Correlation coefficient

4. 相関・回帰

(correlation/regression)

• 4.0

相関関係とは？

• 4.1

相関係数

• 4.2

自己相関

• 4.3

相互相関

• 4.4

相関解析の実例

• 4.5

相関の有意性

相関係数の検定

等価自由度

• 4.6

回帰

–

回帰係数

–

回帰係数の区間推定

• 4.7

回帰分析の実例

2

4.1 相関係数

共分散

covariance

分散

4.1

相関関数は、

の値を取る。

相関係数と散布図

4

x y,z

例1:

例2:

相関係数がゼロだからといって、

つの変数の間に何も関係

と

の平均はそれぞれ

と

だから、

相関係数

の分子は、

(2-3)(2-5)+(5-3)(5-5)+(0-3)(10-5)+(4-3)(2-5) +(1-3)(5-5)+(6-3)(10-5)+(3-3)(1-5)

= 3-15-3+15 = 0 Æ r = 0

6

4.2 自己相関関数 （ auto-correlation function ）

アンサンブル平均

定常確率過程では時間平均で置き換えることができて

時間平均

R(

τ

τ

|R(τ)| ≤ 1

4.2

τ：

Covariance function

Autocorrelation function

ラグ相関

関数

自己共分散関数

ずらす

ずらして

かけあわせる

x(t-τ)

8

代表的な時系列関数と自己相関関数の形

10

x(t)=asin(2π_ft+θ_)+r(t)

white noise

Cf.イサカの例

12

自己相関関数の例：ニューヨーク州イサカの

自己相関関数の例：ニューヨーク州イサカの 1987 1987 年 年

1 1 月の日最高気温（華氏） 月の日最高気温（華氏）

自己相関関数の例：ニューヨーク州イサカの

自己相関関数の例：ニューヨーク州イサカの 1987 1987 年 年 1 1 月の日最高気温（華氏） 月の日最高気温（華氏）

（自己相関関数）

（ラグ自己共分散）

（分散）

14

4.3 相互相関関数 （ cross-correlation function ）

異なる変数間でのラグ相関を求める

Rxy(0)=1

にはならない。

左右対称にはならない。

4.3

相互相関関数の計算式

16

図Ｃ

ダーウィンと世界各地の年平均海面 気圧偏差の相関係数(x10)。

係数が正の値のところはダーウィンの気圧が通常より高いときにその場所の気圧も通常より高い傾向にあり、係数 が負の値のところはダーウィンの気圧が通常より高いとき、逆に通常より低い傾向にある。数字の大きさがその傾 向の程度を示す。(Trenberth

4.4

相関解析の実例

季節変化は落ちている

南方振動の発見

一点相関図

タヒチ

18

Mawson Davis Casey Vernadsky original 0.669 0.679 0.648 0.699 high-passed 0.685 0.638 0.634 0.611 high-ln.tide 0.618 0.564 0.557 0.548

Original High-passed

相関解析の実例 南極の水位の変動

自己相関関数・相互相関関数

0 10 20 30 40 50 60

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Lag (day)

Correlation coefficient

Syowa-Syowa

Syowa-Mawson

20

自己相関関数・相互相関関数

-60 -40 -20 0 20 40 60

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Lag (day)

Correlation coefficient

Syowa-Syowa

Syowa-Mawson

Syowa lead Mawson lead

Long-term

相関解析の例 その２ AAOと海洋応答

Antarctic Oscillation

10-day bins

気圧のパターン

気圧パターン変動の時係数

22

AAO index HIGH AAO index LOW

L L H H L H

L H

Westerly anomaly

Easterly Anomaly Northward

Ekman drift

Southward Ekman drift

4.5 相関の有意性

4.5.1 相関係数の検定

無相関の検定

母相関係数ρ

のときは、標本数

の相関係数

は次 の

について、

近似的に

自由度

の

分布に従うこと が知られている。

母相関係数に関する検定は一般に母相関係数ρ

という 帰無仮説を検定する。したがって、上の式の

を求めて

検定すればよい。

（面倒な計算をしなくてもよいように検定の表がある。）

4.5

T

24

無相関の検定の例：

標本数

が14で、相関係数

が

T

この式から

を計算すると、

となる。

この

という値は 左図の棄却域には

入っていないので、

検定の結果として、

有意水準

では、

相関があるとは

言えない。

26

両側検定

有意水準

サンプル数

（自由度ν

）のときに標本の相関係数が 表の値よりも大きければ、母相関係数ρ

という帰無仮説 が棄却され、有意な相関があるといえる。

注意） 相関係数の検定はあくまでも母相関係数が

でな い（すなわち相関が弱いとしてもある）ことを判断するだけ で、帰無仮説が棄却されたからといって「相関が強い」わけ ではない。

相関係数が

未満では余り意味がない。

例：

n=7

で

：

で

：

で

：

どちらの有意水準でも有意な相関なし

有意水準

でのみ有意な相関あり

どちらの有意水準でも有意な相関あり

28

相関係数の例 その３ NAOの持続性

冬のNAOが夏の大気 循環に影響する！

Icelandic Low Azores High

Ogi et al.(2003) Color:

Confidence level

Low SST

High Sea ice cover

春 夏

30

• 以上はサンプリングがランダムになさ れている(自由度が保証されている)場合 に適用される。

• 実際には、すべてのデータが独立とは

限らない。

4.5.2 有効自由度

(effective degrees of freedom)

• 大気海洋データは、時・空間的に相関 をもっているため

「ν(自由度)＝ N （データ数）」

にはならない。

• 時系列がランダムである場合は自由度

ν＝ N でよいが、特定の狭帯域波や長

周期波が含まれている場合には自由度

は著しく下がる。

32

b. 三角 関数成分

＋ノイズ

三角関数は振幅と位相で決まる ので、自由度は

しかない。

有効自由度

=6

Æ

高い係数 でも有意で はない

a. ノイズ のみ

Chelton (1982)

有効自由度

=50

Æ

低い係数 でも有意 青矢印は

の信頼限界

有効自由度 (effective degrees of freedom) の推定 実効的に独立な標本間の時間（有効無相関時間）と 呼ばれる T

で、データのサンプル数 N を割って、

有効自由度（有効標本数） N

を求める。

Æ N

=N/T

自己相関関数 から

を求める。

Emery and Thomson (1999)

34

比較的簡便な方法は、自己相関関数がはじめて

0.2~0.3 程度になるラグ時間を特徴的な時間スケール と定め、時系列全体の長さをこの時間スケールで

割ることである（松山・谷本 , 2005 ）。

また、自己相関関数が初めてゼロとなるラグ時間を

目安とすることもある。

無相関時間（したがって有効自由度は）現象に内在する量

ではなく、標本の長さにも、またどの統計解析を行うかに

も依存する。

36

相関係数についての注意点

はずれ値の影響が大きい。

Æ 散布図でのチェックが重要。

r = 0.806

r = 0.960 r = -0.503

相関係数についての注意点

相関は

つの量（

と

とする）の関係を示すもので、相関が 高いからと言って直接に因果関係を表すものではない。

例えば、

と

の相関が高い場合、

が原因で

が結果という 場合もあり得るが、その他にも以下のような場合がある。

Æ

擬似関係（因果関係にない）

1.

他の量

が両者の原因となって

と

、

と

に相関 が生じる。

2. A

における違いが、媒介する

に違いを生みだし、それが原 因となって

を生成するので、

と

に相関が生じる。

AÆDÆB

と書けるが、

と

の間には因果関係はない。

3. A

と

にはともにトレンドがある。

38

1 の例：

2 月の水蒸気量とサクラの 開花日の高い負の相関

C=2 月の気温

A= サクラの開花日 B=2 月の水蒸気量

擬似相関の例 _{伊藤・見延}

(2010)

より

2 の例：

昼間の日射 Æ 気温 Æ 湿度 という関係

D= 気温

A= 昼間の日射

B= 湿度

4.6 回帰

左図のような

つのデータ

と

がある時、

説明変数 x

から目的変数

を最も良く表す 直線を引くには、

と

の残差の二乗和 が最小となるようにすれば良い。

相関：

つの変数に関係があるかどうか。

回帰：ある変数によって、もう一つの変数を説明できるか。

40

r

は相関係数 傾き

切片

y = a + bx

に上記の

の式を代入

よって、回帰直線は両平均を通り、傾き

の直線である。

y – y = b (x – x)

決定係数

(correlation of determination)

y

x

}

{

42

回帰係数の区間推定

4.7 回帰分析の実例

その1

赤道西太平洋の水温と南方振動指数

年から

年までの

の月平均）

(SO Index)

= -0.09 + 0.15 * (SST Index)

4.7

44

回帰係数の区間推定の例：

(SO Index)

= -0.09 + 0.15 * (SST Index)

回帰分析の実例 その２ 海水面の上昇

説明変数：時間

Æ

目的変数：トレンド（増加率）

時間などのように横軸に対して 一様であることが求められる場合 重みづけなどの操作

回帰係数

決定係数

} ^⇒

46

まとめ

• 相関係数は変数同士の関連の強さを示す指標。

• 変数の周期性を調べたい場合、相関関数をも ちいることがある。

• 無相関の検定は t 検定により行うことができ る。

• 相関関係と因果関係は別物である。

→ 擬似相関 spurious correlation

• 回帰係数は目的変数を直線であてはめたとき

の傾きを示す。