正と負の屈折率粒子をランダムに配置したゼロ屈折率媒体

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正と負の屈折率粒子をランダムに配置したゼロ屈折率媒体

大坊

真洋

†

Zero-Index Medium by Randomly Distributed Positive and Negative Index Cells

Masahiro DAIBO

† あらまし正と負の屈折率媒体セルを面積比率1:1 でランダムに配置したゼロ屈折率媒体の性質を FDTD により調べた．この媒体中では電界強度の分布がランダムになり，波面は完全に乱れるが，媒体の厚さが十分に厚ければ，媒体から出射される波面は，入射波の波面，入射面形状，媒体中の空隙のいずれの影響も受けず，常に出射面に平行であった．セルの大きさが波長の20 分の 1 以下になると空間的に均一な媒体とみなすことができ，屈折率がゼロの性質である位相速度無限大，媒体の入射面と出射面での位相の接続が現れた．これらの性質は，光軸や焦点の調整が不要な集光器に利用することができる．混合比を変えることによって，屈折率を負から正まで調整することができるので，負の屈折率媒体の絶対値を正確に調整する必要がなくなる．また，正と負の屈折率媒体セルを規則的に層状に交互に配置したところ，層に直交する方向にゼロ屈折率の性質が現れ，異方性のあるゼロ屈折率媒体となった．この異方性媒体では，球面波を入射すると入射波面と同じ波面で出射面から放出される．また層を斜めに配置した場合は，横方向に伝搬方向がシフトする効果も現れた．キーワード負屈折率，ゼロ屈折率，波面制御，FDTD

1. まえがき

我々の身の回りにある物質の屈折率 (n = /0 μ/μ0)は正であり，真空（自由空間）も屈折率は正(n = 1)である．光の周波数になると電子スピンは追従できず比透磁率はμr= 1となる．透明材料である誘電体の比誘電率rは材料によって大きさは異なるが極性は正であり，その結果，典型的な透明材料の屈折率は1以上で大きくても2–3程度である．誘電率及び透磁率μの正負については，例えば金属の場合は誘電率が負，反磁性体であれば透磁率が負であり，実際の物質として存在する．しかし，かμの一方だけが負の場合（ < 0, μ > 0または > 0, μ < 0）は，速度が虚数となり電磁波伝搬ができない． 1968年にVeselagoは，注目する周波数でとμの両方が負となる，すなわち < 0, μ < 0の場合は，電磁波伝搬が可能であり，屈折率が負になると予測した．同時に，負の屈折率の厚板（スラブ）によりレンズが形成できることを示した[1]．またPendryは負の屈折率による平面レンズは，エバネッセント波が増強され †_{岩手大学理工学部，盛岡市}

Faculty of Science and Engineering, Iwate University, 4–3–2 Ueda, Morioka-shi, 020–8551 Japan

て伝搬するので解像度が非常に高いパーフェクトレンズとなることを示した[2]．しかしながら，パーフェクトレンズについては，損失のある現実的な材料では，実現できないことがZiolkowskiらによって指摘されている[3]．Ziolkowskiは，負の屈折率材料では負の

Goos-H¨anchen (lateral) shiftが発生することも示した[4]．

さて，の方は金属において高周波まで応答し負値になるが，μの方は負値で高速応答できるものがなく，自然界では負の屈折率を示すものが存在しない．そこで，

Pendryらはマイクロ波領域でSplit Ring Resonator (SRR)と呼ばれる二重のC字型の金属箔の構造を考案し，負の透磁率が可能であることを示した[5]．透磁率は磁性に関係し，電子のスピンに由来するものであるが，磁界はベクトルポテンシャルの回転であるから，自由電子を金属中でループ状に移動させれば磁界が発生でき，これを透磁率の代わりにしたと解釈できる．最初の負の屈折率のデモンストレーションは，金属の誘電率を直線導体により調整し，それと負の透磁率をもつSRRを組み合わせることによって，Smithらによって行われた[6]．当初はマイクロ波の領域[7], [8] であったが，周波数が向上し，金属ストリップ対構造により，既に可視光全域[9]にまでになっている．

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さて，ポインティングベクトルをS，電界をE，磁界をHとすると，S = E × Hの関係で表されるが，自然界に通常存在する均質な物質は，波数ベクトルk とSは同じ向きを向いている．このような通常の媒体は右手系媒体（RHM: Right-Handed Media）と呼ばれており，情報は群速度でSと同じ方向に伝搬する．一方，kがSと逆方向を向いており，位相速度と群速度が反対の媒体は，左手系媒体（LHM: Left-Handed Media）と呼ばれている．LHMは負の屈折率をもっており，この媒体に電磁波を入射させると，あたかも時間反転しているかのように入射した界面に戻っていくように位相が移動する．しかし，エネルギーの伝搬は反転せず，群速度が低下して前方に進行する． LHMには，フォトニック結晶のように周囲との相互作用を積極的に利用し周期的構造を利用したタイプと，周期構造を必要とせずに単独でLHMの特性をもつタイプの2種類がある．この論文では後者のタイプを前提としている．電波や光の領域の電磁波は，波長が原子のサイズに比べると大きいので，その注目する帯域の電磁波にとって原子のように振る舞う構造を作ることができる．この代表的な例は，前述の二重のC字構造のメタマテリアルである．周囲との相互作用を使わないので，波長に対して構造を十分に小さくすれば，異なる特性のメタマテリアル粒子を体積比を調整しながら混合することによって，等価屈折率を任意に調整することが可能ではないかと我々は考えた．このような粒子が三次元で異方性がなく実現できれば，例えば液体に自然に分散させる簡単方法により，特に正確に位置を決めて配置することなくゼロ屈折率を実現できる可能性がある．実際の材料を使用し，微細加工にも限界がある状況で，エネルギーロスの少ないゼロ屈折率のメタマテリアルを作製することは簡単ではない．しかし，いったん，負の屈折率材料が得られた後，その絶対値に応じて正の屈折率と混合比率を調整することにより屈折率ゼロに調整できるのであれば，実用上のメリットは大きい．近年になって，ゼロ屈折率や誘電率がほぼゼロのメタマテリアルの研究が進んでおり，例えば媒体中に空孔があった場合でも波面が乱れずに透過する[10]，折れ曲がった経路でも伝搬する[11]などの報告がある．ゼロ屈折率の概念は，超音波の領域[12]にまでも拡大している．またPendryは，屈折率の分布を設計することにより，内部の物体を外部から見えなくするクローキングと呼ばれる技術も提案[13]しており，大きな驚きを与えた．屈折率がゼロになれば，位相速度が無限大になる．その場合，媒体の形状や内部構造は電磁波の伝搬にどのような影響を及ぼすのか興味深い．本論文では，正と負の屈折率をもつ微細なセルを混合したゼロ屈折率媒体中の電磁波伝搬をFDTD（ﬁnite-diﬀerence time-domain）[14]によりシミュレーションした結果を報告する．

2. シミュレーション方法

正(n = 1)及び負(n = −1)の屈折率をもつセルをランダムに配置した媒体のモデルを図1に示す．図中で黒色のセルが負，水色のセルが正の屈折率をもっている．ランダム構造は，c言語のsrand関数に実行時の時刻を引数に与えて発生させた．この媒体のモデルでは，屈折率の空間分布が滑らかに変化するのではなく，波長の数十分の1の細かさで急激に変化するので，空間の標本化は十分に細かくすることが重要である．媒体をモデル化するときのセルサイズは，電磁波の波長（600 nm）の120分の1波長に相当する5 nmとした．タイムステップはΔt = 5 × 10−18sとした．作成したFDTDプログラムは，3次元モデルであるが，計算量の制限により計算空間のサイズは，紙面に垂直な厚さ方向（z方向）では1層（1セル），紙面と水平な方向（x方向，y方向）では，横600セル，縦 800セルとした．光源には，紙面と垂直な方向に磁界があり，紙面と平行な方向に電界のある偏光（TE波）を用いた．図 1 ランダムゼロ屈折率媒体からなる厚板（スラブ）のモデル

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吸収境界はBerengerのPML（Perfectly mached layer）[15]を使用し，PML層の厚さは8層とした． LHMには誘電率，透磁率μともに下記のような LossyなDrude分散をもつ媒体[3]を使用した． (ω) = 0 1− ω 2 pe ω(ω + iΓe) (1) μ(ω) = μ0 1− ω 2 pm ω(ω + iΓm) (2) ここで複素誘電率の実部を，虚部を，同様に複素透磁率の実部をμ，虚部をμとすると，それぞれ次にように表すことができる． r = 1− ω 2 pe ω2_{+ Γ}2 e, r = Γeωpe2 ω(ω2_{+ Γ}2 e) (3) μ r= 1− ω 2 pm ω2_{+ Γ}2 m, μ r = Γmω 2 pm ω(ω2_{+ Γ}2 m) (4) ωpe,ωpmは，それぞれ誘電率，透磁率のプラズマ周波数であり，ω_pe=ω_pmとした．Γ_e, Γ_mは，それぞれ誘電率，透磁率の衝突周波数であり，Γ_e= Γ_mとした．

3. シミュレーション結果

3. 1 等方性媒体 3. 1. 1 波面変換最初に，入射面も出射面も平面で平行なランダムゼロ屈折率スラブに，球面波を入射したときの電磁波伝搬のスナップショットを図2に示す．スラブと自由空間の境界を白い点線で示している．セルサイズは， λ/120である．媒体の損失はゼロとした．広いダイナミックレンジで画像化するために，紙面と平行な電界 Ex, Eyからlog(E_x2+E_y2)1/2を求め，その大きさを擬似カラーで示した．光源の最大電界で規格化しているので，図2 (a)–(c)の相対的な比較は可能である．スラブの内部では，波面が保存されずランダムになるが，電磁波が出射面に到達すると，元の波長で自由空間に放出される．興味深いことに，入射波の波面が球面波であるにもかかわらず，出射されるときの波面は，平面波となっている．スラブの厚さが波長λと等しい図2 (a)のとき，出力波面が球面波のようにやや丸みを帯びているが，厚さが2λ以上となる(b), (c)では平面波になっている．均一なゼロ屈折率媒体による球面波の平面波化はZiolkowskiにより報告されている[16]が，ランダムゼロ屈折率スラブでも同様の機能が発現できた．な図 2 球面波から平面波への波面変換機能のスラブ厚さ依存性

Fig. 2 Dependence of wavefront conversion function from spherical wave to plane wave with thick-ness of the slab.

お，誘電率も透磁率もゼロで損失のないゼロ屈折率媒体は，自由空間とインピーダンスがマッチングするので，シミュレーション結果でも入射面での反射は見られなかった．また，波長とスラブの厚さの関係は相対的なものであり，スラブの厚さが同じであっても，入射波長が短くなれば，より平面波になった． 3. 1. 2 入射波面に依存しない集光作用次にゼロ屈折率の長方形スラブの出射面から半径 1.5λで半円形に一部を取り去った場合のシミュレーション結果を図3 に示す．図3 (a)は平面波が，(b) は球面波が入射されている．いずれの場合も取り除いた円の中心付近の自由空間に集光している．すなわち，出力波面が平面波になることが，この媒体の特徴の本質ではなく，出射波面が出射面の幾何学的な形状と平行になることが本質である．一般に集光光学系は光強度を高くできる大きなメリットがある一方で，焦点合わせが必要となり，入射光の角度依存性もあるため，限定された条件でのみ機能を発揮する．それと比較して，ゼロ屈折率媒体は，

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図 3 入射波面に依存しないゼロ屈折率凹レンズの集光 Fig. 3 Light focusing by zero-index concave lens,

which does not depend on the input wave-front. 任意の波面が入射しても，常に焦点に集光するのでそのような調整は不要となる．この特性は通常の光学系では実現できることではなく，応用価値は高い．なお，筆者らのグループは媒体の出口付近を半円形にくり抜いた同様の構造で，媒体に負の屈折率を用いた集光レンズを提案している[17]．負の屈折率のスラブレンズと比較して，スラブ中での集光がなくなるので，エネルギー密度が高くならないことと，媒体の厚さを半分にできることが利点であったが，入力波面によって出力波面が変化する．今回のゼロ屈折率媒体は入力波面によらず出力波面がほぼ一定であり，特性が全く異なる． 3. 1. 3 充てん率による屈折率調整図4にLHMの充てん率を変化させたときに，出射波面がどのように変化するかシミュレーションした結果を示す．スラブの厚さは2.6λである．充てん率（Filling Factor, FF）は，媒体全体に対するLHMの面積比，FF = LHM/(LHM + RHM)，で定義している．図4 (a)はFF = 30%であるので，平均屈折率は+0.4に相当する．スラブ中で波長が長くなっており，屈折率が正であるので出射波面が入射波面と同様の球面波となっている．一方(c)や(d)では平均屈折率はそれぞれ−0.2, −0.4となり，LHMスラブのような集光特性を示し始める．ここで示した結果は，LHMとRHMの屈折率の絶対値が等しく，nLHM=−1, nRHM= 1の場合の例であるが，絶対値が等しくない場合であっても，実効屈折率neﬀ は，neﬀ= FF× nLHM+ (1− FF) × nRHM の関係により調節することができる．マイクロ波から光の領域に周波数が上昇するにつれて，負の屈折率の図 4 出射波面と LHM の充てん率との関係 Fig. 4 The relationship between output wavefronts

and ﬁlling factors of LHM.

実装は困難になるが，正と負の屈折率媒体の絶対値を厳密に合わせる必要がなく，充てん率でゼロ屈折率に調整できることは，実用上大きなメリットとなる． 3. 1. 4 セルサイズの効果次に，台形状の媒体を構成しているLHMのセルサイズを波長λに対して変化させたときの出射波面の違いを図5に示す．セルサイズが1/20λよりも大きく（粗く）なると出射波面が出射面に平行になる効果が失われる．セルサイズを1/20λよりも小さくすれば，台形や三角形のような斜面からも平面波を出射することができ，斜面の角度によってビームの進行方向を制御することが可能である．なお，図5以外のランダム媒体のセルサイズは1/120λである． 3. 1. 5 経路中に障害物がある場合図6 (a)のように，表面を波長オーダの高さのノコギリ波状に凸凹させた場合であっても，出射波面は平面スラブのときと同じ平面波のままである．光は表面粗さの影響を受けずに透過する．例えば手触りや熱伝導に影響する表面のテクスチャ構造と，見え方に影響を及ぼす光学的表面を，独立に設計できる新たな自由

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図 5 出射波面へのセルサイズの影響 Fig. 5 The eﬀects of cell dimension on output

wave-front.

図 6 表面にノコギリ状の凹凸がある媒体，及び内部に四角形の空孔のある媒体

Fig. 6 The zero-index media with (a) sawtooth shaped input surface, and (b) a square void in the body. 度を提供する． (b)に示したように，ゼロ屈折率媒体の内部に四角形の空孔を設けても，出射波面は空孔がないときと同じように集光する．空孔が円の場合は，その対称性により波面の擾乱は四角の場合よりも少なくなる．ゼロ屈折率媒体は光を透過するが，その中に空孔があってもその存在を光学的には検出できない．なお，先行研究の[10], [11]は，一見すると入力された波面が，乱されずに伝搬されているかのように見えるが，平面波が入射され，出射面も平面なので，元と同じ平面波面が再生されていると思われる．我々の研究では，波面はあくまで出射面に平行な波面となっており，その証拠に図6 (a), (b)いずれも入射波面と出射波面は異なっている． 3. 1. 6 位相接続ゼロ屈折率媒体は位相速度が無限大となるが，ランダム媒体内部では波面が擾乱される．このような媒体での入射面と出射面の位相はどうなるのだろうか．図7 (b)は，平面波をランダム媒体からなるスラブに入射したとき，中央のx = 300の線に沿った電界強度の分布である．スラブの入射面はy = 200，出射面は y = 500である．この分布は，ある時刻におけるスナップショットであるが，丁度入射面で電界強度がピークになっている．スラブ内ではランダムに増減し位相情報が喪失しているように見えるが，出射面では，電界強度は低下しているものの，出射波はピークから位相が始まっている．なお，損失のない媒体にもかかわらず出射面での電界強度が低下しているのは，一層の3次元モデルを使用しているため，ランダム媒体の上下の面を通しての散乱損失があるためである． 3. 1. 7 損失のある媒体次に，LHM媒体に損失がある場合についてシミュレーションした結果を図8に示す．LHMの複素比誘電率をr=−1 + i0.1，複素比透磁率をμr=−1 + i0.1 とした．損失がある場合は，スラブ内部での減衰が大きくはなるが，入射波面によらず，出射面に平行な波面が出力されるランダムゼロ屈折率の基本的特徴は保たれている．なお，図8以外は損失のない媒体についてのものである． 3. 2 異方性媒体 3. 2. 1 水平多層構造これまで，波長よりも十分に細かく，正と負の屈折率のセルを平面上にランダムに配置した等方的なゼロ屈折率スラブについて述べてきたが，次に規則的に配置して異方性をもたせた場合について述べる．水平方向に等間隔で層状に並べた場合のモデル及びシミュ

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図 7 スラブの入射面と出射面の間の位相接続，(a) 二次元電界分布，(b) x = 300 での電界分布

Fig. 7 Phase connection between input and output surface of the slab. (a) Two-dimensional elec-tric ﬁeld distribution, (b) the elecelec-tric ﬁeld along x = 300. レーション結果を図9に示す．(b)の左側の図は十分に時間が経過した時点での電界強度の分布を示している．この媒体中では層の直交方向に等位相で入射波と出射波が接続される．均一なゼロ屈折率スラブでは，スラブ全域で等位相となるが，それとは異なり横方向に電界の分布が現れている．スラブの全域に電磁波が侵入してしまった後は，スラブ上面に入射波が到達した時点の位相と，スラブ下面から再放出される位相が同じになる．あたかも瞬時に媒体を通り抜けているかのように見えるが，あくまで群速度は有限であり，位相速度が無限大になる．(b) の右側の図のように，スラブ中の波面を画像処理で取り除いて，媒体入射前と媒体出射後の電界分布を接続すると，位相が接続されていることがよく分かる．(c) 図 8 LHMの損失成分の有無による比較 (a) 損失のあるスラブの二次元電界分布，(b) 損失のないスラブの二次元電界分布，(c) 損失のあるスラブの中心軸上の電界強度分布，(d) 損失のないスラブの中心軸上の電界強度分布

Fig. 8 Comparison between lossy and lossless LHM. Two-dimensional electric ﬁeld distribution of (a) lossy media, (b) lossless media; electric ﬁeld along the center of (c) lossy media, (d) lossless media.

は(b)の中心軸に沿って電界分布をグラフ化したものであり，入射地点y = 200と出射地点y = 500の電界がほぼ等しく，媒体中での電界の変化はほとんどな

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図 9 等間隔に交互に RHM と LHM の多層膜を配置した異方性媒体 (a) モデル，(b) 入射波と出射波の位相接続，(c) 中心軸に沿った電界分布

Fig. 9 The anisotropic media by LHM and RHM multi-layer stacked alternately in parallel with equally spaced intervals. (a) Modeling, (b) phase connection between incoming and out-going wave, (c) electric ﬁeld along the center of the media. く，電界が接続されていることがわかる． 3. 2. 2 斜め45度多層構造次に，斜め45度方向に等間隔で層状に並べた場合の結果を図10に示す．この場合も層と直交方向に電磁波が進行する．媒体内部で電界はほぼ均一になり，出射波は平面波になっている．出射波の位置は横方向にシフトしており，平面構造でビームの進行方向と波面の制御が同時に実現可能である． 3. 2. 3 厚み比率による屈折率変調正と負の屈折率媒体の層の厚み比率を変えた場合の図 10 45度斜めに配置したときの進行方向のシフト Fig. 10 The shift of traveling direction when the

multi-layer tilted 45-degree.

図 11 RHMと LHM の厚み比率を変えたときの伝搬 Fig. 11 Propagation when changing the thickness

ra-tio of RHM and LHM.

結果を図11に示す．正の屈折率は+1，負の屈折率は −1とし，(a)は正の屈折率層の厚みが10 nm，負の屈折率層の厚みが5 nm，(b)は逆に正が5 nm，負が

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5 nmである．(a)は平均して正の屈折率を示し，(b) は負の屈折率を示している．このように正と負の屈折率層の厚みの比率を変えることにより，全体の屈折率の調整が可能である．

4. むすび

正の屈折率と負の屈折率をもつセルを波長よりも十分に小さい構造で混合したゼロ屈折率媒体をFDTD によりシミュレーションした．ランダムに混合したゼロ屈折率媒体では，出射波面は媒体の出射面に平行になり，入射波の波面や，入射面の形状，媒体途中の空孔に影響を受けなかった．この機能を発揮するためにはセルのサイズが1/20λ 以下で，スラブの厚さが2λ以上の条件が必要であった．屈折率は，正の屈折率と負の屈折率をもつセルの混合比を変えることによって調節が可能であった．一方，ランダムではなく水平に交互に積層したスラブでは異方性を示し，スラブに垂直な方向に位相が接続され，入射波と出射波の波面が完全に接続された．ゼロ屈折率媒体は，位相速度が無限大となるので，媒体に侵入した地点から抜け出る地点までの距離の意味がなくなる．そのために入射面が凸凹していても，媒体の途中に空孔が空いていても影響を受けない．同様の理由により，入射波が平面波であっても，球面波であっても出射側の波面は影響を受けず同一となる．エネルギーは保存されなければならないので，光は媒体中に留まることができず，また線形であるので出射光は入射光と同一周波数で放射されならなければならない．出射面ではランダム配置した微細な構造は電磁波からは見えず，出射面全体が等エネルギー面となり，出射面のマクロな構造から電磁波が再放出される．ゼロ屈折率媒体は，光から電波の領域まで幅広い応用が期待できる．受光の無指向性は，例えば集光型の太陽電池やエナジーハーベスティングなど受光機器に有益であろう．太陽光エネルギーは光エネルギー密度が低く，そのままのエネルギー密度で大面積の半導体を使用するのは低効率であり経済的でない．このゼロ屈折率媒体を使用すれば，能動的にトラッキングすることなく可動部不要で太陽電池に集光することができる．また，光軸合わせをする必要がなく，同一の波面を生成することができるので，半導体プロセスで製造する超小型光源からレーザー照明に至るまで光を放射する機器にも有効であろう．提案するランダム媒体は，負の屈折率媒体に合わせて，屈折率がゼロになるように正の屈折率媒体を混合すれば良いので，材料や製造プロセスによる制限を大幅に緩和すると考えられる．謝辞 FDTD及び画像化のプログラミングの多くは，大学院生であった朝倉逍君，大河内駿太郎君及び三浦季喜君による貢献が大きく感謝する．文献

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（平成 28 年 11 月 9 日受付，29 年 2 月 15 日再受付， 6月 7 日公開）大坊真洋（正員） 1988東北学院大学工学部卒．1990 東北学院大学大学院工学研究科博士課程前期課程修了．1990 新日本無線株式会社入社． 1994岩手県工業技術センター入所．1996 岩手大学大学院工学研究科博士後期課程入学．1999 岩手大学大学院工学研究科博士後期課程修了．博士（工学）．2002 岩手大学工学部講師，2005 岩手大学工学部助教授，2007 国立大学法人岩手大学准教授．