２次元一般化適応格子形フィルタの一設計法: University of the Ryukyus Repository

(1)

Title

２次元一般化適応格子形フィルタの一設計法

Author(s)

山下, 勝己; 安里, 和浩; 半場, 滋; 宮城, 隼夫

Citation

琉球大学工学部紀要(52): 89-94

Issue Date

1996-09

URL

http://hdl.handle.net/20.500.12000/13809

Rights

(2)

琉球大学=学部糸己要第52号, 1996年

2 次元一般化適応格子形フィルタの-設計法

山下勝己 * 安里和浩 *

* 半場滋 * 宮城隼夫 …

A Design M ethod ofTwo-Dim ensionalAdaptive Generali2;ed LatticeFilter KatsumiYAMASHITA* KazuhiroAsATO**Shigeru HANBA* HayaoM IYAGI***

Abstract

Previously,theauthorsproposedatwo-dimensionallatticemter.However,Thisfilterisnotableto applytoARMAmodel,byhavingaunitdelayelement,Thispaperistoconstructatwo-dimensional adaptlVegeneralizedlatticefilter Also,anadaptivealgorithm basedonLMSalgorithm isconstructed andthentheeffectivenessoftheproposedmethodisevaluatedusingdigitalsimulation.

KeyW ords:2-DlatticeAlter,All-passcircuit,LMSalgorithm,ARMAmodel,System identi爺cation.

1. まえがき近年,ディジタル信号処理は情報通信 ,音声,画像,制御 , 医療などの分野で幅広く活用されている.また,その中でも

2

次元ディジタルフィルタに関する研究は,リモートセンシング画像処理,医用画像処理,パターン認識などの発達に伴う

2

次元ディジタル信号処理が重要な課題となりつつある.また,2次元格子形フィルタは低係数感度特性,高速演算性,次数可変及び安定判別が容易など優れた特質を有しているため,種々の研究がなされている【1日2日3】 Parkerらは,1次元格子形フィルタの拡張形として 1ステージ当り3種類の反射係数をもつ 2次元格子形フィルタを提案し,渡辺らは1ステージ当り6種類の反射係数をも

つ2

次元格子形フィルタを提案した.しかしながら,これらのフィルタは制約条件が加えられてるため,十分に近似し得ない特性があることから,筆者らは同構造下で,より一般的な

2

次元格子形フィルタを提案した.一方,同フィルタは 2次元ARMAモデルに対して,システム同定することができないという問題が若干残る. 本論文では文献

[

4

】の考えに基づいて

2

次元格子形フィルタの遅延素子部を1次の全域通過回路に置き換えることにより

,

FI

R及び

HR

の両特性を兼ね備えた

2

次元信号を対象とした2次元一般化格子形適応フィルタを提案する. また,本フィルタの適応化にはLMSアルゴリズム【51を用いた.更に,本手法の有効性をシステム同定問題における計算機シミュレーションにより検証する. 受理:1996年5月20El *工学部電気電子工学科

(Dept10fElectricalandElectronicEngineering,Fac･ofEng･)

**大学院工学研究科花気 .情報工学専攻

(GraduateStudent,ElectrlCalandhlormationEng.)

***工学部情報工学科

(°eptofhLor-ationEngineering,Fac.ofEng.)

89 2. フィルタ設計

2

次元一般化適応格子形フィルタを構築するにあたって,

2

次元格子形フィルタが基盤となるため

2.

1

では

,2

次元格子形フィルタについて若干説明し

,

2.

2

では

2

次元一般化適応格子形の構築を行なう.

2. 1 2

次元格子形フィルタ 2次元格子形フィルタは,図 1に示される因果モデルである 1つの前向き予測誤差と非因果モデルである3つの後向き予測誤差によって構成されるフィルタである.フィルタの次数を〃次と仮定したとき,格子点 (n,m)における前向き予測誤差JN(n,m),格子点(

n-N

,

m)

,

(

n-

N

,

m -

N)

,

(

n

,

m-

N)

における後向き予測誤差rん(n,m),rん(n

,

m)

及び瑞 (n

,

m)

はそれぞれ式 (1) のように与えられる. ∩ N m n-N ∩ ∩ ∩-N ∩ ∩ (a) fN(n,m) (b) rL(n,m) m N m n-N ∩ ll ∩-N ∩ ∩ (C)r2N(n,m) (d) Tも(n,m) 図 1.予測に用いるマスク領域

(3)

90 eN

=

ANX N 山下･安里･半場･宮城 .2次元一般化適応格子形フィルタの一設計法 (1) 但し, eN

=

lIN(n,m)rん(n,m)rん(n,m)rん(n,m)

]

T

A〃 -恥 (0) α〃(1) ･ α〃(〟) bN(0) bN

(

1 )

･ bN(N) C〃(0) C

〃(

1 )

i C〃(〟) d〃(0) d〃(1) ･ d〃(〟) aN(i)- 【aN(i,0)aN(i,1)･･･aN(i,N)]

bN(i)

=

lbN(N -i

,

0 )

bN(N -i

,

1 )･

･

･ bN(N -i,N)] cN(i)

=

lcN(N -i,N)cN(N -i,N -

1 )･

cN(N -i

,

0 )]

dN(i)- ldN(i,N)dN(i,N -1)･･･dN(i,0)] aN(0,0)- bN(

0,

0 )

- cN(

0,

0 )

- dN(

0,

0 )

=

l

x N - la,N(0)T 諾N

(

1 )

TA

- 3'N(N)T

]

T 3!N(i)- [x(n-i,m)I(n-i,m - 1)･･･

r(n -

i

,

m -

N)]T なお,式

(

1 )

におけるA〃は予測係数行札 Ⅹ〃は入力信号ベクトルを表している.また,予測誤差の評価関数を次式のように定義する. J

k

-E

l

fN(n

,

m)

2]

(2a)

J

k

-E[

r

ん(

n

,m)2]

(

S

-1

,

2,

3 )

(

2 b)

なお

,

E

は期待値を意味する演算子である.このとき,各予測誤差の評価関数Jんを最小とする正規方程式と各予測誤差の最

′

ト2

乗平均値を結合した昇次正規方程式は次式のようになる. A〃￠

〃

- β〃但し, 0 0 0 0 穐 o o 穐

o

札織

o

0 0

0

0 (3)

∫U

♂

o

〃

2 〃

0

0 ･ohf

_{紘 -l}

_j

k,0,･･

,

o

】

lo,･-,

0 ,

j

k]

6

3 N=[

0,･･

･

,

0 ,

j

k]

なお

,

e

S

N

は各予測誤差の最小

2

乗平均値瑞を要素とする (〟+1)次元のベクトルを表し,￠〃は(〟+1)2×(〟 +1)2 次元のブロックテブリッツ行列を表す . Q N

-￠

o

￠1

￠〃

め_

1 ￠

0 ･

￠〃_1 ￠_〃￠1_〃

￠

0 (

4)

但し,

￠

1 -

4(

i(

i

,

-1

0 )

)

4(

i

,

0)

1 )

･

4(

i,

i

N - 1,N)) 棉 ,-〟) 伸 ,1-〟)

頼

,

0 )

4･(i

,

i)

-E

【x(n,m)3:(n- i,m -

i

)]

ここで,4(i

,

i

)

は自己相関関数である.このとき,予測係数の次数に関する再帰式を求める･まず ,式(2)の〃次の関係式に基づき

〃+

1次の関係式を次式のように定義する. A〃+1￠〃+

1 =

β〃+1

(

5 )

次に,〃次の予測係数を要素とする係数行列A

〃+

1と

4×4

次の反射係数行列∬

Ⅳ+

1を用いて〃 + 1次の予測係数行列A〃十1を次式のように表す . jLN+1- K N+lAN+1 ≡ + 〟 ∬ 但し, A〃+1

=

十 + + 3 〃 6 〃 9 〃 1 た･i e Iた 2 叫 5 〝 . 1

品

･七･･だ

L

e 1 〝. 1

8

叫㌫七

･JLe

･.〟

1 1 1 1 4 叫

7

叫㌫ -七

･･だ

しん

aN(0)

,

0

aN(1),0 ･ O bN(0)

,

0

0 0,cN(0) 0,d〃(0) 0,d〃(1) α〃(〟),0 0 bN(N-1),0 bN(N),

0

,C〃(〟 -1) 0,C〃(〟)

0

,d〃(〟) 0

(

6 )

このとき,反射係数行列を決定すれば予測係数の再帰式が求められる･まず ,式

(

6 )

を式

(

5 )

に代入し次式が得られる ∬〃+1A〃+

1

￠〃+1= β〃+1

(

7 )

ここで,行列AN+1卓N+1が正方行列でないため ,左側疑似逆行列の概念に基づき,次式が得られる (付録)I

K

N+

1 A

N+1卓N

+1

AN+l

T=B

N+

l

AN+1T (8) この

と

き,AN+1￠N+

l

A

N+1T

は

4

×

4次の対称行列とな

り,

そ

の

要素

は

〃次の予測誤差の相関関数より求められる (付緑

)

･

それ故 ,反射係数行列は次式のように決定できる.

∬

〃+1

=

×

J見

+

1

0

0 0 0 0 0 3 叫､J 0 0 2 叫 O .▼ J

o

l 叫

o

︿T

J

4 〃 7 〃 9 〃 1 0 〃 tJJ tJJ f ヽ tJJ 3 〃 6 〃 8 〃 9 〃亡㌧亡 ′ヽ亡 .ヽ tJ.∼ 2 〃 5 〃 6 〃 7 〃 tJJ tJ′ヽ tJJ tJ.∼

l〃

2〃

3〃

4〃

ど.ヽ

亡.ヽ

亡.∼

但し,

舘

=

E[

fN(n

,

m)

2]

(4)

琉球大学工学部紀要第52号, 1996年

E

ん

=E〔fN(n,m)rL(n-1

,

m)]

E

3 N

- E

〔

fN(n,m)rん(

n-1

,

m -1

)]

E

4 N=

E[fN(

n,

m)

r

k(

n,

m -1

)]

E

丸 -Elr

L(

nl

l

,

m)

2]

E

‰=

E

lr

i

,

(

n -

1

,m)rん(n-

1

,m -

1 )]

E

ん

-E

lrL(n

l

l,m)rR,(n,m -

1 )]

E

8

1 V=

E

l

r

ん(

n-1

,

m -1

)

2]

E

ん=

E

lrん(n-

1

,m -

1 )

瑞 (

n

,m -

1 )]

描

=E

lrも(n

,

m -1

)

2]

更に,正規方程式より予測係数間にaN(i,})=cN(i,i)及びbN(i,i)-dN(i,i)の関係が存在することから舘 =乱

E

も

二

島

;0,銘 =銘及び舘 =銘の関係が成立し(付録),反射係数行列は 1ステージ当たり6種類の反射係数からなる次式の関係式となる十 + +

l

〃

2 〃

3 〃

･小仙･h九七 l 1 1 + +

+

4 〃

5 〃

6 〃

,hルーた･か川 7 〃 2 〃 5 〃 tJJ f L, tJL ' 4 〃 l 〃 2 〃 tJ.ヽ亡 .ヽ亡しっ 5 〃 4

〃

7 〃 ′L.ヽ亡 ′ヽ亡 ′ヽ 4 〃 2 〃 5 〃 tJJ tJJ tJ.∼ 3 〃 l 〃 2 〃 ▲上し' tJ′ヽ ▲L′ヽ l 〃 3

〃

4

〃

tJ′ヽ亡 ′ヽ ▲JJ 2 〃 4 〃 7 〃 tJ′ヽ亡 ′ヽ tJ.∼ 但し, 紘十1= 舷 +1,kR,.1= kL+1,紘 +1

=

k8N+1

紘 +1=k

L

j

2 +1,紘 +1=ki

P

+1,紘 +

1

=媒 +1

このとき,式

(

1

0 )

の反射係数を用いれば,式

(

6 )

の予測係数に関する再帰式が成立する･また,式

(

6 )

に入力信号ベクトルX N+1を右乗すれば予測誤差に関する再帰式が次式のよう得られる.更に,図2には 2次元格子形フィルタによる予測過程のブロック線図を示す. 図2

.2

次元格子形フィルタによる予測過程 f

N

+

i

(

n,

m

) r

ん

+

1 (

n,

m

) r

ん

+i

(

n,

m

) r

R

,+i

(

n

,

m

)

-

∬

〃

+ 1

f

N(

n,

m)

r

ん(

n

-

1,

m)

r

ん(

n

-1

,

m-1 )

瑞(

n,

m

l

)

91 り l) 但し, xN+1- 【3'N(0)Tx(n,m -N -

1 )A

3'N(N)Tx(n-N -

1

,m -N -

1 )1

22 2次元一般化適応格子形フィルタ図

2

のフィルタは遅延素子部を単位遅延素子で構成しているため,同フィルタはARMAモデルに対して適用することができない.ここでは,単位遅延素子部を次式の全域通過回路に置き換えることにより,ARMAモデルに対しても適用し得る

2

次元一般化格子形フィルタを構築する.

H

l

(

Zl

,- 吉宗

,H

2 (

Z2

,-

害

者

(

1 2)

ここで,qはフィードバック係数を表す.まず,文献

[

4 ]

の手順に従って図

2

のブロック線図における遅延素子部

Zl

-1

及び

Z2

-1

を,上式に示すH

l

(

Zl

)

及びH

2 (

Z2

)

にそれぞれ置き換えた結合予測過程のブロック線図を図3のように考える. y 図

3

.2次元一般化格子形フィルタによる結合過程このとき,図

3

より予測誤差に関する再帰式が次式のように得られる. fN(

n,

m)

rん(n,m) rん(n,m)

瑞 (

n

,

m)

但し,

f

N_1

(

n,

m)

紘

_1(n,m)

や

え

ー1(n,m) 簸 _1(n

,

m)

紘 _1(n,m)

=

Hl(zl)rL l(n,m)

-r

L l

(

n-

1

,

m)-

q

r

L

.

(

n,

m)

+q

祐一

1 (

n-1

,

m)

声

も_1(n,m)

=

Hl(zl)H2

(

2

2 )

r

L 1(n,m) - rん_1(nl1,mll) -qrん_i(n,m l1)

(5)

92 山下･安里･半場･宮城 2次元一般化適応格子形フィルタの-設計法 - q

r

L l

(

n l

l

,

m)

+q

2r

ん_1

(

n,

m)

+

q鴇 _1

(

n-

1

,

m)

+7

^

.

L l

(

n,

m -1

)

-q

2 弁

え

_1

(

n-1

,

m -1

)

7 -

.

L

l

(

n,

m)-H2

(

Z

2 )

r

3 N_i

(

n,

m)

=r

え_1

(

n,

m-1

)-qr

k_1

(

n,

m)

+q鴇 _1

(

n,

m-1

)

このとき,出力は図

3

のブロック線図からも明らかなように,3つのタップ係数

Wん(

n

,

m)

によりそれぞれ重み付けされた

3

つの予測誤差

r

ん(

n,

m)

の第 0ステージから第

N

ステージまでの総和として次式のように定義される

3

y(n

,

m

)

=∑w

srs s= l 但し,

(

1

4 )

wS-

l

w昌

(

n

,m),

wi

(

n,

m)

,･I,

l

妬 (

n,

m)]

rs-l

r

s

(

n,

m)

,

r

l

'

(

n

,

m)

,･

･

,

r

ん(

n,

m)

]

T

また,ある格子点

(

n,

m)

での望みの出力

d(

n,

m)

として評価関数 Jeを次式で定義する. Je

=

0･5El

e

(

n,

m)

2]

(

1

5 )

但し,

e

(

n,

m)=a(

n,

m)-y(

n,

m)

次に,各係数を適応的に求めるために最急降下法における勾配ベクトルの瞬時値を利用するLMSアルゴリズムを用いる.まず,I.MSアルゴリズムに基づき各係数の時間更新再帰式を次式のように定義する.

妬 (

n

+

1

,

m)

=

妬(

n

,

m)

-

p

豆妬 (

n,

m)

(16a)

(

i- 1- 6)

Wん(

n

+

1,m)-

W

ん(

n,

m)

-V章

Wん(

n,m) (16b)

q(

n

+

1

,

m)=q(

n,

m)

- 入

台q(

n,

m)

(16C) ここで,V,p,人はステップサイズパラメータを表し,

▽妬 (

n

,m),古

城 (

n,

m)

及び

▽q

(

n

,m)はそれぞれの係数の勾配瞬時値である.また,台妬 (n

,

m)

は前向き及び後向き予測誤差の2乗平均をそれぞれの反射係数で偏微分し,

台

場 (

n,

m)

及び

台q

(

n,

m)

は式

(

1 4)

をタップ係数及びフィードバック係数で偏微分した次式で与えられる.

章結 (

n,

m)-f

N(

n,

m)

祐一

1 (

n

,

m)

台紘 (

n

,

m)

-f

N(

n,

m)

瑞

_1

(

n

,

m)

台k

3 N(

n,

m)

-f

N(

n,

m)

瑞 _1

(

n,

m)

6線 (

n,

m)=r

L(

n

,

m)

f

k_1

(

n,

m)

台舷 (

n,

m)-r

L(

n,

m)

鴇

_l

(

n,

m)

台鴨 (

n

,m)

=

r

ん(

n

,m)

鴇

_1

(

n,

m)

台

W

ん(

n

,m)

ニーe

(

n,

m)

r

ん(

n

,m) 3 豆q(n,m)ニーe(n,m)∑

wS

y

7 s

q二il

)

ー

)

ね

袖

te

m

teZ

打

稚

拙

1

l

1

1 (

(

t

(

-(

但し,

7

7 S=l

r

l

昌

(

n

･

,

m)

,

7

7 ;

(

n

,

m)

,･

,

7

1 ん(

n

,

m)〕

7

ん(n

,

m)=

∂r

ん(

n

,

m)

/

aq

(

n

,

m)

なお砿 (n

,

m)

は直接求めることが困難であるため,式

(

1

2 )

の再帰式をフィードバック係数で偏微分した次式で簡単に求めることができる

4 ,

N(

n,

m)

りん(

n

,

m)

7

7 k(

n

,

m)

承 (

n

,

m)

4,

N-1

(

n,

m)

礼 _

1

(

n

,

m)

租

_i

(

n

,

m)

税 I

L

(

n

,

m)

(

1

8 )

但し,

危

_1

(

n,

m)

-

r

l

L l(n-

1 ,

m

ト 7上 1

(

n,

m)

-q

n

L 1

(

n

,

m)+

f

i

,

_

1

(

n-

1 ,

m)

+

q砧 _1(n-

1 ,

m)

楓 _

1

(

n

,

m)=7

7 ん_1

(

n-1

,

m-1

)

-r

L

l

(

n

,

m-1

)-q7ん_1

(

n,mll)

-r

ん_l

(

n-1,m)-q

7

ん _1

(

n -1,m)

+2qr

L

l

(

n

,

m)+q

2り

ん_1

(

n,

m)

+

硯 _1

(

n-1

,

m)+q杭 _

i

(

n-1

,

m)

-2q鴇 _1(n-1,m ll)

-q

2 硯

11 (

n-1

,

m-1

)

承

_1

(

n,m)

=

7

7 L

l

(

n,m

11 )-r

ん_

1

(

n

,

m)

-q

7

3 N

_1

(

n

,

m)+

鴇

_1

(

n

,

m-1

)

+

q

6

3

N _1(n,m -

1 )

4 ,

N(

n,

m)=∂f

N(

n,

m)

/

∂q

(

n

,

m)

鮪

_1

(

n,

m)

-

∂f

A

'

_

1

(

n

,

m)

/

aq

(

n,

m)

以上より,式(16),(17)及び(18)を順次繰り返すことにより最適な反射係数,タップ係数及びフィードバック係数が時間更新され,結果的に2次元一般化格子形適応フィルタが構築できる. 3. シミュレーション結果本手法の有効性を検証するため,図4で示される白色信号で励振した未知システムを本手法によって構築した

2

次元一般化適応格子形フィルタを用いてシステム同定を行なう.ここで,未知システムは次式の 1次の差分方程式を用いた. 図4.システム同定モデル

(6)

琉球大学工学部紀要第52号,1996年 d(n

,

m)

- I(n

,

m)-

025a･(n-

1 ,

m)

+

06L･(n,m -

1 )

+

0･3x(

n-1,

m -1

)

+

05d(n-I,m)

+

0.ld(n,m -i)

+

0･25d(n

-1,

7

7 い-1

)

(

1

9 )

このとき,入力信号としては,平均零 ,分散 1の自色信号で本フィルタの次数は 1次 ,データ領域としては100×100 個の2次元データを用いり,各ステップサイズパラメータはそれぞれFL=0001,V=0003,人=0.001と採用した場合のシミュレーション結果を図5に示すここで ,図5の横軸は Jeを規範d(n

,

m)

の分散で正規化した500回の独立試行の集合平均値を表す .同園より収束特性が良好なことから,本手法による一般化適応格子形フィルタの有効性が検証できる.

J

｡

0 ･

3

0 .

2

5

0 .

2

0 .

1

5

0 .

1

0

.

0

5

0

2

0

0 0 4

0

0 0 6

0

0 0 8

0

0 0 1

0

0 Ⅰ

L

e

r

a

t

l

o

n

図5.学習曲線 4. むすび本論文では,2次元格子形フィルタの遅延素子部を全域通過回路に置き換えることにより,ARMAモデルにも適用し得る2次元一般化格子形フィルタの-設計法を示すと共に,同フィルタの適応化をLMSアルゴリズムに基づいて導出した.更に,本手法の有効性をシステム同定により検証した. 文献【11山下･伸也･宮

城‥｢

2次元格子形フィルタの-設計法｣,信学論 (A),VolJ77-A,no,6,pp･933-935(1994-06)I 【21 山下･仲地･宮城:｢2次元格子形フィルタの安定条件に関する一考察｣,,侶学論 (A),Vol･J78-A,no･1,pp･94-97(1995-01). [3]山下･金城宮城

ニ｢

2次元正規化格子形フィルタの-設計法｣,,伝学論(A),VoIJ78-A,no.9,pp1221-1225(1995-01). [4] 山下 M H･カハイ吉城･｢A Deslgn Method ofan

Adap-tiveJoint_ProcessIⅠR FilterwithGenerali21edLatticeStruc -ttlreJ,IEICE Trams.on Fun damentalS,Communications& CompllterScience,Vol･E78-A,No･7,pp･890-892(1995-07)･【5】Widrow B.,McCooIJM.,LarimoreM.,Iohnson C.R∴ ｢St

a-tlOnary and nonstationary learning characteristicsofthe LMS adapt)ve filtcr,Proc･IEEE,64,8,pp･1151-1162( 1976-08) 93 付富ま 1･式(8)の導出式

(

8 )

を満たす厳密解は存在しないが ,このように未知数の総和と式の数が等しくない場合の解を求める方法に疑似逆行列がある.特に,式の数が未知数の総数より多い場合には,左側疑似逆行列を用いる,同方法の基本的考えは,それぞれの式の左辺と右辺の差の2乗和を最小にするという条件を加えることにより,未知数を決定するものである.ここで,式

(

8 )

の左辺と右辺の差の重みつき

2

東和を次式のような評価関数として定義する.

J

=trl(K N+1AN+1￠N+1- BN+1)￠N+1-1 (￠N+lAN+1TKN+1TIBN+1T)】 (A.1) なお,trはトレース演算を意味するこのとき,上式が反射係数行列に関して最小となるのは,評価関数Jを反射係数行列で偏微分し零とおいた次式により得られる.

∂

J

/

∂K N+1- 2K N十1AN+1卓N+1AN+1T -2BN+

1

AN+1T- o (A.2) 更に,上式を整理することで次式が得られる.

K N+1AN+lQN+1AN+1T= BN+1AN+1T (A.3)

したがって ,式

(

Al)を最小にする反射係数行列は,式 (A 3)を解くことにより得られる 2.式(9)の導出式(6)で示されるA〃+1の第1- 4行を次式のように (N

+

2)2次元のベクトル丘,

a

,

さ及び丘で定義する. A〃+ 1

=

α

〃(0),0

α

〃(1),0 -0 ♭〃(0),0

-0

0

,C〃(0) 0,dN(0) 0,dN

(

1 )

α〃(〟),0 0 bN(N -1),0 bN(N),

0

0,C〃(〟 -

1 ) 0

,C〃(〟) 0,d〃(〟) 0

lα

∼,D

I

C

-Ju

(A

･

4 )

このとき,A〃+1如 +1A〃+lTを次式で書き換えることができる. AN+1卓N+1AN+1

T-丘

4iN.1品T a4iN.18T

b

卓N.laT b卓N.lbT ささN+1a T ささN+1bT d卓N.1品T お N.18T &4>N.lap a如 +1t b4iN.laT 古さN.1t -T 己4iN+1石T 云4iN+1d d卓N.laT お N.1t (A･5)

(7)

94 山下･安里･半場･宮城 .2次元一般化適応格子形フィルタの-設計法ここで,ベクト

ル

丘,b,己及びdとN

+

1次の入力信号ベクトルXN

+

1との積は次式のように表すことができる.

aXN+

1

-f

N(

n

,m)

占xN+

1 =

r

ん(

n

-

1 ,

m)

Z'x N+1- r

ん(

nl

l,m -

1 )

a

x N

+

1- r

k(

n,m -

1 )

上式より,次式の関係式が得られる.

&QN+1

品T

-

aE[

XN+1

XN+

上

r

r]

a

T

-E[

aXN+1

(

aXN+

1

)

T]

=

El

f

N(

n,

m)

2]

ー

J1

1川l

nu

lMrれH

一

1日l

nu

α

.b

C

.α

6

6 刀

:

.

4 .

｡C

lr･川

_

nⅦlt

I"rl

U

f■川

U

(

A7

)

同様にして,次式の関係式が得られる.

畠中N+l

b

T-El

f

N(

n,

m)

,

i(

n -

1 ,

m)]

(

A.

8

a)

丘￠N+L

a

T

=

E【

f

N(

n,

m)

r

ん(

n-1,

m-1

)

] (

A8

b

)

丘

￠N+l

a

T-E[

f

N(

n

,

m)

r

え(

n,

m-1

)]

(

A.

8 C

)

b

卓N.1

b

T=E

l

r

i(

n

-

1 ,

m)

2]

(

A.

8 d)

6

4 i

N+1

芭

T-El

r

i(

n-1

,

m)

r

ん(

n-1

,

m -1

)]

(

A.

8 e

)

b

￠N..

aT=E

l

,

i(

n-1

,

m)

r

k(

n,

m11

)]

また,定常過程での自己相関関数

￠(

S-i

,

i-i)

≡4,(

i-S,

i-i

)

及び

4(

i-S,

i-i)

≡

￠(

S-i

,

i-i

)

が成立するので式(A･9)から次式が成立するI

a

N(

S,

i

)-c

N(

S,

i

),b

N(

S,

i

)-d

N(

S

,

i

)

(

Al

1

0 )

但し, S,

i

-0,

1

,･･･,N -1,N このとき,各予測誤差の最小

2

乗平均値は次式に書き換えることができる.

El

f

N(

n

,

m)

2]

〟〃ノ

Ⅴ 〟

-∑ ∑ ∑ ∑ aN(

S

,

i

)

aN

(i

,

i

)

i(

S-i

,

i

-

i

)(

Al

l

a)

S

=Ol

=01

=O

E【

r

ん(

n-1

,

m-1

)

2]

.

1 V .

∼ J

V .

･

V

=∑ ∑ ∑ ∑ c

N(

S

.

i

)

c

N(

i

,

J

)

4(

i

-S

,

i-i

)(

Al

i

b

)

s

=Ol

=O一

=0]

=0

それ故

,

E【

f

N(

n,

m)

2]

=

El

r

ん(

n-1

,

m-1

)

2]

となり, 同様に

E

l

r

L(

n-1

,

m)

2]=El

r

も(

n,

m -1

)

2]

となる. また,予測誤差の相関関数は次式のようになる. E[

f

N(

n,

m)

r

i(

n-

1

,

m)]

-E[

r

ん(

n

-1

,

m-1

)

r

3 N(

n,

m-1

)

]

(

A･

1

2 a

)

E

l

f

N(

n,

m)

r

丸(

n

,m -

1 )]

(

A.

8 f)

=E[

r

L(

n-1,m)rん(n-1,m-1)

日 A･

1

2 b

)

さ

4 i

N+1

云

T=E[

r

ん(

nl1

,

m -1

)

2]

(

A.

8 g)

占

卓N.l

ap=El

,

i(

n-1

,

m-1

浦 (

n,

m-1

)]

(

A･

8 h)

お N.1

aT=El

,

i(

n

,

m-1

)

2]

これらの関係式より,式(9)が導出できる･

(

A･

8 i

)

3･

舘 -舘 ,銘 -E

L

F

,

E

ん-銘

及び

舘 -銘

の導出ここで,式

(

3 )

の昇次正規方程式から次式の正規方程式の関係式が与えられる. 〟〟

２次元一般化適応格子形フィルタの一設計法: University of the Ryukyus Repository

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