これをオイラーの公式と呼ぶ。ここで i は虚数単位で i

(1)

(参考) オイラー (Euler) の公式

複素数まで考える範囲を広げると三角関数と指数関数には次の関係がある;

exp(iθ) = cos(θ) + i sin(θ) (5.1)

これをオイラーの公式と呼ぶ。ここで i は虚数単位で i

²

= −1 という性質がある。

オイラーの公式より三角関数の加法定理

cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β) (5.2) sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β) (5.3) は指数関数の積の性質

exp(iα) exp(iβ) = exp

³

i(α + β)

´

(5.4) の内容を表すことがわかる。

なぜならオイラーの公式 (5.1) より式 (5.4) の右辺は

³

cos(α) + i sin(α) ´ ³

cos(β) + i sin(β) ´

= cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β) + i

³

sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)

´

となる。一方式 (5.4) の左辺は

cos(α + β) + i sin(α + β)

となる。式 (5.4) の両辺の実部が等しいという式が cos の加法定理 (5.2) を意味し，虚部が等しいという式が sin の加法定理 (5.3) を意味することがわかる。

複素数

x, y, r, θ は実数, r ≥ 0.

実/虚部表示極表示複素数 z =x + iy =re

^iθ

実部 Re z =x =r cos θ 虚部 Im z =y =r sin θ 絶対値 |z| = p

x

²

+ y

²

=r(≥ 0) 偏角 arg z= θ

(tan θ =

^y_x

) 複素共役 z ¯ =x − iy =re

^−iθ

x=Re z y=Im z

0 z θ

r

-z z iz

x y

複素平面

横軸に実部 x, 縦軸に

虚部 y を描いたもの

(2)

(参考) 3 次元の曲線

・らせん

x = cos(t), y = sin(t), z = t/2

-2 -1 0 1 2 x

-2 -1 012 y

-4 -2 0 2 4

z -2

-1 012 y

・陰関数 (p.32)

_馬

x と y の関数関係が y = f (x) のように陽に関数 f(x) で表されるのではなく，F (x, y) = 0 の形で陰に表された関数を陰関数と呼ぶ。

(例 1) F (x, y) = x

²

a

²

+ y

²

b

²

− 1

F (x, y) = 0 は楕円を表す。y = f(x) の形に表すと，この曲線は次の 2 つの関数

y = b

r 1 − x

²

a

²

, −a ≤ x ≤ a y = −b

r 1 − x

²

a

²

, −a ≤ x ≤ a で表される。

(例 2) F (x, y) = (x

²

+ y

²

)

²

− 2xy

-1 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 1x

-1 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 1 y

(3)

関数の極限値 (p.4)

_寺

，(p.38)

_馬

実数 x が限りなく a に近づくとき，f (x) がある実数 ` に限りなく近づくならば x → a のとき f(x) の極限値は ` である

あるいは

x → a のとき f(x) は ` に収束するとかいい，

x→a

lim f(x) = ` (8.1)

と表す。

＜注＞上の限りなく近づくとは

任意の (どんな小さな) 正の数 ε に対しても，適当な正の数 δ をとると

0 < |x − a| < δ のすべての x に対して |f (x) − `| < ε となるということを意味する。

微分係数 (p.12)

_寺

，(p.50)

_馬

・定義

h→0

lim

f (a + h) − f (a)

h (8.2)

この値が定まるとき，関数 y = f (x) は x = a で微分可能であるという。またこの極限値を関数 y = f(x) の x = a における微分係数とよび

f

⁰

(a), y

⁰

|

_x=a

とか df(x) dx

¯ ¯

x=a

, dy dx

¯ ¯

x=a

(8.3) と表す。

式 (8.2) でいきなり h = 0 を代入すると分子と分母がともに 0 になるため，h → 0 の極限を

とる。

(例) f (x) = x

²

，a = 1，f

⁰

(1) = 2

h 0.5 0.1 0.01 0.001

f (a + h) − f (a) 1.25 0.21 0.0201 0.002001 (f(a + h) − f(a))/h 2.5 2.1 2.01 2.001 (例) f (x) = sin(x)，a = 0，f

⁰

(0) = 1

h 0.5 0.3 0.1 0.01

f(a + h) − f(a) 0.479 0.296 0.0998 0.001

(f (a + h) − f (a))/h 0.959 0.985 0.998 1.0

(4)

(微分可能でない例) f(x) = x sin µ 1

x

¶

，a = 0

h 0.5 0.1 0.01 0.001 0.0001

f (a + h) − f (a) 0.455 -0.0544 -0.00506 0.000827 -0.0000306 (f (a + h) − f (a))/h 0.909 -0.544 -0.506 0.827 -0.306

・接線；微分係数の図形的意味

x = a で微分可能な関数 f (x) で表される曲線 y = f (x) は x = a の近くでは直線で近似できる。その直線を曲線 y = f (x) の点 (a, f(a)) での接線と呼び，接線の傾きが f

⁰

(a) となる。

・f(x) = x

²

，a = 1，接線 y = 2x − 1

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

x y

0.6 0.8 1 1.2 1.4

0 0.5 1 1.5 2

0.9 0.95 1 1.05 1.1

0.8 0.9 1 1.1 1.2

・f(x) = sin(x)，a = 0，接線 y = x

-3 -2 -1 0 1 2 3

x y

-1 -0.5 0 0.5 1

x y

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

x y

・(微分可能でない例) f (x) = x sin µ 1

x

¶

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

x y

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1

-0.075 -0.05 -0.025 0 0.025 0.05

x y

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01

-0.005 0 0.005 0.01

x y

＜注＞ x = 0 以外では微分可能。例えば x = 0.01 の充分近くでは直線で近似できる。

0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 -0.02

-0.01 0 0.01 0.02 0.03

0.009 0.0095 0.01 0.0105 0.011 -0.02

-0.01 0 0.01 0.02 0.03

0.0099 0.00995 0.01 0.01005 0.0101 -0.0125

-0.01 -0.0075 -0.005 -0.0025 0 0.0025 0.005

(5)

x = a，y = f (a) を通る傾き A の直線は次の式

y = f(a) + A (x − a) (10.1)

で表される。曲線 y = f (x) が x = a の近くで接線 (10.1) で近似できるとは h = x − a を小さい量として

f(a + h) = f (a) + A h + O(h

²

) (10.2) が成り立つことを意味する。ここで O(h

²

) は大きさが h

²

のオーダーの量を表す。

＜注＞ lim

h→0

g(h)/h

ⁿ

= 有限の値であるとき，g(h) を h

ⁿ

で抑えられる無限小といい g(h) = O(h

ⁿ

) と表す。O(h

ⁿ

) = (何らかの係数) × h

ⁿ

と思ってよい。

上式 (10.2) は x = a + h での曲線 f (x) の値と接線 f (a) + A (x − a) の値の差が h

²

のオーダーであることを表す。微分係数の定義の式 (8.2) に式 (10.2) を代入すると

f

⁰

(a) = lim

h→0

f (a + h) − f (a)

h = lim

h→0

A h + O(h

²

)

h = lim

h→0

(A + O(h)) = A (10.3) となり， x = a での微分係数 f

⁰

(a) が点 (x = a, y = f(a)) を通る接線の傾きを与えることがわかる。

＜注＞ h ＝ x − a → 0 のとき，点 (x = a, y = f (a)) を通るどんな直線でも曲線 y = f (x) との差は 0 に近づくが，直線の傾きが f

⁰

(a) でなければその差は O(h) となる。この意味で，接線は x = a の近くで曲線を一番良く近似する直線といえる。

まとめると h が小さいとき

f (a + h) = f (a) + f

⁰

(a) h + O(h

²

) (10.4) となる。

＜注＞式 (10.4) が成り立つことや，さらに近似を進めるとどうなるかについてはテイラー (Taylor) 展開のところで説明する。

曲線と接線の差 ∆(h) = f(a + h) − f(a) − f

⁰

(a) h の計算例 (例) f (x) = x

²

，a = 1，f

⁰

(1) = 2

h 1 × 10

⁻¹

1 × 10

⁻²

1 × 10

⁻³

1 × 10

⁻⁴

∆(h) 1 × 10

⁻²

1 × 10

⁻⁴

1 × 10

⁻⁶

1 × 10

⁻⁸

∆(h)/∆(10h) 1 × 10

⁻²

1 × 10

⁻²

1 × 10

⁻²

(例) f (x) = sin(x)，a = 0，f

⁰

(0) = 1

h 1 × 10

⁻¹

1 × 10

⁻²

1 × 10

⁻³

1 × 10

⁻⁴

∆(h) −1.67 × 10

⁻⁴

−1.67 × 10

⁻⁷

−1.67 × 10

⁻¹⁰

−1.67 × 10

⁻¹³

∆(h)/∆(10h) 1 × 10

⁻³

1 × 10

⁻³

1 × 10

⁻³

(6)

(例) f (x) = x sin µ 1

x

¶

，a = 0.01，f

⁰

(0.01) = −86.7 · · ·

h 1 × 10

⁻³

1 × 10

⁻⁴

1 × 10

⁻⁵

1 × 10

⁻⁶

∆(h) 9.40 × 10

⁻²

3.65 × 10

⁻³

2.67 × 10

⁻⁵

2.55 × 10

⁻⁷

∆(h)/∆(10h) 3.88 × 10

⁻²

7.32 × 10

⁻³

9.53 × 10

⁻³

導関数 (p.16)

_寺

，(p.53)

_馬

関数 y = f(x) を考える。各 x の値にこの x における微分係数を対応させる関数を y = f(x) の導関数とよび

f

⁰

(x), y

⁰

とか df (x) dx , dy

dx (11.1)

と表す。すなわち

f

⁰

(x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x)

h (11.2)

である。

＜注＞微分係数を示す記号 (8.3) に現れた |

x=a

は x に a を代入するという操作を意味する。つまり，微分係数 f

⁰

(a) は導関数 f

⁰

(x) の x = a における値。

基本的な関数の導関数 (p.54)

_馬

・x

ⁿ

(p.16)

_寺

dx

ⁿ

dx = n x

ⁿ⁻¹

(11.3)

h→0

lim

(x + h)

ⁿ

− x

ⁿ

h = lim

h→0

n h x

ⁿ⁻¹

+ O(h

²

)

h = lim

h→0

³

n x

ⁿ⁻¹

+ O(h)

´

= n x

ⁿ⁻¹

(11.4)

＜注＞上の導出では n が自然数の場合を考えているが，実は n が任意の実数の場合も式 (11.3) は成り立つ。

・三角関数 (p.20)

_寺

，(p.58)

_馬

d sin(x)

dx = cos(x) , d cos(x)

dx = − sin(x) (11.5)

h→0

lim

sin(x + h) − sin(x)

h = lim

h→0

2 cos ³

x +

^h₂

´ sin ³

h 2

´

h

= lim

h→0

cos ³ x + h

2 ´

h→0

lim sin

³

h 2

´

h 2

= cos(x) (11.6)

(7)

h→0

lim

cos(x + h) − cos(x)

h = lim

h→0

−2 sin

³ x +

^h₂

´ sin

³

h 2

´

h

= − lim

h→0

sin

³ x + h

2 ´

h→0

lim sin

³

h 2

´

h 2

= − sin(x) (12.1)

＜注＞上の導出で次の等式を用いた。 (p.20)

_寺

，(p.43)

_馬

θ→0

lim sin(θ)

θ = 1 (12.2)

(8)

・指数関数 (p.28)

_寺

，(p.53)

_馬

de

^x

dx = e

^x

(13.1)

de

^x

dx = lim

h→0

e

^x+h

− e

^x

h = e

^x

lim

h→0

e

^h

− 1

h = e

^x

lim

h→0

e

^h

− e

⁰

h (13.2)

であるが，上式右辺の lim

h→0

³

e

^h

− e

⁰

´

/h は関数 y = e

^x

の x = 0 での微分係数，すなわち x = 0 での接線の傾きを表す。ネイピア数 e はこの接線の傾きが 1 であるように定義されていた。(プリント数 I.2)

(参考) ネイピア数の表現 e = lim

t→0

(1 + t)

¹^t

より上を導くこともできる。e

^h

− 1 = t とおくと h = log(1 + t) となるので

lim

h→0

e

^h

− 1 h = lim

t→0

t

log(1 + t) = lim

t→0

1 log(1 + t)

¹^t

= 1 log

³

lim

t→0

(1 + t)

¹^t

´ = 1 log e = 1

(13.3) となる。

・対数関数 (p.28)

_寺

，(p.54)

_馬

d log(|x|) dx = 1

x (13.4)

x > 0 の場合を考える。

h→0

lim

log(x + h) − log(x)

h = lim

h→0

log

^x+h_x

h = lim

h→0

x h log

³ 1 + h

x

´ 1 x = 1

x lim

t→0

log(1 + t)

t (13.5) 上で，t = h/x とおいた。上式右辺の

lim

t→0

log(1 + t)

t は関数 y = log(x) の x = 1 での微分係数，すなわち x = 1 での接線の傾きを表す。(プリント数 I.3) よりこの傾きは 1 である。

(参考) ネイピア数の表現からも lim

t→0

log(1 + t) t = log

³

lim

t→0

(1 + t)

¹^t

´

= log e = 1 となることがわかる。

＜注＞ x < 0 の場合は y = −x とおいて，後述の合成関数の微分を用いる；

d log(y)

dx = d log(y) dy

dy

dx = − 1 y = 1

x (13.6)

(9)

微分の基本的公式 (p.17)

_寺

，(p.60)

_馬

・関数の和，差と定数との積の微分

³

a f (x) + b g(x)

´

₀

= a f

⁰

(x) + b g

⁰

(x) , a, b は定数 (14.1)

・関数の積の微分

³

f(x) g(x)

´

₀

= f

⁰

(x) g(x) + f(x) g

⁰

(x) (14.2) x = a の近くで

f (a + h) = f (a) + f

⁰

(a) h + O(h

²

) (14.3) g(a + h) = g(a) + g

⁰

(a) h + O(h

²

) (14.4) となる。これより

f(a + h) g(a + h) = f(a) g(a) + ³

f

⁰

(a) g(a) + f (a) g

⁰

(a) ´

h + O(h

²

) (14.5) となる。一方 F (x) = f (x) g (x) とすると，

F (a + h) = F (a) + F

⁰

(a) h + O(h

²

) (14.6) である。ただし，F (a) = f(a) g(a)。式 (14.5) と式 (14.6) の h の 1 次の係数を比べて

F

⁰

(a) = f

⁰

(a) g(a) + f(a) g

⁰

(a) (14.7) となることがわかる。

・関数の商の微分

µ f (x) g(x)

¶

₀

= f

⁰

(x) g(x) − f(x) g

⁰

(x)

g(x)

²

(14.8)

今度は F (x) = f(x)/g(x) とおく。F (x) g(x) = f (x) の両辺を x で微分すると積の微分公式 (14.2) より

F

⁰

(x) g(x) + F (x) g

⁰

(x) = f

⁰

(x) (14.9) がとなる。これより

F

⁰

(x) = f

⁰

(x) − F (x)g

⁰

(x)

g(x) (14.10)

が得られる。F (x) = f(x)/g(x) を上の式に代入して通分すると式 (14.8) となる。

(10)

・合成関数 y = f (g(x)) の導関数 (p.18)

_寺

，(p.62)

_馬

df(g(x))

dx = df (u) du

¯ ¯

u=g(x)

dg(x)

dx (15.1)

y = f (u)，u = g(x) とする。x = a の近くでは関数 u = g(x) は次の直線 (1 次関数) u = g(a) + dg(x)

dx

¯ ¯

x=a

(x − a) (15.2)

とほぼ等しくなる。また， b = g(a) とすると，u = b の近くでは関数 y = f(u) は直線 y = f(b) + df(u)

du

¯ ¯

u=b

(u − b) (15.3)

とほぼ等しくなる。1 次関数と 1 次関数の合成は 1 次関数となる。実際，式 (15.2) と式 (15.3) より合成関数は

y = f (b) + df (u) du

¯ ¯

u=b

µ·

g (a) + dg(x) dx

¯ ¯

x=a

(x − a)

¸

− b

¶

(15.4)

b=g(a)

= f (b) + df (u) du

¯ ¯

u=g(a)

dg(x) dx

¯ ¯

x=a

(x − a) (15.5)

となる。この直線の傾き， df(u) du

¯ ¯

u=g(a)

dg(x) dx

¯ ¯

x=a

，が合成関数 y = f (g(x)) の x = a での微分係数を表す。

＜注＞曲線と接線の差まで考慮すると以下のような導出となる；

g(a + h) = g(a) + dg(x) dx

¯ ¯

x=a

h + O(h

²

) (15.6)

f (b + ε) = f (b) + df (u) du

¯ ¯

u=b

ε + O(ε

²

) (15.7)

となっている。ε = dg(x) dx

¯ ¯

x=a

h + O(h

²

) と考えて

f(g(a + h)) = f µ

g(a) + dg(x) dx

¯ ¯

x=a

h + O(h

²

)

¶

(15.8)

= f (g(a)) + df(u) du

¯ ¯

u=b

µ dg(x) dx

¯ ¯

x=a

h + O(h

²

)

¶

+ O(ε

²

) (15.9)

= f (g(a)) + df(u) du

¯ ¯

u=b

dg(x) dx

¯ ¯

x=a

h + O(h

²

) (15.10)

となる。上の式 (15.10) の h の一次の係数から合成関数 y = f(g(x)) の x = a での微

分係数がわかる。

(11)

(例) x

^α

= exp ³

α log(x) ´

の導関数を求めなさい。ただし α は実数。

(答) f (u) = e

^u

，g(x) = α log(x) とすると exp

³

α log(x)

´

= f(g(x)) となる。合成関数の微分の式 (15.1) より

d exp

³

α log(x)

´

dx = de

^u

du

¯ ¯

u=αlog(x)

d(α log(x))

dx = e

^u

|

_u=α_log(x)

α d log(x)

dx = x

^α

α 1

x = α x

^α−1

となる。これより任意の実数 α について次が成り立つことがわかる；

dx

^α

dx = αx

^α−1

(16.1)

(例) 関数 y = f

³

g (h(x))

´

の導関数を求めなさい。

合成関数の微分の式 (15.1) を 2 度使う。まず，F (x) = g(h(x)) とすると，y = f(u)，u = F (x)

なので dy

dx = df (F (x))

dx = df (u) du

¯ ¯

u=F(x)

dF (x)

dx (16.2)

となる。次に dF (x)

dx = dg(h(x))

dx = dg(v) dv

¯ ¯

v=h(x)

dh(x)

dx より次が得られる；

df

³

g(h(x))

´

dx = df (u) du

¯ ¯

u=g(h(x))

dg(v) dv

¯ ¯

v=h(x)

dh(x)

dx (16.3)

(例) y = 1

1 + A exp(−rx) の導関数を求めなさい。ただし，A と r は定数である。また，この

関数の x = 0 での接線を表す式を求めなさい。

(答) f (u) = 1/u，g(v ) = 1 + A e

^v

，h(x) = −r x とすると 1

1 + A exp(−rx) = f(g(h(x))) となる。 df (u)

du = − 1

u

²

， dg(v)

dv = A de

^v

dv = Ae

^v

， dg(x)

dx = −r なので式 (16.3) より以下が得られる；

d dx

µ 1

1 + A exp(−rx)

¶

= − 1 u

²

¯ ¯

u=1+Ae^−rx

Ae

^v

|

_v=−rx

(−r) = rA exp(−rx)

³

1 + A exp(−rx) ´

₂

以上より x = 0 でこの関数の値は 1/(1 + A) であり，微分係数は rA/(1 + A)

²

となることがわかる。

従って x = 0 での接線は以下の式で表される；

y = 1

1 + A + rA (1 + A)

²

x

右図は r = 2，A = 10 の場合のグラフを示す。細い

線は接線を示す。

y

x

(12)

・逆関数の導関数 (p.25)

_寺

f (x) と g(x) が互いに逆関数である場合は

x = f (g(x)) (17.1)

となっている。上の式の両辺を x で微分すると 1 = df(u)

du

¯ ¯

u=g(x)

dg(x)

dx (17.2)

が得られる。これより g(x) が f (x) の逆関数である場合 dg(x)

dx = 1

, df(u) du

¯ ¯

u=g(x)

(17.3)

となる。

(例) arcsin(x) は −1 ≤ x ≤ 1 で定義された sin(x) の逆関数であり − π

2 ≤ arcsin(x) ≤ π

2 の値を

とる。(sin

⁻¹

(x) と書くこともある。) y = arcsin(x) の導関数を求めなさい。また，x = 1/ √ 2 での接線を表す式を書きなさい。

(答) f (u) = sin(u)，g(x) = arcsin(x) とおいて式 (17.3) を用いると d arcsin(x)

dx = 1

, d sin(u) du

¯ ¯

u=arcsin(x)

= 1

cos(u)

¯ ¯

u=arcsin(x)

(17.4)

となる。 sin(u) = x なので (cos(u))

²

+(sin(u))

²

= 1 より cos(u) = ± p

1 − (sin(u))

²

= ± √ 1 − x

²

となる。u = arcsin(x) は −π/2 から π/2 の範囲の値をとるので cos(u) ≥ 0。従って cos(u) =

√ 1 − x

²

であることがわかる。これを式 (17.4) に代入して d arcsin(x)

dx = 1

√ 1 − x

²

, −1 ≤ x ≤ 1 (17.5)

が得られる。x = 1/ √

2 での微分係数の値は上より √

2 となる。また sin(arcsin(1/ √

2)) = 1/ √ 2 より，arcsin(1/ √

2) = π/4 であることがわかる。以上より， x = 1/ √

2 での接線は次の式で表される；

y = π

4 − 1 + √ 2 x

-1 -0.5 0 0.5 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

x y

細い線が接線を示す。

(13)

x = f (t) , y = g(t) (18.1) と表されている。y を x の関数と考えたときの x = f (c) での微分係数は以下で表される；

dy dx

¯ ¯

x=f(c)

=

· dg(t) dt

Á df (t) dt

¸

t=c

(18.2)

t = c の近くで関数 x = f(t)，y = g(t) はそれぞれ次の直線 x = f (c) + df (t)

dt

¯ ¯

t=c

(t − c) (18.3)

y = g(c) + dg(t) dt

¯ ¯

t=c

(t − c) (18.4)

とほぼ等しくなる。式 (18.3) より t − c = (x − f(c))

. df(t) dt

¯ ¯

t=c

となるので，これを式 (18.4) に代入して x と y の 1 次の関係式

y = g(c) +

· dg(t) dt

Á df (t) dt

¸

t=c

³

x − f (c)

´

(18.5)

が得られる。この直線の傾き

· dg(t) dt

Á df(t) dt

¸

t=c

が x = f(c) での微分係数を与える。

＜注＞

逆関数の微分の式を用いた導出は以下のようになる；

x = f (t)

の逆関数を

t = h(x)

と書く。

y = g(h(x))

の導関数は合成関数の微分の式

(15.1)

よ

り

dy

dx = dg(h(x))

dx = dg(t) dt

¯¯

t=h(x)

dh(x)

dx (18.6)

となる。さらに逆関数の微分の式

(17.3)

より

dh(x) dx = 1

.

df (t) dt

¯¯

t=h(x)

なので

dy

dx = dg(h(x))

dx = dg(t) dt

Á

df(t) dt

¯¯

t=h(x)

(18.7)

となる。

(例) パラメーター θ を用いて表された曲線 {x = e

^θ

cos(θ) , y = e

^θ

sin(θ)} の θ = π/2 での接線を表す式を書きなさい。

(答) dx(θ) dθ = e

^θ

³

cos(θ) − sin(θ)

´

， dy(θ) dθ = e

^θ

³

sin(θ) + cos(θ)

´

となる。

θ = π/2 で x = 0 , y = e

^π/2

である。この点での微分係数 dy/dx|

_x=0

は式 (18.2) より

dy dx

¯ ¯

x=0

= −e

^π/2

e

^π/2

= −1

となる。従ってこの点での接線は次の式で表される；

y = e

^π/2

− x

-25 -20 -15 -10 -5 0 5

-2.5 0 2.5 5 7.5 10

x y

細い線が接線を示す。

(14)

・テイラー (Taylor) 展開 (p.49)

_寺

，(p.84)

_馬

高次の導関数

関数 y = f (x) の導関数 df (x)

dx が微分可能なとき導関数の導関数 d dx

µ df(x) dx

¶ を d

²

f (x)

dx

²

, d

²

dx

²

f (x) , d

²

y

dx

²

, y

⁰⁰

, f

⁰⁰

(x)

などと書き 2 次の導関数とか 2 階の導関数と呼ぶ。同様に関数 y = f(x) を n 回微分して得られる関数を

d

ⁿ

f (x)

dx

ⁿ

, d

ⁿ

dx

ⁿ

f (x) , d

ⁿ

y

dx

ⁿ

, y

⁽ⁿ⁾

, f

⁽ⁿ⁾

(x) (19.1) などと書き n 次の導関数とか n 階の導関数と呼ぶ。

＜注＞ 0 次の導関数は元の関数のこととする；

d

⁰

f(x)

dx

⁰

= f(x) (19.2)

x = a の微分係数 df (x) dx

¯ ¯

x=a

を用いて関数 y = f (x) を x = a の近くで f (x) = f (a) + df (x)

dx

¯ ¯

x=a

(x − a) + O

³

(x − a)

²

´

(19.3) と近似できた。高次の微分係数を使うと，さらに誤差を小さくすることができる。

関数 f(x) の x = a での n 次のテイラー展開 f

n

(x; a) を次で与える；

f

_n

(x; a) = X

n k=0

d

^k

f (x) dx

^k

¯ ¯

x=a

(x − a)

^k

k! (19.4)

ここで k! は k の階乗と呼ばれる次で定義される量；

k! = (

k · (k − 1) · · · 3 · 2 · 1 ; k = 1, 2, 3 · · · 自然数

1 ; k = 0 (19.5)

また和の記号 X

n k=0

は次式のこと；

X

n k=0

c(n) = c(0) + c(1) + c(2) + · · · + c(n − 1) + c(n) (19.6) 従って f

_n

(x; a) を和の記号を使わずに書くと次式となる；

f

n

(x; a) = d

⁰

f(x) dx

⁰

¯ ¯

x=a

(x − a)

⁰

0! + d

¹

f (x) dx

¹

¯ ¯

x=a

(x − a)

¹

1! + d

²

f (x) dx

²

¯ ¯

x=a

(x − a)

²

2! + · · ·

= f (a) + df(x) dx

¯ ¯

x=a

(x − a) + d

²

f (x) dx

²

¯ ¯

x=a

(x − a)

²

2 + · · · + d

ⁿ

f(x) dx

ⁿ

¯ ¯

x=a

(x − a)

ⁿ

n!

(15)

＜注＞ f

_n

(x; a) はこの講義でしか使わない記号なので参考書等を読むときは注意してください。

テイラー展開の性質

・1 次のテイラー展開 y = f

₁

(x; a) = f (a) + df(x) dx

¯ ¯

x=a

(x − a) は関数 y = f(x) の x = a での接線を表す。

・n 次のテイラー展開 f

n

(x; a) の x = a での微分係数は n 次まで元の関数 f (x) の微分係数と一致する；

d

^k

f

_n

(x; a) dx

^k

¯ ¯

x=a

= d

^k

f(x) dx

^k

¯ ¯

x=a

, k = 0, 1, · · · , n (20.7)

・f (x) が n 次の多項式の場合，f(x) = f

n

(x; a)

・x = a の近くで f(x) と f

_n

(x; a) の差は O

³

(x − a)

ⁿ⁺¹

´

のオーダーとなる

f (x) = X

n k=0

1 k!

d

^k

f (x) dx

^k

¯ ¯

x=a

(x − a)

^k

+ O

³

(x − a)

ⁿ⁺¹

´

(20.8)

ことが次のテイラーの定理からわかる。

テイラーの定理

f (b) = X

n

k=0

(b − a)

^k

k!

d

^k

f (x) dx

^k

¯ ¯

x=a

+ (b − a)

ⁿ⁺¹

(n + 1)!

d

ⁿ⁺¹

f (x) dx

ⁿ⁺¹

¯ ¯

x=c

(20.9)

が成り立つ a と b の間の適当な値 c が存在する。

(参考) 式 (20.9) の導出

左辺

f (b)

と右辺第一項の差を

R

_n+1 と書く；

R

_n+1

= f (b)

− Xn

k=0

(b

−

a)

^k

k!

d

^k

f (x) dx

^k

¯¯

x=a

(20.10)

A

を

R

_n+1

= (b

−

a)

ⁿ⁺¹

(n + 1)! A

で定義する。また関数

F(x)

を次式で定義する；

F(x) = f (b)

− Xn

k=0

(b

−

x)

^k

k!

d

^k

f (x)

dx

^k −

(b

−

x)

ⁿ⁺¹

(n + 1)! A (20.11)

F (x)

は次を満たす；

F (b) = 0 F (a) =

(

f (b)

−

Xn

k=0

(b

−

a)

^k

k!

d

^k

f (x) dx

^k

¯¯

x=a

)

−

(b

−

a)

ⁿ⁺¹

(n + 1)! A

= R

_n+1−

(b

−

a)

ⁿ⁺¹

(n + 1)! A = 0

(16)

F (a) = F (b)

なので，

a

と

b

の間に

dF (x) dx

¯¯

¯x=c

= 0

となる

c

があることがわかる。

(

これをロル

(Rolle)

の定理と呼ぶ。右図参照。

)

dF (x)

dx

^{を計算すると；}

dF (x) dx =

Xn

k=1

(b

−

x)

^k−1

(k

−

1)!

d

^k

f (x) dx

^k −

Xn

k=1

(b

−

x)

^k

k!

d

^k+1

f(x)

dx

^k+1

+ (b

−

x)

ⁿ

n! A

(21.12)

=

−

(b

−

x)

ⁿ

n!

d

ⁿ⁺¹

f (x)

dx

ⁿ⁺¹

+ (b

−

x)

ⁿ

n! A

(21.13)

となるので

0 = (b

−

c)

ⁿ

n!

µ

A

−

d

ⁿ⁺¹

f (x) dx

ⁿ⁺¹

¯¯

x=c

¶

(21.14)

となる

c

が

a

と

b

の間にあることがわかる。

(例) sin(x)，cos(x) の x = 0 でのテイラー展開 d sin(x)/dx = cos(x)，d cos(x)/dx = − sin(x) なので

d

^2m

sin(x)

dx

^2m

= (−1)

^m

sin(x) , d

^2m+1

sin(x)

dx

^2m+1

= (−1)

^m

cos(x) , m = 0, 1, 2, · · · (21.15) d

^2m

cos(x)

dx

^2m

= (−1)

^m

cos(x) , d

^2m+1

cos(x)

dx

^2m+1

= (−1)

^m+1

sin(x) , m = 0, 1, 2, · · · (21.16) となる。sin(0) = 0，cos(0) = 1 なので次が得られる；

sin(x) の x = 0 での 2` + 1 次のテイラー展開 f

_2`+1

(x, 0) =

X

` m=0

(−1)

^m

x

^2m+1

(2m + 1)! (21.17)

cos(x) の x = 0 での 2` 次のテイラー展開 f

_2`

(x, 0) =

X

` m=0

(−1)

^m

x

^2m

(2m)! (21.18)

2 4 6 8 10

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

sin(x) の x = 0 でのテイラー展開

2 4 6 8 10

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

cos(x) の x = 0 でのテイラー展開

(17)

.

関数 y = f (x) の x = a での 2 次のテイラー展開 f

₂

(x; a) = f (a) + df (x)

dx

¯ ¯

x=a

(x − a) + 1 2

d

²

f (x) dx

²

¯ ¯

x=a

(x − a)

²

(22.1) を考える。x = a での 1 次および 2 次の微分係数の符号によって決まるこの 2 次関数の形から x = a の近くでの関数の増減と凹凸がわかる；

・ df (x) dx

¯ ¯

x=a

> 0 , d

²

f (x) dx

²

¯ ¯

x=a

> 0

( a, f(a) )

x = a で f(x) は増加，

下に凸なグラフ

・ df (x) dx

¯ ¯

x=a

< 0 , d

²

f(x) dx

²

¯ ¯

x=a

> 0

x = a で f(x) は減少，

下に凸なグラフ

・ df (x) dx

¯ ¯

x=a

< 0 , d

²

f (x) dx

²

¯ ¯

x=a

< 0

x = a で f(x) は減少，

上に凸なグラフ

・ df (x) dx

¯ ¯

x=a

> 0 , d

²

f(x) dx

²

¯ ¯

x=a

< 0

x = a で f(x) は増加，

上に凸なグラフ

・ df (x) dx

¯ ¯

x=a

= 0 , d

²

f (x) dx

²

¯ ¯

x=a

> 0

x = a で f(x) は極小 (下に凸なグラフ)

・ df (x) dx

¯ ¯

x=a

= 0 , d

²

f(x) dx

²

¯ ¯

x=a

< 0

x = a で f (x) は極大

(上に凸なグラフ)

(18)

・極値：極大値と極小値をまとめて極値と呼ぶ。f (a) が極値 → df(x) dx

¯ ¯

¯

x=a

= 0 逆に df (x)

dx

¯ ¯

x=a

= 0 でも x = a が極値とは限らない。例えば f(x) = x

³

の場合， x = 0 で df (x)

dx

¯ ¯

x=0

= 0 だが (0 , 0) は極大でも極小でもない．

・変曲点 x = a の前後で曲線 y = f (x) の凹凸が変わるとき点

³

a , f(a)

´

を変曲点と呼ぶ． d

²

f(x)

dx

²

¯ ¯

x=a

= 0 であり，x = a の前後で d

²

f(x)

dx

²

の符号が変化する。

1 次および 2 次の導関数の符号を調べることにより関数の概形を描くことができる。

(例) − 2 ≤ x ≤ 2 での関数 f(x) = − x

³

3 + x の増減，凹凸を調べ，y = f (x) のグラフの概形を描きなさい。

1 次および 2 次の導関数は以下のようになる；

df(x)

dx = −x

²

+ 1 , d

²

f (x)

dx

²

= −2x (23.1)

d f/dx² ²

x ਅߦಲ

਄ߦಲ

d f/dx

x

ᷫዋ Ⴧട ᷫዋ

1 次および 2 次の導関数の符号と 0 となる点を表にまとめると

x −2 · · · −1 · · · 0 · · · 1 · · · 2

d

²

f (x)/dx

²

+ 0 −

df (x)/dx − 0 + 0 −

f(x)

²₃ ±-

−

²₃

(極小)

°6

0(変曲点)

^-^² ²₃

(極大)

^¯?

−

²₃

となる。これから f(x) の概形を以下のように描くことができる：

㪄㪈㪃㪄㪉㪆㪊

㪈㪃㩷㪉㪆㪊

㩿㪇㪃㩷㪇㪀

f(x)

x

(19)

.

は；x = −1 が極小で x = 1 が極大であることはわかる. また， x = −1 の近くで f (x) が下に凸，x = 1 の近くで上に凸であることはわかるが，どの点で下に凸から上に凸に変わるかはわからない．

( 例 ) パラメーター θ を用いて表された x-y 平面上の曲線 {x = 2θ − sin(θ) , y = 2 − cos(θ)} を考える。1 次の導関数 dy/dx の符号を調べ，−π/2 ≤ θ ≤ 3π/2 での x-y 平面上の曲線の概形を描きなさい。

dx(θ)

dθ = 2 − cos(θ) , dy(θ)

dθ = sin(θ) (24.1)

より式 (18.2) を用いて

dy

dx = sin(θ)

2 − cos(θ) (24.2)

となる。分母の dx/dθ = 2 − cos(θ) は常に正なので，dy/dx の符号は分子の dy/dθ = sin(θ) より決まる。また x は θ とともに常に増加する。以上より 1 次の導関数の符号と 0 となる点を表にまとめると

θ −

^π₂

· · · 0 · · · π · · ·

³₂

π x −π + 1 · · · 0 · · · 2π · · · 3π + 1

dy/dx − 0 + 0 −

y 2 & 1(極小) % 3(極大) & 2 となる。これから曲線の概形を以下のように描くことができる：

㩿㪇㪃㩷㪈㪀

㩿㪉π㪃㩷㪊㪀

y

x

＜注＞上で 1 次の導関数 dy/dx はパラメーター θ によって表されている。もし， 2 次の導関数 d

これをオイラーの公式と呼ぶ。ここで i は虚数単位で i

(参考) オイラー (Euler) の公式

複素数まで考える範囲を広げると三角関数と指数関数には次の関係がある;

exp(iθ) = cos(θ) + i sin(θ) (5.1)