On donne une nouvelle définition des champs de vecteurs surMAet on montre queX(MA) est une algèbre de Lie surA

Tomus 44 (2008), 159–171

CHAMPS DE VECTEURS ET FORMES DIFFÉRENTIELLES SUR UNE VARIÉTÉ DES POINTS PROCHES

Basile Guy Richard Bossoto et Eugène Okassa

Abstract. LetM be a smooth manifold,Aa local algebra in sense of André Weil,M^Athe manifold of near points onMof kindAandX(M^A) the module of vector fields onM^A. We give a new definition of vector fields onM^A and we show thatX(M^A) is a Lie algebra overA. We study the cohomology of A-differential forms.

Résumé. On considèreM une variété différentielle,Aune algèbre locale au sens d’André Weil,M^A la variété des points proches deM d’espèceAet X(M^A) le module des champs de vecteurs surM^A. On donne une nouvelle définition des champs de vecteurs surM^Aet on montre queX(M^A) est une algèbre de Lie surA. On étudie la cohomologie desA-formes différentielles.

1. Introduction

On considère une variété lisseM,Aune algèbre locale (au sens d’André Weil) etM^Ala variété des points proches deM d’espèceA[6]. Lorsque la variétéM est de dimensionn, alorsM^A est une variété lisse de dimensionn·dim(A).

On noteC^∞(M) l’algèbre des fonctions de classeC^∞surM,X(M) leC^∞(M)-mo- dule des champs de vecteurs surM.

Lorsque M etN sont deux variétés lisses et lorsque h:M →N

est une application différentiable de classeC^∞, alors l’application h^A:M^A→N^A, ξ7→h^A(ξ),

telle que, pour toutϕ∈C^∞(N), h^A(ξ)

(ϕ) =ξ(ϕ◦h)

est différentiable de classe C^∞. Lorsque h est un difféomorphisme, il en est de même deh^A.

L’ensemble, C^∞(M^A, A), des fonctions de classe C^∞ surM^A à valeurs dansA, est uneA-algèbre commutative unitaire.

Classification Mathématique (2000) :Primary: 13H99; Secondary: 58A05, 58A10.

Mots-clés : variété des points proches, algèbre locale, champs de vecteurs, A-formes différentielles.

Received February 18, 2008. Editor I. Kolář.

En identifiantR^A àA, pour f ∈C^∞(M), l’application f^A:M^A→A , ξ7→ξ(f), est de classeC^∞. De plus l’application

C^∞(M)→C^∞(M^A, A), f7→f^A, est un homomorphisme injectif d’algèbres. Ainsi, on a :

(f+g)^A=f^A+g^A (λ·f)^A=λ·f^A (f·g)^A=f^A·g^A avecλ∈R,f etg appartenant àC^∞(M).

Lorsque (aα)α=1,2,...,dim(A)est une base deAet lorsque (a^∗_α)α=1,2,...,dim(A)est la base duale de la base (aα)α=1,2,...,dim(A), l’application

σ:C^∞(M^A, A)→A×C^∞(M^A), ϕ7→

dim(A)

X

α=1

a_α⊗(a^∗_α◦ϕ),

est un isomorphisme deA-algèbres. Cet isomorphisme ne dépend évidemment pas de la base choisie. L’application

γ:C^∞(M)→A⊗C^∞(M^A), f 7→σ(f^A), est un morphisme d’algèbres.

Dans toute la suite M est une variété lisse paracompacte de dimensionn.

Lorsque (U, ϕ) est une carte locale de M de système de coordonnées locales (x₁, x₂, . . . , x_n), l’application

U^A→Aⁿ, ξ7→ ξ(x₁), ξ(x₂), . . . , ξ(x_n) ,

est une bijection deU^A sur un ouvert deAⁿ. On vérifie queM^Aest uneA-variété de dimensionn.

L’ensemble,X(M^A), des champs de vecteurs surM^Aest à la fois unC^∞(M^A)-mo- dule et un A- module. Ce qui signifie queX(M^A) est unC^∞(M^A, A)-module.

Dans ce travail, on étudie la structure de C^∞(M^A, A)-module deX(M^A). De cette nouvelle approche, on construit une structure deA-algèbre de Lie surX(M^A), on définit lesA-formes différentielles et on en étudie la cohomologie.

2. Structure de A-algèbre de Lie sur X(M^A)

2.1. Vecteurs tangents surM^A. Pourξ∈M^A, on noteTξM^Al’espace tangent en ξ∈M^A et Derξ[C^∞(M), A] l’ensemble desξ-dérivations de C^∞(M) dans A c’est-à-dire l’ensemble des applications R-linéaires

v:C^∞(M)→A telles que, pourf etg appartenant àC^∞(M),

v(f g) =v(f)·ξ(g) +ξ(f)·v(g)

i.e.

v(f g) =v(f)·g^A(ξ) +f^A(ξ)·v(g). Proposition 1 ([3], [4]). L’application

TξM^A= Derξ

C^∞(M^A),R

→Derξ[C^∞(M), A], v7→(idA⊗v)◦γ , est un isomorphisme d’espaces vectoriels.

Cet isomorphisme permet de transporter surTξM^Ala structure deA-module duA-module Derξ[C^∞(M), A].

Ainsi :

Corollaire 2. Les assertions suivantes sont équivalentes : 1) v est un vecteur tangent en ξ∈M^A;

2) v est une application R-linéaire de C^∞(M)dans Atelle que, pour f etg appartenant à C^∞(M),

v(f g) =v(f)·g^A(ξ) +f^A(ξ)·v(g). Lorsque ξ∈M^A, l’application

ξe:C^∞(M^A, A)→A , ϕ7→ϕ(ξ), est un homomorphisme d’algèbres. On note Der

eξ

C^∞(M^A, A), A

le A-module des ξ-dérivations dee C^∞(M^A, A) dansAc’est-à-dire l’ensemble des applications R-linéaires

w:C^∞(M^A, A)→A telles que, pourϕetψappartenant àC^∞(M^A, A),

w(ϕ·ψ) =w(ϕ)·ξ(ψ) +e ξ(ϕ)e ·w(ψ). On déduit le théorème suivant :

Théorème 3. Si

v:C^∞(M)→A

est un vecteur tangent en ξ∈M^A, alors il existe uneξ-dérivation et une seulee ev:C^∞(M^A, A)→A

telle que :

1) ev est A-linéaire ; 2) ev

C^∞(M^A)

⊂R;

3) ev(f^A) =v(f)pour toutf ∈C^∞(M).

Démonstration. Soit

v:C^∞(M)→A un vecteur tangent en ξ∈M^A et soit

v:C^∞(M^A)→R

l’unique dérivation telle que

(idA⊗v)◦γ=v . L’application

ev= (idA⊗v)◦σ:C^∞(M^A, A)→A

répond à la question.

2.2. Champs de vecteurs sur M^A. On note Derγ

C^∞(M), A⊗C^∞(M^A) le A⊗C^∞(M^A)-module desγ-dérivations deC^∞(M) dansA⊗C^∞(M^A) i.e. l’ensemble des applicationsR-linéaires

ϕ:C^∞(M)→A⊗C^∞(M^A) telles que, pourf etg appartenant àC^∞(M),

ϕ(f g) =ϕ(f)·γ(g) +γ(f)·ϕ(g).

Une dérivation deC^∞(M) dansC^∞(M^A, A) est une applicationR- linéaire Y:C^∞(M)→C^∞(M^A, A)

telle que, pourf etg appartenant àC^∞(M),

Y(f g) =Y(f)·g^A+f^A·Y(g).

Ainsi une dérivation deC^∞(M) dansC^∞(M^A, A) est une dérivation par rapport à l’homomorphisme

C^∞(M)→C^∞(M^A, A), f 7→f^A. Il s’ensuit que l’ensemble,Der

C^∞(M), C^∞(M^A, A)

, des dérivations deC^∞(M) dansC^∞(M^A, A) est unC^∞(M^A, A)-module.

Proposition 4 ([3],[4]). L’application Der

C^∞(M^A)

→Der_γ

C^∞(M), A⊗C^∞(M^A)

, X 7→(id_A⊗X)◦γ , est un isomorphisme de C^∞(M^A)-modules.

Il s’ensuit :

Corollaire 5. L’application Der

C^∞(M^A)

→Der

C^∞(M), C^∞(M^A, A)

, X7→σ⁻¹◦(id_A⊗X)◦γ , est un isomorphisme de C^∞(M^A)-modules.

Cet isomorphisme permet de transporter sur Der

C^∞(M^A)

la structure de C^∞(M^A, A)-module de Der

C^∞(M), C^∞(M^A, A) . Ainsi :

Corollaire 6. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1) Un champ de vecteurs surM^Aest une section différentiable du fibré tangent (T M^A, π_MA, M^A);

2) Un champ de vecteurs sur M^A est une dérivation deC^∞(M^A);

3) Un champ de vecteurs sur M^A est une dérivation deC^∞(M)dans C^∞(M^A, A).

On déduit le théorème suivant :

Théorème 7. SiX est un champ de vecteurs surM^Aconsidéré comme dérivation deC^∞(M)dansC^∞(M^A, A), alors il existe une dérivation et une seule

Xe:C^∞(M^A, A)→C^∞(M^A, A) telle que

1) Xe estA-linéaire ; 2) Xe

C^∞(M^A)

⊂C^∞(M^A);

3) Xe(f^A) =X(f)pour tout f ∈C^∞(M).

Démonstration. SiX est un champ de vecteurs surM^A considéré comme déri- vation deC^∞(M) dansC^∞(M^A, A) et si

X:C^∞(M^A)→C^∞(M^A) est l’unique dérivation telle que

σ⁻¹◦(idA⊗X)◦γ=X , alors l’application

Xe=σ⁻¹◦(id_A⊗X)◦σ:C^∞(M^A, A)→C^∞(M^A, A)

répond à la question.

Remarque 8. SiX est un champ de vecteurs surM^Aconsidéré comme dérivation deC^∞(M) dansC^∞(M^A, A), alorsXe s’annule surA.

Proposition 9. Siµ: A→Aest un endomorphisme, f ∈C^∞(M)etX: C^∞(M)

→ C^∞(M^A, A)un champ de vecteurs surM^A, alors X(µe ◦f^A) =µ◦X(f). Démonstration. DeX(fe ^A) =X(f), on a

Xeh

dim(A)

X

α=1

(a^∗_α◦f^A)·a_αi

=

dim(A)

X

α=1

(a^∗_α◦X(f)·a_α. Ce qui donne

dim(A)

X

α=1

Xe(a^∗_α◦f^A)·aα=

dim(A)

X

α=1

(a^∗_α◦X(f)·aα. AinsiX(ae ^∗_α◦f^A) = (a^∗_α◦X(f) pour tout (a^∗_α)i=1,2,...,dim(A). Comme

µ◦f^A=

dim(A)

X

α=1

(a^∗_α◦f^A)·µ(a_α),

on déduit que

X(µe ◦f^A) =

dim(A)

X

α=1

Xe(a^∗_α◦f^A)·µ(aα)

=

dim(A)

X

α=1

(a^∗_α◦X(f)·µ(aα) =µ◦X(f).

D’où l’assertion.

Théorème 10. SiX etY sont deux champs de vecteurs surM^Aconsidérés comme dérivations de C^∞(M) dansC^∞(M^A, A), alors le crochet

[X, Y] =Xe◦Y −Ye◦X:C^∞(M)→C^∞(M^A, A) est un champ de vecteurs sur M^A.

Démonstration. L’application est manifestementR-linéaire. Pourf etg appar- tenant à C^∞(M), on a

[X, Y](f g) =Xe[Y(f g)]−Ye X(f g)

=Xe

Y(f)·g^A+f^A·Y(g))

−Ye

X(f)·g^A+f^A·X(g)

=Xe Y(f)

·g^A+Y(f)·X(ge ^A) +Xe(f^A)·Y(g) +f^A·Xe Y(g)

−Ye X(f)

·g^A−X(f)·Ye(g^A)−Ye(f^A)·X(g)−f^A·Ye X(g)

=Xe Y(f)

·g^A+Y(f)·X(g) +X(f)·Y(g) +f^A·Xe Y(g)

−Ye X(f)

·g^A−X(f)·Y(g)−Y(f)·X(g)−f^A·Ye X(g)

= Xe[Y(f)]−Ye[X(f)]

·g^A+f^A· Xe[Y(g)]−Ye[X(g)]

= (Xe◦Y −Ye◦X)(f)·g^A+f^A·(Xe◦Y −Ye◦X)(g)

= [X, Y] (f)·g^A+f^A·[X, Y] (g).

D’où l’assertion.

Proposition 11. Si X et Y sont deux champs de vecteurs sur M^A considérés comme dérivations de C^∞(M)dansC^∞(M^A, A)et siϕ∈C^∞(M^A, A), alors

[X,e Ye] =[X, Y^] et

ϕ]·X =ϕ·X .e Démonstration. Pourf ∈C^∞(M), on a

X,e Ye

(f^A) =Xe Ye(f^A)

−Ye Xe(f^A)

=Xe Y(f)

−Ye X(f)

= (Xe◦Y −Ye◦X)(f) = [X, Y] (f).

Comme [X, Y^] est l’unique dérivation de C^∞(M^A, A) telle que [X, Y^](f^A) = [X, Y] (f) pour toutf ∈C^∞(M), on déduit que

[X,e Ye] =[X, Y^]. De même

(ϕ·X)(fe ^A) =ϕ·(X)(fe ^A) =ϕ·X(f) = (ϕ·X)(f).

Comme ϕ]·X est l’unique dérivation de C^∞(M^A, A) telle que (ϕ]·X)(f^A) = (ϕ·X)(f) pour toutf ∈C^∞(M), on déduit que

ϕ]·X =ϕ·X .e

D’où les deux assertions.

Proposition 12. Si ϕ∈C^∞(M^A, A), si X et Y sont deux champs de vecteurs sur M^A considérés comme dérivations de C^∞(M)dansC^∞(M^A, A), alors

[X, ϕ·Y] =Xe(ϕ)·Y +ϕ·[X, Y]. La démonstration ne présente aucune difficulté.

Théorème 13. L’application

X(M^A)×X(M^A)→X(M^A), (X, Y)7→[X, Y],

est A-bilinéaire alternée et définit une structure deA-algèbre de Lie surX(M^A).

Démonstration. LorsqueX est un champ de vecteurs surM^A considéré comme dérivation deC^∞(M) dansC^∞(M^A, A) et lorsque a∈A, on a

[X, a·Y] =Xe(a)·Y +a·[X, Y]. CommeXe s’annule surA, il s’ensuit que l’application

X(M^A)×X(M^A)→X(M^A),(X, Y)7→[X, Y] est A-bilinéaire alternée.

Pour tous champs de vecteursX, Y,Z surM^A considérés comme dérivations deC^∞(M) dansC^∞(M^A, A), on a :

X,[Y, Z]

+

Y,[Z, X] +

Z,[X, Y]

=Xe◦[Y, Z]−^[Y, Z]◦X +Ye◦[Z, X]−[Z, X^]◦Y +Ze◦[X, Y]−[X, Y^]◦Z

=Xe◦(Ye◦Z−Ze◦Y)−[Y ,e Z]e ◦X +Ye◦(Ze◦X−Xe◦Z)−

Z,e Xe

◦Y +Ze◦(Xe◦Y −Ye◦X)−

X,e Ye

◦Z

=Xe◦Ye ◦Z−Xe◦Ze◦Y −Ye ◦Ze◦X+Ze◦Ye◦X +Ye◦Ze◦X−Ye◦Xe◦Z−Ze◦Xe◦Y +Xe◦Ze◦Y +Ze◦Xe◦Y −Ze◦Ye ◦X−Xe◦Ye◦Z+Ye◦Xe◦Z

= 0.

D’où l’assertion.

Remarque 14. En considérantX(M^A) uniquement comme module surC^∞(M^A), X(M^A) ne peut être une algèbre de Lie surA.

Corollaire 15. L’application X(M^A)→Der

C^∞(M^A, A)

, X 7→X ,e

est à la fois un morphisme deC^∞(M^A, A)-modules et un morphisme de A-algèbres de Lie.

2.2.1. Prolongements àM^A des champs de vecteurs surM. Proposition 16. Si

θ:C^∞(M)→C^∞(M) est un champ de vecteurs sur M, alors l’application

θ^A: C^∞(M)→C^∞(M^A, A), f 7→[θ(f)]^A, est un champ de vecteurs sur M^A.

Démonstration. L’application θ^A est manifestement R-linéaire. Pour f et g appartenant àC^∞(M), on a :

θ^A(f g) =

θ(f g)^A

=

θ(f)·g+f·θ(g)^A

= θ(f)^A

·g^A+f^A· θ(g)^A

=θ^A(f)·g^A+f^A·θ^A(g).

Ainsiθ^A est un champ de vecteurs surM^A.

On dit que le champ de vecteursθ^A est le prolongement àM^A du champ de vecteursθ surM.

Proposition 17. Si θ, θ₁ et θ₂ sont des champs de vecteurs sur M et si f ∈ C^∞(M), alors

(θ1+θ2)^A=θ^A₁ +θ₂^A; (f ·θ)^A=f^A·θ^A; (f^·θ)^A=f^A·θf^A; θ^A₁, θ^A₂

= [θ₁, θ₂]^A . et l’application

X(M)→Der

C^∞(M^A, A)

θ7→θf^A, est un homomorphisme d’algèbres de Lie réelles.

La démonstration ne présente aucune difficulté.

2.2.2. Champs de vecteurs surM^A provenant des dérivations de A.

Proposition 18. Sidest une dérivation de A, alors l’application d^∗:C^∞(M)→C^∞(M^A, A), f 7→(−d)◦f^A, est un champ de vecteurs sur M^A.

Démonstration. On vérifie que l’applicationd^∗estR-linéaire. Pourf etg appar- tenant à C^∞(M) et pourξ∈M^A, on a :

d^∗(f g)(ξ) = (−d)◦(f g)^A(ξ) = (−d)◦(f^A·g^A)(ξ) = (−d)

f^A(ξ)·g^A(ξ)

= (−d) f^A(ξ)

·g^A(ξ) +f^A(ξ)·(−d) g^A(ξ)

=

(−d)◦f^A

(ξ)·g^A(ξ) +f^A(ξ)·

(−d)◦f^A (ξ)

= (

(−d)◦f^A

·g^A+f^A·

(−d)◦f^A )(ξ)

=

d^∗(f)·g^A+f^A·d^∗(g) (ξ). Commeξest quelconque, on déduit que

d^∗(f g) =d^∗(f)·g^A+f^A·d^∗(g).

Ainsi,d^∗ est un champ de vecteurs surM^A.

On dit que le champ de vecteursd^∗ est le champ de vecteurs surM^A associé à la dérivationddeA.

On a les résultats suivants :

Proposition 19. Sid1,d2,d sont trois dérivations deA,aun élément de A et θ: C^∞(M)→C^∞(M)un champ de vecteurs sur M, alors

[d^∗₁, d^∗₂] = [d1, d2]^∗; (a·d)^∗=a·d^∗; d^∗, θ^A

= 0.

Démonstration. La démonstration des deux premières assertions ne présente aucune difficulté.

Pour la dernière assertion, lorsquef ∈C^∞(M) on a

[d^∗, θ^A](f) = (de^∗◦θ^A−θf^A◦d^∗)(f) = (de^∗◦θ^A)(f)−(θf^A◦d^∗)(f)

= (de^∗)[θ^A(f)]−(fθ^A)[d^∗(f)] = (de^∗) [θ(f)]^A

−(fθ^A)[d^∗(f)]

=d^∗[θ(f)] + (θf^A)[d◦f^A] = (−d)◦[θ(f)]^A+ (fθ^A)[d◦f^A]. Compte tenu de la Proposition 9, on a

(fθ^A)[d◦f^A] =d◦θ^A(f).

Ainsi

[d^∗, θ^A](f) = (−d)◦[θ(f)]^A+ (fθ^A)[d◦f^A] = (−d)◦θ^A(f) +d◦θ^A(f) = 0. Commef est quelconque, on déduit que [d^∗, θ^A] = 0.

3. A-formes différentielles

UnA-covecteur enξ∈M^Aest une forme linéaire sur leA-moduleT_ξM^A. L’en- semble,T_ξ^∗M^A, desA-covecteurs en ξ∈M^A est unA-module libre de dimension net

T^∗M^A= [

ξ∈M^A

T_ξ^∗M^A

est une A-variété de dimension 2n. L’ensemble, Λ¹(M^A, A), des sections diffé- rentiables de T^∗M^A est unC^∞(M^A, A)-module et on dit que Λ¹(M^A, A) est le C^∞(M^A, A)-module des A-formes différentielles de degré 1.

Pour p∈N et pourξ∈M^A, on note L^p_alt(TξM^A, A) le A-module des formes multilinéaires alternées de degrépsur leA-moduleT_ξM^A. On a évidemment

L⁰_alt(T_ξM^A, A) =A .

Comme dans le cas réel, pour deux entiers petq, on définit le produit extérieur Λ :L^p_alt(TξM^A, A)× L^q_alt(TξM^A, A)→ L^p+q_alt (TξM^A, A),(α, β)7→αΛβ . L’ensemble

A^p(T^∗M^A, A) = [

ξ∈M^A

L^p_alt(TξM^A, A)

est une A-variété de dimension n+C_n^p. L’ensemble, Λ^p(M^A, A), des sections différentiables deA^p(T^∗M^A, A) est unC^∞(M^A, A)-module. On dit que Λ^p(M^A, A) est leC^∞(M^A, A)-module des A-formes différentielles de degrépsurM^A et que

Λ(M^A, A) =

n

M

p=0

Λ^p(M^A, A)

est l’algèbre desA-formes différentielles surM^A. L’algèbre Λ(M^A, A) desA-formes différentielles surM^A est canoniquement isomorphe àA⊗Λ(M^A). On a

Λ⁰(M^A, A) =C^∞(M^A, A).

Théorème 20([2],[5]). Si η est une forme différentielle de degrépsurM, alors il existe uneA-forme différentielle de degrépet une seule

η^A:X(M^A)×X(M^A)× · · · ×X(M^A)→C^∞(M^A, A)

telle que, pour p champs de vecteurs θ1, θ2, . . . , θp sur M et pour p fonctions f1, f2, . . . , fp sur M,

η^A(f₁^A·θ₁^A, f₂^A·θ^A₂, . . . , f_p^A·θ^A_p) =f₁^A·f₂^A·. . .·f_p^A·

η(θ₁, θ₂, . . . , θp)^A . Lorsque ηest une forme différentielle sur M, laA-forme différentielleη^A est le prolongement àM^A de la forme différentielleη.

3.1. Lad^A- cohomologie. L’application

Λ(M)→Λ(M^A, A), ω7→ω^A, est un morphisme de R-algèbres graduées.

Si

d: Λ(M)→Λ(M) est l’opérateur de différentiation extérieure, on note

d^A: Λ(M^A, A)→Λ(M^A, A) l’opérateur de cohomologie associé à la représentation

X(M^A)→Der

C^∞(M^A, A)

, X 7→X .e

Proposition 21. L’application

d^A: Λ(M^A, A)→Λ(M^A, A) est A-linéaire et

d^A(ω^A) = (dω)^A pour toutω∈Λ(M).

Démonstration. On vérifie qued^AestA-linéaire. Siω∈Λ^p(M), pourθ₁, θ₂, . . . , θ_p+1 champs de vecteurs surM, on a

[d^A(ω^A)](θ^A₁, θ^A₂, . . . , θ_p+1^A ) =

p+1

X

i=1

(−1)ⁱ⁻¹θf_i^A

ω^A(θ₁^A, θ^A₂, . . . ,θc_i^A, ..., θ_p+1^A )

+ X

1≤i<j≤p+1

(−1)^i+j ω^A [θ_i^A, θ_j^A], θ₁^A, . . . ,θc^A_i . . . ,θc^A_j, . . . , θ_p+1^A

=

p+1

X

i=1

(−1)ⁱ⁻¹θf^A_i

(ω(θ1, θ2, . . . ,θbi, . . . , θp+1))^A

+ X

1≤i<j≤p+1

(−1)^i+j ω([θi, θj], θ₁, . . . ,θbi. . . ,θbj, . . . , θp+1)^A

=

p+1

X

i=1

(−1)ⁱ⁻¹θ^A_i

ω(θ₁, θ₂, . . . ,θbi, . . . , θp+1)

+ X

1≤i<j≤p+1

(−1)^i+j ω([θ_i, θ_j], θ₁, . . . ,θb_i. . . ,θb_j, . . . , θ_p+1)^A

=

p+1

X

i=1

(−1)ⁱ⁻¹ θ_i[ω(θ₁, θ₂, . . . ,θb_i, . . . , θ_p+1)]^A

+ X

1≤i<j≤p+1

(−1)^i+j ω([θi, θj], θ1, . . . ,θbi. . . ,θbj, . . . , θp+1)A

= (dω)^A(θ^A₁, θ^A₂, . . . , θ^A_p+1) =

(dω)(θ₁, θ₂, . . . , θ_p+1)^A . Compte tenu du théorème 20, on déduit qued^A(ω^A) = (dω)^A. L’application

A×Λ(M)→Λ(M^A, A), (a, ω)7→a·ω^A

estR-bilinéaire et induit un morphisme du complexe différentiel A⊗Λ(M),idA⊗d dans le complexe différentiel Λ(M^A, A), d^A

.

On noteH_dR(M) la cohomologie de de Rham de la variété différentielleM et H(M^A, A) la cohomologie du complexe différentiel Λ(M^A, A), d^A

.

On dit queH(M^A, A) est lad^A-cohomologie sur la variété des points proches M^A. Les espaces A⊗H_dR^p (M^A) etH^p(M^A, A) sont canoniquement isomorphes.

En particulier si la variétéM^Aest connexe, alors l’espaceH⁰(M^A, A) s’identifie canoniquement à A.

Références

[1] Kolář, I.,Handbook of Global Analysis, ch. Weil bundles as generalized jet spaces, pp. 625–664, Elsevier, 2008.

[2] Morimoto, A.,Prolongation of connections to bundles of infinitely near points, J. Differential Geom.11(1976), 479–498.

[3] Okassa, E.,Prolongements des champs de vecteurs à des variétés des points proches, C. R.

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[4] Okassa, E.,Prolongements des champs de vecteurs à des variétés des points proches, Ann.

Fac. Sci. Toulouse Math.VIII(3) (1986-1987), 349–366.

[5] Okassa, E.,Relèvements des structures symplectiques et pseudo-riemanniennes à des variétés des points proches, Nagoya Math. J.115(1989), 63–71.

[6] Weil, A.,Théorie des points proches sur les variétés différentiables, Colloque Géom. Differ.

(1953), 111–117.

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[8] Yano, K., Patterson, E. M., Vertical and complete lifts from a manifold to its cotangent bundles, J. Math. Soc. Japan19(1967), 91–113.

Université Marien Ngouabi, Faculté des Sciences Département de Mathématiques

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