固体物理2018-1NKN.key

大学院

固体物理学

自由電子フェルミ気体からエネルギーバンドまで

担当：山崎

Ver.2

1回目：自由電子ガスと状態密度

2回目：FD分布関数と電子気体の比熱

3回目： 電気伝導率とホール効果

    バンド構造とエネルギーギャップ

4回目： ブロッホの定理 とクローニッヒ・ペニー模型

5回目： 1電子近似の波動方程式と空格子近似

［電子の取り扱いに関して］

正確な（または適切な近似による）取り扱いは，固体中での正しい

電子構造を導く．

・遍歴モデル

•

ポテンシャルを感じない自由電子

•

原子核や他の電子，その他もろもろによる静的な周期ポテ

ンシャル（平均場）を感じる電子

•

静的平均場に加えて，格子点上で電子間のクーロン反発力

を感じる電子

•

動的な平均場を感じる電子

・局在モデル

•

原子核による中心ポテンシャルを感じる（内殻）電子

•

格子点上に局在しているか，摂動で（実際にまたは仮想的

に）隣の格子点にも移動できる電子

・その他

•

他の構成原子との間で分子軌道をつくる

•

スピン軌道相互作用をとりいれる

原子軌道を占める電子の場合：

［自由電子ガス］

自由電子モデルとは

金属の中を自由に動き回る電子のモデル．

金属中の原子の価電子は，伝導電子になっており，

これを自由電子と見なすことで，

金属の多くの物理的性質（

比熱，電気伝導率，熱伝導率

など）を

理解できる．

一般には，「自由電子ガス」と呼ぶ．

パウリの原理

に従う自由電子気体．

［パウリの原理］

「2個の電子が全ての量子数について同じ値をとることは出来ない．」

      ：主量子数 （    の整数）

      ：軌道量子数 （        の整数）

      ：磁気量子数 （        の整数）

      ：スピン磁気量子数 （      ）

n

1

0

n

1

n, `, m

`

, m

s

n

`

m

`

m

s

`

 m

`

 `

m

s

=

±

1

2

アルカリ金属（Li, Na, K, Rb, Cs)

アルカリ土類金属（Be, Ca, Sr, Ba, Ra)

貴金属（Cu, Ag, Au）の伝導電子は，自由電子に近い振る舞いを示す．

ナトリウム金属結晶（BCC)：［Ne］3s

1

_{（伝導電子）}

「伝導電子の海」

伝導電子の低温での平均自由行程は，

1cm以上

（原子間距離の10

8

_倍）

      古典的には考えにくい

（１）周期的な配列のイオン殻には散乱されない．

（２）他の伝導電子に散乱される（散乱過程に，波数に関する厳しい制限が付く）．

        電子間相互作用

   なし      あり      

 自由電子ガス        フェルミ液体        

（フェルミ気体）      （フェルミ流体）

   電子        電子間相互作用が

       質量に繰り込まれた

      準粒子

［一次元自由電子ガス］

両端が無限大のエネルギー障壁によって

長さLの線上に束縛されている．

井戸の中のポテンシャルエネルギーはゼロとする．

Schrödinger方程式は，

       ｎ番目の電子の波動関数

       ｎ番目の軌道にいる電子のエネルギー

※ これは1電子に対する波動方程式であり，

  多電子系では電子間に相互作用が無い場合にのみ厳密に成り立つ．

境界条件は，

これを満たすには，．．．

0

L

H⇥

n

=

2

2m

d

2

_⇥

n

dx

2

=

n

⇥

n

n

n

· · ·(1)

n

(0) =

n

(L) = 0

0

E

n

=

2

n

L

⇡

境界条件は，

これを満たすには，先に示したような

正弦波

であればよい．

従って，

Aは規格化定数．ｎは正の整数．

［演習］

(1)に(2) をいれてエネルギー固有値を求めてみよう．

    また，規格化定数Aを求めてみよう．

n

(0) =

n

(L) = 0

⇤

n

= A sin

2⇥

n

x

⇥

_n

₌

2

n

L

⇥

n

= A sin

n

L

x

⇥

· · ·(2)

· · ·(2)

H⇥

n

=

2

2m

d

2

_⇥

n

dx

2

=

n

⇥

n

· · ·(1)

ｎ番目の準位には，2個の電子（up-spinとdown-spinの電子）が入ることが出来る．

すなわち，この系の量子状態はnとm

s

( 1/2）で決まる．

N電子系では，N=2n

F

となるn

F

まで準位は占められる．（基底状態）

この時の最高準位のエネルギー（

フェルミエネルギー

）は，

      ↑個々の準位が二重に

      （一次元）      

縮退

しているため．

［フェルミエネルギー］

基底状態（絶対零度）において，電子によって占められたうちで

最高の準位（軌道またはバンド）のエネルギー

F

=

2

2m

n

F

⇥

L

⇥

2

n

F

=

N

2

=

2

2m

N

2L

⇥

2

［三次元の自由電子気体］

三次元の自由電子気体についての Schrödinger方程式は，

電子が一辺Lの箱に閉じこめられている時，

       と書けるとすると，

が得られる．ここで，n

x

, n

y

, n

z

は正の整数．

一方，端を持たないが，解が大きな長さLに対して周期的であることを要求する，すなわち，

以下の境界条件を考えると，

この時，（6）式の固有関数は，

となる．

［演習］

(6),(8),(9)から，エネルギー固有値とkの取り得る値をだしてみよう．

    （       の各成分ごとに考える）

k

(r) =

1

p

L

3

e

ik

·r

<latexit sha1_base64="AJhSyiWgQOEVD55RcFhzn/vYUxA=">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</latexit><latexit sha1_base64="AJhSyiWgQOEVD55RcFhzn/vYUxA=">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</latexit><latexit sha1_base64="AJhSyiWgQOEVD55RcFhzn/vYUxA=">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</latexit><latexit sha1_base64="AJhSyiWgQOEVD55RcFhzn/vYUxA=">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</latexit><latexit sha1_base64="AJhSyiWgQOEVD55RcFhzn/vYUxA=">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</latexit>

n

(r ) = A

3

sin

⇣ n

x

⇡

L

x

⌘

sin

⇣ n

y

⇡

L

y

⌘

sin

⇣ n

z

⇡

L

z

⌘

(x + L, y, z) = (x, y + L, z) = (x, y, z + L) = (x, y, z)

· · ·(6)

· · ·(7)

· · ·(8)

· · ·(9)

k

x

, k

y

, k

z

~

2

2m

r

2

_{(r ) = ✏}

k

(r )

(r ) = (x) (y) (z)

［補足］運動量と粒子の速度

［演習］

(9)式の波動関数ψ

k

(r) が固有関数である運動量pの固有値を求めよう．

k

(r) = e

ik

·r

· · ·(9)

三次元の場合，電子によって占められた状態は

k空間の球の内部

に収まっている．

この球を

フェルミ球

とよび，この時の半径を

フェルミ波数 k

F

と書く．

球の表面のエネルギーはフェルミエネルギーに対応する．

k

x

,k

y

,k

z

はとびとびの値       をとる．即ち，ある1点が体積     の

なかに存在している． 

フェルミ球内     にあるk点の数は，     個．       

この1点には2つの状態(spin upとspin down)があるので，結局，状態の総数N は，

となる．

2

L

⇥

3

(L

3

_{= V )}

N

=

2 ·

4

3

k

3

F

2

L

⇥

3

=

k

3

F

L

3

3

2

=

V

3

2

k

3

F

4

3

k

F

3

4

3

k

3

F

2

L

3

· · ·(10)

2n

i

⇡

L

(i = x, y, z)

k

x

k

y

k

z

0

2

L

4

L

2

L

4

L

2

L

2

L

2

L

4

L

2

L

2

L

⇥

3

各k点には2つの状態

(spin up, spin down)

体積要素

k

F

=

3

2

_N

V

⇥

1

3

従って，フェルミ球の半径は状態数N に依存する．

· · · (10 )

先のエネルギー固有値を求める演習からわかるように，

フェルミエネルギーはフェルミ波数を用いて表すと，

となり，ここで，先に求めたフェルミ波数（(10 )式）を代入すると，

となり，

フェルミエネルギーは電子密度に依存する

ことがわかる．Nを，系の決まった電子

数ではなく，変数と考えると，(10)式，(11)式は一般的なエネルギーと波数でも書くことが

できるので，

これらから，Nはエネルギーの関数になり，

となる．

さらに，状態密度を        と定義すると，      が得ら

れる．

F

=

2

2m

k

2

F

=

2

2m

3

2

N

V

⇥

2

3

· · ·(11)

N =

(2m)

3

2

3

V

3⇥

2

3

2

D( )

dN

d

D( ) =

V

2⇥

2

(2m)

3

2

3

1

2

F

· · · (12)

N =

V

3

2

k

3

· · · (10 )

=

2

2m

k

2

· · · (11)

N =

(2m)

3

2

3

V

3

2

3

2

ln N = ln

(2m)

3

2

3

V

3

2

3

2

=

3

₂

ln + ln

(2m)

3

2

3

V

3

2

=

3

2

ln + const.

d ln N

d

=

3

2

d ln

d

d ln N

dN

dN

d

=

3

2 ·

1

dN

N

=

3

2

d

D( )

dN

d

=

2

3

N

3

2

=

1

2

D(

F

) =

3

2

N

F

また，          から

両辺を微分して，

もともと     なので

N

3

2

← 結局，依存性は同じ．

となる．

つまり，フェルミエネルギーにおける状態密度は，伝導電子の数をフェルミエネルギーで

割ったものとだいたい等しい．

1

2

三次元の場合

ちなみに，先に求めた電子の速度と波数の関係

から，

フェルミ波数をもつ電子の速度（フェルミ速度）は

と求まる．

つまり実験から，         を求めると，

電子密度に関する知見が得られる．

Cui et al., Phys. Rev. B 82, 195132 (2010)

Fe薄膜

v

g

=

k

m

v

F

=

1 dE

dk

_k=k

_F

dE

dk

v

F

=

~k

F

m

=

~

m

⇣

3⇡

2

N

V

⌘

1

3

k

x

ky

kz

0

2

L

4

L

2

L

4

L

2

L

2

L

2

L

4

L

2

L

2

L

⇥3

k

x

k

y

0

2

L

4

L

2

L

4

L

2

L

2

L

2

L

⇥

3

kx

0

2

L

4

L

電子によって

占められる領域

1つのｋ点が

占める要素

３次元

２次元

１次元

4

3

k

F

3

面内方向

面内方向

面間方向

チェーン方向