の角を挟む二辺の比は2:1 である。
(2) 直角を挟む二辺の比は，√3：1≒1.73である。
90, 60, 30度の直角三角形は，三角定規にも使われて おり，小学生にも馴染み深い形である。性質(1)は，既 に説明した正三角形の定義と内角の和から容易に説明で きるが，性質(2)は√3という小学生には見慣れない平 方根が登場するので説明が難しい。ここで三平方の定理 を紹介して，性質(2)を説明したが，平方根には深入り
せず「√３は約1.73」という程度の説明で先に進んだ。
定理（三平方の定理）．直角三角形の直角を挟む二辺
の長さをa, b，斜辺の長さをcとするとき，a2＋ b
2＝ c
2が 成立する（図５
右）。90, 60, 30度の直角三角形に関する上記の性質(１)を ヒントとして，参加者全員に，折り紙で正三角形を作る にはどうすればよいか？という問い掛けを行った。さら に正三角形ができた人は，正六角形と正八角形の作図も 考えるように促した。
問題３．折り紙で次の形を作ってください。
①正三角形 ②正六角形 ③正八角形
しばらく参加者同士で相談したり教え合ったりしてい る間に，これらの正多角形の作図法を見つけた参加者が 次々現れた。そこで，それぞれの班の代表者に，考えた 作図方法を発表してもらった（図６）。その方法の考え 方を全員で確認して，実際に正多角形を折ってみるとい う活動を行った。
図６：作図方法の発表
正三角形の作図は，60度の余弦が1/2であるという 性質(1)を使って，60度の角を作図することがポイン トである。参加者から出てきた作図法を図７・図８に示 す。始めに正方形ABCDを半分に折って折り線MNを 付けておく。折り線が点Aを通って，点Bが直線MN
に重なるように折る（図７左）。点Bが折り返された点 をB'とすると，AB':AM=２:１より∠BAB'=60°である から，線分AB'とBB'を描けば△ABB'は正三角形で ある。またここで，折り線AEに注目すると，∠BAB' の二等分線なので，∠DAE=60°として60度の角が作 図できている。そこで，同様に点Cを直線MNに重ね て∠ADF=60°であるような折り線DFを付けることで，
ADを１辺とする正三角形ADFを描く方法もあり，前の 方法よりも効率的である（図７右）。図８左の方法は，折 り線が点Bを通り，点Cが直線MNに重なるように折 ることで，折り返された点をC'とすると，BC':BM=2:1
より∠ABC'=60°となる。左側も同様に折ることで中
央に正三角形ABC'が得られる。あるいは，このとき
∠CBG=15°であるから，同様に∠ABH=15°の折り線 BHを折れば，正方形ABCDに内接する最大の正三角形 BGHが得られる（図８右）。これらの作図法は，多くの 本で紹介されており，特に図７左の方法は小学校算数の 教科書（啓林館『わくわく算数３下』p.6）にも掲載され ている。
図７：正三角形の作図１
図８：正三角形の作図２
正六角形は，中心角の60度を，図７と同様の方法で 紙の中心から作ることで作図できる。正八角形は，中心 角が45度なので，むしろ正六角形よりも簡単に作図で きる（図９）。さらに，正12角形や正16角形も同様の 方法で作図できる（畠山, 2007）。本講座でも，何人か の参加者は正六角形と正八角形の作図方法を自力で見つ けることができたので，前に出て作図方法を発表しても らった（図６）。
ここで，おまけ問題として，折り紙の１辺を三等分す る問題をテキストに用意していたが，時間の都合上，本 講座では割愛した。
図５：60度の三角比と三平方の定理
西村 保三，大石 美咲，田嶋 祥大，松本智恵子，間庭 彰郎，河端 尚輝
図９：正六角形と正八角形の作図
2.3.
正五角形次に，正五角形の作図について取り上げた。正五角形 の作図を自力で考えるのは難しいので，講義形式で，正 五角形の対角線と辺の長さの比が黄金比になることを，
中学校の教科書（大日本図書『新版数学の世界３』p.247） に沿って解説した。
正五角形の辺の長さを１とし，対角線の長さをxとす る（図10）。四角形CDEFは平行四辺形なので，EF=１， BF=x-1である。△ABEと△FABは対応する二角が等 しいので相似となり，対応する辺の比BE：AE=AB：FB から，x：１=１：(x-１)が成り立つ。これより，２次方程式 x2-x-１=０ が導かれる。これを解いてx=1 ±√2 5，x>０より
x=1＋√5
2 を得る。
この値は約1.62で，黄金比と呼ばれている。黄金比は，
絵画や彫刻，建築などでも使われており，ひまわりの螺 旋など，自然界にも見られることを紹介した。
図10：正五角形と黄金比
次に，黄金比を利用して，折り紙で正五角形を作図す る方法を解説した。配布テキストに，正五角形の折り手 順を示しておき，その折り方で正五角形が作図できる原 理を，折り手順に沿って解説しながら，皆で折り進めて いった。正五角形の折り手順は，多くの文献に掲載され ているが，本講座では，ゲレトシュレーガー(2002)の 手順を採用した（図11）。
図11：正五角形の作図
正方形の１辺を２とすると，右半分の長方形の対角線 の長さは√5となるから，図(b)でAP=√5-1である。
2：(√5-1)は黄金比に等しいので，APの長さを正五角形 の１辺ABとして移し取り，図(d)のように，対称の位 置に頂点を移し取れば，C, D, Eの順に正五角形の頂点 が得られる。
正五角形の作図の解説は，小学生には難しいと思われ るが，折り紙で正五角形を作る活動自体は，マニュアル に従って進めるだけなので，全員が正五角形を作ること ができた。
さらに配布テキストにはコラムとして，ガウスが正 17角形の作図法を発見したことや，角の三等分や立方 根の作図が定規とコンパスでは作図不可能であることを 紹介した。また角の三等分や立方根は，折り紙を使えば 作図可能であり，正七角形や正九角形なども定規とコン パスでは作図不可能だが，折り紙なら作図できることな どを補足した（ゲレトシュレーガー, 2002）。
2.4.
正多面体15分の休憩をはさんだ後，立体図形である正多面体 について取り上げた。始めに正多面体の定義を紹介し，
正四面体と立方体の模型を見せて，このような立体が他 にいくつあるか問いかけた。
定義（正多面体）．全ての面が合同な正多角形で，ど
の頂点に集まる面の数も等しく，へこみのない多面体 を正多面体という（図12
）。図12：正四面体と立方体
問題４．正多面体は何種類あるでしょうか？
また，それぞれの正多面体の面の形，頂点・辺・面の数 は幾つでしょうか？ 下の表を埋めてみましょう。
正多面体 面の形 頂点数 辺数 面数 正四面体 正三角形
４ ６ ４
立方体 正方形
８ 12 ６
正八面体 正三角形
６ 12 ８
正十二面体 正五角形20 30 12
正二十面体 正三角形12 30 20
表１：正多面体
この課題は，中学校の教科書（大日本図書『新版数学 の世界１』p.200）にあるものと同じである。表１は，立 方体の欄のみ事前に記入しておき，また正多面体が何種 類あるかわからないように行を増やした表を配布した。
多面体を作る教育玩具「ポリドロン」を各班に配布して，
実際に正多角形のピースを組み合わせて正多面体を作っ てもらい，正多面体の実物を手に取って，頂点・辺・面 の数を数えてもらった（図13）。皆，ブロック遊びをす るように，楽しみながら立体を作成し，課題に取り組ん でいた。
図13：ポリドロンによる正多面体の観察
しばらくグループ活動を行った後，正多面体が表１に 示した５種類しかないことを確認し，それぞれの正多面 体の頂点・辺・面の数を各班に発表させて，表１を完成 させた。さらに，頂点・辺・面の個数に関して，現在，
高校の数学Ａで学習するオイラーの多面体定理について 補足した。
定理（オイラーの多面体定理）．凸多面体の頂点・辺・
面の個数をそれぞれ
V, E, F
とするとき，V-E+F= ２
が 成り立つ。2.5.
正多面体を作ろう！次に，折り紙で作った正多角形のユニットを組み合わ せて，正多面体を作る活動を行った。正多角形のユニッ トの折り方は，川村（1995）と布施（2005）の方法を 採用し，折り方のマニュアルを各班に配布した。始めに，
正三角形のユニットを組み合わせて，正四面体を作る活
動を全員一緒に行い，その後は，各班で好きな多面体を １つ選んで，グループで協力して１つの多面体を作るよ う促した。また，面の多い多面体は，ユニットを組み合 わせるだけでは形を保つのが難しいので，セロハンテー プで各ユニットを接着することにした。どの班も，比較 的易しい立方体と正八面体から作り始めたため，時間内 に正十二面体や正二十面体を作れた班はなかったので，
事前にこちらで作成した模型を並べて見せた（図14）。
また，ユニット折り紙ではなく，１枚の折り紙から正四 面体や正八面体を作る方法（芳賀, 1999）についても紹 介した。
図14：折り紙で作った正多面体
３．アンケート
福井大学COC推進室が実施したアンケート結果を図
15,16に示す。アンケートに回答したのは，受講者全員
の17名である。参加者の内訳を図15に示す。小学校 高学年が約半数と多く，成人は子供の付き添いとして 参加した親が多かった。学校教員が２名と，図書館職員 の方が１名参加しており，折り紙を使った教育に興味を 持って参加したとのことであった。
図15：アンケート質問：年代と仕事
講座の内容について，難易度と満足度を質問した結果 を図16に示す。難易度については約半数の人が，「や や難しい」か「難しい」と答えているが，この割合は例 年と同じくらいである。一方，満足度では，半数以上の 人が「大変満足」と答えており，満足度は非常に高かった。
図16：アンケート質問：難易度と満足度
西村 保三，大石 美咲，田嶋 祥大，松本智恵子，間庭 彰郎，河端 尚輝
＜自由記述＞
・折り紙を使って形を作るのが楽しかった！（10代・
小学生）
・折り紙を利用して楽しめる授業だったのでとても面白 かった（10代・小学生）
・方程式のところから難しかった。（10代・小学生）
・黄金比などの話が難しかった。（10代・小学生）
・小学生が習う以上の知識が必要だった。（40代・自営業）
・自分には丁度良かったが，少し素人には難しい。（40 代・教員）
・小学生には全ては理解できなくても得るものはあった と思う。（40代・会社員）
・分からない所はていねいに教えてくれた所が良かった
（10代・小学生）
・今まで知らなかった図形のことがたくさんわかった。
（10代・小学生）
・１枚の紙から色々な図形を，定規を使わずに作成する のが非常に楽しかった。（40代・会社員）
４．まとめ
今回は折り紙による正多角形の作図と，ユニット折り 紙による正多面体の作成をテーマとした公開講座を行っ た。前半は，折り紙を導入に使って，小学校で学ぶよう な基本的な図形の話から始め，正三角形・正六角形・正 八角形の作図を考え，正五角形の作図の解説までを最終 目標とした。正五角形の作図はそれほど易しくはなく，
説明には中学３年レベルの数学知識を必要とする。一方 後半は，正多面体に親しむことが目的であり，前半の「正 多角形の作図」を応用して正多角形のユニットを作り，
それを組み合わせて多面体をマニュアルに沿って作るだ けなので，多面体の話以外に数学的な説明はほとんどな く，工作に近い活動だったといえる。
アンケートの自由記述でも，「小学生には難しい」と指 摘されたのは，正五角形の作図の説明に関する部分だっ た。ここでは，三角形の相似，２次方程式，黄金比（無 理数・平方根），ピタゴラスの定理を扱っており，小学 生の参加者にとっては難しい部分だったといえる。しか し，取り上げている話題は数学史の中でも興味深い内容 ばかりで，数学の面白さを伝える格好の題材である。も しも，これらの数学的説明を全て省いて，マニュアルに 沿って正五角形を折るだけで講習を行った場合，折り紙 の講習としては楽しめても，数学を楽しんだことにはな
らないと考える。今回，小学５年生以上の参加を認めた が，元々この公開講座は，中学生以上を対象としたもの であり，小学生向けに準備したものではないことも注意 しておく。
一方で「大変満足」という回答をした自由記述では，
わからないところも（ファシリテーターが）丁寧に教え てくれたので満足したという意見や，折り紙を利用して 楽しめる授業だったという肯定的な意見が多くあり，全 体的な満足度は非常に高かった。以上のアンケート結果 から，講座の満足度は高く評価されていると判断でき，
折り紙を使った体験的活動によって，図形を楽しく学ぶ という本講座の目標は，十分達成できたと考える。
引用文献
西村保三，堀弘樹，前川友樹，桑原佑輔，松本智恵子
（2015），体験的活動で学ぶ公開講座のための数学 教材開発－H26体験ふむふむ数学クラブの実践よ り－，福井大学教育実践研究40，pp.7-15.
堀井洋子（1977），折り紙と数学，明治図書．
伏見康治・伏見満枝（1979），折り紙の幾何学，日本評 論社．
阿部恒（1980），数学セミナー1980年７月号表紙，日本 評論社．
ロベルト・ゲレトシュレーガー〔深川英俊訳〕（2002），
折紙の数学，森北出版．
芳賀和夫（1999），オリガミクスⅠ，日本評論社．
芳賀和夫（1996），オリガミクスによる数学授業，明治 図書．
加藤渾一（2008），折り紙で算数トレーニング，数研出版．
Yoshita（2008），折り紙で学ぶ数学ⅠⅡ，星の環会．
トーマス・ハル〔羽鳥公士郎訳〕（2015），ドクター・
ハルの折り紙数学教室，日本評論社．
大石美咲（2018），折り紙による正多角形の作図，福井 大学教育地域科学部卒業論文．
山口榮一（2008），折り紙で学ぶ図形パズル，ディスカ バー・トゥエンティワン．
相馬一彦ほか（2016），新版数学の世界１〜３，大日本図書．
清水静海ほか（2016），わくわく算数３下，啓林館．
畠山一平（2007），折紙数学－折り紙で作図を楽しむ－， 東京図書出版会．
川村みゆき（1995），多面体の折紙，日本評論社．
布施知子（2005），ゆかいな多面体，日本ヴォーグ社．
