相
羽
三
良
On the vibration of a rotating shaft system having non-linear
restoring characteristics
SaburoAiba
Synopsis
The vibration of a rotating shaft fitted with a rotor at the critical speed when the restoring force of the shaft is a non−uniform and non−linear function of the displacement of the rotor is discussed． When the shaft has a soft spring characteristics or a hard spring characterieristics in all directions， the displacement of the rotor remains within a certain limit at the critical speed， but when the shaft has a soft spring characteristics in one direction and a hard spring characterisics in the direction per− pendicular to the former， the displacelnent of the rotor increases indefinitely at the critical speed． Moreover the displacement of the rotor at the critical speed when the rotor is asymmetrical is discussed．1緒 言
非線型復元力特性を有する回転軸系の振動について は、山本氏（1）等により論ぜられているが、これは軸 系が、固定型球軸受の軸心の不一致等により、静止座 標系から見て一定の非線型復元特性を有つる場合であ る。これに対し、軸の曲げ剛性が非対称の場合の軸自 身の非線型特性或は球軸受の場合インナーレ・一スと軸 との嵌合の不均一等による非線型復元特性は軸と共に 回転する回転座標系から見て一定の非線型特性で、い はば回転する非編型特性ともいうべきものである。 ここではこのような非線型特性を有する回転軸系の 危険速度における振動及び安定不安定について論ず る。2 ヂヤイロ作用を伴わない場合
1個の回転子を有する回転軸系を考える。 ヂヤイロ作用はないものとし、軸の曲げ剛性が非対 称かつ非線型の場合を考える。軸断面の主軸x，ツの 方向の復元力に夫々x及びツの3次の項で表わされる 非線型性が存在するものとする。 主共振（主危険速度）の場合を考えよう。 軸の曲げ剛性の非対称性は微小パラメーターμのオ ーダーであるとする。更に回転子の偏心、線型系の主 危険速度と考える回転速度との差および復元力の非線 型項もμのオーダーの微小量と仮定する。即ち回転子 に作用する軸の復元力のX，or成分を夫々 k（1＋Ptal）x＋ψt悔3， k（1＋μ2）y＋Ptb2「OV3（但 しx，．）iは回転子の変位成分）、また回転子のx，ツ方 向の偏心量を夫々μゐ，μ42とする。ここにal， a2； bl t，ゐピ；dl， d2はいつれも正又は負の常数である。 すると回転軸と同一の一様な角速度ωで回転する回転 座標系X，orにより回転子の運動を記述すると次のよ うになる。 M㌘二＝Mω2x十2Mωツー是（1十μα1）（x−r41） 一ψ1’＠一μdl）3 ハ4Y＝Mω2ツー−2Mωエー為（1十μa2）（y一μ42） 一ψピ（ッーμ42）3 （1） 回転速度はω＝Po ＝＝レ／卿（2）とおく。ωをこの ようにおいても、al， a2に正負の適当な値を与える ことにより、危険速度の近くの任意の回転速度を対象 とすることが出来る。 ω ・＝ Poにおける、不釣合による振幅を摂動法により 求めるために x＝Mo＋μM1十μ2〃2十 （3） ツ＝No＋μN1＋μ2N2＋ とおく。 （2）および（3）を（1）に代入し、μの1次の 項の和を0とおけば次式をうる，一；LM・3＋副・−d・一・／ （4）
4L凡・＋。，珊一4，一・∫
これより振幅の第1次近似Mo， Noを求めることが 出来る。 bltdl2／k＝Vl， b2「d22／k＝y2とおき、（4）を無次 元の式に直せば、 の（Mo／d1）3十a1（Mo／dl）−1 ＝・O （5） v2（No／d2）3＋α2（Noμ2）−1＝0 （5）をF1議二馴⑥
と書き、これを用いてal， a 2とMo／dl， No／d2との 関係を表わすグラフを画くと第1図のようになる・ M．1d、 N．’ん 一● a‘，at M．〃， N．tよε第1図振幅∼回転数
一岬a‘、a・ こxでμa1， Pta2，μblt， Ptb2「，μd1，μ42が夫々 一定でさえあれば、μを変化させることにより、γ1お よびv2の値を、符号は変えずに任意に選べることに 注意しょう。 そこで〃＝1およびv＝−1の2つの場合にMo／dlと al（或はNo／d2とa2）との関係を表わすグラフを求 めれば充分である。第1図はv＝1およびv＝−1の場 合のグラフである。 さて与えられたVl，〃2， ab a2に対する（5）の 1組の根をMo， Noとし、方程式（1）の第1次近似 鮮x＝Mo， y＝Noの安定性を調べよう。 そのために（1）において x＝＝Mo十ξ， ツ＝No＋η （7） とおき、変分ξ，ηに対する方程式を作ると次のよう になる。 Mk’＝ルfω2ξ十2Mω rp −k（1十μa1）ξ 一3μb1’（Mo−一μ41）2ξ （8） M芳＝Mω2η一2MtOξ一k（1十Pta2）η 一3μゐ’2（」Vb一μd2）2η 乙の方程式に於てμに関し2次以上の項を省略すれ ば、（1）においてdl＝42＝ろ1’＝βピ＝0とおき、 al， a2の代りに夫々二榴㌶＝1㍑：馴（9）
とおいた線型方程式をうる。 さてtU ＝Po＝γ砺とおいてあるから・（9）で表 わされる云，三が共に正或は共に負ならば、問題とするx＝Mo，ツ＝Noなる鮮は安定・alとa2とが異
符号ならば不安定である。何故ならば方程式（8）の 不安定領域はPo（1十μa1）1／2及びPo（1＋μa2）1／2なる2 点ではさまれたωの区間であるからである。 （9）に（6）を代入すれば次式をうる。1：票；1：ll堅｝・・）
乙れにより第ユ図の2つのグラフを用い、ar，a2の 正負従って鮮の安定、不安定の判別を種々の場合に容 易に行うことが出来る。 そのため第1図i），ii）の曲線上で、切線が垂直となる点2の座標を求めよう。この点では3次方程式
（5）は2重根を有する。この条件より容易に9点に おいては Mo／dl＝一（1！2Vi）1／3， No／d2＝ 一一（1／2v 2）1／3であ ることが判る。故に（10）より9点においてはal或は扇は0である。そこで第1図の各曲線において2
点を持たない分枝をa，9点を持つ分枝をQ点で2つ
の部分に分け、図に示すように上の部分をb、下の部 分をcで表わす。 するとMo／d1或はNo／d2のの符号はVi＞0従って bit＞0（i＝1，2）の場合にはaでは正、 b及びcでは 負、又yi＜0従ってbピ＜0の場合にはこの逆である。故にa1及びa2の符号は（10）より、 bt「＞0（v）O）の 場合にはa，bでは正、 cでは負、 bit＜0（yi＜0）の場 合にはこの逆である。これらのことを考慮すれば各曲 線分枝上の点で表わされる鮮の安定、不安定が容易に 判別されて次のようになる。 第 1 表 i）ろピ，b2’が共に正或は共に負の場合 a b 安 定
ﾀ 定
s安定
安 定ﾀ 定
s安定
不安定
s安定
ﾀ 定
ii）bl’， bピが異符号の場合 性モーメント11，12が僅かしか違わないとし、11，12 の代りに夫々（1＋μα1）11，（1＋μα2）11と書く。α1， a2は常i数、μは微小パラメーターである。 復元力および復元モーメントは、簡単のためにその 線型部分は対称であると仮定し、次のような3次式で 表わされるものとする。即ちy軸方向の復元力成分 Fy及びZ軸周りの復元モーメントMzはPt，βの3次 式㌶：撚熟勒ω
又Z方向の復元力成分凡及びッ軸周りの復元モーメントMyはz，7の3次式
a b a不安定
不安定
安 定 b不安定
不安定
安 定 c 安 定 安 定不安定
i）の場合には、Mo， Noが共に大きい（a又はbの 分枝上の点で表わされる）平衡状態が安定であるのに 対し、ii）の場合には、このような平衡状態は不安定 である。従ってi）の場合の不安定な状態は振幅が増 せば安定な状態に移行するけれども、ii）の場合の不 安定な状態は振幅が増しても安定な状態に移行せず、 系そのものが不安定であるといえる。これは物理的に は、軸が一方向の変位に対しては漸硬バネの特性をも ち、これに垂直の方向の変位に対しては漸軟バネの特 性をもつ場合であるから、振幅が増せぱ増す程、問題 とする回転速度の両側に主危険速度帯が拡がることX なり、益々不安定となるのである。 実際問題として軸が一方向に対しては漸硬バネの特 性をもち、それに垂直な方向に対しては漸軟バネの特 性をもつことは例えばボール・ベアリングのインナー レースと軸との嵌合が不均一であるような場合に小さ い振幅に対してはありうるが、変位が大きくなれば、 双方とも漸硬バネに変ると考えられ、従って系の特性 が変り、新たな平衡状態に達すると考えられる。3 非対称回転子を有する軸系の場合
今度は回転子が非対称で、ヂャイロ作用を伴う場 合、非線型復元特性を有する回転軸系の主危険速度帯 における振動を考察しょう。座標系及び記号は前の報 告（2）におけるものと同一である。 いま回転軸に垂直な2つの主軸の周りの回転子の慣8
F』（z，γ）＝a2＋ろγ＋μ（Cl 2x8＋c22z2γ ＋682巧2＋c42γ3） −My（2，7）＝a’2＋ktγ＋μ（Ct2’zs ＋c22’之2γ＋c32’功2＋ε42’73） 百表わされるものと仮定する。｝⑫
また不釣合を表わす yo， ZO，β0，γO（2）の代りにμyo，μZO， pβO，μ20と 書き・摂動の中に入れる。すると回転軸と同一の一定 角速度ωで回転する回転座標系による回転子の運動方 程式は次のように書かれる。 ■ （1十μα1）11β十〔｛10−（1十μα2）11｝ω2− −b’〕β十｛10−（1十μα1）11−（1十 十μα2）11｝ωγ一α’ツーμΦ1，（，γ，亘）＝ 一μゐ’βo一μα’ツo （1十μα2）1・γ＋〔｛10−（1＋μα1）11｝ω2− −b’〕γ一｛lo−（1＋μα1）ll−（1十 十μα9）11｝ωβ一a，z一μφ2’（Zpγ）＝ 一一pb’γo一μα，20 My−一（a十Mw 2）ツー2ハ1tU2−6β一 一μΦ1（ツ， β）＝一μa yo 一一 pbβo Mx−（a＋2ぬ2）z＋2Mop 一 bγ一 一μ◆2（x，γ）＝一μ20一μ6γo こ〉にμΦ1’（W，β）， μΦ2・（2，γ）， （13） μΦ1（y，β）， μΦ2（z，γ）は夫々（11）、（12）におけるMx（ッ，β）， −My（x，γ）・Fy（Pt，β），凡（z，γ）の非線型部分の3 次式を表わすものとし、又 β＝β一μβ0・γ＝＝7一μγO，Pt＝＝ツーμツO， X；2− −P20 とする。 いま（13）においてμ＝Oとおいた対称軸系の主危 険速度の1つをω1とし ω＝（1十μα）ω1 （14） とおき、ω、の附近の回転速度における振動を考察す る。先づα1，α2と主危険速度帯の関係を求めよう。 前報（2）の式を用い、 （13）において非線型項を除 いた線型系の主危険速度帯は｛1＋μλ（ω1）α1｝ω1及び ｛1十μλ（ω1）α2｝ω1に挾まれた速度区間であることが 容易に計算される。
こxに
・（・・）−4（、。一、i）嘉鵠瑠雪）一醐 （15） さて（13）においてμ＝Oとおいた不釣合のない対 称軸系の振動方程式は、その主危険速度ω＝ W1におい てP＝ Oなる固有振動数に対応して β・・A，γ＝B，ツ＝C，2＝D（但しA，B， C， Dは 互に一定の比を有する常数）なる鮮をもつ。そこで （13）の定常鮮を次のμのべき級数の形で求めよう。 こxにAi， Bi， Ci， Di（i＝0，1，2，…）は未知の常 数である。 （14）及び（16）を（13）に代入して、μを含まない 項の和を0とおけば次式をうる。 ｛（lo −h）ω12−b’｝・40一α’Co＝0 ｛（10−11）ω12−b’｝Bo−a’Z）o＝＝O｛㍑霊㍑瓢 ／（17）
これより集瓢：；語畿｝（・8）
をうる。こxにMo， Noは任意常数、 A o，Co，Bo， Doは固定した常数で、（17）の1つの解である。 次にμの1次の項を比較すれば（18）を用いて次式 をうる。繍議議量瓢｝⑲
こxに
F（Mo）＝｛α21i−2α（1b−11）｝ω12／10Mo ＋φ1’（Co， Ao）・Mos−b’βo −aノツo G（No）＝｛α1 li 一一 2a（1b−11）｝t・i2Bo No ＋Φ2「（DO，Bo）・No 3−b’γO．−a／ZO H（Mo）＝＝ −2αル1Co Mo一Φ1（Co，／10） ・ハイ03十aPto十bβO K（No）＝−2αMDoNo一Φ2（Do，Bo） ・No S十a20十bγO ｜（20） 先づ（19）の第1及び第3式をとる。すると（17） により係数の行列式は0即ち （1・−1・）・・2−b’ 一・’＝＝O（2、） b a十Mω12 であるから、鮮∠41Clが存在するためには F（Mo） −4’ ＝＝O（22） H（Mo） a十MtU t 2 が成立たなければならない。これよりMoに関する次 の3次方程式をうる。 ｛（a＋λφω・2）Φ1’（σ0，Ao）一α’Φ、（C。，A。）｝Mo3 十｛α211（a十Mω12）−2α（10−h）（a十Mωt2） ×ωi2Ao−2αa，M（】o）ルfb−（a十Mo 12）（b’βo 十a「Pto）十at（ayo十bβo）＝0 （23） 同様にして（19）の第2及び第4式において解Bl， Dlが存在するための条件として、 Noに関する次の 3次方程式をうる。 ｛（α＋MtU 12）Φ2’（Do，Bo）一α’Φ2（Do， Bo｝N。3 ＋｛αili（a＋ハ4ω12）−2a（10一五）（a＋Mω12） ×t・ i2 Bo 一一 2αa’MDo｝No−（a＋Mw 12）（ゐ’γo 十a’Zo）十a’（aZo十bγo）＝O （24） これらの式よりMo， Neとαとの関係即ち振幅と回 転速度との関係の第1次近似を求めることが出来る。 次にこのような鮮の安定性について考察しよう。 （13）の定常解（16）を纂鍛簾｝㈲
で表わそう。この系が定常状態より微小な撹乱を受け たとし、その場合生ずる定常状態からの偏差をβ1， γ1・）一ツ1，21で表わし β ：A十β1・，7 ＝B十71，ツ＝＝c十Y1， z＝2十21 （26） とおく。これらを（13）に代入すれば偏差βi，γ1， ．），、1，21，に対する次の方程式をうる。 （1十μα1）1tβt十〔｛10−一（1十μa2）11｝（1十 μα）2ω12−blc〕β1十｛1b−（1十μα1）11 −（1＋μα2）11｝（1＋μα）ω1γ1−al／Y1 ＝o （1＋μα2）11γ1十〔｛10−（1十μ￠1）11｝（1十 μα）2ω12−b2’〕γ1−｛le−（1＋Ptα1）li −（1十μα2）1t｝（1十μα）ωtβt−a2’Zl ＝0 ロ Myi−｛al＋M（1＋μα）2ω12｝Pt1−2．M（1 十μα）ω1z1−61β1＝二〇 ロ’ Mz1−｛a2十M（1十μα）2ω12｝Zl十2M（1 十μα）ω1ツt一ψ2γ1＝0こxに
炉 （27）ii’一・・＋・（寄㌔， ii一輌（豊）。 bi’＝＝ bt＋μ（∂Φ1’∂β）。，左6＋・（睾）。
1：1：ll鯨ll鶏：㍗
但し（）oは括弧内の偏導函数のβ＝・40，γ＝Bo， or ＝Co，2＝Doにおける値をとることを表わすものと する。 偏差に対する方程式（27）は非対称回転軸系におけ る回転子の線型の運動方程式と同じ形である。従って （27）に対する不安定速度帯は前報（2）に論じた方法で 求める乙とが出来る。それより（27）の不安定速度域 におけるαの値を決定する条件式として次の不等式を うる。 ｛1b−（1十μα2）11｝（1＋2μα）ω1Lβ・’−altl Of
｛10−（1＋μα1）11｝（1＋2声）ω・2−b2’ ・1 5il ＜0 al＋M（1＋2μα）ω12 −a2t a2＋M（1＋2μ）ω・2 （29） 従って（23）、（24）の根を（18）に代入して得られ る鮮に対して（2q）が成立しなければ、そのαにおい て問題の鮮は安定であり、（29）が成立すれば不安定 である。4 アナコンによる検討
1に述べたヂャイロ作用を伴わない2自由度の軸系 の共振点（主危険速度）における振動を低速度型アナ ログ、コンピュ ・一 Pt 一で摸擬する。 方程式（1）において、 T＝ρoち bl’／え＝bl， b2t／fe ・・ b2とおき、μの2次以上の項を省略すれば次 の方程式をうる。蕊叢（☆胸⇒
鴬∴（繊（⇒⑧
但し、X， yのダッシュはd／d7を表わすb 方程式（30）をアナコンで摸擬するには第2図に示 すアナコン回路を用いればよい。 ポテンショメーターP1∼♪8の値は ρ1 ＝・惚・一（☆）2， P・一・＋…一i一㌃戸， ρ2＝2⊥ク3＝ゐ、， クo・カ5＝2一
ρ6＝ゐ2 カo， P7＝Ptdl／100， P 8＝μ42／100 とする。εは0．01に等しく（サーボ掛算機の標準電 圧100V）、Σ5の倍率を10にとれば、μ・＝εt ・＝ O ．OO1と なる。Σ7，♪11及びΣ8，P；2は回転軸自身に粘性減 衰があると仮定する時附加すべきもので、（1）の第 1式、第2式の右辺に夫々−Cx，−Cyなる減衰項が附 加されるとすれば P11＝P12＝＝C／ゾ磁 となる。 E’xs −i・e ζ1毛1第2図アナコン回路
第3図はω＝Po，μα1＝0・1・Pα2＝−0’1；bl＝b2 ＝1；Ptd1 ・＝ Ptd2・＝0．1の場合の振動波形、第4図は ω＝ρo，Pta1 ＝O．1， Pta2＝ −O．1；ろ1・＝−1・b2＝−1； Ptdi＝Ptd2 ＝O．1の場合の振動波形であり、いつれも 振幅が有限である。 第 3 図ハ 第 4 図 これに反し第5図はω＝ カo，Ptal ＝O・1，μα2＝−0・ 1；bl；1， b2＝−1；Ptd， ＝μ42＝0．1の場合の振動 波形で振幅が限りなく増大 し、系は不安定であること が判る。これらの結果は1 で述べた理論とよく一・致す る。
