Proposal of a Method for AcceleratingTransition from Exploration to Exploitation

九州大学学術情報リポジトリ

Kyushu University Institutional Repository

Proposal of a Method for Accelerating

Transition from Exploration to Exploitation

高木, 英行

九州大学大学院芸術工学研究院

裴, 岩

九州大学大学院芸術工学府

http://hdl.handle.net/2324/1434434

出版情報：進化計算研究会. 4, pp.96-101, 2013-03. The Japanese Society for Evolutionary Computation

バージョン：

権利関係：

Exploration ^から Exploitation への変化を加速する手法の提案 高木英行

^†

, ^裴岩

^††

,

九州大学大学院芸術工学研究院^†

,

九州大学大学院芸術工学府^††

,

1

はじめに

進 化 計 算 の 探 索 性 能 向 上 は ，進 化 計 算 研 究 の 代 表 的 な 研 究 方 向 で あ る ．歴 史 的 に 見 て も ，進 化 計 算 黎 明 期 の 遺 伝 的 ア ル ゴ リ ズ ム ，進 化 戦 略 ，進 化 的 プ ロ グ ラ ミ ン グ，遺 伝 的 プ ロ グ ラ ミ ン グ 等 に 続 き ，こ こ

20

年 近 く の 間 に 差 分 進 化

（

DE

）^3,5) ，

particle swarm optimization (PSO), ant colony optimization, bee

アルゴリズム等，様々 な 新 し い 進 化 的 ア ル ゴ リ ズ ム が 開 発 提 案 さ れ て き た^{4 )} ．別 の 角 度 か ら ，様々な ア ル ゴ リ ズ ム に 適 用 し て 個々の 探 索 性 能 を 向 上 さ せ る 手 法 も 多々提案されてきた．例えば，局所探索に優れる

memetic

手法との組合せ，

fitness

景観の近似，進 化計算の演算や

coding

の改良や提案，等である．

本 論 文 の 取 り 組 み も こ の 後 者 に 該 当 す る ． 本 論 文 の 目 的 は ，

exploration

か ら

exploitation

への偏移を加速する方法を提案し，その過程を観 察し，進化計算高速化のヒントを 得 るこ とで あ る．そのための加速法として，

fitness

が低いまま 数世代変化のない個体を削除し，その分の新個体 を

fitness

の 高 い 個 体 周 辺 に 生 成 す る こ と を 考 え る ．こ の 考 え 方 は ，ノ イ ズ 感 度 が 高 い

PSO

を 対 話型進化計算に利用するための対策として提案 した

4

つの手法^{1, 2)} のうちの

1

つである「不良個 体 の 淘 汰 」に 基 づ く．こ の 手 法 を 一 般 化 す る た めに，本論文では

DE

に組み合わせて観察を行う．

2 Explorationから Exploitationへの加速

基本的な考え方は，

Fig. 1

のように，

fitness

の 悪いまま変化のない個体を 切り 捨 て，同数の新 規 個 体 を

fitness

の 良 い 個 体 の 周 辺 に 生 成 し よ う と す る も の で あ る ．

こ の 考 え 方 は 以 下 の よ う に パ ラ メ ト リック な Proposal of a Method for Accelerating Transition from Exploration to Exploitation

† Hideyuki Takagi (http://www.design.kyushu- u.ac.jp/∼takagi/)

†† Yan Pei ([email protected]) Faculty of Design, Kyushu University (†)

Graduate School of Design, Kyushu University (††)

Fig. 1

提案手法の概念．一定世代以上変化のな

い

fitness

の低い不良個体を捨て，同数の新規個体

を 優 良 個 体 の 周 辺 に ラ ン ダ ム に 生 成 す る ． ル ー ル で 表 現 で き る ．

IF ^{最 悪}M^{個 体 中 ，過 去}G^{世 代 変 化 の} な い 不 良 個 体 が あ れ ば

THEN その個体を削除 し ，最良N^個体の 周 辺 に 新 規 個 体 を 生 成 す る

.

どのようにして最良N個体の周辺に新規個 体 を生成するかには，色々はバリエーションが考え られる．第

3

節では，その１つの実現方法として 上 位N個 体 の 間 で ル ー レット 選 択 を し ，選 択 さ れた優良個体を中心とする正規乱数で新規個体 を 生 成 す る こ と に す る ．

本 提 案 手 法 は ，親 個 体 群 か ら 子 個 体 群 を 生 成 する遺伝的アルゴリズムのような進化計算には 適用できない．

DE

や

PSO

のように，１つの親個 体が１つの子個体を生成する進化計算手法に適 用 が 限 定 さ れ る ．

3

提案手法の評価実験 3.1 ^実験条件

本論文では，

Table 1

の実験条件下で，

DE

を用 い て 提 案 手 法 の 評 価 を 行 う．

提案手法を具体的に実現するには，第

2

節で述 べたパラメータ（M

,

N

,

G^{），および，最良}N^個 体の中から新規個体を生成するための優良個体 の 選 択 方 法（ 本 節 で の 実 験 で は ル ー レット 選 択 を採用），選択した優良個体の近傍を決定するパ ラメータ（本論文では正規乱数の標準偏差σi＝i 次元変数の探索範囲×k^．

Table 3

を参照）によっ

Table 1

本 論 文 で の

DE

の 実 験 条 件 個 体 数 500

scale factor (F) 1.0 交 差 率 0.9

DE演 算 DE/best/1/bin

最 大 世 代 数 200 試 行 数 30

タ ス ク Table 2の10次 元14関 数

て 色々な 実 現 形 態 が 考 え ら れ る ．

ま た 提 案 手 法 の 性 能 は ，タ ス ク の 特 性 と こ れ ら の パ ラ メ ー タ に 依 存 す る で あ ろ う．そ こ で 本 論文では，提案の第

1

段階として，これらのパラ メータを変えながら提案手法の性能を観察する．

ベンチマーク関数は

CEC2005

ベンチマ ーク 関 数 セット⁶⁾ か ら

Table 2

に 示 す

10

次 元 のF1〜F14

を用いる．これらの関数は最小値を

0

とする最小 化 問 題 で あ る ．

Table 2

評 価 実 験 に 用 い る

14

ベ ン チ マ ー ク 関 数 ．関 数 の 性 質 は 以 下 の 記 号 で 表 す

(Uni=Unimodal, Mul=Multimodal, Sh=Shifted, Rt=Rotated, GB=Global on Bounds, NS=non- separable, and S=separable.)

No. 関 数 名 探 索 範 囲 性 質 F₁ Sh Sphere [-100,100]¹⁰ Sh-Uni-S F2 Sh Schwefel 1.2 [-100,100]¹⁰ Sh-Uni-NS F3 Sh Rt Elliptic [-100,100]¹⁰ Sh-Rt-Uni-NS F4 F2 with Noise [-100,100]¹⁰ Sh-Uni-NS F5 Schwefel 2.6 GB [-100,100]¹⁰ Uni-NS F6 Sh Rosenbrock [-100,100]¹⁰ Sh-Mul-NS F7 Sh Rt Griewank [0,600]¹⁰ Sh-Rt-Mul-NS F8 Sh Rt Ackley GB [-32,32]¹⁰ Sh-Rt-Mul-NS F9 Sh Rastrigin [-5,5]¹⁰ Sh-Mul-Sep F₁₀ Sh Rt Rastrigin [-5,5]¹⁰ Sh-Rt-Mul-NS F₁₁ Sh Rt Weierstrass [-0.5,0.5]¹⁰ Sh-Rt-Mul-NS F₁₂ Schwefel 2.13 [-100,100]¹⁰ Mul-NS F₁₃ Sh拡 張F₈,F₂ [-3,1]¹⁰ Sh-Mul-NS F₁₄ Sh Rt ScafferF₆ [-100,100]¹⁰ Sh-Rt-Mul-NS

3.2 ^予備実験

最初，

Table 3

の予備実験

Exp1-1

で提案手法の 有無による収束状況を比較観測した．その結果，

（

DE

＋提案手法）は

5

関数（F3

,

F8

,

F11

,

F12

,

F14） で通常

DE

と同等性能か最終世代で若干良い程度 であるが，残りの

9

関数では顕著な収束高速化が 見 ら れ た ．

そこで，

DE

で各パラメータ自体の最適化を試 みる．ただし数日では計算が終了 し ない 程計 算

Table 3 2

つの予備実験でのパラメータ条件．

PS

と

SR

は 個 体 数 と 探 索 範 囲 を 示 す．

実 験No. M N k G

Exp1-1 PS×0.25 PS×0.01 SR×0.05 5 Exp1-2 PS×0.30 PS×0.30 SR×0.37 6

コストが高いので，このパラメータ最適化では，

Table 4

の簡略化した条件で行った．適当にパラ

メータ値を決定した予備実験

Exp1-1

より良くな ればよい，という程度の目安である． こうして 得られた

14

関数のパラメータ値（M

,

N

,

k

,

G^）の 平均値が，

Table 3

の予備実験

Exp1-2

の値である．

Table 4

簡略化した提案手法パラメータ最適化

の 実 験 条 件

個 体 数 100 scale factor (F) 1.0 交 差 率 0.9

DE演 算 DE/best/1/bin

最 大 世 代 数 20 試 行 数 30

タ ス ク Table 2の5次 元14関 数

しかし，予備実験

Exp1-2

の収 束高 速 化 の 効 果 は明らかに予備実験

Exp1-1

より悪く，通常

DE

と 変わらなかった（

Fig. 2

参照）．もちろん，

Table 3

の予備実験

Exp1-2

の値は，少ない個体数と少な い 世 代 で ，異 な る 次 元 数 の タ ス ク を 用 い ，さ ら に，

14

関数でのパラメータの平均値であるので，

最適とはとても言えないが ，それにしても効果 の差極端に異なった．そこで，次節で，この提案 手法のパラメータ値と収束性能の関係を観察す る こ と に す る ．

3.3 提案手法のパラメータ値と収束性能 収束性能が悪かった予備実験

Exp1-2

の

4

つのパ ラメータ値を，

1

つずつ収束性能が良かった予備

実験

Exp1-1

のパラメータ値に置き換えて収束状

況を観察する．

Table 5

にこれらのパラメータ値 を 示 す．

結果を

Fig. 2

に示す．また，第

10, 100, 200

世代 目での通常の

DE

と提案法（通常

DE

に

Table 5

の 各

Exp

条 件 の 提 案 手 法 を 加 え た 方 法 ）の 収 束 特 性に有意な差があるかどうかを

Wilcoxon

の符号 検 定 で 調 べ ，

Table 6

に 示 す．

10⁰ 10¹ 10² 10³ 0

2000 4000 6000 8000 10000 12000

Generation

Fitness

DE Exp2−1 Exp2−2 Exp2−3 Exp2−4 Exp1−1 Exp1−2

10⁰ 10¹ 10² 10³

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

Generation

Fitness

DE Exp2−1 Exp2−2 Exp2−3 Exp2−4 Exp1−1 Exp1−2

10⁰ 10¹ 10² 10³

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9x 10⁷

Generation

Fitness

DE Exp2−1 Exp2−2 Exp2−3 Exp2−4 Exp1−1 Exp1−2

10⁰ 10¹ 10² 10³

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

Generation

Fitness

DE Exp2−1 Exp2−2 Exp2−3 Exp2−4 Exp1−1 Exp1−2

10⁰ 10¹ 10² 10³

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

Generation

Fitness

DE Exp2−1 Exp2−2 Exp2−3 Exp2−4 Exp1−1 Exp1−2

10⁰ 10¹ 10² 10³

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18x 10⁸

Generation

Fitness

DE Exp2−1 Exp2−2 Exp2−3 Exp2−4 Exp1−1 Exp1−2

10⁰ 10¹ 10² 10³

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Generation

Fitness

DE Exp2−1 Exp2−2 Exp2−3 Exp2−4 Exp1−1 Exp1−2

10⁰ 10¹ 10² 10³

20.3 20.35 20.4 20.45 20.5 20.55 20.6 20.65 20.7

Generation

Fitness

DE Exp2−1 Exp2−2 Exp2−3 Exp2−4 Exp1−1 Exp1−2

10⁰ 10¹ 10² 10³

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Generation

Fitness

DE Exp2−1 Exp2−2 Exp2−3 Exp2−4 Exp1−1 Exp1−2

10⁰ 10¹ 10² 10³

20 40 60 80 100 120 140

Generation

Fitness

DE Exp2−1 Exp2−2 Exp2−3 Exp2−4 Exp1−1 Exp1−2

10⁰ 10¹ 10² 10³

6 7 8 9 10 11 12

Generation

Fitness

DE Exp2−1 Exp2−2 Exp2−3 Exp2−4 Exp1−1 Exp1−2

10⁰ 10¹ 10² 10³

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x 10⁴

Generation

Fitness

DE Exp2−1 Exp2−2 Exp2−3 Exp2−4 Exp1−1 Exp1−2

10⁰ 10¹ 10² 10³

0 5 10 15 20 25

Generation

Fitness

DE Exp2−1 Exp2−2 Exp2−3 Exp2−4 Exp1−1 Exp1−2

10⁰ 10¹ 10² 10³

3.85 3.9 3.95 4 4.05 4.1 4.15 4.2 4.25 4.3 4.35

Generation

Fitness

DE Exp2−1 Exp2−2 Exp2−3 Exp2−4 Exp1−1 Exp1−2

Fig. 2

提案手法のパラメータを変えた場合の収束特性

.

グラフ中の

Exp

番号は

Table 5

を参照．適用ベ ン チ マ ー ク 関 数 は 上 段 か ら 順 に 左 か ら 右 に か け てF1〜F3，F4〜F6，F6〜F9，F10〜F12，F13〜F14．

Table 6 Fig. 2

の第

10

，

100

，

200

世代目における，通常

DE

と

DE

＋提案手法との収束差の

Wilcoxson

の 符 号 検 定 結 果 ．

Exp

番 号 は

Table 5

を 参 照 ．

**

と

*

は 各々危 険 率

1%

，

5%

で 有 意 で あ る こ と を 示 す．

検 定 世 代 DE vs. F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14

Exp1-1 ** * ** ** ** **

Exp1-2 第10世 代 Exp2-1

Exp2-2 ** * ** ** ** ** ** **

Exp2-3 ** ** * * * **

Exp2-4

Exp1-1 ** ** ** ** ** ** ** ** **

Exp1-2 ** ** ** * * **

第100世 代 Exp2-1 ** ** ** ** ** * **

Exp2-2 ** ** ** ** ** ** ** ** **

Exp2-3 ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** * **

Exp2-4 ** ** * ** ** * **

Exp1-1 ** ** ** ** ** ** ** ** * **

Exp1-2 ** ** * ** ** ** ** *

第200世 代 Exp2-1 ** ** ** ** ** ** * **

Exp2-2 ** ** ** ** ** ** ** ** * ** **

Exp2-3 ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** * ** **

Exp2-4 ** ** * ** * ** ** *

Table 5 2

つの予備実験パラメータを組み合わせ

た評価実験．

PS

は個体数，

SR

は次元毎の探索範 囲 を 示 す．

実 験No. M N k G

Exp2-1 PS×0.25 PS×0.30 SR×0.37 6 Exp2-2 PS×0.30 PS×0.01 SR×0.37 6 Exp2-3 PS×0.30 PS×0.30 SR×0.05 6 Exp2-4 PS×0.30 PS×0.30 SR×0.37 5 Exp1-1 PS×0.25 PS×0.01 SR×0.05 5 Exp1-2 PS×0.30 PS×0.30 SR×0.37 6

4

提案手法パラメータと性能の考察

Table 6

と

Fig. 2

を観察すると，N^とk^が小さい 場 合（ 寒 色 系 グ ラ フ の

Exp1-1, Exp2-2, Exp2-3

） に収束性能が顕著になる．これらの値が大きい 場合（暖色系グラフ）でも

Table 6

では通常

DE

よ りも有意な性能差が見られるが，

Fig. 2

から明ら かなようにその効果は限定 的に な る．不活発な 不良個体を削除して新規に個体を生成する場合，

なるべく上位の優良個体（実験で全個体の上位

1%

）のできるだけ近傍（標準偏差が探索範囲の

5%

の正規乱数）にした方が良い，という今回の 観察結果は，不良個体を切り捨てるのであれば，

exploration

か ら

exploitation

へ の 移 行 を 早 め た 方 が よ い ，こ と を 意 味 し て い る と 思 わ れ る ．

通常この方針は早期に局所最 適解 に捕 らわ れ や す く な り が ち で あ る と 危 惧 さ れ る ．し か し ，

fitness

が悪く何世代も変化のない不良個体を抱え

ておくことが初期収束問題を防ぐわけではない．

今 回 の 実 験 で は ，通 常

DE

の 収 束 よ り 悪 化 す る

（

DE

＋提案手法）がなかったことから，この手法 によって初期収束は観察されていない．本提案手 法が初期収束を増やすのかどうか，増やすとした らどの程度の頻度か，など，今後の提案手法の普 及のためにこのリスク評価を行う必要があろう．

次 に ，収 束 状 況 を 全 個 体 の 分 布 の 標 準 偏 差 で 観察する．全個体分布の標準偏差を

10

次元関数 の次元毎に求め

30

試行平均を得る．次にこの

10

個の標準偏差の平均値を求 める ．こうして各世 代 で

1

つ の 平 均 標 準 偏 差 を 得 る ．

σ第i世 代

= 1

次 元 数

次 元 数

g=1

⎛

⎝

1

試 行 数

試 行 数

t=1

 σigt

⎞

⎠

この標準偏差の偏移を

Fig. 3

に示す．極めて特徴 的な点は，σ第i世 代が小さくなっていく場合

(

すな わち全個体分布が小さくなっていく場合

)

は，収 束がうまく行っており，提案手法の効果も顕著で あるが，σ第i世 代が大きくなる場合は，収束がう ま く い か ず，提 案 手 法 の 改 善 効 果 も 期 待 で き な いか少ない点である．σ第i世 代は次元毎の標準偏 差 を 次 元 で 平 均 し て し まって い る た め あ く ま で 簡 易 指 標 で あ り，こ の 数 値 か ら だ け で は 標 準 偏 移の拡大が個体分布全体で起きているのか特定 の次元のみで起きているのかは判らない．また，

なぜ個体分布の拡大が生じるのか，性能悪化の結

10⁰ 10¹ 10² 10³ 0

100 200 300 400 500 600

Generation

Standard Deviation

DE Exp2−1 Exp2−2 Exp2−3 Exp2−4 Exp1−1 Exp1−2

10⁰ 10¹ 10² 10³

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Generation

Standard Deviation

DE Exp2−1 Exp2−2 Exp2−3 Exp2−4 Exp1−1 Exp1−2

10⁰ 10¹ 10² 10³

0 100 200 300 400 500 600 700

Generation

Standard Deviation

DE Exp2−1 Exp2−2 Exp2−3 Exp2−4 Exp1−1 Exp1−2

10⁰ 10¹ 10² 10³

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Generation

Standard Deviation

DE Exp2−1 Exp2−2 Exp2−3 Exp2−4 Exp1−1 Exp1−2

10⁰ 10¹ 10² 10³

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Generation

Standard Deviation

DE Exp2−1 Exp2−2 Exp2−3 Exp2−4 Exp1−1 Exp1−2

10⁰ 10¹ 10² 10³

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Generation

Standard Deviation

DE Exp2−1 Exp2−2 Exp2−3 Exp2−4 Exp1−1 Exp1−2

10⁰ 10¹ 10² 10³

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Generation

Standard Deviation

DE Exp2−1 Exp2−2 Exp2−3 Exp2−4 Exp1−1 Exp1−2

10⁰ 10¹ 10² 10³

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Generation

Standard Deviation

DE Exp2−1 Exp2−2 Exp2−3 Exp2−4 Exp1−1 Exp1−2

10⁰ 10¹ 10² 10³

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Generation

Standard Deviation

DE Exp2−1 Exp2−2 Exp2−3 Exp2−4 Exp1−1 Exp1−2

10⁰ 10¹ 10² 10³

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Generation

Standard Deviation

DE Exp2−1 Exp2−2 Exp2−3 Exp2−4 Exp1−1 Exp1−2

10⁰ 10¹ 10² 10³

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Generation

Standard Deviation

DE Exp2−1 Exp2−2 Exp2−3 Exp2−4 Exp1−1 Exp1−2

10⁰ 10¹ 10² 10³

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

Generation

Standard Deviation

DE Exp2−1 Exp2−2 Exp2−3 Exp2−4 Exp1−1 Exp1−2

10⁰ 10¹ 10² 10³

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Generation

Standard Deviation

DE Exp2−1 Exp2−2 Exp2−3 Exp2−4 Exp1−1 Exp1−2

10⁰ 10¹ 10² 10³

0 100 200 300 400 500 600

Generation

Standard Deviation

DE Exp2−1 Exp2−2 Exp2−3 Exp2−4 Exp1−1 Exp1−2

Fig. 3

提案手法のパラメータを変えた場合の全個体の標準偏差の遷移状況．グラフ中の

Exp

番号は

Table 5

を 参 照 ．適 用 ベ ン チ マ ー ク 関 数 は 上 段 か ら 順 に 左 か ら 右 に か け てF1〜F3，F4〜F6，F6〜F9， F10〜F12，F13〜F14．

果が分布の拡大なのか，分布の拡大の結果が性能 悪化なのかは，まだ解析できていない．今後の課 題であるが，この解析からタスクの難易度や探索 戦略の切替などの情報が得られる可能性もある．

5

結論

不良個体を淘汰し優良個体近傍に新規個体を生 成することで進化計算の収束を加速する考え方を 提案した．その具体的実現時のパラ メー タを 変 化させた時の収束特性と個体分布状況の観察を 行った．その結果，提案手法はほとんどの場合に

DE

の収束性能を向上させ得ること，具体的実現 時には提案手法のパラメータと性能について傾向 を明らかにしたことと更なる改善がパラメータ の最適化と観察から得られる可能性があること，

個体群の分布の観察から更なる改善に繋がる知 見が得られる可能性があること，などを示した．

更 な る 性 能 向 上 と ，新 た な 高 速 化 の ヒ ン ト が 得られる可能性があるので，第

4

節で述べた解析 を 続 け て い き た い ．

謝辞

本 研 究 は 科 学 研 究 費（ 課 題 番 号

23500279

）の 助成を受けたものである．筆者の裴岩は吉田奨 学 会 か ら の 奨 学 金 を 受 け て 本 研 究 を 遂 行 し た ． こ こ に 感 謝 す る ．

参考文献

1) Yu Nakano and Hideyuki Takagi, “Influence of Quantization Noise in Fitness on the Performance of Interactive PSO,” IEEE Congress on Evolution- ary Computation (CEC2009), Trondheim, Norway, pp.2146–2422 (2009).

2) 中野雄,高木英行「対話型PSO」第19回インテリ ジェン ト シ ス テ ム シ ン ポ ジ ウ ム (FAN2009)，会 津 若 松, pp.228–233 (2009年9月17-18日 ）.

3) Price, K., Storn, R., and Lampinen, J., “Differ- ential evolution: A practical approach to global optimization,” Berlin, Germany: Springer-Verlag, (2005).

4) 「進化技術ハンドブック〈第1巻〉基礎編」電気 学会進化技術応用調査専門委員会(編集)近代科 学 社 (2010年1月)．

5) Storn, R. and Price, K., “Differential evolution — A simple and efficient heuristic for global optimiza- tion over continuous spaces”, Journal of Global Op- timization 11. Norwell, MA: Kluwer, pp.341–359 (1997).

6) P. N. Suganthan, N. Hansen, J. J. Liang, K. Deb, Y.-P. Chen, A. Auger, and S. Tiwari, “Problem

Definitions and Evaluation Criteria for the CEC 2005 Special Session on Real-Parameter Optimiza- tion,” in Technical Report. 2005. Nanyang Tech- nological University, Singapore, May 2005 and KanGAL Report #2005005, IIT Kanpur, India.

(http://www3.ntu.edu.sg/home/EPNSugan/).