地震動に似た外乱をうける履歴1自由度系のランダム応答

【論　 文】 UDC ：624

．

〔｝42

．

7 ：620

．

1 日本建 築 学 会構 造系 論 文 報 告 集 第 382 号

・

昭 和 62 年12月

地

震 動

に

_似

た

外 乱 を

う け

る

履 歴

1

自

由度系

の

_ラ

ン

ダ

ム

_{応 答}

正 会 員

　松

島

豊

＊ 　

1

．

序 　筆 者は

，

文 献 1）で ス リッ プ型 履 歴特 性をもつ 1自由 度 系にマ ル コ フ ス ペ ク トル を もつ 地 動が作用 し た場 合の 非 線 型ランダム応 答 を考 察 し た。 マ ル コ フ ス ペ ク トル は ホ ワイ トノイズを1次の線 型フ ィ ル タ

ー

に通し て得ら れ るもの である

。

ス ペ ク ト ル は角 振 動 数 ω の高い 領域で

，

ω

一

2 に比 例し

，

ホワイトス ペ ク トル よ り地震動の特 性に 近い。 しか し

，

ピ

ー

ク を持た ない の で， その点に問 題が あ る。 地震動の ス ペ ク トルは， 平 均 的に み て， 卓 越 振 動 数と よ ばれ る点を中心に してゆるやか な ピ

ー

クをもっ の が

一

般 的だ か ら で あ る

。

田治 見は

，

その よ うな特 性 を も つ ス ペ ク トル を提 案し てい る2［e ホワ イ トノイ ズを

2

次 の_{線 型フ ィ}ル タ

ー

に_通 して_得られ る もの で ある。 スペ ク トル はω の高い領域で tO

’

tに比 例し， ある卓 越 振 動 数 ω g の近傍でゆ る や か なピ

ー

クを もつ とい う地 震 動に よ く似た特 性 を もつ 。こ のい わ ゆ る田治見のス ペ ク トル は， 地 震 動の モデルとして

，

マル コ フスペ _{ク トル よ り優れ て} い る

。

標 題の 「地 震 動に似た外 乱」とは

，

この ス ペ ク ト ル を もつ 地 動 加 速 度 をい う。 こ こ で はこれ を取り扱う

。

　構 造 物の モデル は文 献

1

）と同じであ る。 そこで展開 さ れ て い る方 法は

，

どの よ う なスペ ク トル に対し て も適 用で き る。 こ こで も その 方法が その ま ま踏 襲され る

。

み か け の 固有振 動 数と履 歴吸収エ _ネルギ

ー

の時 間 的 変 化に 注 目す る点も同じであ る

。

ただし， 後 者に対し て は期 待 値ば か り で な く， 分散に も言及 する

。

構 造 物の信 頼 性を 評 価す る と き

，

そ れ は欠か せ ない量 だか らで ある

。

ま た

，

応答が弾性限に達す るまで の時 間 を評 価 すると きの考え 方が少し修正 さ れ てい る。 その方が よ り妥当で あると考 え ら れ た からだ が

，

その違いは， 結果と し て得ら れ る固 有 振 動 数や履 歴 吸 収エ _ネルギ

ー

の_値に_多くの 場 合

，

あ ま り大きな影 響 を与え ない。 　

2．

入 力のスペ ク トル 　田治 見が提 案し た地 動 加 速 度の パ ワ

ー

ス ペク トル密度 は

，

次 式で表さ れる。

s

・・ ，・−

s

，

・

＆

，

一

（

．

：

’

：

）

‘ ，

？

，

i

．

（

M

， to “

：

1

，

（

．

：

k

）

，

一

_州

₁

_・ こ こ で

，

S（ω）は従 属 変 数 を 角 振 動 数 ω とし

，

ω の範 囲 を （

一

。。 ，。。） とし た両 側ス ペ ク トル密 度 を表す。

S

（ω〕 は 3つ の パ ラ メ

ー

タ

S

。

，

ω g お よ び

hg

を もつ 。　

S

。は ω ， o_の と きの ス ペ ク トル 密 度の値である

。

ω g と

h

。は そ れ ぞ れ

2

次の_線型フィ ル タ

ー

の角 振 動 数と減 衰 定 数に_相 当す る

。S

（ω）は ω駕 ω_σで ピ

ー

ク をもつ 。 正確に は， ω の値が，

　

　

　

…

響

一1

_・

_{…一 ……・}

_{…一 ・}

_…

（・・ のと き

，

最 大 値

　　　　　　　

16 鵺

瀰

丁

　　　

S

（・）n

・

au ＝ 16、

h

_；＋

2

＋_（

16

、

h

_；

− 8

、

h

；

− 2

）

禰

　　 　 　 　　 　 　　

…一 …一 ……・

・

…・

…・

……

（3） を とる

。

　hp

は ピ

ー

ク の鋭 さ を 表 すパ ラ メ

ー

タで あ る。 田 治見 によ れ ば， ハ ウスナ

ー

_{の平 均 速 度 応 答ス ペ ク トル}3）_に 合 う よ うな hgの値は約0

，

6であ る2）

_。

　こ の ス ペ ク トル の全パ ワ

ー

ρは

，

　

　

　

・

−

f

：

…

ld

・

一

π_吻

S

齶

孟＋

1

）

_{…………・}

_・

（・・ に等し い

。

Fig

．

1に この ス ペ ク トルが 図 示 さ れ てい る

。

he

＝

_O

_．

₆の場 合であ る。 （

1

）式で Wg → 。。 とすると，

S

（ω）→

S

_。と な るの で

，

ホ ワイトノイ ズはこ のス ペ ク ト ル を もつ ラ ンダム ノイズの

一

つ の_極限であ る

。

S

／ Q 1 2 5 拿 _{筑 波 大 学 　 助 教 授}

・

_工博

　 〔昭和62年5月27日原穂受理 ） Fig

．

1　Tajirni

’

s　spectrum

4　 　 　 　 5

　 ω／ω 　 　 　 　9

NII-Electronic Library Service 　3

．

振 動 系 　静 止し て い る非 減 衰 1 自由度系の基 部に

，

突 然 （1） 式の スペ _{ク ト}ルを もつ ランダムノイ ズが地 動 加 速 度 とし て作 用する場 合 を扱う

。

質点の変 位 コcは次の運 動 方 程 式に支配 され る

。

　 　　」亡十∫（こじ，ニヒ）

ニー

こ厂（

t

）

N

（t＞

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（5） こ こ で_，

・

は時間

t

に関 す る 微分を表す。 U（t）は単 位 段 階 関 数， N （t）は （1 ）式の ス ペ ク トル を もつ 定 常ラン ダム ノイズで ある

。

　地 動 加 速 度は

一

般に

，

初 期の立 上 り の部分

，

ほ ぼ定 常 と なる強 震の部 分， 振 幅が減 少し終 焉に至る部 分とい う 3つの相か ら成っ て いる

。

本来な ら そ の ような非 定 常 性 を直 接 解 析に と りこ むべ _きであ る が

，

数式の展 開を容 易 にするた めに_， （5 ＞式の ように

，

そ の う ちの定 常 とな る強 震の_部分だけを取り扱うこと として いる

。

これ は

，

こ の部 分の 影 響 が 応答には支 配 的で あろう という予 想に 基づ く簡 略 化であ る。 ある等 価な継 続 時 間 を考え， その 間は 入力は定 常で あ る と し て 近似的に応答を評価す るこ と が実用上は 可能であ る とい う 予 想 も

一

方にあ る

。

そ う い う取扱い も暗に こ こ で_期待され てい る_。 しか し， こ の よ う な点に関して は_， 詳 細な定量的 検 討が今 後の研究と し て 必要である

。

　／（x_，th）は復 元 力 関 数 を 表し_{， 文}献 1）と同 様に_，

Fig．

2の よ う なス リップ型 履 歴 特 性 を もつ とする。 図 中 の α は降 伏 加 速 度

，

A は降 伏 変 位

，

ω。は弾 性 時の系の 固 有 角 振 動 数である

。

　

4

．

応 答 が弾 性 限に達 す る 時 間の期待値 　 （5） 式の初 期 条 件は

t

・ ・Oでx＝

th

； oで ある

。

応答 は_非定常と な り，系はあ る時間内で は弾性 的に挙動す る。 弾 性限界に達す る ま で の時間の期 待値を

t

。と す る

。

文 献

1

）で は

，

系に与え ら れ るエ ネルギ

ー

の 期待値 が最大 弾性ポテンシャ ルエ_ネル ギ

ー

に_等 し く なるまで に要す る 時 間の期 待 値 を

t

。と考え

，

その表現 が求め られている

。

し か し

，

これ で は

t

。 を大き く 見積り す ぎ る

。

そ う な る 前に_， 変 位 応 答の絶 対 値の最 大 値

1xlmax

が降 伏 変 位 を 越えて しま うか らである

。

そこで， こ こ で は， こ の点 を 改 良し て

，

そ の期 待 値

1be

　

l

　_max が降 伏 変 位α／誘 に達し た と き を応 答が弾 性 限に到 達する まで の時 間の期 待 値と

f

　 　 α

1311Q

刀

窮

x 　 　 1

一

α

Fig

_，

₂Slip

・

type　hysteresis

考え るこ と と し た。

　

田治見の ス ペ ク トル はなだらか であるか ら， 弾性応 答 は

，

ス ペ ク トル密 度

S

（ale）を もつ ホ ワイ トノイ ズに よ る 応 答と同 等である

。

非 減 衰 線 型 1自 由度 系に その よ う な ホワ イ トノイズが作 用 し た と き，

1

訓  ，は次の よ う に 書 けるで あ ろう

。

　　　

ld

疹

1max

＝

α _v弓≡彌 「／ωo

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…　

（6 ） α の値は最 大 値が

_樗

準 偏 差の何 倍に なるか を示す量で， E

．Rosenblueth

と

J

．

1

，

　

Bustamante

に よれ ば

，

　 　　α＝ 2

．

348

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



一・

・

・

・

…



一一・

一一・

・

・

・

・

・

・

…



99

_（7 ＞ と評 価 ざれ る4［ 。 　（

6

）式を使え ば

，

toは次式で与えられ る

。

　 　 　 　al 　 　　　 　　　 　　 　

・

・

…

　

−t・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

8

） 　 　 　 t。

；

　 　　　 　a： π

s

（_嫡）ω

1

こ こ で

，

次の無次元 量を定 義する

。

To は弾性 時の系の 固 有 周期であ る。 　 　 　 to 　 　 　 tUo　to

　　　

恥

r

π

rr7

”… … 甲

… … ”『

9… 『

『

『

’

《 9 ＞ 　 　 　 　 caeS 。 　 　　 ξ蓴

一

一

：i

− ・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一…

　

一・

・

P・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

r・

…

　

r・

・

・

・

…

　（

10

） 　 　 　 a

　　　

． ま 竺

………一 …・

…・

……一 一 ・

………

（11 ） 　 　 　 　 ω9 τ。と ξは文 献

1

）の場合と 同 じだが

，

v はス ペ ク トルの ピ

ー

ク近 傍の角 振 動 数に対する系の固有 角 振 動数の 比 を 表す。 　（1）式 を （8 ）式の右辺に代入 し

，

（9 ）

，

（

10

）

，

（

11

） 式を適 用すれ ば，（

8

）式は次の よ う な 無次元表現と な る。

　

　

　

T・一 ，。

1

？

・

g

・

・

g

’_＝

i

！

1

？

xi

？

e1tf

−

_”

i

）i

：

．

？

：v2

_・

_{…………・}

_・

… _{（12 ）} これが 弾 性 限界の無次元 期 待 時 間 a。を 評 価 する式で あ る

。

　

5．

等価固 有 振 動 数の期 待 値 　文 献 1）で詳 述 し た よ うに

，Fig，

2

の ス リップ 型 履 歴 の場 合， 等 価な 固有振 動数の期 待 値ω。の時 間 微 分は， 次 式で与え ら れ る

。

こ の_表現は どの ようなスペ ク トル に 対しても成 り立っ

。

　 　　 dω e 　 ω_。ω

5S

（ω∂

　　　

万

＝『

　

。t

　

… … … 一

”… ”… ’

”

_（13） こ こで，

t

’

；

t− t

。であ る。 　 （

13

）式の右辺に _{（1 ）}式を適用 し

，

適 当に変形 して か ら積分 す れ ば

，

卜

讃

 

i

製講

苧

ゲ

d

ω e 　 　 　 ω 9

・

・

・



・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（14） （14）式の右 辺の積 分は解 析 的に評 価で き， 結 局， 次の ような無 次 元 表 現が得られる

。

一 51 一

N工 工

一

Eleotronio _Library

・

一

張

［

⊥

チ

・ ’

皋

纛

β） ＋

8

鑑

’（

tan

−

・

2h

・vfi

− ta

・

一

・

2h

・v）・

］

　 　 　 　　 　 　 　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

15

） こ こ で

，

_次の無次元量 が定義さ れて いる。

　　　

・・

一 ・

……一 ……・

一 …一 ・

一 …

_（・6）

　　　

β≡≡皇生

・

………・

・

…・

…………・

・

……・

……・

…・

（

17

） 　 　 　 　 伽 （15） 式が

，

等 価な期待固 有 振 動 数の無 次 元 量 βと無 次 元 時 間 ピ の関係であ る。 βは妬

，

レ

，

ξお よび τ

「

の関 数 と なるが

，

ξとτ

’

は常に積の形で関 係す る。 　（15） 式でとくに

hp→

・ 。 と_する と

，

　　　

β一 、＋

1

。ξゼ

…………・

……・

………・

…・

・

…・

_（・

₈

_） と な る

。

これは_， ホワイ トノ イズの場 合の _{β と}r

’

の 関 係と してすで に得られ てい る もの1） と同じである

。

　 時 間

t

の無 次 元 量

　　　

・ ・

去

……・

・

…・

……・

一 ………・

……・

・

（

19

） を 定 義す る と

，

（15 ）式は

，

τ

’

≧0つ ま り τ≧ T。 に おい て成 り立つ

。

r ≦ re の と きは _β

＝

1と す る。 　

6．

履 歴 吸 収エ _ネル _ギ

ー

の期 待値 　 　文 献

1

）の 場合と同様に

，

どの よ う なス ペ ク トルで も

，

履 歴 吸 収エ _ネル ギ

ーE

の期 待 値

E

の時 間微 分は

，

　　　

器

一

・

s

（c・e）

・

…………・

……・

………

（・・） である

。

（20）式を （13 ）式で辺々相 除す れ ば

，

　

　

　

器

一

一

譱

一・

・

…・

・

一 …・

・

………・

…・

（

21

） （21）式の_{両 辺}に

d

ω。を乗じて積 分 すれ ば

，

　

　

　

卜

芸

_ゐ

_慧

d

碗

一

澱 2

監

碗 ）

_…・

_…

（

2

・） 次に示 す 累 積 塑 性 率

，

　　　

・

r

瑟

穿

………・

・

……一 一 …

_（・・） を定 義 する と

，

（22）式は

，

　

　

　

天

一

π （

皆

β）

・

…………凾

……・

・

……・

…………

_{（24 ＞} とな る

。

こ れ が累 積 塑 性 率の期 待 値 λと βの関 係 式で ある。 τ≧ TD の と きの βと τの 関 係は （15） 式で与え ら れ てい る か ら， 結 局， λと τの 関係 が （24） 式か ら求め られ るこ とになる

。

τ≦Toで は

，

λ＝ O _{と す}る

。

　と く に （

18

）式の _βを （

24

）式の_右辺に_代入 す る と， 　 　 　λ

＝2rr2

ξr

’

・

・

…



一

一

t・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



コ

…



t−・

・

…



一

コ

・

J・

_（25 ＞ と な る

。

これ は， ホ ワ イ トノイ ズの場合の λの表現 と し て す でに_得ら れて いる もの1） と同じ で ある

。

　ア

．

履 歴 吸 収エネルギ

ー

の分 散 　 履 歴 吸 収エ _ネルギ

ー

の分 散 VEの時 間 微 分は

，

一

一

　

　器

一

_{… （}We｝・茎

一 ・

…・

・

…一 ・

・

……・

…・

・

（・・） と書け る5） e こ こ で， adi は速 度

th

の標 準 偏 差 を表す。 　 （26）式 を （13）式で辺々相 除 すれ ば

，

　

　

譜

一一2

_諺

晃…一 ・

…・

一 …・

・

……一 ・

_（・・） こ こ で

，

ai も 次 式によっ て無 次 元 化す る。

　　　

…

論

一 …一 …・

…一 ………一・

一

イ

28

） 　 （17 ）， （23 ）お よ び （28 ）式を （27 ）式に適 用すれ ば， 次の無次元表現 を得る

。

　

　

　

砦

一一

2

寿

タ

茎

……一

・

………・

一

…・

・

（… 　 定 常ホ ワイトノイズ が非 減 衰 履 歴 1自由 度 系に作 用 す る場 合には，

　　　

ηi＝ δ

褥 ………・

…………・

…一 ・

……

（30） と書ける か ら5） ， （1 ）式の スペ ク トル をもつ 定 常入力 の場 合に は

，

　 　 　 　　 　 　　 　

1

＋

4h

；v’β’ 　 　 　

…・

…・

……

（31） 　 　 　ηi

＝

・

b

　 ξ

・

　 　 　 　　 　 　 （1

−

v2_β2）e十

4

ん｝ノ_β2 とな る

。

こ こで，

b

は復元 力特 性に特 有な定 数である

。

b

の値は解 析 的に は求め られない の で， シ ミュ レ

ー

_シ ョ ンの結果を援用する ことに な る_。 　（31＞式 を （29）式の右 辺に代入 すれ ば， 　 　 　

d

仏

2

π

bi

_ξ　　　　

1

十

4h

_多v

：

_β2 　 　 　 　

……

（32）

　　 　

＝　

　　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　 　 　齠 　　　　βt　　（1

−

v：β2）2十4h ｝v：β2

　

（32 ）式の両 辺に _齠 に乗 じて積 分 すれ ば

，

　

　

　

v・

一

…

砺

［，

1

≡

講

鶤

溺 ］・β 　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

『

¶

・

・

・

・

…

　（33） （33）式の右 辺の積 分 を 解 析 的に評 価する ことは難 し い が

，

数値 的に は容 易に求めら れ る。 紘 は 妬， v

，

ξお よ びβの関 数と な る が

，

βは

hg，

レ

，

ξお よ び τ の関 数で あ る か ら

，VA

は

hg，

レ

，

ξお よ び τ の関 数で あ る。 βや λ は _ξピの_関数 と なっ た が

，

琢 に は ξが単独で現れ る

。

　 （

33

＞式で ン

＝0

と お けば，

　

　

　

V・

一

琴

・

邸

卸

一

・・

b

’ ξ

・

！

ヂ

…・

−t…

（34） と な る。 こ の式に ホワイ トノイ ズの場 合の βと ピの関 係 （

18

）式 を代入 す れ ば

，

　 　 　

VA＝

4πeb2 ξ2f

・

・

・

…

　

t−・

・

・

・

…

　

．

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（35 ） とな る

。

こ れ は

，

ホ ワイトノイズの場 合の累積 塑 性 率の 分 散の_{表 現}としてす でに_得られてい るもの5｝ と同じ であ る。 　 （33）式は

，

τ≧ T。に お い て成り立つ

。

τ≦ u。の と き は

，

VA

＝

O と する

。

　

8．

シ ミュ レ

ー

ショ ンに よ る検 証 　以上の解析 的表現の妥当性を検 証す る た めに

，

モ ンテ

NII-Electronic Library Service カルロ

・

シ ミュ レ

ー

ショ ン に よ る数 値 実 験 が 行わ れ た

。

入力と して _{（1 ）}式のス ペ ク トル を もつサン プル関数が

300

個 作 成さ れ た

。

こ こで，

hg

の値は

0，

6

と し た。 そ れ らに よ る非 定 常な非 線 型 応 答が数値 的に_求め ら れ

，

結 果は統 計 的に処理 さ れ た

。

　等価固有振動数比の期 待値β

，

累積 塑性率の期待値 λ お よびその_{分 散 玖} はい ずれ も u

，

ξお よび τの 関数と な る の で

，

_β

一

τ_関数 ， λ

一

T関係お よび 肱

一

τ関 係 が レ

，

ξ をパ _{ラ メ}

ー

_{タ に し て考 察さ れ た}

。

_{v と し て は}

_，

　

O，1，2，3

およ び4の 5種 類 が 想 定さ れ た

。

v

＝0

は ホワ イト ノ

・

f

ズに対 応し

，

固有 振 動 数に おける スペ ク トル密度は当 初 か ら

S

。である

。

v

＝

1，2，

3

お よび4の場合に は初期の ス ペ ク トル密 度は

，

そ れ ぞ れ その

1．

₆₉₄

_，0．

₄₅₈

_，0．

₁₈₁ お よ び

O．

　

097

倍_{と な る}

。

_{ξと して は}

，O．

025

，

0

．

05

_{お よ} び

0．1

が 想定さ れ た。 　

Figs．

　3

−

5にそ れ ぞ れ ξを

一

定とし たとき の異な る 5 1

．

o β O

．

8O

．

6 o

．

4 O

．

2 つ の レ に対する _β

一

τ 関 係 が 示 さ れてい る

。

実 線が （15） 式で与え られ る近 似 解で あ る。 印を伴っ た実 線は シ ミュ レ

ー

ショ ンの結果を表す

。

v

＝O，1，2，3

および4の場 合 が そ れ ぞ れ ●

，

○

，

△

_，

×お よ び▲ _印に対 応する

。

シ ミュ レ

ー

ショ ンに お け る等 価 固 有 振 動 数は変 位 応 答が時 間軸 を横切 る 回数か ら求め ら れて いる。 　初 期の ス ペ ク トル_{密 度}は v

；

1の場 合が最 も 大き く

，

以 下o，2，3，4の順に小さ く な る。 v

＝1

の場 合は時 間が 経っ につ れてスペ ク トル_密度は 減少す ることにな る が

，

ン

＝

2

，

3

，

4の場合は急激 に増 加 して い く

。

し た がっ て

，

ξτ が大き く な る ほ どp によ る差異は解消さ れ

，

大 小 関 25 冗

　

20 15 TO 5 　 　 0　　　　　　　1Q　　　　　　　20　　　　　30 　　　　τ　40

Fig

．

6

　Time　change 　of　expectation 　of　cu皿uhtive 　ductility

　 　 　factor

　 　 0　　　　　　　1Q　　　　　　2Q　　　　　　30 　　　　　　40

　 　 　 τ_5Q

Fig

_．

₃　Tim ・ ・h・ ・g・ ・f・xp ，ct・ti・n ・f・q・i。、lent・n 。t。・al・f・e

・

　

1

　 　 　quency 　　　　　　4Q 1

．

OP 。

．

80

．

6o

，

4 02 　　 0 　　　　　　10　　　　　　　20 　　　　　　30 　　　τ　　40

Fig

．

4　Time 　change 　of 　expectation 　Qf　equivalent 　natura 且fre

・

　 　 　quency 　1

．

O β

』

　O

．

8O

．

6o

．

40

．

2 　 　 0 　　　　　　　1Q　　　　　　20 　　　　　　50 　　τ　　　40 Fig

_．

5　Time　change 　of　expectation 　Qf　equivalent 　natural　fre

．

　 　 　quency

30 20

lo

　 　 Q 　 　 IO 　 　20 　 　 30 　 τ 40 Fig

．

7　Time　change 　of　expectation 　of　cumulative 　ductility

　 　 　factor 100 瓦 80 60 40 20

　　

Q

　 　

10

　 　

2Q

　 　

3°



τ 4° Fig

_．

₈Time　change 　of 　 expectatien 　of 　 cumulative 　ductility 　 　 　factor

一

₅₃

一

係が逆 転す る場 合 も現れ る

。

近 似 解は

，

v が 大きい場 合

，

シ ミュ レ

ー

シ ョ ンの結果と 必ずし も よ く

一

致し ないが， 全体的にこ のよ う な傾 向をよ く と ら え て お り，

一

応 満足 でき る結 果である

。

　

Figs．

6

〜

8は λ

一

一

　r 関係 を 示し た もの で

，

表 現の仕 方 はβの場 合 と 同 様である。 ξτ が 大きくな るに従っ て λ は単 調に増 加 するが

，

マ ル コ フ ス ペ ク トル を もつ 入 力の 場合1 ｝の よ うに_単純で は な い

。

入力の スペ ク トルが ピ

ー

クを もつ か らである。 線は複 雑に交 錯し

，

当 初は小 さい 　 7

儀

　 654 32

　　

0

　　　　　　

10

　　　　　　

20

　　　　　　

50

　　　　

τ

　

40 Fig

．

　g　Time 　change 　of　standard 　deviation　of　cumulative 　ductil

．

　 　 　ity　‘actor 14q121086

42

　 　 0　　　　　　10　　　　　　　20　　　　　　5e　　　　τ　40

Fig

_．

₁₀Timecha 皿ge　Qf 　 standard deviation　of　cumula ヒive 　 　 　 ducti亘ity　factOT

　28 儀 　24

2016T284

　 　 Q 　　　　　　；O 　　

・

 20 50 _τ40

Fig

_．

_11　Timechange Qf 　 standard 

deviation

of　cumulative

　 　 　 ductility　fact。r

一

₅₄

一

λ でも時 間 が 経つ につ れて他の値 を 追い こ して い く とい う現象がみ られ る

。

近 似 解は シ ミュ レ

ー

シ ョ ンの値 とよ く

一

致し て お り， 満 足で き る結 果である。 　

Figs，

9

〜

11は aA

−

r 関 係 を示したもの である

。

《TA は λ の_標準 偏 差で_，

_π

に等しい

。

近 似 解に おける

b

の値は

，

ホワイ トノイズの場 合の シ ミュ レ

ー

ション の結 果か ら推 定さ れ た

。

定 常 応 答とみ な さ れ る τ

＝

10

−

40 の

30

区 間 に対 し

，

_ξ

＝

・

O

．

025

，

0

。

05_， お よ び0

．

1の 3つ の場 合に つ い て この値の最 適 値が最 小 2乗 法に よっ て求め ら れ た

。

そ の結 果

，

そ れ ぞ れ

，b ＝5．

22，

5

．

01，

お よ び4

．

79

な る値が得ら れ た。 ξに多 少 依 存し て い るよ うにみ える が

，

　 　 　

b

＝5．

00

±

0．

22・

・

・

…

　

t…

　

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

s・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（36） とな り，平 均値か らの偏りは高々 4 ％強である

。

そ こ で， こ の_平均値

5．

00

を

b

の_値とし， それ を使っ て （33 ）式 を評 価し た

。

そ れが 図 中の実 線である

。

近 似 解とシ ミュ レ

ー

ショ ン の値が

一

致す る度 合は， と くに レが 大きい 場 合， あま り よ く ないが， 大 体に お いて傾 向は よ くとら え ら れている といっ て よい

。

　9

．

要 約と結び 　こ の論 文は

，

ス リップ型 履 歴 特 性 を もつ 1_{自由 度 系}に

，

田 治 見が提 案した ス ペ ク トル をもつ _{地 動}が_{作 用}し た_{場 合} の非 線型 ラ ンダム応答の特 性を考 察し

・

た もの である。 等 価 固有 振 動 数 比の 期 待 値β と累 積 塑 性 率の 期 待 値λお よび その分 散 肱 の時 間 的変化に焦 点があて られ

，

近 似 解が理 論的に_導か れ て い る

。

_β，λお よ び 玖 は_， スペ ク トル の ピ

ー

クの 鋭さを表すパ _ラメ

ー

タ

hg

， ス ペ ク トル の ピ

ー

ク の位 置に関す る パ ラメ

ー

タω g に対する系の弾 性 時の 固有 角振動 数dn の 比 レ

，

無 次元入力強 度ξお よ び無 次元時間 τ の関数と し て表 現さ れ てい る

。

近似 解 は シ ミュ レ

ー

ショ ン によ る数 値 実 験 値と比 較され， 関 連 す るパ ラメ

ー

タの広い_範囲に わた り， 総じて それ ら と よ く

一

致 し た

。

　 謝 　辞 　この論 文を作 成す る の に必要な電子 計 算 機に よる演 算 は， 亜細亜堂の西 村 博之氏 （当 時 筑 波 大 学 学 生 ）に負う

。

こ こ に記して感謝す る

。

参考文 献 1） 松 島 豊 ：マ ルコ フ ス ペ ク トルを もつ _地動に よ る履歴1 　 　自由度 系のラン _ダム_{応 答}

，

_{日本 建 築 学 会 構 造 系 論 文報告} 　 集

，

第369号

，

pp

．

42

−

47

，

昭 和61年11月

．

2） 田 治 見　宏：建 築 振動 学

，

コ ロ ナ 社

，

昭 和40 年5月

．

3〕

Housner

，

　G

．

W

．

：Behavier　of　Structures　

during

　Earth

−

　 quakes

，

　Journal　of　the　Engineering　Mechanics　Division

，

　 ASCE ，　Vol

．

84，　pp

．

ユ09

〜

129

，

1959

．

10

．

4）　Rosenbtueth

，

　E

．

　and 　Bustamante

，

　

J．

1

．

_；Distribution〔》f

　 Structural　Response　toEarthquakest　

Journal

　of　the

　 Engineering　Mechanics　Division

，

　ASCE

，

　EM3

，

　_pp

．

75

NII-Electronic Library Service 5） 松 島 　豊 ；各種復元力特性をもつ 1_{自 由 度 系}の累 積 塑 性

．

　　変 形 と耐 震 安 全性

，

日本 建 築 学 会 論 文 報 告 集

，

第291号

，

　 　pp

．

27

−

32

，

昭 和55年5月

．

SYNOPSIS

UDG ；624

．

042

．

7 ：620

．

1

　　

RANDOM

　

RESPONSE

　

OF

　

HYSTERETIC

　

SINGLE −DEGREE

−

OF

−FREEDOM

　

SYSTEMS

　　　　　　

SUBJECTED

　

TO

　

EARTHQUAKE

−LIKE

　

DISTURBANCES

by　Dr

．

　YUTAKA 　MATSUSHIMA

，

　Member

．

　of 　A

．

1

．

J

．

　

This

　_paper　

deals

　with 　the　nonlinear 　random 　response 　of　single

−degree−

of

．

freedom

　systems 　

having

　slip

−

type　

hys−

teretic　restoring 　force　character 三stics

．

　The　ground　mo 吐ons 　are　assumed 　to　

have

　the　power　sPectra 　proposed　

by

Tajimi，

　The　attention　is　

focussed

　Qn　the　time　change 　of　the　expecEation 　of　equivalent 　natural 　

frequency

　ratio _β， the　expectation 　of　cumu 且ative　

ductility

　

factor

λ and 　

its

　standard 　

deviatioh

　aa

．

　

The

　approximate 　solutions 　

for

_β

，

λ

alld _σλare　

derived

　o皿 the　

basis

　of　the　theoretical 重nvestigation

．

　

They

　are　represented 　

in

　terms　of　

four

　non

−

dimeusional

　parameters

−hg

　which 　appears 　in　the　input　spectrum

_，

レ which 　

is

　the　ratio 　o正natural 　

frequency

　

in

　the

elastic　range _{ω o}to _{ω g}which 　appears 　in　the　input　spectrum

_，

　the　nondimensional 　

input

　

intensity

_ξand 　the　non

−

dimensional

　time τ

．

β

一

τ_， λ

一

τ and　aλ

一

τ relations 　with 　parameters_ξand レ reasoqably 　reflect 　the　nonlinearity 　of the　

hysteretic

　system 　and 　the　property 　of 　the　

input

　spectrum

．

　

The

　analytical　results 　

indicate

　that　

in

　the　

inelastic

case 　the　spectral 　valne 　at　the　

initial

　natural 　

frequency

　plays　a　less　important　role 　than　in　the　elastic　

gase

．

　The

approximate 　solu し

ions

　are　compared 　with 　the　

digita

【estimates　obtained 　from　the　Monte　Carlo　simulation

．

　The

agreements 　

between

　the　

both

　are　satisIactory 　over 　the　wide 　ranges 　o正related 　parameters

，

一

₅₅

一