中 学 校 数 学 科 第 ３ 学 年
６ 三 平 方 の 定 理
[思 考 力 ・ 判 断 力 ・ 表 現 力 を 育 む問 題 ]
中 学 校
年 組 号 氏 名
第 ３ 学 年 ６ 三平 方 の 定 理
■
数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名■練習問題①
下 の三 平 方 の 定 理の 証 明 の 方 法 に つ い て ，太 郎 さ ん と 花 子 さ ん が 考 え て い ま す 。あ と の (1)，
(2)の 各 問 い に 答 え な さ い 。
●三 平 方 の 定 理●
直 角 三 角 形 の 直 角 を は さ む ２ 辺 の 長 さ を
a， b，
斜 辺 の 長 さ を
c
と す る と ， 次 の 関 係 が 成 り 立 つ 。a ２
＋b ２
＝c ２
(1) 太 郎 さ ん は ， 次 の よ う に 考 え て証 明を し ま し た 。アか らウの に あ て は ま る 式 を 答 え な さ い 。
証 明
直 角 三 角 形
Ａ Ｂ Ｃ
と ， 直 角 三 角 形Ａ Ｂ Ｃ
と 合 同 な 三 角 形 を 右 の 図 の よ う に 並 べ る と ， １ 辺 の 長 さ がc
で あ る 正 方 形 の 内 側 に ， １ 辺 の 長 さ が で あ る 正 方 形Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ
が で き る 。 ４ つ の 直 角 三 角 形 と 正 方 形Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ
の 面 積 の 和 は ， １ 辺 の 長 さ がc
で あ る 正 方 形 の 面 積 に 等 し い か ら ，４ × ＋ ( )
２
＝左 辺 を 整 理 す る と ，
a ２
＋b ２
＝【 解 答 】
ア イ ウ
(2) 右 の よ う に 直 角 三 角 形
Ａ Ｂ Ｃ
の 頂 点 Ｃ か ら 斜 辺Ａ Ｂ
に 垂 線Ｃ Ｄ
を ひ く と ， △Ａ Ｂ Ｃ， △Ａ Ｃ Ｄ， △ Ｃ Ｂ Ｄ
は す べ て 相 似 に な り ま す 。 こ の こ と を 利 用 し て ， 花 子 さ ん は ， 次 の よ う に 証 明を し ま し た 。証 明の ① の 部 分 を 参 考 に し て ， ② の 部 分 に あ て は ま る 比 例 式 と 等 式 を 答 え な さ い 。 ま た ， ③ に あ て は ま る 等 式 を 答 え な さ い 。証 明
Ａ Ｄ
＝x，Ｂ Ｄ
＝y
と す る と ，△
Ａ Ｂ Ｃ
∽ △Ａ Ｃ Ｄ
だ か ら ，b： x
＝c：b
①
b ２
＝c x
△
Ａ Ｂ Ｃ
∽ △Ｃ Ｂ Ｄだ か ら ，
【 解 答 】②
よ っ て ，
a ２
＋b ２
＝c y
＋c x
②＝
c ( x
＋y )
③ だ か ら ，
a ２
＋b ２
＝c ２
③a
b c
Ａ
Ｂ Ｃ
ア
Ａ
Ｂ Ｃ
c
a b
Ｄ
Ｅ Ｆ
イ ウ
Ｃ
Ａ Ｄ Ｂ
x y
a
c b
ア
ウ
： ＝ ：
＝
： ＝ ：
＝
＝
＝
第 ３ 学 年 ６ 三平 方 の 定 理
第 ３ 学 年 ６ 三平 方 の 定 理
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数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名■練習問題②
１ 右 の よ う な ∠ Ａ ＝ ∠ Ｃ ＝９ ０○ で あ る 四 角 形
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
に お い て ， 辺Ａ Ｄ
の 長 さ を 求 め な さ い 。【 解 答 】
ｃ ｍ
２ 右 の よ う な △Ａ Ｂ Ｃの 面 積 を 求 め な さ い 。【 解 答 】
ｃ ｍ ２
３ 右 の よ う な １ 辺 の 長 さ が ４
ｃ ｍ
で あ る 正 四 面 体Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
に お い て ， 辺Ａ Ｄ
，Ｂ Ｃ
の 中 点 を そ れ ぞ れ Ｅ ， Ｆ と す る と き ， 次 の (1)， (2)の 各 問 い に 答 え な さ い 。(1) 線 分
Ｅ Ｆの 長 さ を 求 め な さ い 。
【 解 答 】
ｃ ｍ
(2) 正 四 面 体
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
の 体 積 は ， 三 角 錐す いＣ Ａ Ｆ Ｄ の 体 積 の２ 倍 に な り ま す 。 こ の こ と を 利 用 し
て ， 正 四 面 体Ａ Ｂ Ｃ Ｄの 体 積 を 求 め な さ い 。【 解 答 】
ｃ ｍ ３
ＡＢ Ｃ
６ｃｍ １０ｃｍ
３０°
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
４ｃｍ
Ｅ
Ｆ Ｂ Ａ
Ｃ
３ｃｍ
５ｃｍ
４ｃｍ
Ｄ第 ３ 学 年 ６ 三平 方 の 定 理
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数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名■練習問題③
右 の よ う な 底 面 の 半 径 が ４
ｃ ｍ
で ， 母 線 で あ るＯ Ａの 長 さ が １ ２ ｃ ｍ
の 円 錐 が あ り ま す 。す いＯ Ａ
の 中 点 を Ｍ と す る と き ， 次 の (1)か ら (3)ま で の 各 問 い に 答 え な さ い 。(1) 円 錐 の 側 面 積 を 求 め な さ い 。
【 解 答 】
ｃ ｍ ２
(2) 右 の よ う に ， 点 Ａ か ら 円 錐 の 側 面 に 沿 っ て １ 周 し て 点 Ａ ま でそ 糸 を 張 る と き ， 最 も 短 く な る と き の 糸 の 長 さ を 求 め な さ い 。
【 解 答 】
ｃ ｍ
(3) 右 の よ う に ， 点 Ａ か ら 円 錐 の 側 面 に 沿 っ て １ 周 し て 点 Ｍ ま で 糸 を 張 る と き ， 最 も 短 く な る と き の 糸 の 長 さ を 求 め な さ い 。
【 解 答 】
ｃ ｍ
１２ｃｍ
４ｃｍ
ＯＭ
Ａ
糸
１２ｃｍ
４ｃｍ
ＯＭ
Ａ
糸
１２ｃｍ
４ｃｍ
ＯＭ
Ａ
