応用数学A

応用数学A

VをS:𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 で囲まれる内部とする。 𝐹 = 𝑦𝑒_𝑥 − 𝑥𝑒_𝑦 + 𝑧𝑒_𝑧 𝑉 𝛻 × 𝐹𝑑𝑉 = 𝑆 𝑛 × 𝐹𝑑𝑆 = − 𝑆1 𝐹 × 𝑛𝑑𝑆 − 𝑆2 𝐹 × 𝑛𝑑𝑆 𝛻 × 𝐹 = 𝑒_𝑥 𝑒_𝑦 𝑒_𝑧 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑦 −𝑥 𝑧 = −2𝑒_𝑧 −2𝑒_𝑧 𝑉 𝑑𝑉 = −2𝑒_𝑧 4𝜋 3 2 3 _{= −} 64𝜋 3 𝑒𝑧

法線ベクトルn 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝛻𝑔 = 2𝑥𝑒_𝑥 + 2𝑦𝑒_𝑦 + 2𝑧𝑒_𝑧 𝛻𝑔 = 2𝑥 2 + 2𝑦 2 + 2𝑧 2 = 2 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 𝑛 = 𝛻𝑔 𝛻𝑔 = 1 2(𝑥𝑒𝑥 + 𝑦𝑒𝑦 + 𝑧𝑒𝑧) VをS:𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 で囲まれる内部 𝑛 ∙ 𝑒_𝑧 = 1 2 𝑥𝑒𝑥 + 𝑦𝑒𝑦 + 𝑧𝑒𝑧 ∙ 𝑒𝑧 = 𝑧 2 𝐹 × 𝑛 = 𝑒_𝑥 𝑒_𝑦 𝑒_𝑧 𝑦 −𝑥 𝑧 𝑥/2 𝑦/2 𝑧/2 = 1 2 −𝑧𝑥 − 𝑦𝑧 𝑒𝑥 + 1 2 𝑧𝑥 − 𝑦𝑧 𝑒𝑦 + 1 2(𝑥 2 _{+ 𝑦}2_)𝑒 𝑧 𝑆1 𝐹 × 𝑛𝑑𝑆 = 𝑒𝑥 2 _𝑆1 −𝑧𝑥 − 𝑦𝑧 𝑑𝑆 + 𝑒_𝑦 2 _𝑆1 𝑧𝑥 − 𝑦𝑧 𝑑𝑆 + 𝑒_𝑧 2 _𝑆1 (𝑥 2 _{+ 𝑦}2 _𝑑𝑆 𝑆 𝐹 ∙ 𝑑𝑆 = 𝐷 𝐹 ∙ 𝑛 1 𝑛 ∙ 𝑒_𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑒_𝑥 2 _𝑆 −𝑧𝑥 − 𝑦𝑧 𝑑𝑆 = _D −𝑧𝑥 − 𝑦𝑧 １ 𝑛 ∙ 𝑒_𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑒_𝑦 2 _𝑆 𝑧𝑥 − 𝑦𝑧 𝑑𝑆 = 0 𝑒_𝑧 2 _𝑆 (𝑥 2 _{+ 𝑦}2 _{𝑑𝑆 =} 𝐷 𝑥2 + 𝑦2 1 𝑛 ∙ 𝑒_𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝜉 = 4 − 𝑟2, 𝑑𝜉 = −2𝑟𝑑𝑟 = 4 0_{4 − 𝜉} 𝜉 𝑑𝜉 = 4 2𝜉 1/2 ₋ 2 3𝜉 3/2 0 4 = − 16 3 =-64 3 𝜋 𝑆1 𝐹 × 𝑑𝑆 = −64 3 𝜋 𝑒_𝑧 2 = − 32𝜋 3 𝑒𝑧 𝑆 𝑛 × 𝐹𝑑𝑆 = 𝑉 𝛻 × 𝐹𝑑𝑉 Gaussの発散(回転)定理 = −2 _𝐷 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = −2 ₀2𝜋 (cos 𝜃 + sin 𝜃)𝑑𝜃 ₀2𝑟 𝑑𝑟 =0 = 2 𝐷 𝑥2 + 𝑦2 4 − 𝑥2 _{− 𝑦}2 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 2 ₀ 2𝜋 𝑑𝜃 0 2 _𝑟2 4 − 𝑟2 𝑟𝑑𝑟

𝑆 𝑛 × 𝐹𝑑𝑆 = 𝑉 𝛻 × 𝐹𝑑𝑉 𝑉 𝛻 ∙ 𝐴 𝑑𝑉 = S 𝐴 ∙ 𝑛 𝑑𝑆 の証明 回転定理 𝐴＝B × 𝑐となるB 𝑐(任意ベクトル)を考えると 𝑉 𝛻 ∙ B × 𝑐𝑑𝑉 = S B × 𝑐 ∙ 𝑛 𝑑𝑆 スカラー3重積 A ∙ B × C=C ∙ A × B 発散定理 𝑐 ∙ 𝑉 𝛻 × B 𝑑𝑉 = 𝑐 ∙ 𝑆 𝑛 × 𝐵 𝑑𝑆 𝑐(任意ベクトル)なので 𝑉 𝛻 × B 𝑑𝑉 = 𝑆 𝑛 × 𝐵 𝑑𝑆

グリーンの公式

• 面積分と線積分を関連させる公式 • ｘy-平面上の単一閉曲面Cで囲まれた領 域をDとする。関数f(x,y),g(x,y)とその偏導 関数がC上および領域Dで連続であるとき。 以下の式が成り立つ。 x y C D ただしこのときCの向きは反時計回りとする。 これをグリーンの公式と呼ぶ。 証明を行っていく。 O GEORGE GREEN ｃ 𝑓dx + 𝑔dy = 𝐷 𝜕𝑔 𝜕𝑥 − 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦

Ⅰ. 図 様に𝑌軸に平行な直線が2点𝐴, 𝐵のみで接する場合を考える。 このとき図の様に接点AからBへの二つの経路C_１: 𝑟 𝑥, 𝜑₁(𝑥) と C₂: 𝑟 𝑥, 𝜑₂(𝑥) を考える(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏)。このときC=C₁-C₂であり ｃ 𝑓dx = c1−c2 𝑓dx = 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥, 𝜑₁(𝑥))dx − 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥, 𝜑₂(𝑥))dx 一方 𝐷 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦= 𝑎 𝑏 𝜑₁(𝑥) 𝜑₂(𝑥) 𝜕𝑓 𝜕𝑦dydx= 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥, 𝑦) _𝜑 1(𝑥) 𝜑₂(𝑥) dx = _𝑎𝑏 𝑓 𝑥, 𝜑_{2 𝑥 − 𝑓 𝑥, 𝜑1}(𝑥) dx よって ｃ 𝑓dx = － 𝐷 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 同様にして ｃ 𝑔d𝑦 = 𝐷 𝜕𝑔 𝜕𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦 即ち ｃ 𝑓dx + 𝑔dy = 𝐷 𝜕𝑔 𝜕𝑥 − 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦

グリーンの公式の証明

x y C₁ D O C₂ A _B a b

II. 図の様に各座標軸に平行な直線が3点以上ある場合 このとき図の様に微小領域に分割することによって、各小領域では その周囲の曲線と各座標軸に平行な直線と2点のみで交わるよう にできる。 そこで各小領域でIの結果を用いて和をとることを考えるが、分割の ために新たに加えた境界面での線積分は互いに 相殺されるために、結果として曲線Cにおいて ｃ 𝑓dx + 𝑔dy = 𝐷 𝜕𝑔 𝜕𝑥 − 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 が成り立つ

グリーンの公式の証明

Cの方向を時計回りとしたとき グリーンの公式はどうなる?

例題

• 曲線Cを長方形D:0 ≤ 𝑥 ≤ 3, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1を囲む 周とし、グリーンの定理を用いて次の線積分の 値を求めよ。 I = C (x3_－3x2_{y)𝑑𝑥 + (2𝑥𝑦 + 𝑦}2_)𝑑𝑦 f(x,y)= x3－3x2y, g(x,y)= 2𝑥𝑦 + 𝑦2 _{とすると,} 𝜕𝑓 𝜕𝑦=-3x 2_, 𝜕𝑔 𝜕𝑥=2yであり グリーンの公式 ｃ 𝑓dx + 𝑔dy = 𝐷 𝜕𝑔 𝜕𝑥 − 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦より 𝐷 2y＋3x2 𝑑𝑥𝑑𝑦= 0 3 0 1 2y＋3x2_dydx = ₀3 y2_＋3x2_𝑦 0 1 _dydx = ₀3 1＋3x2_dx = x＋x3 0 3 =30

グリーンの定理の3次元表示

xy-平面上の単一閉曲線CをC: 𝑟 = (𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 0) (𝛼 ≤ 𝑡 ≤ 𝛽), Cを境界とするxy-平面上の領域Dを曲面S(S: 𝑟 = 𝑥, 𝑦, 0 , (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 )とし、Sの単位法線ベクトル としてz軸方向の基本ベクトル𝑘をとる。このときS上で定義されたベクトル場を A= A(x,y)=(f(x,y), g(x,y), 0)とすると ｃ 𝑓dx + 𝑔dy = ｃ A･𝑑 𝑟 である。 ここでrot Aを考えると 𝛻 × A = 𝒊 𝒋 𝒌 𝜕 𝜕𝑥 , 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑓 𝑔 𝟎 =

‐

𝜕𝑔 𝜕𝑧

,

𝜕𝑓 𝜕𝑧

,

𝜕𝑔 𝜕𝑥

‐

𝜕𝑓 𝜕𝑦

= 0, 0,

𝜕𝑔 𝜕𝑥

‐

𝜕𝑓 𝜕𝑦

これにより 𝛻 × A・𝑘 = 0, 0, 𝜕𝑔 𝜕𝑥 ‐ 𝜕𝑓 𝜕𝑦 ･(0,0,1) = 𝜕𝑔 𝜕𝑥 ‐ 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝐷 𝜕𝑔 𝜕𝑥 − 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝐷 𝛻 × A ・𝑘𝑑𝑥𝑑𝑦 = _𝑆 𝛻 × A ・𝑘𝑑𝑆 即ちグリーンの定理は C A・𝑑 𝑟 = 𝑆 𝛻 × A ・𝑘𝑑𝑆 と書くことができる

ストークスの定理

三次元の曲面とその曲面上で定義された関 数に関し，線積分と面積分を関係づける定理。 グリーンの定理の3次元への拡張 3次元空間内の単一閉曲線Cを境界とする曲 面S: ｒ=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))に対して、S上の単 位法線ベクトルｎを図の様にとる。このときベ クトル場Aとその偏導関数がSを含む領域で連 続であるならば、次の式が成り立つ。 C A・𝑑 𝑟 = 𝑆 𝛻 × A ・ｎ𝑑𝑆

Sir George Gabriel Stokes Wikipedia より

ストークスの定理の証明

右辺＝

_𝑆 𝜕𝐴𝑧 𝜕𝑦

‐

𝜕𝐴_𝑦 𝜕𝑧

,

𝜕𝐴_𝑥 𝜕𝑧

‐

𝜕𝐴_𝑧 𝜕𝑥

,

𝜕𝐴_𝑦 𝜕𝑥

‐

𝜕𝐴_𝑥 𝜕𝑦

・ｎ𝑑𝑆

ここで

𝜕

ｒ

𝜕𝑢

=(

𝜕𝑥 𝜕𝑢

,

𝜕𝑦 𝜕𝑢

,

𝜕𝑧 𝜕𝑢

),

𝜕

ｒ

𝜕𝑣

=(

𝜕𝑥 𝜕𝑣

,

𝜕𝑦 𝜕𝑣

,

𝜕𝑧 𝜕𝑣

),

𝜕

ｒ

𝜕𝑢

×

𝜕

ｒ

𝜕𝑣

=(

𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑧 𝜕𝑣

-𝜕𝑧 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑣

,

𝜕𝑧 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑣

-𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑧 𝜕𝑣

,

𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑣

-𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑣

)

これを用いてA

_x

を含む成分について計算すると

＝ 𝐷 𝜕𝐴_𝑧 𝜕𝑦 ‐ 𝜕𝐴_𝑦 𝜕𝑧 , 𝜕𝐴_𝑥 𝜕𝑧 ‐ 𝜕𝐴_𝑧 𝜕𝑥 , 𝜕𝐴_𝑦 𝜕𝑥 ‐ 𝜕𝐴_𝑥 𝜕𝑦 ・ 𝜕ｒ 𝜕𝑢 × 𝜕ｒ 𝜕𝑣 𝑑𝑢𝑑𝑣

=

_𝐷 𝜕𝐴𝑥 𝜕𝑧

(

𝜕𝑧 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑣

−

𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑧 𝜕𝑣

) −

𝜕𝐴_𝑥 𝜕𝑦

(

𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑣

−

𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑣

) 𝑑𝑢𝑑𝑣

続き

＝

_𝐷 𝜕𝐴𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑣

+

𝜕𝐴_𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑣

−

𝜕𝐴_𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑧 𝜕𝑣

−

𝜕𝐴_𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑣

𝑑𝑢𝑑𝑣

=

_{𝐷 𝜕𝑢}𝜕

(𝐴

_𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑣

) −

𝜕 𝜕𝑣

(𝐴

𝑥 𝜕x 𝜕𝑢

) 𝑑𝑢𝑑𝑣

グリーンの定理を用いると

= ｃ 𝐴

𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑢

𝑑𝑢 + 𝐴𝑥

𝜕𝑥 𝜕𝑣

d𝑣= ｃ 𝐴

𝑥

𝑑𝑥 , (𝑑𝑥=

𝜕𝑥 𝜕𝑢

𝑑𝑢+

𝜕𝑥 𝜕𝑣

d𝑣)

𝐴

_𝑦

𝐴

_𝑧

でも同様であり

C

A・𝑑 𝑟 =

𝑆

𝛻 × A ・ｎ𝑑𝑆

2行目の変換ではA(x,y), x(u,v), y(u,v)より

𝜕𝐴 𝜕𝑢

=

𝜕𝐴 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑢

+

𝜕𝐴 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑢

を用いている

=

_𝐷 𝜕𝐴𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑣

−

𝜕𝐴_𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝜕𝑢

𝑑𝑢𝑑𝑣

II. 図の様に各座標軸に平行な直線が3点以上ある場合 このとき図の様に微小領域に分割することによって、各小領域では その周囲の曲線と各座標軸に平行な直線と2点のみで交わるよう にできる。 そこで各小領域でIの結果を用いて和をとることを考えるが、分割の ために新たに加えた境界面での線積分は互いに 相殺されるために、結果として曲線Cにおいて ｃ 𝑓dx + 𝑔dy = 𝐷 𝜕𝑔 𝜕𝑥 − 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 が成り立つ

グリーンの公式の証明

Cの方向を時計回りとしたとき グリーンの公式はどうなる?

ストークスの定理の物理的意味

• _𝑆 𝛻 × A ・ｎ𝑑𝑆 この𝛻 × AはAの回転を表している。 • これの面積分を取っているということは 𝛻 × A A C A・𝑑 𝑟 𝑆 𝛻 × A ・ｎ𝑑𝑆 図は物理のかぎしっぽより C A・𝑑 𝑟 = 𝑆 𝛻 × A ・ｎ𝑑𝑆

例題

曲面S：z=1-x2_-y2 _{(z≧0)に対してSの境界をC: 𝑟 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑖𝑛𝑡, 0 , 0 ≤}

𝑡 ≤ 2𝜋とする。このときベクトル場A =(-y,x,z)に対してストークスの定理

C A・𝑑 𝑟 = 𝑆 𝛻 × A ・ｎ𝑑𝑆が成り立つことを示せ。

d r=(-sint, cost,0)dtであり。C上ではベクトル場

A=(-sint, cost t, 0)よってA・d r =(sint2_{t +cos}2_{t )dt=dt}

よって _C A・d r= ₀2𝜋1𝑑𝑡=2π 一方 𝛻 × A = 𝒊 𝒋 𝒌 𝜕 𝜕𝑥 , 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 −𝑦 𝑥 𝑧 =(0,0,2) また法線ベクトルは𝜕 𝑟 𝑡 𝜕𝑥 × 𝜕 𝑟 𝑡 𝜕𝑦 = (1,0, −2𝑥) × (0,1, −2𝑦)=(2x,2y,1) この方向は図の単位法線ベクトルと同じである、よって

𝑆 𝛻 × A ・ｎ𝑑𝑆= 𝑆 𝛻 × A ・𝑑 𝑆 = _D 𝛻 × A ・𝜕 𝑟 𝑡 𝜕𝑥 × 𝜕 𝑟 𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = _D 0,0,2 ・(2𝑥, 2𝑦, 1)𝑑𝑥𝑑𝑦 = _𝐷 2𝑑𝑥𝑑𝑦 = 2π (Dはxy-平面上への正射影であり面積π)

𝑖を電流密度ベクトル𝐵をそれによって発生す

る磁場ベクトルとすると、アンペールの法則

は以下のように書かれる

ストークスの定理より 𝑖を𝐵で表すと。 𝐶

𝐵・𝑑 𝑟 = 𝜇

₀ 𝑆

𝑖・ｎ𝑑𝑆

左辺＝

_𝑆

𝛻 × B ・ｎ𝑑𝑆

よって𝜇

₀

𝑖=𝛻 × B

ガウスの発散定理別の方法による導出

(x,y,z) (x+Δx,y,z)

A=(A_𝑥, A_𝑦,A_𝑧)

図のような微小な閉じた空間を考える。 矢印に垂直な面について考えると

A･ｎ ΔyΔz= {−A_𝑥(x,y,z)+ A_𝑥(x+Δx,y,z)} ΔyΔz =𝜕A𝑥 𝜕𝑥 ΔxΔyΔz =𝜕A𝑥 𝜕𝑥 V 同様に他の面でも A･ｎ ΔzΔx=𝜕A𝑦 𝜕𝑦 V

A･ｎ ΔxΔy=𝜕A𝑧

𝜕𝑧 V 空間はこれらの和によって表すことができ A･ｎdS=𝛻 ∙ AdVこの極限を考えれば s A ∙ 𝑛𝑑𝑆 = V 𝛻 ∙ AdV よってガウスの定理が成り立つ S

極座標表示 復習

媒介変数 𝑟, 𝜃, 𝜑

x

ｙ

z

X,Y平面上への ｒの射影成分 大きさはr sinθ X= r sinθcosφ Y= r sinθsinφ

𝑟 𝑟, 𝜃, 𝜑 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑟 s𝑖𝑛 𝜃 cos 𝜑 , 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜑 , 𝑟 cos 𝜃)

(0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋/2, 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋)半球面 (0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋, 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋)全球面 e_r e_θ e_𝜑 e_r × e_θ = e_𝜑

なぜ極座標必要？ 例題

• 半球面S： 𝑟(𝑥, 𝑦, 𝑧) x2_+y2_+z2_=a2 _{この面積を求めるには} • このとき変数をx,y,zと考えると… 𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

dx,dy,dz積分範囲分からない･･･

x y z

図で見る極座標

表示

面積： Ds=rdθ r sin θ dφ =

r

2

_{sin θ}

_dθdφ

体積： Dsｄｒ=dV=

r

2

sin θ

drdθdφ

J = (𝜕𝑥, 𝜕𝑦, 𝜕𝑧) (𝜕𝑟, 𝜕𝜃, 𝜕𝜑) = 𝜕𝑥 𝜕𝑟 𝜕𝑥 𝜕𝜃 𝜕𝑥 𝜕𝜑 𝜕𝑦 𝜕𝑟 𝜕𝑦 𝜕𝜃 𝜕𝑦 𝜕𝜑 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝜕𝜃 𝜕𝑧 𝜕𝜑 ヤコビアン 図：岩波書店 物理のための応用数学より

𝑟(ρ, 𝜃, 𝑧) = (ρ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , ρ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ,z)

円柱座標

x y z ρ ｒ θ J = (𝜕𝑥, 𝜕𝑦, 𝜕𝑧) (𝜕ρ, 𝜕𝜃, 𝜕𝑧) = 𝜕𝑥 𝜕ρ 𝜕𝑥 𝜕𝜃 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕ρ 𝜕𝑦 𝜕𝜃 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕ρ 𝜕𝑧 𝜕𝜃 𝜕𝑧 𝜕𝑧 ヤコビアン 𝑉 f(r)𝑑v = 𝐷 𝜑 ρ, θ, 𝑧 J 𝑑ρ𝑑𝜃𝑑𝑧 図：岩波書店 物理のための応用数学より θ 図よりds=rdθdz dV=rdθdzdr

例題

• 半球面S： 𝑟(𝜃, 𝜑) = (𝑎 s𝑖𝑛 𝜃 cos 𝜑 , 𝑎 sin 𝜃 sin 𝜑 , 𝑎 cos 𝜃) (0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋/2, 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋)の面積を求めよ

• この時媒介変数は𝜃,𝜑

𝜕 𝑟

𝜕𝜃 = 𝑎(cos 𝜃 cos 𝜑 , cos 𝜃 sin 𝜑 , − sin 𝜃) 𝜕 𝑟

𝜕𝜑 = 𝑎(− s𝑖𝑛 𝜃 sin 𝜑 , sin 𝜃 cos 𝜑 , 0)

𝜕 𝑟 𝜕𝜃 × 𝜕 𝑟 𝜕𝜑 = 𝑎 2 𝑖 𝑗 𝑘

cos 𝑢 cos 𝑣 cos 𝑢 sin 𝑣 − sin 𝑢 − s𝑖𝑛 𝑢 sin 𝑣 sin 𝑢 cos 𝑣 0

= 𝑎2_(s𝑖𝑛2_{𝜃 cos 𝜑, s𝑖𝑛}2_{𝜃 s𝑖𝑛 𝜑, s𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃cos}2_{𝜑+ s𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃sin}2_𝜑)

= 𝑎2_(s𝑖𝑛2_{𝜃 cos 𝜑, s𝑖𝑛}2_{𝜃 s𝑖𝑛 𝜑, s𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃)} cos 𝜃 cos 𝜑 cos 𝜃 sin 𝜑 − sin 𝜃 × − s𝑖𝑛 𝜃 sin 𝜑 sin 𝜃 cos 𝜑 0 S ｄｓ = 𝐷 𝜕 𝑟 𝜕𝜃 × 𝜕 𝑟 𝜕𝜑 𝑑𝜃𝑑𝜑

演習 (1)以下の円柱の側面の面積を積分からもとめよ 𝑟(𝜃, 𝑧) = (𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ,z) (0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑏, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋), 𝑎, 𝑏, > 0 𝜕 𝑟 𝜕𝜃 = −𝑎𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑎𝑐𝑜𝑠𝜗, 0 , 𝜕 𝑟 𝜕𝑧 = (0,0,1) 𝜕 𝑟 𝜕𝜃 × 𝜕 𝑟 𝜕𝑧 = (𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑎𝑠𝑖𝑛, 0) =a S f(r)𝑑𝑠 = 0 𝑏 0 2𝜋 𝑎𝑑𝜃𝑑𝑧 = 2𝜋𝑎𝑏 または図よりds=rdθdz θ S f(r)𝑑𝑠 = 𝐷 𝜑 𝑢, 𝑣 𝜕 𝑟 𝜕𝑢 × 𝜕 𝑟 𝜕𝑣 𝑑𝑢𝑑𝑣 (２)(1)面上でのスカラー量cos2_{θの面積分を求めよ} (1) (2) S f(r)𝑑𝑠 = 0 𝑏 0 2𝜋 𝑎𝑐𝑜𝑠2_{𝜃𝑑𝜃𝑑𝑧 = 𝑎𝑏} 0 2𝜋_{1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃} 2 𝑑𝜃 =𝑎𝑏 1 2𝜃 + 1 4𝑠𝑖𝑛2𝜃 ₀ 2𝜋 = 𝜋𝑎𝑏

𝜕 𝑟 𝜕𝜃 × 𝜕 𝑟 𝜕𝜑 = 𝑎 2 _s𝑖𝑛4 _{𝜃 cos}2 _{𝜑 + s𝑖𝑛}4 _{𝜃 sin}2 _{𝜑 + s𝑖𝑛}2 _{𝜃 𝑐𝑜𝑠}2_𝜃 =𝑎2 s𝑖𝑛4 _{𝜃 + s𝑖𝑛}2 _{𝜃 𝑐𝑜𝑠}2_𝜃 =𝑎2 _s𝑖𝑛2 _𝜃=𝑎2 _{s𝑖𝑛 𝜃} したがって面積は S= ₀2𝜋 ₀𝜋/2 𝜕 𝑟 𝜕𝜃 × 𝜕 𝑟 𝜕𝜑 𝑑𝜃𝑑𝜑 であり = ₀2𝜋 ₀𝜋/2 𝑎2 _{s𝑖𝑛 𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜑} = 2𝜋𝑎2 0 𝜋/2 s𝑖𝑛 𝜃 𝑑𝜃 =2𝜋𝑎2 (0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋/2, 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋)

ガウスの発散定理

• 球面のようにその曲面によって空間を内側と外側 を分けることができるような曲面を閉曲面と呼ぶ。 Sの単位法線ベクトル𝑛の向きをSの外向きとする。 またベクトル場Aは空間V内で連続とする。このとき s A ∙ 𝑛𝑑𝑆 = V 𝛻 ∙ AdV 閉局面Sによって囲まれた立体をVとするとき、 空間Vにおいて定義されたスカラー場φに対し て、 _V 𝜑dVを立体Vにおけるスカラー場φの体 積分を表すことにすると、以下のガウスの発 散定理が成り立つ。

Carolus Fridericus Gauss Wikipedia より

ガウスの発散定理の証明

M x y z S₁ S₂ 図のような空間Vを考え上下で割った曲面S1とS2を考える

S1=(x,y,f₁(x,y)), S2=(x,y,f₂(x,y)), A=(A_𝑥, A_𝑦,A_𝑧) Aのz成分についてのみ考えると右辺は V 𝜕A_𝑧 𝜕𝑧dV= V 𝜕A_𝑧 𝜕𝑧dxdydz = _{𝑀 𝑓} 2(𝑥,𝑦) 𝑓₁(𝑥,𝑦) 𝜕A_𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 = _𝑀 A_𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑓₁(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 − _𝑀 A_𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑓₂(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 ここで面𝑆₁上ではdxdy=𝑘･ｎds, 面𝑆₂上ではdxdy=−𝑘･ｎds 𝑀 A𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑓1(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝑀 A𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑓2(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = _S1A_𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑓₁(𝑥, 𝑦) 𝑘･ｎds + _S2A_𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑓₂(𝑥, 𝑦) 𝑘･ｎ𝑑𝑠 = _S A_𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑘･ｎd𝑆 ｎ 𝑘 ｎ 𝑘 V s A ∙ 𝑛𝑑𝑆 = V 𝛻 ∙ AdV

証明続き

同様に V 𝜕A_𝑥𝑥 𝜕𝑧 dV= S A𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑖･ｎd𝑆 V 𝜕A_𝑦 𝜕𝑦 dV= S A𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑗･ｎd𝑆 よって V 𝜕A_𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕A_𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕A_𝑧 𝜕𝑧 dV = _S A_𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑖･ｎ + A_𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑗･ｎ + A_𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑘･ｎd𝑆 即ち s A ∙ 𝑛𝑑𝑆 = V 𝛻 ∙ AdV