香川大学農学部学術報告 欝34巻 欝1号 87∼96，1982
曲げ部材強度に及ぼす操りの影響について
Ⅱ半円形片持梁について（2）
宮 和 彦
EFFECTOFTORSIONONBENDINGSTRENGTHOFSTRUCTURALMEMBERS
ⅡRegardingCantilevet beams with semicircular sectrion（2）
Kazuhiko SANNOM王YA
Thepurposeofthis paperis to study theeffbctsof torsionon thebending strengthof the structural
members and to try to evaluate the sa飴tyofthe main framlng Of the agricultur’allaIge StruCture・
Following the previouspaper，aSbasic researchfor that，herefrom thebeh占vio吏ISOfcantileverbeams With semici↑TCularsectiondueto thecombined momentsofdiffbrent kindsofratiooftwisting mom9nt l
tobending homent，theeffectsoftorsiononthe bending strengthofbeams．andthe relation between
the ratiooftwistingmoment tobendingmOmentand the factorofsafetywe‡e Studied．
From these studies，the following can bemain1yindicated：the torsionalstresseshaveagreatinfluence OnthebendingStrengthofbeamswithopen section．There董bre thIOugh theuseofequation（11）employ・ ed to take account of torsionalstressesin this paper’regardlessof the ratio of twistingmoment to
bending moment，it seems that the saibty can be covered by theuse of the usualfactorof safbty
Which，fbr pIaCticalusage，isusuallyabout17。Evenif the ratio−Of twisting moment to bending momentis belowa董ew percent，CaremuSt be taken not to neglect the torsionalstresses，because thefe i軍aPO§Sibilitythatthes？fetycannotbecoveredbytheuseoftheusualfactorofsafety・ 本研究の目的は部材の曲げ強度に及ぼ㌻揆りの影響を調べ，農業用大型施設構造物骨組主構の安全性の評価に資す ることにある．そのための基鱒的研究与して，前報に引続いて今回半円形片持梁に掠りと曲げのモ・−メソト比を変え て作用させ，生ずる梁の挙動から，操りの影響並びにモーメント比と安全率との関係を探った，その結果開断面梁の 場合摂り応力の曲げ強度に及ぼす影響は極あて大きく，本文中の振り応力を考慮した（11）式を用いると，掠りと曲 げの割合に関りなく通常の安全率1て程度で実用上支障のない種皮の安全性は保たれるが，たとえ振りモ・−メン、トが 曲げモ−’メシトの数％程度以下で、ぁっても，振り応力を無視すると通常の安全率程度では安全性をカバ1−出来ない恐 れがあり注意を要すること，等を指摘した． ま え が き 本研究は骨組構造の安全性を評価するための基礎的研究として，振りと曲げを受ける薄肉開断面部材の強度さこ・うい て理論的並びに実験的研究を行ない，その結果部材の曲げ強度に及ぼす振り応力の影響を探らんとするものである． 前報（1〉では実用断面に拘ることなくせん断中心が重心と痕も離れた’薄肉開断面として単円形染をとらえ，これが摂 りと同時に曲げを1：10の割合で受ける場合の携り応力の影響について報告した．今回引続いてやや厚肉の半円形片 持梁に速成モ・−メントの比率（脇／脆）を数種類変えて作用させ，結果生ずる梁の挙動と強度について理論的，実 験的検討を加え，梁の曲げ強度に及ぼす振り応力の影響，凡才g／肪と安全率，理論式の適用等について調べてみたの で，その結果をまとめて報告する 理 論 強 度 1．革本式
前報（いを参照し，振りと曲げの達成モ・−メントを受ける梁（2−3・4）の断面応力．並びに摂り角については次式を基本式 とする． 1）断面応力
阿抽済＋あ〝￠〝
…（1） 些 ……（2） T＝け才＋丁即十rⅣ＝−一茂‡：〆ゐ・G酢一等 ここで，Jβ，JⅣ：それぞれ曲げモーメント且グム，反り拘束によ る軸方向応力 TB，Tsv，TLw：それぞれ曲げモIqメント 脆，St．Venantの 振り，反り振りによるせん断応力 伽”：単位反り ざの：反り1次モーメント 2）振り角 頼りに対する境界条件を1嫌固定（Z＝0で￠＝￠′＝0），他蛸 自由（Z＝エで￠〝＝0）とすると（5〉 ￠＝姦トZ−Si血Z・加地エ（cosh入Z−1）］・…‥（3） YFig．1．Cantilever．beam with thin−Wal1ed semicircular section． （3）式をZで微分すると
越≡トーC。ShZ＋也nh入エsinh九Z
凡才g …・（4） …・・く5） r・（6） ￠〝入βん 凡才ヱ ＝−Sinh入Z＋tanl1ゝLcoshゝZ ￠〝βん 九す∫ ＝−COShlZ＋tanh入Lsinh九Z 2．梁の強度 Fig・1に示すような・半円形片持梁の自由輯外縁に，重患荷重￠を救荷するものとす・る．計鄭こ用いる染の寸法と 記号はTable5の各試験党を対象として取り上げる1）断面内恥ざの，．γ・‡；即納の変化
断面盈は半円形梁では次式の如く表わされる． α〟ル2＝− 汀 ∫ひ／願（好一β）一旦sinβ クー γル’＝COSβ ‡三・γ旭ル2才＝Sinβ ……（7） （7）式を染の仝断面（β＝0∼方）にわたって図示すればFig・21・Variationsof仇，So，．yand！：．ytds・ Fig・2の如くになる・
2）￠′，￠〝，￠〝の変化 試験染の材質はSTK41である．Tab王e7に示す引張試験結果に基づき，ポアソン比〝芸0．26とすると G 膏 0■397 ∴入＝ノ警＝0・049cm−1ここで戯＝＝1・918cm4
ん＝∼：q≡≠ゐ＝が（宗一意）＝321cm6 従って各梁について才α乃ゐ入エが求め得るから，この値を（4），（5），（6）式の右辺に代入すると梁の長さ方向に対三宮和彦：曲げ部材強度に及ぼす挨りの影響 89
Fig”3。Variations of￠′，4・n and￠W． 応する￠′，￠〝，￠〝の変化が分るり この変化を図示す ればFig．3の如くになる． 3）合成軸方向応力♂ i）曲げモ・−メソト爪先による軸方向応力♂。 脆はZ＝0で最大となり （凡才∬）max＝−Qエ Fig．4．Distributions ofo・B，0・wand（qB＋0・w）．， ＝ （肌）maxッ＿＿2（∼エツ 〃■β ム 方γ＄才 ここでム＝‡‡ッ触＝苧 ・壁＝一意cosβ ‥ Q ii）反り拘束による軸方向応力J〝 Fig．3に示した如く ￠〝はZ＝0で最大となり，（5）式から （￠〝）max入飢＝ねnh入工 几すg ′⊥爪 凡才g ⊥〈＿L、− 4tanb入．エ ・…・（8） 且 ． （￠りm。Ⅹ＝こ手写昌一也nb入．乙 ふ叫‘…■、’■￣‘ 入弘 （宗一‡）ぬ βr4 A壁 ここで肌＝（勘十1．％・。l）Q＝ 冗● ん＝（宗一吾）摘 ．旦 4tanb入エ ￠・〝＝払（￠〝）max＝（号−β−些㌘） （蛋一書）汀れ γ2 ここで￠〝＝デ2（号−β一重㌘） ♂Ⅳγ2 4也nb入エ を−β一重㌘） ……（9） ￣￣￣￣ ‥百 従って（8），（9）式から，Z＝0断面での合成軸方向応力Jは次式の如く表わされる． 4tanb入エ を・−β一重㌘） ・l…‖（10）
＝・＝−慧cosβ＋
＼1∠ガ／ （8），（9），（10）式を試験梁のZ＝0の全断面（β＝0∼灯）にわたって図示すればFig，4の如くになる． この図から分るように，Jの最大値ほ何れもZ＝0断面のβ＝0（oT・打）の位置で生ずる．この位置ではCOSβ＝1となるからFig．1の点0でのJは， 匹 グ＝♂β＋Jy＝一．＋ Q（号−・ま） γ2 好オγき●（蛋−‡）符れ またβ＝0（or好）．の位置ではJ．とJⅣは異符号であり，JⅣが断面の厚さ方抑と変化しないと仮定すると，（ケ）max は♂タの触億の最小の所・すなわち円弧内側縁瑞（・γ＝γ一昔）で生ずることになり
2エQ（γ−を）．蜘hエ＿Q（号−ま）
・・（11） （ケ）max＝一望・⊥下立＋ 汀才 r之 （宗一‡）打払 なお円弧外側線輪の応力は些・竺＋
げ＝− ・ rヱ 汀′ r3 ●／′汀8 8＼ム （11）式を用い，各試験梁のZ＝0断面（ただしβ＝0）の（♂・）maxを求めるとTablelの如くになる＼表中に円弧 外側縁瑞での応力を合せ示してある． Tablel．．Values of maximumlongitudinalstresses 4）合成せん断応力で i）St…Venantのせん断応力Tsv （丁即）max＝Gf（￠′）max （12）上式の（￠′）ma又はFig．3から分るようにZ＝エの位置で生ずるから，（4）式にZ＝エを代入すれば各梁に対応
する（￠′）maxの値が求まるいこの値を一（12）式に代入して求めた（丁ざγ）maxの値はTable2に示す如くである・ 附 曲別こよるせん断応力丁β 曲別こ伴なうせん断応力は材鱒こ沿って一徳であるから rβ＝瑠：殖＝一品i；・伸 上式で‡三〆ゐはFig小2よりβ＝号で最大となることが分り／・この位置では ，r ‡：畑＝！…γCOSβ・tI・dβ＝〆2≠ 従って丁βの最大値は次式で或められる（Tj）。aX＝⊥空・旦
方才 γ2 （13）式を用いて求めた（丁β）恥Ⅹの値をTable2に示してある・ iii）反り涙りモこよるせん断応力Ty ‥…（13）91 三宮和彦：曲げ部材強度に及ぼす挨りの影響 F短．3から分るように，￠〝の最大値は梁のZ＝0の位置で生ずる・（6）ノ式にZ＝0を代入すると 八′r∼ （￠りmax＝一死 またFig・・2からざ￠はβ＝言（of晋）の位置で最大となること嘩り・そ？胤子 （ぶの）ma‡＝7・8才（諾一意sin言） 従って断面内のTⅣの最大値ほ次式で表わ挙れる （ 宗一まsin昔）摘
斤・、、・…♪王．＿や、・。こ三＝
×4（∋γ「
…（14） ＝2・070与・ （丁Ⅳ）max＝− 午三＿j 12 汀 方γ5才2 なおZ＝エ断面における丁Ⅳの最大値は，（6）式でノZ＝エとおくと ￠〝＝（−COSh症＋血hエs血エ）笈となるから，（14）式に異に対応する各係数（−COS肋エ＋tan肋エsinh入エ）を乗ずれば求まる・このようにして
求めたZ＝エ断面内の（丁Ⅳ）maxの値と，また（14）式から求めたZ＝0断面内の（Ty）maxの値をTable2に示して
Table2．Values of（丁，，，）max，（TB）max and（Tw）max
ある、 梁の断面に働らく合成せん断応力はi）∼iii）で示した各 せん断応力を重ね合せればよい．ここでは曲げせん断応力丁β は材軸に沿って一定であるから，梁の長さ方向に対応する合 成せん断応力ゐ変化はFig．3 から判断出来る．すなわち合 成せん断応力が大で注眉すべき断面はZ＝00Ⅰ■エの位置で あり，裟の中間は考慮する必要がないと思われる小注目すべ き位置での各県のせん断応力を一億示すとT坤1e2の如く になる．Table2から判断されるように，染のZ＝0断面に 生ずる各せん断応力の和は，Z＝エ断面のそれに比べか−ダ ーが小さく，従ってZ＝エ断面でのせん断応力の和に注目す ればよいことが分る．また（丁♂γ）maxは（12）式に示すよう にβに無関係であるが，（丁β）maズと（丁〝）maxは同一漸面 内で発生する位置がそれぞれ異なる．いま（丁β＋丁〝）朋ほを 求めるために，βに対応する（丁■＋Tw）の変化を調べてみる とFig．5の如くになる このようにして各梁について（丁β＋丁−γ）の変化を調べ（丁∫ 十丹）maxの値を求めると，各笑のZ＝エ断面に生ずる最大 合成せん断応力は次式から求められるL． 5 0 ￣つ →10 −15 5 0 −5 −†0 −15 も十乙 SCTB−・Bl Fig．5．DistIibutions ofTB，Twand（・rB十1・平）．
い‖・（15）
（丁）max＝（丁，，）max十（丁β＋Ty）max （15）式を用いて求めた（丁）maxの値はTable3に示す如くである．
Table3．Ⅴalues of maximum shearing stresses
5）支配応力 各梁の強度を支配する応力は，（11）式から求めたでablelの最大合成軸方向応力（J）maxか，（15）式による
Table3の最大合成せん断応力（丁）maxの何れかである．Table7の引張試験結果から降伏応力皮0・yは分るが，
これに対応する降伏せん断応力度丁∫は不明である．このためいまⅦnMisesの判定式を用い，r．γ＝ケ．，／ノう＝1790 （kg／cm2）としてTablelで（q）max＝cr，，Td）1e3で（T）max＝T．yと置くと各梁のそれぞれの降伏荷重Qが算出 出来る．それらの値を一・指示すとTable4の如くになる Table4．Values of yieldingloads （一丁）max＝r．γ TastBeam 】 （q）max＝0・y この表から分るように，何れの笑も（丁）maxが丁，，に達する以前に（♂）maxがグ．，に達する．従ってこれらの梁の場 合，強度を支配する応力はすべて合成軸方向応力であると判断される． 実 験 内 容 1い 試験梁 試験梁は鋼管を，電鍵線を避けて軸方向に断面を半裁して作成したものである． 1）寸法と分類 梁の断面は等厚の半円形で，片滞梁形式とするために1端は剛なる端板に隅肉溶接され，端板は固定壁（H形鋼） のフランジ面にボルトで緊結される．梁の寸法と分類をTable5に示す． 2）材質 梁の材質は一・般構造用鋼管材STK41である．その化学成分並びに機械的性質はT幼1e6，Table7に示す如ぐで ある．三宮和彦：曲げ部材強度に及ぼす摂りの影響 Table5．Classification of Test Beams
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Dimension（mm） r x t x L
Dimension Ratio
r／t L／r
Material Test Beam
SCTB−Bl・1，2 SCTB¶B2・1，2 66．7×6．5×1400 聖しヱ聖 一皿＝
10．318．0巨
66．7×6．5×1200 66．7×6．5×1000 SCTB¶B3・1，2 SCT王う皿B4・1，2 SCTIヨーB5・l，2 STK41 m−Table6．Chemicalcompositions（％）of test beams P S X tOOO
C 巨 SiMn
xlOO 喜 ×iOO F。 Test Bealll2515‡Re・
SCTB−B 10 妄 2 59 2．実験方法 1）載荷方法 Fig．6，Fig．7に示すように片持光軸拗郎）l旧邸豹備に1点瀾挿し，梁長を変えることにより究の断面に働らく振 りと曲げのモ…メソト比を変える方法をとった． フ 777777777 777Fig．7．Side view of seトup． Fig．6．Test setニup． 2）試験梁の端条件並びに測定方法 試験架の1嬬に溶接された輔板は，l■靴走壁甚ボルトで緊結されている．従って試験架の鮪象裾ま1端は反り巨用：】， 他端はエ軸（強軸）まわりの曲げ及び5納まわりの振りに対し，概ね固定支持（Z＝0でぴ＝＝む′＝0，￠ニ￠′ニ0 ，〃， ￠：垂1要覧たわみ，絞り角）を溝昆しているものと考えられる．なお賊荷にイ、‡まなう架の変形（〃，￠，ど）の測定方法につ いては前報（1）と同様であるのでそれを参照されたい． 実 験 結 果 1．引張試験 試験梁より切り取って作成したJIS12号B試験附こついて実施した肛張試験紙米をTable7 に，また応力h歪曲 線をFig．8に示す．この図から判断されるように，鋼管材STK41ではSS41材のようには降伏応力度りが明瞭に 出ない∴表中のαプは何れも0．2％の残留歪を生ずる応力をもってそれと判定したものである． 2．梁の曲げ振り試験
Table7．，Results of coupon test
2 0 ￠U 6 一川7 2
一1 I− ▲U 一U O O
O ︵U n︶ nU O ▲U へE⊥︶N≡1 lll ︵︻2u＼言s：こSl 0 005 01 015 0Z O25 03 035 → 少（Radian）
Fig10Twisting moment vstwist angle
＋しSlra川（xlO￣6） Fig8Stress−Strain curves（STK41，t＝6．5mm） 1）断面の軸方向歪分布 合成軸方向応力が最大とな るZ＝0断面の歪分布が，摂 りと曲げの速成モ・−メソトの 増大につれて変化する様子を Fig．9に示す 2）振り角￠ 梁の中央付近の断面につい て，振りモーメントの増大に 伴ない振り角￠の発達する 様子をFigい10に示す． 3）たわみ変形γ 梁の自由端のたわみぴが， 荷重の増加と共に発達する様 子をFig．11に示す，図中に 0 200￠ 40￠D ー4州 −280D 8 2800 48DO ・・6800 −40D8 ・一2000 Fig．9．Distributions oflongitudinalstrains 摂りを全く無視した曲げモーメントのみによる計界たわみを，比較のため合せ示してある・ 4）降伏荷重と崩壊荷重 Table7に示す引張試験紙果を用いて，♂γ／Eを降伏盃ざ一，（＝1560×10−6）と考え，試験究で合成軸方向応力Jが 最大となるZ＝0断面の円弧内側縁端の歪が，ど．，に等しくなるときの荷重をもって梁の実験降伏荷重Q一；ガ♪と判定し たまた参考としてFigl8の応力ー歪曲線に遮づいてグ．，に対応する降伏盃（すなわちざ．，＝3560×10￣6）を調べ， 試験梁の円弧内側縁端の歪が実際にこのざ，に等しくなるときの荷重を《￠；＃♪》として合せて取り上げてみた“崩壊 荷重銚ヤについては実験装置等の都合上崩壊に至るまで載荷出来なかったので，〉の記号でそれを表わすことにし
三宮和彦：曲げ恥材強度に及ぼす振りの影響
Table8．Comparison of the experimentalvalueswith theoreticalvalues
95 Test Beam SCTモトBl・1（Mz／Mx＝0．061） SCTB・・・・Bl・2（Mz／Mx＝0．061） SCTB仙B2・1（Mz／Mx＝＝0．071） SCTB…B2・2（Mz／Mx＝0．071） SCTB＝ルB3・1（Mz／Mx＝＝0．085） SCTB仙B3・2（Mz／Mx＝＝0．085） SCTB−・B4・1（Mz／Mx＝＝0．106） SCTB，・B4・2（Mz／Mx＝0．tO6） SCTB−ⅣB5・1（Mz／Mx＝＝0．142） SCTBmB5・2（Mz／Mx＝＝0．142） ︵喜こ ロ・l ▼0 2t】 40 60 80 100 −V（mm）
Fig．11．Load vs，deflection． Fig．12．Deformed test beams．
た． いま（11）式の（α）m。ⅩをJプと置いて劉」ルた荷重を理論降伏荷重Qふ力，一方振りを全く無視したときの梁の 降伏荷重をQプとすると，これらの他に対して実験強度を比較すればTable8の如くになる．また究の戌荷後の変 形の様子をFig．12に示す． 考 察 男主に振りと曲げの速成や−メソトが作用すると，曲げモーメントのみ作用する場合に比べ梁の挙動は可成り複雑な 様子を墨する．断面の軸方向盃分布はFig．9に示したように2【ill率となり，かつ曲率は〝z／脆（几ダヱ：振りモーメ ント，財∬：曲げモーメント）に影響されるが，盃分布の形状についてはFig．4の（Jβ＋J事r）の分布形によく対応 していることが分る．またTablelに最大合成軸方向応力（♂）maxを示したが，Fig・9の歪分布においてもi隼狐内 側縁璃の盃が円弧外側縁璃のそれより明らかに大なることが認められる．断面の振り角 ￠についてはFig・10から
判断されるように，振りモ・−メント几グzが比較的小なる段階では測定値と理論値はよく合うが，ルrzの増大につれ て両者に相違が生じこの傾向はル覧／脆が小なる場合特に目立つ〝zの増大に伴なって相違が生じる理由として は，理論値￠の算出に弾性係数且を比例限界以上の領域にも適用していること，また振りモーメントは変形以前の 状態で考え，摂り変形発生後も振りモーメントの腕の長さを不変としていること，などが影響したものと思われる またルrz／几クエが小なる場合相違が目立つことについては，通常振り角 ￠の発達は且オzのみに支配され凡才ガは理論 上それに寄与することばないとして取り扱われるが，￠の発達の様子からみるとこの点若二「の疑問が残るたわみ鼻 ぴについては，梁の断面応力の分布が2曲率となり応力が中立軸からの距離に比例することばない従って曲げに よる弾性曲線の微分方程式は成り．立たず理論たわみ還は求め難い然しながらFig」11から判断されるように，振り と曲げが達成して作用すると，曲げのみ作用する場合に比べ梁のたわみは極めて著るしく発達することが分る また梁の強度並びに振りの影熱こついては，Table8から判断されるように，実験降伏荷重Q；方♪は（11）式より算 出した理論降伏荷重Q㍗にほぼ近似し，Q；r♪／Q；カの比率は〟z／肌の増加と共に若干増えるが097∼108の稚 抑こありよく合っていると′臥われるまた−・方梁の最大歪が応力ー歪曲線に基づく降伏盃に実際到達する荷重≪0．；方♪》 とQ；々の比率は，〝z／朋㌧に影響されるが約16∼24の矧動こあると判断される然しながら《Q。；方♪≫の荷重の許 でほ究の振りと曲げによる変形ほ極めて大であり，構造物を構成する部局として許容される変形晶を大きく凌駕する ものと思われ《Q；芳♪≫を降伏荷重の対象に取り上げることは些か危険側であり，過当でないと思われる実験崩壊 荷重 Qβ㌘については何れの究に於いても見秘めることが出来なかったが，Table8より理論降伏荷重Q㌍を2 倍以上上まわるものと推測される これらのことから鋼構造の場合−・般に17程度の安全率を見込むから，振りを考 慮した（11）式を用いれば几グg／朋㌧に関りなく実用上支障のない程度の安全性は保たれると考えられる‖ 然しながら振り応力を全く無視した場合には，且わ／凡才∬の増加に伴ない降伏荷重Qγは（11）式からの理論降伏荷 重Q￡カを大幅に上回りその約17倍∼51倍となるこのとき実験降伏荷重Q；方♪は降伏荷重吼の63％∼20％程 度，実験崩壊荷重でもその99％∼53％を若干越す程度の強度しか持たないことになる・試算として安全率を17程度 と考えこれが仮りに全面的にカバ、一に当るとしても，この場合几わ／ルr方≦0061が限度となりこれ以上の振りモ・− メソトがある場合は到底カバー出来ないことは明らかであるこのことから開断面梁の場合，曲げ強度に及ぼす摂り 応力の影響は予想外に大きく，振りモーメントが曲げモ1−メソトの櫻か数％程度以下であっても最早振り作用を無視 することは極めて危険であることが分る…以上のことを踏まえると施設構造物設計の場合一・般に振り作用を無視する ことが多いが，無視した場合状況によっては通筒の安全率程度ではカバーー出来ないことも起り得ると推測され，この 点安全性の面からみて充分留意すべきことと思われる． む す び 本研究では実用断面に拘わらずSTK41材の半円形梁10体をとらえ，作用する達成モーメントの比率（〟z／脇） を変え．た場合の試験結果の報告であるが，これによって閑断面梁における振り応力の影響を具体的に示し，脇／脆 と安全率との関係，ど一，＝J，／屈の仮定の適否，理論式の適用，等について或る程度明確に示し得たと思うなお理論 強度でせん噺カが変形に及ぼす影響，丁Ⅳの板厘方向への変化等は細禎しているが，これらの点については今後更に 検討を加えていきたい． 本研究に当って日本鋼管大阪営業所中本栄次氏，県工業技術センタ・−黒鳥泰華氏に御協力を戴いたことを記し，こ こに謝意を表する．また木研究は昭和56年鹿又部省科学研究費補助金による研究成果の一都であることを付記する． 参 考 文 献 （1）三宮和彦：杏大農学報，33（1），33−43（Mar（4）TIMOSHENKO，SP‖andGooDIER，T・N∴Theory OfElasticity，2ndEdition，268−272，NewYork， McGraw−Hill（1951） （5）GALAMBOS，T．Ⅴ、（福本，西野訳）：鋼構造部材と 骨組，56−57，丸善（1970）． （1982年5月31日受理．）
