電磁気学

電磁気学 Ⅱ

Electromagnetics Ⅱ

山田 博仁

物質中での Maxwell 方程式 電磁波の反射と透過

5/23, 5/30 講義分

物質中での Maxwell 方程式の 解

) 1 ) (

, ) (

, (

rot t

t t



 

 B x x

E

) 2 ) (

, ) (

, (

rot t

t

_e

t



 

 D x

i x

H

) 3 ( )

, (

div D x t  

_e

) 4 ( 0

) , (

div B x t 

) 5 ( )

, ( )

,

( x t E x t D  

) 6 ( )

, ( )

,

( x t H x t B  

構造関係式 教科書

p.189

～

190

オームの法則

) 7 ( )

, ( )

,

( t t

e

x E x

i  

式

(1)

の両辺の

rotation

をとる

H H

E ) rot B rot rot rot(rot

t t

t 

 

 



 







 

 

 

  

式

(2)

を代入式

(7)

を代入 式

(5)

を代入

ベクトル恒等式より

E E

E )  grad ( div )   rot

( rot

媒質中に真電荷が存在しなければ、式

(3),

式

(5)

より、

divE = 0

従って、

) 8 (

2

0

2





 



 

 t t

E

E  E 

の関係式が導かれる

同様にして、式

(2)

の両辺の

rotation

をとってやると、磁場に関する関係式

)

9 (

2

0

2





 



 

 t t

H

H  H 

も導ける

 

 







 



 

 t

^e

t

i D



² ₂

t

t 

 



 

  E  E

物質中での Maxwell 方程式の

式

(8), (9)

を電信方程式と呼ぶ。

解

絶縁体媒質

(

誘電体なども

)

や真空中の時、

σ = 0

であるから、式

(8), (9)

は各々、

) ' 8 (

2

0

2





 

 t

E  E

₂

0 ( 9 ' )

2





 

 t

H  H

となり、電磁波の波動方程式が得られる。

一方、導体中

(

金属など

)

では、式

(8), (9)

において左辺第

3

項が無視できるようになる。

2

0

2





 



 

 t t

E

E  E  E

は、

E(x, t) = E(x)e

^jωt のように表される ので、左辺第

2

項と第

3

項の大きさを比較 すると、

) , ( t

j  E x  

²

 E ( x , t )

通常の金属において、導電率

σ

の値は、

  10

⁷

( S/m)

誘電率

ε

の値は、

  10

^10

( F/m)

マイクロ波帯においても

ω

の値は、

  2   10

¹⁰ 従って、

σ >> εω

の関係が成り立っており、

式

(8), (9)

において左辺第

3

項は第

2

項に対して無視できるくらい小さな値となる。

2 2 2

2

)

( t

LC v t

GL v RC

x RGv v



 



 



 

参考

)

伝送線路の電信方程式　→



導体中の電磁場の式

)

"

8 (

 0



 

 t

E  E

従って、導体中において式

(8), (9)

は、以下の式に簡略化できる。

)

"

9 (

 0



 

 t

H  H

式

(8”)

に式

(7)

の関係を代入してやると、

) 10 (

 0



 

 t

e e

i  i

の関係も導ける。

式

(8”), (9”), (10)

は、拡散方程式と呼ばれている。

式

(8”), (9”)

は、

Maxwell

方程式において、変位電流の項を無視することによって

も得られる。つまり、式

(2)

の右辺において、第

1

項の伝導電流に比べて第

2

項 の変位電流の寄与が無視できる場合、式

(2)

は式

(2’)

となり、これを用いて解い てやっても求められる。

) ' 2 ( )

, (

rot H x t  i

_e

変位電流が伝導電流に対して無視できるのは、先の

σ >> εω

の条件が成り立つ 場合であり、このときの伝導電流を準定常電流と呼んでいる。電気回路におけ る交流回路は、この準定常電流の場合を扱っている。

準定常電流、即ち交流回路では

、変位電流の寄与を無視してい ることと、オームの法則が成り 立つことを仮定している

導体中の電磁場と表皮効 果

)

"

8 (

 0



 

 t

E  E

真空 金属導体

x z

真空中から導体中への電磁波の入射 導体中での電場は、式

(8”)

で与えられ、その解として、

t

e

j

x t

x , ) ( )

^

( E

₀

E 



x ^{x jx}

j

E e e

e E x

E

₀

( ) 

₀ ^



₀ ^{ }

   2

ここで、

δ

は表皮の深さ

(Skin depth)

と言い、電磁波が金属導体中に侵入できる深 さである。

このように、電磁場が金属導体の内部深くには侵入できない現象を、表皮効果

(Skin effect)

と呼ぶ。

の形の平面電磁波を仮定すると、

で与えられる。

(

∵

x →∞

で電界は有限

)

2 1 i i  

また、複素数の公式 を用いた

例えば銅の場合、導電率

σ = 5.8×10

⁷

S/m

なので、表皮の深さ

δ

は、

] GHz [ 10 29 . 2

1 10

4 2

2 2

11

7

f

f  



 



_







  1GHz

で約

2.1 μm

δ

界面



₁



₂

異なる媒質の界面における境界条

件 _{5.3 (}

_教科書

_p.64)

_の復習

誘電率  ₁

, 

₂ の異なる媒質が接している界面

電場に関する

Gauss

の法則を、界面に 存在する高さが無限小の円柱に適用







V

div D dV ^

S

D ^ n dS ^

S



e

dS

D

₁

D

₂

S



e





 D n

D )

(

_{1 2}

上式は、任意の面

S

に対して成り立つことから、

Gauss

の定理

界面には真電荷が面密度  _e にて存在

表面電荷  _e が存在しなければ、

D

₁

 n  D

₂

 n

界面での電束密度

D

に対して、どの

ような条件が満たされなければならな いか

?

n

−n

単位法線ベクトル

+ + + + + +

界面での真電荷密度



_e

+

S S  

_e



 D n

D )

(

_{1 2}

従って、

異なる媒質の界面における境界条

誘電率  ₁

, 

₂ の異なる媒質が接している界面

件





 





 





S

S

d

d B t S

S E rot

Faraday

の電磁誘導の法則を、図のよう

に界面の一部を囲む高さ 

h

が無限小 の長方形 

S

に適用

ここで、

Bt

は境界面の近くで有限であるから、

S→0

の極限で右辺の 積分はゼロになる

一方、

Stokes

の定理を用いると左辺は、

l d

d

C

S

        





rot E S E r ( E

₁

t E

₂

t )

E

₁



₁



₂ 界面

h

l

t E t

E

₁

 

₂



上式は、任意の 

l

の長方形に対して成り立つことから、

界面での電場

E

に対して、どのよ うな条件が満たされなければならな

いか

? C E

₂

S

t:

単位接線ベクトル

t

t

0 )

( E

₁

 t  E

₂

 t  l 

従って、

異なる媒質の界面における境界条

件 _{9.4 (}

_教科書

_p.146)

_の復習

透磁率  ₁

, 

₂ の異なる媒質が接している界面

磁場に関する

Gauss

の法則を、界面に 存在する高さが無限小の円柱に適用

0

div    



V

B dV

S

B n dS

S



₁



₂ 界面

0 )

( B

₁

 B

₂

 n S 

従って、

Gauss

の定理

n B n

B

₁

 

₂



界面での磁束密度

B

に対して、どの ような条件が満たされなければならな

いか

? B

₁

B

₂

n

−n

単位法線ベクトル

0 )

( B

₁

 B

₂

 n 

上式は、任意の面

S

に対して成り立つことから、

よって、

異なる媒質の界面における境界条

透磁率  ₁

, 

₂ の異なる媒質が接している界面

件







 

 







 



S S e

S

d d

d D t S i S

S H rot

Ampere-Maxwell

の方程式を、図のよう

に界面の一部を囲む高さ 

h

が無限小 の長方形 

S

に適用

ここで、界面に表面電流が存在しない限り、

i

_e も

 Dt

も境界面の近く で有限であるから、

 S→0

の極限で右辺はゼロになる

一方、

Stokes

の定理を用いると左辺は、

l d

d

C

S

        





rot H S H r ( H

₁

t H

₂

t ) t

H t

H

₁

 

₂



従って、

H

₁



₁



₂ 界面

t:

単位接線ベクトル

t

t

h

l i

_e

:

界面での 伝導電流密度

i

_e 界面には伝導電流が面密度

i

_e にて存在

界面での磁場

H

に対して、どのよ うな条件が満たされなければならな

いか

? C H

₂

S

異なる媒質の界面における境界条 件

t E t

E

₁

 

₂



E

₁

E

₂



₁



₂

t E

₁



t E

₂



電場の接線成分は連続

t H t

H

₁

 

₂



H

₁

H

₂



₁



₂

t H

₁



t H

₂



磁場の接線成分は連続

n D n

D

₁

 

₂



電束密度の法線成分は連続

D

₁

D

₂



₁



₂

n D

₁



n D

₂



n B n

B

₁

 

₂



磁束密度の法線成分は連続

B

₁

B

₂



₁



₂

n B

₁



n B

₂



表面電荷が 存在しない場 合

表面電流が 存在しない場 合

t

は界面に平行 な単位接線ベク トル

n

は界面に垂直 な単位法線ベク トル

界面での反射と透

2

種類の媒質が

x-y

平面

(z = 0) 過

を境に接しており、

z > 0

を媒 質Ⅰが、

z < 0

を媒質Ⅱが満たし ている。平面電磁波が媒質Ⅰから 媒質Ⅱに入射角  _i で斜め入射し

、その一部が反射角



_r で反射 され、またその一部が透過角  _t で媒質Ⅱ内に透過する場合を考え る。

i i

i i

i i

i

t  t k x  k z 

  k  r   sin  cos

入射波

反射波



_r

t  k

_r

 r  

_r

t  k

_r

x sin 

_r

 k

_r

z cos 

_r 透過波



_t

t  k

_t

 r  

_t

t  k

_t

x sin 

_t

 k

_t

z cos 

_t 入射波、反射波および透過波の

波数ベクトルと角周波数をそれ ぞれ

(k

_i

, 

_i

), (k

_r

, 

_r

)

および

(k

_t

,



_t

)

とし、電場ベクトルは図の様 に

x-z

平面上にあり、磁場は

y

成分のみとする。

x z

媒質Ⅰ 媒質

Ⅱ E

_i

H

_i

E

_r

H

_r

k

_i

k

_r

k

_t

H

_t

E

_t

y



_i



_r



_t 波の位相は、

k

_iは

k

_i のこと

界面での反射と透

境界面

(z = 0)

上の全ての点で、任意の時刻に波の位相が等しくなるので、

過

t r

i

 

  

t t

r r

i

i

k k

k sin   sin   sin 

i

r

k

k 

i

r



 

2 1

sin sin

v v k

k

i t t

i

 





v

₁ と

v

₂ は、それぞれ媒質Ⅰ

、Ⅱ内を進む電磁波の速度 従って、

i

r



 

k   v

の関係より、媒質Ⅰ内で電磁波の速度

v

₁ は入射波、反射波に共通なので、

ならば、

(

反射の法則

) (Snell

の法則

)

v

₁

v

₂ 媒質Ⅰ 媒質Ⅱ



_i



_r



_t

k

_i

k

_r

k

_t

この条件が成立しなければならない

2 1

sin sin

v v

t

i







2 2

1 1

1 1







 

1 1

2 2







 

1 2



 

0 2

1

 

  

磁性体でなければ、



0 1

0 2









r



r

1 2 r r



 

1 2

n

 n

n

₁

, n

₂ は各々、媒質

Ⅰ ,

媒質Ⅱの屈折率 比誘電率

界面での反射と透 過

) sin ,

0 , cos (

) , 0 ,

(

_{ix iz i i i i}

i

 E E   E   E 

E

 

 



 

 ( 0 , , 0 ) 0 , , 0 Z

1

H

_iy

E

ⁱ

H

i

入射波

反射波

) sin ,

0 , cos (

) , 0 ,

(

_{rx rz r r r r}

r

 E E   E  E 

E

 

 



 



 ( 0 , , 0 ) 0 , , 0 Z

1

H

_ry

E

^r

H

r

透過波

) sin ,

0 , cos (

) , 0 ,

(

_{tx tz t t t t}

t

 E E   E   E 

E

 

 



 

 ( 0 , , 0 ) 0 , , 0 Z

2

H

_ty

E

^t

H

t

Z

₁

, Z

₂ は、それぞれ媒質

1, 2

の電磁インピーダンス

x z

媒質Ⅰ 媒質Ⅱ

E

_i

H

_i

E

_r

H

_r

k

_i

k

_r

k

_t

H

_t

E

_t

y



_i



_r



_t

i

r



 

界面での反射と透 過

tx rx

ix

E E

E  

次に、電磁波の振幅について考えると、界面での電場

E

および磁場

H

の 接線成分の連続性より、

ty ry

iy

H H

H  

t t

r r

i

i

E E

E cos   cos    cos 



2 1

1

Z

E Z

E Z

E

_i



_r



_t

Z

₂

E

_i

 Z

₂

E

_r

 Z

₁

E

_t

t t

i r

i

i

E E

E cos   cos   cos 

t i

i t

i r

Z Z

Z Z

E r E









cos cos

cos cos

2 1

1 2



 



t i

i i

t

Z Z

Z E

t E





 cos cos

cos 2

2 1

2

 



上式から

E

_t を消去すると、

上式から

E

_r を消去すると、

(

電界反射係数

)

(

電界透過係数

)

従って、

ここで、

θ

_i

= θ

_r の関係を用いている

界面での反射と透 過

E r E E Z

E Z H

H

i r i

r

i

r

   





1

1

t

Z Z E

E Z

Z E Z

E Z H

H

i t i

t

i t

2 1 2

1

1

2

 



因みに、磁界に対する反射係数および透過係数を求めてみると、

特に媒質が非磁性の場合には、

μ = μ

₀ 、即ち

μ

_r

= 1

が成り立ち、上式は

r r r

r

v

c  























   



0 0

0 0

0 0 0

0

1 1

2 0 2

2 0 0 2

2

2

Z

Z v

n  c 

_r

 







 

真空中での光の速度

c

と媒質中での光の速度

v

の比は、

1 0 1

1 0 0 1

1

1

Z

Z v

n  c 

_r

 







 

と表せる。

従って、反射係数と透過係数は、媒質の屈折率を用いて、

i t

i t

n n

n r n









cos cos

cos cos

2 1

2 1



 

i t

i

n n

t n





 cos cos

cos 2

2 1

1

 

と表せる。

で表され、

また特に媒質が非磁性の場合には、 それぞれの媒質の屈折率は真空の固有 インピーダンス

Z

₀ を用いて、

v

r

c  

となり、これが媒質の屈折率

n

である。

界面での反射と透

垂直入射の場合には、 _i

= 

_t

= 0

とすることにより反射係数と透過係数は、

過

2 1

2

1

n n t n

 

2 1

2 1

n n

n r n



 

n

₁

n

₂

t r i

入射波のエネルギー流に対する反射波と透過波のエネルギー流 の比をそれぞれ反射率

R

および透過率

T

という。

入射波、反射波、透過波のエネルギー流は、各々に対するポインティングベクトルの 大きさの界面に垂直方向成分であるから、

1 2

1

cos cos

cos Z

E Z

E E H

E

_{i i}



_i



_i ⁱ



_i



ⁱ



ⁱ

r r

r r

r r

r

r

Z

E Z

E E H

E cos  cos  cos 

1 2

1



 



 



 



Z

₁

Z

₂ 媒質Ⅰ 媒質Ⅱ



_i



_r



_t

入射波 反射波

透過波

t t

t t

t t

t

t

Z

E Z

E E H

E cos  cos  cos 

2 2

2





S

_i

S

_r

S

_t 入射エネルギー流

反射エネルギー流

透過エネルギー流

界面での反射と透 過

2 2

2 2

1 2

1 2

/ cos

/ cos cos

cos r

E E E

E Z

E

Z E

H E

H R E

i r i

r i

i

r r

i i

i

r r

r

    

 







2 2

1 2

2 1 1

2

2 2

cos cos cos

cos /

cos / cos cos

cos t

Z Z E

E Z

Z Z

E

Z E

H E

H T E

i t i

t i t i

i

t t

i i

i

t t

t















   



R T  1 

r

i



  

従って、反射率

R

と透過率

T

は、

屈折率

n

₁

, n

₂ で表せば、反射率

R

と透過率

T

は、

 



1 2



²

2 2

1

cos cos

cos cos

i t

i t

n n

n R n











 



1 2



²

2 1

cos cos

cos cos

4

i t

t i

n n

n T n









 

反射係数と反射率、透過係数と透過率をしっかり区別して理解する こと

!!

界面での電磁波の反射と透 過

x z

媒質Ⅰ 媒質Ⅱ

E

_i

H

_i

E

_r

H

_r

Z

₁

H

_t

E

_t

y



_i



_r



_t

Z

₂

t i

i t

i r

p

Z Z

Z Z

E r E









cos cos

cos cos

2 1

1 2



 



つまり、磁場

(

ベクトル

)

が界面に平行に入 射した場合の電界反射係数として、

磁場

(

ベクトル

)

が界面に平行に入射した場合の電界透過係数として、

t i

i i

t

p

Z Z

Z E

t E





 cos cos

cos 2

2 1

2

 



ただし、

Z

₁

, Z

₂ は、それぞれ媒質

1, 2

の固有インピーダンス これまでは、入射波の電場ベクトルは

x-z

平面内にのみ存在し、磁場ベクトル は

y

方向成分のみを有するとするとし て、電界反射係数および電界透過係数を 求めた。

p.210 (12.62

式

)

p.210 (12.62

式

)

界面での電磁波の反射と透

次に、図に示すように入射波の磁場ベク

過

トルが

x-z

平面内に存在し、電場ベクト ルは

y

方向成分のみを有する場合につい て考えると、

x z

媒質Ⅰ 媒質Ⅱ

H

_i

E

_i

E

_r

H

_r

H

_t

E

_t

y



_i



_r



_t

Z

₁

Z

₂

)

0 , ,

0 ( ) , ,

(

_{ix iy iz i}

i

 E E E   E

E

 

 



  





_{ix iy iz} ⁱ _i ⁱ _i

i

Z

E Z

H E H

H , , ) cos  , 0 , sin  (

1 1

H

入射波

i

r



 

反射波

) 0 , ,

0 ( ) , ,

(

_{rx ry rz r}

r

 E E E   E

E

 

 



 





_{rx rz rz} ^r _i ^r _i

r

Z

E Z

H E H

H , , ) cos  , 0 , sin  (

1 1

H

透過波

) 0 , ,

0 ( ) , ,

(

_{tx ty tz t}

t

 E E E   E

E

 

 



  





_{tx ty tz} ^t _t ^t _t

t

Z

E Z

H E H

H , , ) cos  , 0 , sin  (

2 2

H

Z

₁

, Z

₂ は、それぞれ媒質

1, 2

の電磁インピーダンス

界面での反射と透 過

t i

t i

i r

s

Z Z

Z Z

E r E









cos cos

cos cos

1 2

1 2



 



電場

(

ベクトル

)

が界面に平行に入射した場合の電界反射係数として、

電場

(

ベクトル

)

が界面に平行に入射した場合の電界透過係数として、

t i

i i

t

s

Z Z

Z E

t E





 cos cos

cos 2

1 2

2

 



が求まる。ただし、

Z

₁

, Z

₂ は、それぞれ媒質

1, 2

の固有インピーダンス 例題

12.3 (p.212)

例題

12.3 (p.212)

ty ry

iy

E E

E  

界面での電場

E

および磁場

H

の接線成分の連続性より、

tx rx

ix

H H

H  

2 1

1

cos cos

cos

Z E Z

E Z

E

_i



_i



_r



_i

 

_t



_t



従って、

t r

i

E E

E  

界面での電磁波の反射と透 過

) tan(

) tan(

) cos sin

cos )(sin

sin sin

cos (cos

) sin sin

cos )(cos

cos sin

cos (sin

cos sin

cos sin

cos sin

cos sin

cos cos

cos cos

2 1

1 2

t i

i t

i t

t i

t i

t i

t i

t i

i t

t i

t t

i i

i i

t t

t i

i t

i r

p

Z Z

Z Z

E r E



































































 







 





 



 



磁場

(

ベクトル

)

が界面に平行に入射した場合の電界反射係数は、

磁場

(

ベクトル

)

が界面に平行に入射した場合の電界透過係数は、

) cos(

) sin(

cos sin

2

cos sin

cos sin

cos sin

2 cos

cos

cos 2

2 1

2

t i t

i

i t

t t

i i

i t

t i

i i

t

p

Z Z

Z E

t E

































 

 

 



12.57

式

(Snell

の法則

)

と

12.63

式より、

1

2

sin

sin Z Z

i t



 

この関係を用いると、

2 1 2

1

sin sin

Z Z v

v

t

i

 





従って、

界面での電磁波の反射と透

電場

(

ベクトル

)

が界面に平行に入射した場合の電界反射係数は、

過

電場

(

ベクトル

)

が界面に平行に入射した場合の電界透過係数は、

) sin(

) sin(

cos sin

cos sin

cos sin

cos sin

cos cos

cos cos

1 2

1 2

i t

i t t

i i

t

t i

i t

t i

t i

i r

s

Z Z

Z Z

E r E



































 



 



 



) sin(

cos sin

2 cos

sin cos

sin

cos sin

2 cos

cos

cos 2

1 2

2

i t

i t

t i

i t

i t

t i

i i

t

s

Z Z

Z E

t E



























 

 

 



つまり、反射係数や透過係数は、入射角

θ

_i と透過角

θ

_t のみで表 わせる。これらは

Fresnel

の式と呼ばれている。

ここで、

p, s

は光の媒質への入射状態を表し、電界成分が入射面

(

入射 光線と反射光線が作る面

)

に平行

(parallel)

な光を

p

波、垂直

(senkrecht)

なものを

s

波と呼んでいる。

因みに地震波では、縦波であって早く到達する第一波を

p

波

(primary

wave)

、横波で強い揺れを引き起こす第二波を

s

波

(secondary wave)

と

呼んでいる。

S 波と P 波

p

波

(

光の場合は

p

偏光

)

入射波

磁界 入射面 電界

入射波 反射波

電界

磁界

反射波 入射面

s

波

(

光の場合は

s

偏光

)

界面での電磁波の反射と透 過

以上で求めた

r

_p

, r

_s を、入射角



_i に対 して図示すると、右図のようになる。

2

 



_i



_t

 1



i

2

 -1

Z

₁

> Z

₂ のとき

0 r

_p

r

_s

以上の結果から分かるように、磁場ベクトルが界面に対して平行に入射した場 合

(p

波

)

の電界反射係数

r

_p は、入射角  _i と透過角

(

屈折角

) 

_t の和がちょう ど直角になる時にゼロ、つまり無反射となる。この時の入射角度



_i のことを

Brewster

角という。

2 2

) tan(

) tan(

t i

i t p

p

r

R  







 



反射率は、

2 2

) sin(

) sin(

i t

i t s

s

r

R  







 



これを図示すると、

入射角

(θ

_i

)

反

射

率

R

_s

R

_p

Brewster

角

界面での電磁波の反射と透

以上の結果から分かるように、磁場ベクトルが界面に対して平行に入射した場

過

合

(p

波

)

の電界反射係数

r

_p

(

従って反射率も

)

は、入射角  _i と透過角

(

屈折 角

) 

_t の和がちょうど直角になる時にゼロ、つまり無反射となる。この時の入 射角度  _i のことを

Brewster

角という。

Brewster

角



_i は、

2

 



_i



_t



1 1 2 2

1 1

tan

tan n

n Z

Z

i







 

Snell

の法則より、

1 2 2

1

sin sin

n n Z

Z

t

i

 





従って、

Brewster

角



_i は、

直角

x z

媒質Ⅰ 媒質Ⅱ

E

_i

H

_i

E

_r

H

_r

Z

₁

H

_t

E

_t

y



_i



_r



_t

Z

₂

Brewster

角

また、入射角と

Brewster

角との大小関係により、電界反射係数の符号が反転する つまり、

Brewster

角を挟んで、反射波の電場ベクトルの向きが反転する

Brewster 角の物理的意

このような

Brewster

角が存在する物理的意味は

味 ?

E

_i

x z

媒質Ⅰ

媒質

Ⅱ y



_i



_r



_t

Brewster

角

この方向には

、電磁波を放 射できない

Brewster

角で媒質Ⅱに入射する電磁波は、媒質Ⅱ内の界面付近に分極を生じ

るが、その分極は反射角の方向には電磁波を放射できないため

電磁波が反射するメカニズムは、入射波によって界面に誘起された誘電分 極からの電磁波の放射と考えることができる

Brewster

角を利用して偏光を分け

る偏光ビームスプリッタ

演習 : 界面での反射と透

図に示す様に、

2

種類の媒質が

x-y 過

平面

(z = 0)

を境に接している。今

、平面電磁波が媒質Ⅰから媒質Ⅱに入 射角  _i で斜め入射する場合を考え る。

i i

i i

i i

i

t  t k x  k z 

  k  r   sin  cos

入射波

反射波



_r

t  k

_r

 r  

_r

t  k

_r

x sin 

_r

 k

_r

z cos 

_r 透過波



_t

t  k

_t

 r  

_t

t  k

_t

x sin 

_t

 k

_t

z cos 

_t 入射波、反射波および透過波の

波数ベクトルと角周波数をそれ ぞれ

(k

_i

, 

_i

), (k

_r

, 

_r

)

および

(k

_t

,



_t

)

とし、電場ベクトルは図の様 に

x-z

平面上にあり、磁場は

y

成分のみ

(p

波

)

とする。

波の位相は、

x z

媒質Ⅰ 媒質Ⅱ

E

_i

H

_i

E

_r

H

_r

k

_i

k

_r

k

_t

H

_t

E

_t

y



_i



_r



_t

境界面

(z = 0)

上の全ての点で、任意の時刻に波の位相が等しくなるので、

t r

i

 

  

t t

r r

i

i

k k

k sin   sin   sin 

この条件が成立しなければならない

電場、磁場ベクトルの向きを教科書とは違えております

演習 : 界面での反射と透 過

) sin ,

0 , cos (

) , 0 ,

(

_{ix iz i i i i}

i

 E E  E  E 

E

 

 



 



 ( 0 , , 0 ) 0 , , 0 Z

1

H

_iy

E

ⁱ

H

i

入射波

反射波

) sin ,

0 , cos (

) , 0 ,

(

_{rx rz r r r r}

r

 E E   E  E 

E

 

 



 



 ( 0 , , 0 ) 0 , , 0 Z

1

H

_ry

E

^r

H

r

透過波

) sin ,

0 , cos (

) , 0 ,

(

_{tx tz t t t t}

t

 E E  E  E 

E

 

 



 



 ( 0 , , 0 ) 0 , , 0 Z

2

H

_ty

E

^t

H

t

Z

₁

, Z

₂ は、それぞれ媒質

1, 2

の電磁インピーダンス

x z

媒質Ⅰ 媒質Ⅱ

E

_i

H

_i

E

_r

H

_r

k

_i

k

_r

k

_t

H

_t

E

_t

y



_i



_r



_t

i

r



 

演習 : 界面での反射と透 過

tx rx

ix

E E

E  

界面での電場

E

および磁場

H

の接線成分の連続性より、

ty ry

iy

H H

H  

t t

r r

i

i

E E

E cos   cos   cos 

2 1

1

Z

E Z

E Z

E

_i



_r



_t

Z

₂

E

_i

 Z

₂

E

_r

 Z

₁

E

_t

t i

t i

i r

p

Z Z

Z Z

E r E









cos cos

cos cos

2 1

2 1



 



t i

i i

t

p

Z Z

Z E

t E





 cos cos

cos 2

2 1

2

 



上式から

E

_t を消去すると、

上式から

E

_r を消去すると、

(

電界反射係数

)

(

電界透過係数

)

従って、

ここで、

θ

_i

= θ

_r の関係を用いている

p i

r i

r

i

r

r

E E E Z

E Z H

H   

1 1

p i

t i

t

i

t

t

Z Z E

E Z Z E Z

E Z H

H

2 1 2

1

1

2

 



この場合、磁界に対する反射係数および透過係数は、

反射係数や透過係数の値は、電界 や磁界ベクトルの取り方によって 異なる