折り紙の作図可能性について

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(1)折り紙の作図可能性について教科・領域教育学専攻. 自然系コース M0 6 2 3 4 C 和田宗七円周上の有限個点を作図することはできても，円そのも. 1 研究の背景と動機. のを折り紙によって作図することは不可能である．よっ. 折り紙は，日本に古くから伝わる遊び道具であり，誰. もが一度は鶴や手裏剣などを折って遊んだことがある. て，一見すれば，ユークリッド作図の方が，折り紙作図よ. りも，有効な作図方法であるかに見える、しかし実際に. だろう．近年では，その芸術性が評価され，海外でも. は，より多くの長さを作図できるという意味で，折り紙. 「Orig㎜山と呼ばれて親しまれている一. 作図の方が，ユークリッド作図よりも強力な作図方法で. 一方で，作図といえば，誰もが想像するのは，定規とコ. あることが分かっている．このことは，紙を折ったとき. ンパスによるユークリッドの作図であろう．1796年，ガ. に得られる折り目の幾何学的な性質が関係している．. ウスによって，定規とコンパスのみを用いて正17角形. そこで，折り紙作図を幾何学的な視点から述べる．本. が作図可能であることが示されたことは有名な話であ. 研究では，「紙を折る」ことを「ある図形を別の図形に. る．このときガウスは，現代でいう，群論や体論に極め. 重ね合わせる」と考える．このように考えたとき，折り. て近い概念に到達していたらしいことが知られている．. 紙作図において，点を直線に重ねるように折る折り方に. つまり，正多角形の作図可能性を1つ1つ調べるのでは. は，ある特徴的な性質がある．それは，点Pと直線！が. なく，定規やコンパスによって得られる数（長さ）の集合. 与えられているとき，Pを1に重ねる折り目が，Pを焦. を考察の対象としていたのであろう．この手法は，折り. 点，ユを準線とする放物線の接線になっているというこ. 紙作図にも応用される．. とである（図1参照）．このことから，点P，ρとある直. ユークリッド作図においては，定規とコンパスで得ら. れる数（長さ）は，1次方程式や2次方程式を繰り返し解. ＼ノ. くことで得られる数であることが知られており，定規と. ．冬峯1一ぐ. コンパスによってr角の3等分の作図」やrある立方体の倍の体積を持つ立方体の作図」が不可能であることは，ギリシャの作図不可能問題として知られている。. このギリシャの作図不可能問題のうち，「角の3等分は，折り紙で作図可能である」ということを知ったことが本研究を始めるきっかけとなった．本論文は，この折り紙の作図可能性について研究したものであり，折り紙. 図1：点を直線に重ねる折り目の集合. によって作図できる数や図形には，どのような特徴があるのかをまとめたものである．. 線1が与えられたとき，Pが！へQがQへ重なる折り. 2 研究の内容. 目は，Pを焦点，1を準線とする放物線の点ρを通る接線であることが示される．また，点P，ρとある直線’，. ユークリッド作図では，コンパスによって円が作図で. mに対して，Pが’へ，ρがmへ重なるように折ったと. きる．ところが，紙を折ったときに生じる折り目は直線. きの折り目は，Pを焦点，！を準線とする放物線と，Qを. であり，折り目と折り目の交点から点が指定されるので，. 焦点，mを準線とする放物線の共通接線であることが示. 一380一.

(2) される．そして，図を描げば分かるように，点がある範. 図可能であるかを考察することから，ユークリッド作図. 囲にあるとき，その点を通る放物線の接線は2本引くこ. によって得られる数の集合が体を成すこと，さらに，あ. とができ，2つの放物線の共通接線は3本引くことがで. る実数がユークリッド作図可能であることと，その実数. きる、このことが示唆するのは，折り紙作図によって2. を付加して得られる体との関連について述べた．. 次方程式や3次方程式が解けることであるが，実際に，. 2章「折り紙作図」では，折り紙作図手順について考. 折り紙によって，2次方程式や3次方程式の解を作図す. 察し，各手順によって生じる折り目の幾何学的な性質を. る方法が明らかになっている．. 考察した．そして，折り紙作図によって得られる数の集. 次に，代数学的な視点から折り紙作図を述べる．折り. 合が体を成すことや，ユークリッド作図と折り紙作図と. 紙作図では，紙を折ることによって作図できる数の集合. の関係について述べた、また，折り紙で，1次，2二次，3次. が体を成すことが分かる．よって，折り紙作図では，2次. 方程式を解くことを考え，その結果を用いて，ある実数. や3次方程式の解が作図できるということから，折り紙. が折り紙作図可能であることと，その実数を付加して得. で作図できる数は，有理数体Qから，2次や3次拡大を. られる体との関係について考察した．. 繰り返して得られる体に含まれることが分かる．このこ. 3章rガロア理論と作図可能性」では，E．アルティン. とと，ガロア理論によって，ある数αが折り紙によって. の方法に倣ってガロア理論を構成した．アルティンの論. 作図できるとき，αを形とする既約な多項式の分解体の. 法では，「体亙が体K上の正規拡大体である」という. Q上の拡大次数が2店3’と表されることが分かる．. ことを，「Kが刃の有限個の自己同型写像の不変体で. 以上を踏まえて，素数ρに対して，正ρ角形を作図す. ある」と定義することが特徴的である、この定義のもと. ることを考える．まず，正ρ角形が作図できることと， 2π 2π. で，正規拡大体の中間体と，体の自己同型群の部分群と. の間に，1対1の対応があることを示した．次に，体の. ζ＝CoS一十｛Sin一が作図できることが同値であるこ. ρ ρ. とはすぐに分かる。実は，Q（ζ）は，ζを形とする既約な. 拡大の方法と，正規拡大と多項式の分解体との関連につ. 多項式の分解体であり，Q上の拡大次数がρ＿1である一. いて述べた．また，3次方程式の解法を考察することに. 一方で，ζが折り紙で作図できるためには，Q（ζ）のQ上. よって，ある複素数がユークリッド作図や折り紙作図可. の拡大次数が2＾3‘でなければならず，ρ一1：2k3’とな. 能であることの必要十分条件について考察した．. るとき，正ρ角形が折り紙で作図できることになる．し. 4章「正多角形の作図」では，正多角形の作図可能性. たがって，正7角形，正13角形，正17角形等が折り紙・. を考えるために，円分多項式の性質について述べた．そ. で作図できる．. して，2軍および3章で得られた結果を応用して，正多. また，折り紙作図では，放物線，接線，3次方程式など. 角形がユークリッド作図や折り紙作図可能であるための. がキーワードとして挙げられるが，これらは全て，高校. 必要十分条件について考察した．さらに，正7角形と正. 2年から高校3年において学習する内容である．このよ. 13角形については，ガロア理論を応用して，それらを実. うに，折り紙作図には，高校で学習する内容が散りばめ. 際に折り紙作図する手順も考察した1正17角形につい. られており，高校での総合的，発展的な教材としての可. ては，実際に作図を行う代わりに，四則演算と根号のみ 2π. 能性も秘めている．そこで，折り紙作図をうまく教材化. を用いてCoS一を計算する方法について述べた． 17. し，発展的な数学の学習の場として提案することが今後. なお，本論文を読むにあたり必要となる，群，体，線形. の課題である．. 代数等の基本的な事項を付録として最後にまとめた．. 3 論文の概要 1章r基礎概念とユークリッド作図」では，ユークリッドの作図を例に挙げて，作図に関する基本的な概念につ. いて述べた．また，定規とコンパスでどのような数が作. 一381一. 主任指導教員小池敏司. 指導教員濱申裕明.

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