モード重ね合せ法におけるUpdated-Lagrange 定式化の適用について : その1.薄肉弾性体の軸対称大変形解析

(1)

【研究論文】 UDC ：624

．

074

．

4：624

．

04 日本建築学会構造系論文報告集第 348 号

・

昭和 50 年 2 月

モ

ー

ド

重

ね

_合

せ

法

に

お

け

る

Updated

−

Lagrange

　　　　　　　　　定

式化

の

_{適用}

に

つ

いて

その

1 ．

薄肉弾

性体

の

_{軸対称大変}

_{形解析}

正会員正会員

鈴

元

木

結

敏　　郎

＊正

次郎

＊_＊　

1 ．

序

1

　幾何学的非線形問題に対し，

’

古くから種々の解析法が考案されてきた

。

球形シェル等の研究においては

，

モ

ー

ド重ね合せ法

・Galerkin

法が多く用いられているが1 〕

−

5）

，

それらの研究の中で展開されている定式化方法は_， _初期の空間固定の座標系に対して_定式化を行う

Total−Lag −

range 定式化（以下

，

　T

．

　L

．

定式化）である

。

しかしこの定式化による限り

，

大変形の_領_域になるにしたがい_，誤差が大きくなる事は自明であり

，

それを補正するためには_極めて高次の非線形項まで考慮する必要があるTLs ）

_。

このように多くの非線形項を考慮するのは

，

定式化を複雑にし解析上あまり適してるとは言えない

。

一

方，有限要素法においては

，

先の

T ．

L 。

定式化とともに諸量を各変位段階ごとに変形した形状に対して定義する

Up ・

dated−Lagrange

定式化（以下

，

U ．

L ．

_{定式化}_）が確立されてきており，薄板構造物

・

骨組構造物に対する極めて_大変形の領域における挙動を追跡する事が可能となっている

。

　このような

U ．

L

．

定式化に先のモ

ー

ド重ね合せ法を適用

．

し_，球形シェル等の大変形領域における挙動追跡を可能とするのが本論文の目的である。 U

．

L

．

定式化に対する有限要素法の適用方法としては

，

棒要素

・

平板要

「

素に_見られるように変形後要素の節点が構成する直線あるいは平面を含む

Descartes

座標系

_奪

局所座標系として移動座標系を考慮する方法やアイソパラメトリック要素に対して_，

．

文献（6）

，

（7）で行われているように歪

・

応力等について Descartes座標系成分を考慮し要素の変形はヤコビアンの変化により表現する方法等がある

。

しかしながら

，

連続体を対象とする場合局所座標系を

Descartes

座標系とおく事は好ましくなく

，

また後者の方法も諸量について

Descartes

座標系成分を考慮するた本論文の

一

部は

，

文献12）

，

13）において発表した

。

拿東京工業大学　教授

・

工博＃東京工業大学　大学院生　（昭和 58年12月3日原稿受理日

，

昭和 59 年 9 月 ll日改訂原稿受　

．

理日

，

討論期限昭和60年5月末日｝めに薄肉弾性体に対し Kirchhoff

・

Love の仮定等を導入する事は困難である。そこで本論文では上記の方法をそのまま用いる事はせず

，

次のような点に着目し

，U ．

．

L

．

定式化にモ

ー

ド重ね合せ法を適用する事を可能にしている_。この_手_法は

Kirchhoff

−

Love の_{仮定等}を導入しやすく

，

薄肉弾性体に対する挙動追跡を容易にするものである

。

1

）薄肉弾性体の_{中央面}と変形とともに_変化する曲　　線座標系に対し歪

・

応力等を定義する

。

この事が　　薄肉弾性体の解析に対し種々の仮定を導入する事　　を容易にする

。

i

の　

i

）で設定した座標系に対し

，

第

一・

第二基本　　計量テンソルの変化を求める事により変形後の座　　標系の変化（歪み）を考慮する

。

liD

　薄肉弾性体の変位に伴う全体座標系

・

移動座標　　系間の方向余弦の変化を求める事により座標変換　　の_変化を考慮する

。

　なお

，

本論文では紙面の都合上軸対称問題のみとし，また取り扱う座標系は直交座標系に限定するものとする

。

2．

解　析　法　

2．

1　

U ．

L ．

定式化における歪

・

変位関係式　

U ．

L ．

定式化については

，

文献（

6

）に示されてい

Fig

_．

₁　 Motion　of　a　Thin　Elastic　Continuum

．

(2)

るが

，

本節では

，

薄肉弾性体の解析に対してより適切な手法として

，

弾性体の中央面の変位に伴い移動する曲線あるいは曲面座標系を設定し

，

その _{座標系を歪}

・

_{応力等} を定義する基準座標系とする手法について展開を行う

。

　空間上にある薄肉弾性体が

，Fig．

1

に示すように初期状態［

C

副から変形を受けた状態［

Ctml

］を経て

，

さらに_変形した状態［

C

冊 IJ に至る場合を考える。以下

，

1

｝［。［

，

II

〔耐｝M ＋m）はそれぞれの状態における座標系成分である事を示すものとする。また

，

特に記述のない限り

，

増分量に対しては状態

Cfm

）における座標系成分とする。なお

，

添字はロ

ー

マ字が 1

〜

3 を表し

，

ギリシア文字が 1

〜

2 を表す事にする

。

　状態

Cfm

）から状態

C

［m．1 ）に移行する変位段階に対する薄肉弾性体の任意点 P の変位増分ベクトル Au を次のようにおく

。

　∠Lロ（θα

，

θ3）

＝

AVo（θα

，

0｝十 θ3

・

Av，（θ a

，

0）

・

…

　（2

．

1）　△Vo（θα

，

0

｝

＝

r（m

＋

u（θ a

，

0）

−

r_［_{m ，}（θα

，

0）

・

…

一・

・

卜

…

　（2

．

2

．

　a）　

Av ，

（θa_，

O

｝；

19sl

〔

肌

＋

旧〔θ α ，

0

）

−

_19s

_｝_（_θα

_，

0

〕

・

…

　（2

．

2

．

b

）　ここで， r は点

P

に対応する中央面上の点

P

。の位置ベクトル

，

_9eは中央面の法線方向に対する基底ベクトルである

。

また，

Av

。，　

Av

，を状

reE

Ct

．，の曲面の基底ベクトルによる成分により表示すれば16〕

_，

△”_。

＝

i

△万。｝

α

歹。＋｛△万。ド歹，‘

14

万。｝。万 α ＋ヨ

4

万。』歹 3 　　　　

・

t・

・

…

・

−t・

・

…

　（2

，

3

．

a）

△・_，

＝

1

△fi、　

lao

。＋垣万、ド歹、

；

i

ム万1｝。歹 α ＋

1

ム万，｝、ず　　　　

’

”…’

’

”

（2

．

3

．

b

）となる。ここで（

一

）は_{曲面}の_{基底}ベクトルに対する成分である事を示しており，空間の基底ベクトルに対する成分との関係は次のように表される

。

1

△v。』＝｝ム万o｝γ （δさ

一

θ 3

・

_Hl9

，

｝

A

　_Vo_』＝

1

ム万。｝3 　　　　

・

…

S・

・

…

　（

2．

4

．

a）

IAv

，｝a；

14

万i｝γ （δさ

一

θ 3

・

H

孟），

iAv

、｝3

＝

IA

万、｝3 　　　　　　　　　　　　　

…

t・

・

一

4−・

・

…

一

・

…

　（2

．

4

．

b

）　状態

C

（m ）から状態

C

〔m．1）へ移行する問に生ずる歪増分テンソル Aew は_，その定義より　　　2AetJ

＝

lg

‘Jlf． → ，

Hgl

，

1

〔mド

…

t・

・

…

　（2

．

5

＞と表される。また変位ベクトル成分で表せば

，

　　　2△θ‘，

耳

∠Lu‘

1

丿十 △t乙∫

1

‘十△u κ

1

‘ムUitlノ

・

…

7r

（2

．

6）となる

。Appendix

で示す

T ．

L ．

定式化における歪

・

変位関係式［式（

A

， 1 ）］と比較すると

，

添字や共変微分が定義される座標系が

U ．L．

定式化の場合状態

Cr

。）におけるものではなく状態 C における座標系である点が異なっており

，

この事は薄肉弾性体の変形に伴う基準座標系自体の変化（歪み）を考慮している事を意味している

。

　本論文で対象とする薄肉弾性体は

，Kirchhoff

の仮定

一

₇₆

一

を満足するものとし

，

次式が成り立つものとする

。

　　　△ea3

＝

∠Lesa

，

_Ae3s

＝0 ・

・

…

一

・

…

_（2

．

7_）

式（

2．

1

）

〜

式（2

．

4）を式（2

，

6

）に_代入する。

2Aean

＝：2_ムe_窪_』_十2_△el_｝_』

・

_θ3_十

2

θ蜜』

・

i

θ3｝2

・

…

　（2

．

8＞

　ここで

，4

露』

，

ムe泓， △器』はそれぞれ

，

　2

△

2

』

＝

IAIo

｝a　

lP

＋

IAIo

｝s　

fa

＋

IASo

｝kIα

IA

万o｝klβ

・

…

一

・

（2

，

9

．

a_）

2△ 2_艮_』；

i4

万、｝。』＋

IAT

，

1

、

1

。

一

（

H

螽

AI

。｝λ！β＋H螽

IAT

。｝ λ

1

α）

＋

IA

万。ド旧ム「σ1｝魔

1

β＋

1

ム「σ1ド旧△万。

lkln

・

…

一

・

…

t…

阜

・

（2

．

9

，

b

）

2△ε客』

＝

＝一

（

Jf

裔｛△

1

，鼠

1

β

一

←

H21A

万IIλ「

α

）　　　　　＋

IAT

，

1

’C1 。

IAI

，

1

、

IP

…・

一 ………・

・

（

2．9．

　c）と表される

。

　薄肉弾性体の板厚方向において

，

歪が線形分布するものとし

，

ムθ脳は省略し_，さらに △θ蔀における非線形項は他の項に比し

，

十分小さいものとし無視する

。

すなわち

，

歪

・

変位関係式は次式で_示される

。

2Aeap

＝

：

2∠Lθ讐』十2△e匹』

・

θ3

−一

・

…

一

・

…

_（2

，

10

．

　a）

2△θ

2

』＝

IA

_万_olal β十

1Alolnl

α

十｛△万olbla ｛Ah西ol，

la

・

『

呷

・

…

曾

…

　（2

．

10

，

b

）

2∠Lε巳』＝

1

∠LT

，

la

l

β十

IAi

，｝β

la

　　　　　 −

（

H

告

1

∠s万o｝＾

lm

＋H2　

iAlo

｝AIα｝　　　　　　　　　　　　　

………・

・

…

（2

．

10

．

c_）　また

，

Vl の各成分は

，

式（2

．

7）より次のように表される

。

1

△1、

i

。

；一

｛△1。ド

1

。＝

−

1

△万。｝，

1

。，｛△万1｝、

＝

0 　　　　　　　　　　　　　

・

…

　（2

凾

11 ）　2

．

2　U

．

L

．

定式化における応力ならびに応力

・

歪関　　　係式

前節で_誘導した歪増分は

，

各変位段階においては変位前を基準状態とする

Green

の歪であり，それと直接結びつけられる応力として

，

ここでは

2nd

　Piola

−

Kirchhoff

の応力を用いる。薄肉弾性体に対し等方弾性または平面応力を仮定すれば，応力

・

歪関係式は次のようになる。

ASttAsnAsn

ー

）

　　　上 9 　　　　

一

　　　 22

● 冒

　　　　 9 　　　　 9 　　　

（

　　　 −

一

2 上 92299

・

9

　レ

万

9

ー

2E

一

1 Ae

” 　　　 Aet：　

’

”tt・

・

…

t・

・

…

　（2

．

12）　　　

Aen

　ここで

，

AScasは 2nd　

Piola・

Kirchhoff

の応力増分テ

ンソルであり，状

me

Ct

、、｝に対する座標系における成分

(3)

である

。

これより

，

状態 C働から状

rm

　C（M＋、1 へ移行する際の状態

C

［m ）の座標系における応力成分（2皿

dPiola−

Kirchhoffの応力）を〔m＋Vlsas ｝cm）とすれば

，

次のように求められる

。

　　　（m＋i）

lsasltm

】＝　

1

τ Cme 　

lm

_レ十∠

Lses’

”鹽

”・

’

t−・

・

…

　（2

．

13 ）　ここで

，

i

τas　

ltm

_】は状

ma

　C_【_m_）における

Cauchy

の応力テンソルである

。

状態

C

〔m．1）における

Cauchy

の応力テンソルは，上式で求められた

2nd

Piola−

Kirchhoffの応力を座標変換する事により求める15）。すなわち

，

嬬广

傭

齢

1 却

・

紮

1 押

・　　　　　　　　　　　　　

…

一・

・

…

　（2

．

14 ＞　ここで

，

1

τ‘丿｝【m．1）は

Cauchy

の応力テンソル

，

ρは密度を表している

。

また ∂

1

θt_｝_［m

，

u／∂｛θ

λ

_h

_．

）は座標系間の変換係数である。　しかし_，

1

τas｝_エ_m_，₁_）_，擢

π

｝_［_m_．_1〕

，

1

τ331tm．ilは歪エネルギ

ー

に関与しない［式（2

．

7）参照

J

為に

，

式（2」4）は次のようになる

。

・・

一

腎

・

犠

1 ・

∂

lii

：

；

e

！

（

：

i1

？

i

：

i

・

_c_{・ …} ｛・・ ”

hm

］　　　　　　　　　　　　　

・

t−…

一

・

…

　（

2．

ユ

4

’ ）　 2

．

3U

．

L ．

定_{式化}における仮想仕事式

状態

CT、

、

tl）における諸量が既知であるとし，状態

C

［m，］】における仮想仕事式を考える。

μ

（

1

・・

r

_。＋ △s・臨 β｝、。＋・・。，）

AV

一

蕉

［〔繊＋… 臨

r

・＋

A

・・）　十（

1ct

｝cml十Ac ‘ ）δ（

tSi

lfM

十 △β∂］

dSo

一

伽

ハ・＋・

f

’ ）・｛

i

・・

1

・・＋衂　＋_（

1mt

_｝_［_Pt1＋Am ‘ ）δ（

tet

Ifm

＋＋ △β‘）］dS。

−

x

。。。［（

1

∫ ＋・ハ・

G

・

掃

・，＞

1

十（｛ntXm ）十△η諺）δ（協「

1

｛m，十

AfiT

）］

dCo

＝

0 ・

t−・

・

…

　（

2．

15 ）　ここで，

fi

，　mi は薄肉弾性体の中央面の単位面積当たりの合荷重ベクトル

・

合荷重モ

ー

メントベ _{クト}ルを

，

’

f

‘＊

_，

_mtt _は_力_{学的境} 界

C

。σの単位長さ当たりの境界力ベクトル

，

_境界モ

ー

メントベクトルを表しており，また pE，　 ctは中央面の単位面積当たりの合物体力ベクトル

，

合物体モ

ー

メントベクトルを表している16）

_。dS

。は中央

「

面積素である。なお簡略化のために応。｝、を Vt

，

臥

L

を β，とそれぞれ記す事にし

，

砿 β

7

は

fi

＊，　M ‘＊に対応する変位を表すものとする

。

　初期応力を示している

1

　Tas　

1

（m ）は，状

lux

　C（m）に対する座標系の成分であり，

T ．

L ．

定式化の場合［

Appendix．

1 ．

式（

A ．6

）］の初期応力

1S

°s 　

lt

。1 は状態

G

。1 に対する座標系の成分である

。

　そのために

U ．L ．

定式化の場合，応力として

2

　nd

Piola−Kirchhoff

の応力のみならず

，

Cauchy

の応力が必要となる。　式（2

．

15）中の Aeα ρ に式（2

．

10）を代入し

，

さらに増分量に対して 3次以上の項を無視すると

，

次のようになる

。

脚

・創

r

・鵜＋

1

・ae　

e

… 躍・△v・

1

・）　十

Asa

” 　

aAe

_言_n_］

dV

一

蕉

［（ヨ・褊・・

P

・臨＋（鬩・・＋副剃

dS

・

一

ん

［（胤・・＋A・

r

）＋（

lmr

・

ll

・1 　十

Atnt

“ ）δムβ野］

dC

。＝

O ・

…・

・

…………・

……・

…

（2

．

16）　ここで

．

　 P」 _P‘ 十_∫‘ 　　　

・

…・

………・

…

（2

．

17）　

Mt ＝

C‘

一

←mt

　2Ae

凄e ； ∠1Valβ十 ∠Lひβ

1 α

十 θ 3

・

［

一

（△Vsla）

1

β 　　　　　

一

（

AVa1P

＞

1

。《

H

さ

AVx1

β十

H

島

Av

λ

la

）］　　　　　　　　　　　　　

一・

一 ……・

・

…・

…

（2

．

18 ）である。式（

2．

16 ）の第

一

項を板厚〔θ 3 方向）に対し積

_分す

る。

孤

［△

1V

如 δムe盟＋△

M

°β 泌 e盟］

dS

・・

蕉

鬥・ δ伽尾

1

幽・）

dS

・

一

蕉

［・

P

脇＋・

M

‘ 　

aAB

，］

dS

・

一

ゐ

。［・∫…

aA

・_vr ・

A

・n‘・・

aAM

］

d

・・

−

aA・V

・

…

『

・

…

．

・

…

　（

2．

19

）・・砺一

孤

［囲・蜘・｛

M

・｝・脚・］・

Se

・

ん

_［

1

∫・

1

・・嗣・

1

狃鱈｝…嫺・

q

一

孤

［

INes

｝圃齟 e盟＋

IMaSI

彪 e盟］

dS

・　　　　

’

……・

…………・

…

（2

．

20）　ここで

，

　 2∠」θ客骨

＝

△vα

lp

十 △Vplα

・

…

一・

・

…

r−…

　（2

．

21）　

．

2ムe嬲

＝一

（

Av

，

la

）

1fi

−

〔

AVsle

）

1

α 　　　　　

一

（正

1

さ△Valβ十

H

螽∠」”λ

1

α ｝

・

…

　（

2．

22＞ N・

−

1 ：

・at（・

−

e・　

Ei4

・・〔eS）2　

ffX

_・_£

−

e3

・

諦

・

…

7・

・

…

7−・

・

…

　（2

．

23）

・

_M −

−

f

：

1 ：

・at〔1

一爾

・・〔

eS

｝’　

fi

）　

一

゜

（δ受

一

θ3

’

H｛）

’

θ3d θ3

’

”・

・

…

一・

・

（2

．

24 ）　　　

−

77 一

(4)

　　　　（H ＝

IHgl

＝

H

_｝H_茎

一

HlHD

・

…

　_（2

．

25_）である。合応力（Nas

，

　Mas）

・

歪（器』，　e洗）間の構成方程式は

，

式（2

，

23）

，

（2

，

24）および式（2

．

12）を考える事により求められる。それを次のように書く。　Nat

＝D

，）e2』十

Dn

ε協　　　

・

…

　（2

．

26＞　Mas

＝

1）：1　e畧』十1）2z　e9』　ここで

，

次の仮定を導する

。

e 　

Da

_β _{とし}ては_板_厚

h

の 5次以上の_項を無視する

。

・

e_洗

_，

e_洗の連成項

Dn ，

D

！1は文献

4

）

，5

）で用いられているように零とする。　この仮定に基づく事により

，

式（

2．

26

）を具体的に表せば次のようになる。　　　　

Eh

　Nes＝＝

2［（1

一

の互

叨

歹β

ン

e2し＋ソ互刎互ρ ”θ嬲　　　 1

−

v 〃・₋

12 謬

の［・1

一

_の

_y

・・

9

…　eS’

L

・_… β

9

・y ・岩レ］　　　

・

r・

・

…

　（2

，

27）　式（

2．

21

＞において

T ．L ．

定式化の場合と異なり

，

U ．

L ．

定式化の _{場合}は状態 Crm）における座標系を基準座標系としているため

，

式（A

．

11）中の

一

_線部が示す初期歪による項が現れていない。　式〔2

．

19）は状

ma

C

［m ］から状

ue

C

‘m

．

、］へ移動する時の平衡方程式を表し，式（2

．

20 ）は高次項を無視したために生じる不平衡力ベ _{クト}ルを表している

。

また，式（

2．19

）中の

iN

　”6 　

lcm

，　

6

（

AvMaAvkl

β）は総和規約にしたがう訳であるが，本論文では最も影響の大きいと考えられる項のみ扱うものとする

。

すなわち

，

式（

2．

19 ）を次のようにおく

。

蕉

［△

1V

鰯飴 e盟＋△躍伽 δ△e膿］

dS

・・

伽

・脚が

1

・・醐・勗

一

孤

［ム

P

‘

_8Av

‘十 △

M

‘ δz』

9

‘］

dS

・

−

f

。。。［

af

‘・・“・・vr ・… 雌］

dC

・

aAWr 　　　

− ………・

……・

…

（

2．

28｝ 3X 2X

X

（

e1

謡

e

う

、

丶

、

A

−　

Y

・

｛

9 曳

丶

IN9

、

h

．、

鳳

1，／

磁

）

’ 　　　

ラ　／

KX

！

／

’

XN

（

et，

Of

，

0 『

渇｝　　

C

｛m

．

1〕　　

C

Fig

_．

_2　Relation　between　Global　

Coordinate

　System　and

　　　Local　

Curvilinear

Coordinate

　System

．

一

₇₈

一

3．

U

，

　L

．

_{定式化}のモ

ー

ド重ね合せ法への適用　

Fig，

2は空間固定の全体座標系（

X

‘ ）と薄肉弾性体の中央面に沿った移動座標系［

1

θt　

1

，

．

，および

1

θ i ｝CM

．

、

）］との _関係を示している

。

ただし，

xt

は円筒座標系， θ i は軸対称座標系としている。　中央面上の点

P

。剛が点

P

。阻 p に変位した場合を考える

。

点

P

。（ml の変位増分ベクトル

Av

に対する全体座標系成分 Ab ‘を変位関数ノ

1

丿（θ A ＞を用いて仮定する

。

　AU

‘

＝

f

．（θ λ 〕

・

△α」 or　

Ail

＝

f・

Aa ………・

…

（

3．

1

）　ここで

，．

_んは境界条件を満足する関数列から成るマトリクスであり

，

Aas は

一

般化変位増分ベクトルである

。

　全体座標系に対する成分AD 、について変位関数を設定する理由は

，

荷重条件

・

境界条件を全体座標系に対し常に

一

定とするためである。　全体座標系成分 △V‘と移動座標系成分Ab ‘との関係は次の _{よう}に表される。　ム琶〉1茜

ITl

丿（θ a ｝

1

网

゜

△運）丿　or　△誕｝；

T

［mi

・

△〜ヲ

・

…

　（

3．

2

）　ここで

，Tw

（θλ ）は座標変換マトリクスである

。

本論文では各増分段階における弾性体の回転増分は

，

線形としている［式（2

，

11 ）参照］が，増分計算していく過程において誤差が蓄積する事を避けるために

，

回転増分による変換マトリクスの変化

ATw

は正規直交マトリクスとなるように状態

C

エm，、）

’

状

ue

C

（m］の各座標系の基底ベクトルがなす角度の方向余弦より成っている。本論文で取り扱う軸対称問題の場合

，

簡単に次のように示される

。

AT

・一

に

蠶篤謙

_］

…

_（_…

₃

_）　これより状態Ccm．1 ）における座標系と全体座標系間の変換マ _トリクス

1 Tu

lcn

_{＋，} ）は

，

次のように求められる。　　　

1

τ‘，

1

［m＋1）

＝

△T‘‘

。

t

コ「蘆，

1

〔刷

・

…

一・

・

…

一…

一

・

…

　（3

．

4）　式（3

．

1）

・

式（3

．

2

＞より

∠』

b

‘

＝

｛

L

‘丿

lfm

）

AaJ 　

or

　A5 ＝L

〔m）

Aa ・

…

　t…

（3

．

5

）

ここで

，

L‘丿は座標系

1

θ ‘

ltm

］に対する変位増分ベクトル成分と

一

般化変位増分ベクトル成分との関係を示すマトリクスである

。

前節の式（2

．

21）

・

式（2

．

22）および

IADsla

「をマトリクス表示する

。

れ　 ∠」e彦

＝

B（m ）∠Sb

・

…

（3

．

6）　　

AeN＝C

〔m ）　

Ab ・

・

…・

・

…・

……一 …………

_（3

．

7 ）ここで_， AeT _，　

AeN

_，　

Av

は軸対称問題の_{場合}それぞ △ e啓「

＝

〈△θ幤 △ε野 △e幤

4e

黙孝〉

…・

……・

（

3．

8

）ムeN

＝

1

△ 雪311 ト

・

…

一・

・

…

鹽

・

…

呷

・

…

（3

．

9） ∠」

bT＝

＜

4

憂）且　∠

L

耄）3＞

・

一・

・

…

　（3

．

10）

(5)

と表される。また

，

式（2

．

27）より合応力

・

歪の関係式は次のように表される

。

　　　△

1V

」

0

_△_e

・

…・

・

………・

…

_（₃

．

_{11 ）} 　ここで

，

AIV

「

＝

＜ムハ「ll∠LNZ2　△ ”H ∠LMz2＞

・

…

　（3

．

12）　　　

4

θ』〈

AelOl

△e翳

Ae

i｛△囓〉

……・

…

（3

．

13）である

。

　式（3

．

5 ）

〜

（3

．

7 ），（3

．

11 ）を式（

2．

28

）および式（2

．

20

）に代入する事により

一

般化変位増分ベクトルに対する平衡方程式および不平衡力ベ _{クト}_ル_{が得られ}_る

。

_た_{だし}

_，

外力としては_簡略化のためモ

ー

メントに関する項は無視するものとする

。

蕉

［aA・・｛L_、_。　B_，

。

_、　DB _、m，　

L

，

。

、）

Aa

　十

aA

α『

・

ム職レ

qL

レハ〈側

Ctm

］LtmiAa］

dSo

一

蕉

畆・・

f

・

7

論 _14Pd _＆

一

ん

彪・7’77 _蝨₁_盟

・

_μ ・_dC ・＝＝aAzvr 　　　

・

…

　（3

．

14） aA・w _・

一

蕉

δ△・・’・丁繍 _・君_。　

d

哉

＋

ん

必・・f・7_，轟 F 盗_鵬

一

ff

．　

aA

・・垢，　

B

温I　

Q

，。鵡　　　

・

一・

・

…

tt・

・

…

　（3

．

15＞　上式中，丁翫昭π尸 1であるから， P，尸に関する項は次のようになる。

ff

．・

A

・… _君_・・鉱

ん

・… f・ F 姦・・α 　　　　　　　　　　　　

……・

…・

一・

…・

・

…

（

3．

16

＞　また

，

式（3

．

14）

，

（3

．

15）を次のように表す

。

　δ∠Lα『［（K_｛_{m 十 κ}_α鋤〉△α

一

△

Q

巳x1

≡

δン1ωア

・

…

　（3

．

17＞　δWr

＝

aAaT ［

QexrQtn

］

…・

……

………

（3

．

18）　ここで

，

K

，

　Ka

，

Q

。x

，

Q

‘n は剛性マトリクス_，幾何剛性マトリクス

，

外力ベクトル

，

内力ベクトルをそれぞれ表している。　 U

．

L

．

定式化の場合，式（

3．

6

＞，（

3．

7

）中の

B

および C マ _{トリ}クスは

，

状

ma

C

_（_{m ）}における座標系に_対する計量テンソルおよび共変微分等で構成されているために

，

_薄肉弾性体の変形に伴い_変化する。したがって各変位段階での変位後の状態［

Ccm

＋1］］における第

一・

第二基本計量テンソル等の値が必要となるが

_，

それらは状態

C

（m｝における値が既知であるから

，

式（

2．5

）

・

（

2．

10

＞より

rg

αn　

l

〔m＋1，

＝

短αβ｝tm］十

2

∠

L

　e2』

・

…

t・

…

t・

…

一…

（

3，

19 ）　　　

IHa

β観

堺

＋

1）

＝

IHan

｝tm，｝

一

△ε呂』

・

…

一・

（3

．

20）と求める事ができる。ここでは軸対称問題に限定しているため

，

△ε翫＝

O

，ム器』＝

0

（α≠β〉となるから

，

変形前に座標系

i

θ‘

1

（m ）が直交座標系であるならば

，

上式より

，

trgafi

l

（m

．

i）＝

O

，　

IHa

β｝fm

＋

，）≦O

（α≠β）

…・

《3

．

21）となる

。

したがって変形後における応力

・

歪のテンソル成分（τde

・

e。fi＞と物理成分（σ as

’

εe”）との関係は

，

次のようになる15）

_。

1

・cae　

l

、駲、

＝偏

V

煽

1

・鄒

1

。．ゼ

ー ……

（3

．

22）

i

εafi ｝［m＋1 ）

＝

V〆

ア

．

Vigiii

leap

｝（m ＋1〕

…

t・

・

tt・

・

…

（

3．

23

）

　ただし，ここではa， βに対して総和をとらない。　なお，式（

3．14

）

，

（

3．15

）の積分はガウスの求積公式により行っている

。

　以上，平衡方程式および不平衡力ベクトルが求められた訳であるが

，

本論文で取り扱うア

ー

チやシェル等の場合釣合経路が複雑になり

，

多くの特異点を有する事が起り得るため，各変位段階ごとに適当な制御パラメ

ー

タを選ぶ事が必要かっ重要な問題となる

。

そこで

，

本論文では制御法として弧長法を採用し

，

制御パラメ

ー

タの選択を自動的に行っている1 °）。また

，

各増分段階における不平衡力ベ _{クト}_ル_の_{解放}_は

_，

Newton

・

Raphson

_法_に_ょっている

。

　4

．

数値解析例　4

．

1 円弧ア

ー

チ　ここでは

，

軸対称問題を扱う前に円弧ア

ー

チの例を取上げ

，

その挙動を追跡し，

Appendix

で示すT

．

L

．

定式化により求められた結果と本論文で誘導しだ

U ．L ．

定式化に基づく本解析法による結果とを比較検討する事により

，

大変形領域での本解析法の有効性を示す。　中央集中荷重を受ける両端単純支持の円弧ア

ー

チに対し

，

偏平な場合（

TYPE

I

）および非偏平な場合（

TYPE

且）を扱う。両モデルに用いた変位関数は

，

’

T ．L．

定式化

・U ．L．

定式化ともに次のように仮定した

。

・・

一

盞

・融・

多

_・_・一

象

・… s

等

1・

多

…………r…・

…・

（4

，

1

）　ここで

，h

は

TYPE

I

が5

，

　 TYPE 　

ll

が 15としている

。

また

，U ．

L ．

定式化

・

T

．

L ．

定式化共に状態

Ct

。）における座標系は

，

円座標系（θ’ ，θ S ）とし，全体座標系にっいては

Descartes

座標系（

xi，

xs

）と

』

している

。

なお

，

ア

ー

チの例に対しては

，一

軸部材に対応するようにボアソン比を零としている。　

TYPE

I

の荷重変位曲線を

Fig．

3

・

に示す

。

縦軸は荷重

・

横軸は中央点における鉛直変位 Wc を示しており，それぞれ図中の_値により無次元化している。　破線は

Sabir

らによる有限要素法を用いた解H〕

_，

_口_で示したものが

T ．L ，

定式化に基づき求めた結果であり

，

○で示したものが

U ．

L ．

定式化に基づき求めた結果で

一 79 一

(6)

峇

160 O 　

o

　　C89

−、。

。

’　

、

　　　　　 1

均

ヒ

諜

　　 θ 鷙

一

．

・

一

．

購

r一

7 、丶

》

“

1 ao 　　

、

σ

「

A

　　ノ

　 ’ 戸

　　　　一

’

凝

’

罫

_一

」

_、

　し

、

・

』

◇ 　　　　　　　　L q

　＼

葭 R＝150 し

＝

100

’

气_丶

_、

。

、

唱

_、

h

＝

3脇6

’

！、

丶

　　　、

ロ

　、 o 　　　

」

＼

。

1 ’

「

aOO 　　　 O

、

5

’

8 ゜

、

’

05

・

，

L

　　Wc！H 、　　　　　　　　　　

、

_鳩

■

’

ロ

丶

9

1 一

_ao

囗

　　　　　　よ O　Uし Fbm 麟 o

【

o 　工し

．

R

コ

π

刑

on

−一

一

Sobir ←

、

。

い

、°

　　　 q

以

山

_計

O ノ

「

o

一

160 、°　　

魑

唾

〆

＼

。

Bp ノ o

、

　P　

／

　 u 　

巳

i

Fig

．

3　Load

−

Deflecしion　Curve　fol　a 　Circular　Arch _（TYPE 　

I

_；

O

．

O　　　　　　O

．

5　　　　　　1

，

0　　　　　　1

．

5　　　　　　2

．

O　V吃ノH

Fig

．

6　Load

−

Deflection　Curve　for　a 　Circular　Arch _〔TYPE _{∬ ）}

O

．

OWiHO

．

5 1

．

0 1

，

5 20 25 OO 脚 4QO 6QO eaD

Fig

．

4　

Deflection

　at　Each　LQad　Level

．

TLRDm 岨

ロ

tm

I

．

目

一

齟

．

1．

「

一

．

／

7

　　　A

＿

↓

一

＿

＿＿

F

臥

1 ハ

1

、

・

F．

一

、

一 “

_ト丶

＿

．

一

一 1−．

−7

＼

_彰

へ

1 冒

B

Hg

．

5　Me 皿brane　StTess　at 　Each　Load　Level

．

ある。いずれの結果も

Sabir

らの解によく対応している

。

この場合

，

中央点の_{変位}が複雑な釣合経路を示しているが

_，

本論文では弧長法を用いているために，各特異点の通過はかなり容易なものとなっている

。

また

，

各荷重点における鉛直変位分布および材軸方向応力分布を示したものが

，Fig．

4

，

Fig．5

であるが，　

T ．

L ．

定式化によるものとU

．

L

．

定式化によるものとの差はほとんどない

。

　TYPE 　

ll

Fig．

6に示す

。

縦軸

・

横軸は

TYPE

I

の場合と同じである

。

口で示したT

．

L

．

望

響

一

loao

一

5aoqo5GO lean15QO20QD 　　　　　　　　　鬼

Fig

．

7　Deformation　at 　Each　Load　Level

．

Fig8 Memb πane 　StTess　at 　Each　Load　Level

．

定式化による_結果は

，

単調な耐力低下を示す曲線となっているが

，

○で示した

U ．

L ．

定式化によるものは

Wc

／

H

が 2付近で再び耐力が上昇している

。

また，図中に示す

Q

。は

Austin

らによって求められた座屈荷重であり9）

，

U

．

L ．

定式化による結果と

一

致している

。

Fig．

7

・

Fig

．

8は各荷重点における変形図および応力分布図を表

一

₈₀

一

(7)

したものである

。T ，

L ．

定式化による変形図は

，

中央部分の変形のみが進行していくのに対し，

U ．

L

．

定式化によるものは全体的に変形が進行していく様子が見られる

。

　4

．

2　球形シェル　軸対称問題として

，

ここでは中央集中荷重を受ける周辺単純支持の球形シェルを考え

，

その挙動を

T ．

L ．

定式化

・

U

．

L

．

定式化により追跡し

，

その結果について比較検討を行う。　変位仮定に用いた_変位関数は

，

_次のとおりである

。

PR 1 〜

1

’ ’ 征 0

．

4 0

．

2 　　　　

！

〆

　　 μ

　　〆

　／

α

　　A

一

十

一

、

　　　　欺

緊

ll

　　　　　　　　　　　　　　　厂

飛

丶

　　　 ’

1 　

［　　／　〆　！　！ ’ 1 ’ ぺ　＼

　丶

　　丶　　駄　　　、　　　丶　　’ 　 ’ 　 ’ 　♂ ノ o 〆 o

．

−

0

、

2

・

　　TL「brmu口ゆn

−一

一

　 Mg5⊂o［［

．

肬一

畆

1 一

イ

0

、

0　　　　　　　　　α5　　　　　　tO　　　　　　＼　15　　　　　

〆

　　　　盟 H B

Fig

．

　gLoad

・

Deflection　Curve　fer　a 　Spherical　Sheil _〔TYPE 　

D

WtHo

．

o 05 1

．

O 1

．

5 2

．

o 2

．

5 皿 Ehl

−

o

．

4

一

a2 0

．

O 0

．

2 o

．

4

Fig

．

10　Deflection　at 　Each　Lead　Level

，

Fig

．

11　Membrane　Stress　at 　Each　Load　Level

．

Au

一

_罍

・・屮・

in

・

i

_・

詈

・

罍

躍

・

（

．

　　θ I 　　sh1 _μ‘　　

．

　　　θL s’n μ・

ガ

。血

h

μ、 smh μ・

万

）

・

…

鹽

…

一・

・

一・

…

　（

4噛2『

a_）

A

・

一

毒

・β屮・・s2

1 ・

留

・

罍

・

酬

… （

i−

1・・

摎

_… si ・

詈

）

・

…

　（

4，2．b

）・・i

−

4

学

1…

…………・

…・

・

……・

（・

．

2

．

・）　ここで

，

nl は TYPE 　

I

の場合5 とし

，

TYPE

_皿の場合を15としている

。

また

，

T

．

L

．

定式化

・U ．L．

定式化共に状態

C

〔。｝における座標系は

，

球座標系（θ 1 ，θ t ，θりとし

，

全体座標系については円筒座標系（

X

X2

，

XS

）としている。 TYPE 　

I

の荷重変位曲線をFig

．

9に示す

。

縦軸

・

横軸は荷重および中央点の変位を示しており，そ

Fig

_．

₁₂Load

・

Deflection　Curve　for　a　Spherical　Shell

　　　（TYPE 　

m

［

　　　　　　一

、

　　　　　　’

、

≒窃

鳧

“ 　　　　 z 　　　／ B

− ／

「

　．

醒

圓

　転　転

L−一齟一

L

　「

τLFb

舳

ul α

圏

On

19

躍

帯

ー

ヰ

寸

⊆ ん

ノ

…

　　彪　　　

7 ノ

匡

Flg

。

13　Defermation　at　Each　Load　Level

．

UL

，

角mulqtlon

(8)

皿 EN

−

1

．

00

−

o

．

75

一

〇

．

50

一

〇

．

25O

．

00o

．

25050o

．

75 †

．

oo 　　　　

lUL

．

Fレmulo 電ion 1

　　　A

　　！　、（＼ノノ

4 「

「

’ 　

，

　　ノ、

→ 〒

丿

_嫡

　，

へ

＿

卜

_丶

　髄

乙

丶

イ　　　

f 〃 ’ ！ 1

’

F

、

　層

「

　 ’ 「’ 　 ’ 帽

El

、 L 、　　’　 ’ 　！／

L　

：

4

　菰　　 ’

町

三三

1 ’

7幽

　1

Fig

．

14　Membrane 　Stress　at　Eac」Load　Level

．

れそれ図中の値により無次元化している

。

破線は

Mescall

による解であり12）

_，

_口_で_示_{した}_も_{のが}

T ．

L ．

_定式化に基づき求めた結果であり

，

U ．

L ．

定式化に基づき求めた結果である

。T ．

L．

定式化

・

U ．

L ．

定式化いずれの結果も

Mescall

による解とよく対応しており

，

式（4

．

2 ）で仮定した変位関数の妥当性を示している

。

また_，各荷重点の変位分布

・

応力分布を

Fig．

10，　 Fig

．

11に示す。両者の結果はよく

一

致しており

，

この程度の変形領域においてはどちらの定式化によっても追跡可能である事を示している

。TYPE

ll

Fig．

12

．

に示す

。

　縦軸

・

横軸は

TYPE

I

と同じである。口で示したものが

T ．

L ．

定式化

，

U ．

L．

定式化に基づき求めた結果である

。T ．

L ．

定式化による結果は

，

点

A

以降収れんが極めて悪くなり，点

B

付近で発散しはじめたため計算を打ち切っている

。一

方

U ，

L ．

定式化による結果は点

B

以降も安定した解が得られている

。

ただし点

D

から点

E

に到る間，

一

時収れんが悪くなるが

，Fig．

13に_示す変形図からも解るように急激にシェルの変形が進もうとするためであり

，

変形形状が安定した形になると再び安定した解が得られている。また

，

各荷重点における応力分布を

Fig．

14に示す

。

51

結　　　び　本論文では

，U ．

L ．

定式化にモ

ー

ド重ね合せ法を適用しその定式過程を示し，また簡単な解析モデルに対し同じ条件（変位関数およびその項数等

。

〉のもとで計算した

T ．

L ．

定化による結果と比較

・

検討する事により

，

T ．

L ．

定式化では挙動追跡が困難となる大変形領域においても

U ．

L ．

定式化による事により挙動追跡が可能となる事を明らかにした

。

　また

，

本論文では，軸対称問題および移動座標系が直交座標系の場合に限定し論じてきたが

，

球形シェルの分岐座屈後の非軸対称問題等の_{場合}に対する

U ．L ．

定式化の適用方法およびその有効性についてはその

2

で_報告する予定である。　なお，本論文における計算には，東京工業大学情報処

一

₈₂

一

理センタの

HITAC

　M

−

200　H _{を使用} _{した}

。

Appendix　

I．

T

．

L

．

_{定式化}について

，

i

）歪

・

変位関係式　T

，

L

．

定式化では

，

歪は_次のように_定義される。

　2θ‘，

＝

19ul

【m

＋

L 】

− 19vl

［o，　Qr 　2e‘，

＝

u‘

1

丿十UJIt十u

な

1lUkl

丿

…・

……・

…・

…

（A

・

1＞

　したがって

，

歪

・

変位関係式は

　2een

＝

2　e乳十2　e膿』

・

θ3

・

……・

・

……・

…・

…

（A

・

2）

　2e砦』

＝

侮

。

1。

1 。

＋

hi。

lfila

＋応

。

lklehi

。

｝，

1 ………一

（A

・

3）

　2e2』

‘

椀軍1』

15

十「万1』

1

α

一

（H窪「万o｝

λ

1

β十H2「万olx1

α

）

・

…

　（A

・

4）

と表される

。

ここで

，

式中の添字はすべ _て_{初期状態}C ゆ，におけ

る座標系成分である。なお

，

仮定より

IAi

，　

1

。

＝−

iASDIs1

。

・

−

IAI

。

lila

，　

IAIll

，

＝

0

…………・

（A

・

5）

　 Ii）応力

・

歪関係式　T

．

L

．

定式化において

，

応力としては状態

C

【。，を基準とする 2nd　Piola

−

Kirchhoffの応力を用いるe 　　　SPt

＝

Edua

・

e∫圦

・

…・

・

…………・

…・

…………

（A

・

6）　ここで

，

Eaf

’

． _は式（2

．

12）と同様であるが

，

この場合計量テンソル等は状態C［。〕の座標系成分である

。

　jiD各変位段階における仮想仕事式　状態C圃における諸量（ただし

モード重ね合せ法におけるUpdated-Lagrange 定式化の適用について : その1.薄肉弾性体の軸対称大変形解析

．

．

．

・

モ

ー

ド

重

ね

合

せ

法

に

お

け

る

Updated

−

Lagrange

定

式 化

の

適 用

に

い て

1

．

薄肉弾

性体

軸対称大変

形 解析

鈴

元

木

結

敏 郎

次 郎

1

．

1

’

。

，

ー

・Galerkin

−

，

Total−Lag −

，

．

．

。

，

，

。

，

。

一

，

T ．

L 。

Up ・

dated−Lagrange

，

U ．

L ．

・

。

U ．

．

ー

．

．

．

，

・

「

Descartes

奪

_合

　　　　　　　　　定

式化

_{適用}

いて

_{軸対称大変}

_{形解析}

敏　　郎

次郎

_。

_奪

一・

_．