１
[2016 福井大]
方程式 の整数解をすべて求めよ。
を満たす正の整数の組 ， を求めよ。
以上の整数 は，正の整数 ， を用いて と表せることを示 せ。
解説
…… ①
と に互除法を用いると
･ 移項すると ･ ･ 移項すると ･
よって ･ ･ ･ ･ ･
すなわち ･ ･ …… ② ① ② から
， は互いに素であるから，整数 を用いて ， と表さ れる。
よって，求める整数解は ， は整数
･ から ･
よって
， は整数であるから， より，整数 を用いて ，
と表される。
すなわち ，
から ， から
よって で，これと が整数であることから ゆえに ， ，
を変形すると
について， ， ， ，……， として ･ ， ･ ，……， ･ …… ③ の 個の数を考える。
･ であり， であるから，③ はすべて正の整数であり， で割っ た余りはすべて異なる。
なぜなら，もし と を で割った余りが等しいとすると，
すなわち は で割り切れる。
と は互いに素であるから， が で割り切れなければならない。
しかし， であるから， が で割り切れることはない。
これは矛盾である。
よって，③ の中に で割った余りが になるものが つ存在する。
そのときの の値を とすると は正の整数 と表せる。
よって
， とすれば， となる。
したがって， が 以上の整数であるとき，正の整数 ， を用いて
と表せる。
２
[2011 神戸大] 次不等式
を実数とし， ， とする。
すべての実数 ， に対して が成り立つような の値の範囲を求めよ。
を満たすすべての に対して が成り立つような の値の範囲 を求めよ。
解説
，
求める条件は の最小値 の最大値 よって ゆえに これを解くと
とおくと
のグラフは下に凸で，軸は直線 である。
求める条件は， において
すなわち のとき
求める条件は すなわち よって
したがって との共通部分は
すなわち のとき
求める条件は ゆえに これを解くと
との共通部分は すなわち のとき 求める条件は すなわち
よって との共通部分はない。
以上から
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３
[2012 京都大] 微分積分
実数 ， が条件 を満たしながら動くとき がとりうる値の範囲を求めよ。
解説
とおく。
から よって
ゆえに， ， は， の 次方程式 の実数解であるから，この判別式 を とすると
すなわち よって また
よって， における のとりうる値の範囲を求めればよい。
とおくと とすると ，
における の増減表は，次のようになる。
… … …
極大 極小
ここで ， ，
，
であるから
また， より， であるから
以上から
４
[2006 大阪市立大] 図形と方程式
円 を とし，放物線 の上に相異なる 点 ， ， ， ，
， をとる。直線 ， がともに円 に接するとき，次の問いに答えよ。
， を求めよ。
直線 が円 に接することを示せ。
解説
