デ カル ト数学 断片集の執筆時期 な らびに 卵 形線 に代 表 され る屈折光学問題
Writing Time of the Descartes Mathemaical Fragments and Dloptric Problem of the Oval
四 日市 大 学 関 孝 和 数 学 研 究 所 但 馬 亨
Sekl‐Kowa htitute ofヽIathematic̲s,Toru TAJIヽIA torutaiima@Sekrkぃ″a Org
1
『 数学摘要』の概要デカル ト数学断片集 とは原題 をEτce″ια■faιんemαιjccと呼ばれ るAT版
(AT X,pp 277‐324)に集録 されているデカル トのマイナーワークであ り,
手稿や刊行本 (18世紀 までのもの)を集録 したものである 以下『 摘要』
と称す これ ら12の断片は,複雑で雑多な元テキス トの構成 と出 自を示 し ている.AT版とは,なが らくデカル ト研究においては決定版 とされて きた Challles Adam(185■ 1940),Pall Tannery (18431904)編纂のデカル ト全 集であるが,近年はその内容 についての見直 しが進んでお り,以下の内容 に ついての表題 を列挙す る.
I. Polygonorum inscriptio
II. Horum Usus Tiigonometricus
III. Numeri Polygoui
IV. De Partibus Aliquotis Numerorum
V. Radix Cubica Binomiorum
VI. Circuli Quadratio
VII. TangensCycloi,Cis
VIIL Tangens Quadratari€ per Cycloidem
IX. Equationum Asymmetrirc Remotio
X. Ovales Opticre Quatuor
XI. Earum Descriptio et Tactio
XII. Eammdem Octo Vertices, Hommque Usus
諸多角形の内接 内接の三角法への利用 諸多角数
数の約数 について 2項式数の3乗根 円の求積
サイクロイ ドの接線 1
サイクロイ ドによる円積線の接線2 方程式の非対称性の除去3
四種 の光学的卵形線 卵形成の描画 と接触 卵形線8種類の頂点 と利用
進行中の パT版の見直 しの中でもとくに重要な新解釈に 」eaFI Marie Beyssade らによるラテ ン語 フランス語翻訳書がある 4この新訳 (pp 530531)で 考察 された『摘要』の2つの起源がある
1手稿群L:17世紀時に コンスタンティン・ ホイヘ ンスが収集,ライデ ン 大学付属図書館所蔵
aR. De€cartes, @uljtEs conpbtat, Gallimard, 2ffi9.
2 断片A:「デカル ト氏による抜 き書 き (摘要)」 (Excerpta ex MSS R Descartes),1701年 『遺稿小論集』(OpuSCula pOsthuma)に収録.5
と りわけ後者は重要である。なぜ な らば,後者 はラテン語による6論文か ら構成 されてお り,『世界論』や『精神指導の規則』等の重要著作の最後に位 置する順序で収録 されているか らである.デカル トの死後に出版 された著作 集 としてはかな り早い段階で整理 されたものであ り,死後50年後にアムステ ル ダムで公刊 されている
2 AT版
の問題 と執筆時期 についてAT版はデカル ト研究者に とっては必携の書ではあるが,全集の編集以来,
完成度 の高い文献批評が完成 したものとして研究者は批判的に一次文献を分 析 しな くなって しまった。いわばAT版の権威 主義化,更新 の必要性 につい ての議論が希薄であった。そこで今回の調査 を経て理解 された『摘要』の間 題点 を以下にまとめることがで きる
1.数学的内容の連関が不明なものを1論文 (ひとまとま り)と して集録.
2.デカル ト自身が付 していない題名 を付与.
3.他数学者であるフェルマーの業績の複写 を集録.
4 執筆時期の同定が精密ではない.
この論点の うち,と くに 1と4の問題 は解決 させ るべ き重要性 を秘めてお り,現在のデカル ト数学史研究のためには,数学的内容の分析並びに執筆時 期の精密な考察が必要であろう つづいて,先の諸断片 と『幾何学』との対応 関係 をか ら執筆時期の推定 を行 うことが最 も取 り組み易い作業であろう.な
お第24回数学史 シンポジウムにおいてすでに整理 した点であるが,『摘要』
の数学的内容についてもう一度修正 して略解する.
51却ョょrRデスーカルテスの自然学およ
」静
=:い
に DoC opuscma
Posthun3・ Physica et Mathentati∝ )とF●さ
『 摘要』の数学的内容の一覧
(1)内接多角形 と弦の表 (正弦表の作成)
(2)正弦表の三角形への応用
(3)ディオファン トス『 算術』か らの多角形数問題
(4)約数の和の一般的性質についての分析
(5)3乗根の開平, 2項式で表 される数への変換
(6)円の方形化 (求積)に役立つ独 自アル ゴリズム
(7)サイクロイ ド曲線の性質 についての引用
(8)サイクロイ ド曲線の性質 についての引用
(9)等式に含 まれている無理数の消去法
(10)卵形線の性質についての分析
(11)卵形線の性質,表記の方法
(12)卵形線の性質 とその応用法
以上のような数学的中身 をもつ『摘要』であるが,この内容で『幾何学』 と の連関 をもつ箇所は (5),(9),(10),(11),(12)で ある.さらに精 密にその内訳を明 らかにす ると,(5)が第1巻「乗法 除法 平方根の抽出」
に対応する。そ して,(9)は第3巻「真根 を増すと偽根は減ずること」,そし て最後の長大な3断片 (10, 11, 12)はそれぞれ順に,第 2巻「光学に 役立つ新 しい卵形線4種の性質」,同じく第2巻「反射および屈折に関するこ れ らの卵形線の性質」,同じく第2巻「これ らの性質」に対応する 1637年
の『 幾何学』 との相互関係 について言及ができるのはこの5つの断片 しかあ りえない さらに,この中で比較的重要だ と思われるのは,(10),(11), (12)の卵形線についての議論であろう.
3
デカル トの卵形線問題への取 り組みこのテーマについては,自水社『デカル ト著作集」の 自然哲学な らびに数 学領域 に関する主要翻訳者である原亨吉による先駆的かつほぼ唯一の研究で ある「デカル トはいかに して卵形線 を発見 したのか」( cOmment Descartes
←t il d̀cou"rt ses Ov」es?'')がある.7これによれば問題10, 11, 12
の最初の出自は断片Aである.さて,デカル トは どの ような経緯で,いつこ
の卵形線 に関心 をもったのであろうか 生前の原亨吉氏か ら数学史上の薫陶 を受けた佐 々木力氏によれば,このように整理 されている すなわち [佐々 木2003]276‑7頁では「1620年代の書 き物,及び書簡でこれ らの卵形線 に言 及 していない (中略)17世紀初頭の数学者にとって,いかなる種類であれ卵 形線は円錐曲線の自然な拡張 として理解 されていたのかもしれない.」 とあ り,
7″
̀。
■a ScecRιiα句771,No 29(1985),pp 51 82
1628‑35年の間に発見の時期 を限定 してい るのであ る 執筆 時期 と して は か な り幅 があるがデカル トが数学研 究 に注力 をは じめて,『幾何 学 』の構想 を 練 る段 階か ら実質的執筆活動 を完遂 させ る直前 まで を視野 に入れ る とす るな
らば これ以上の言及 はで きない.
4
卵形線問題の数学的構成 と意義それでは,この卵形線の数学的意味について議論する.名称 として 。valと い う語は数学者 にとって もあま り聞 き馴染みのある曲線 とは言えないが,古
くはルネサンスのアルプレヒ ト デュー ラー (Albrecht Direr,14711528)や デカル トより後 世である17世紀後半のパ リ天文台で活躍 したジ ョヴァンニ ドメニ コ・ カ ッシーニ(ciOttIIlli DOIIlemco Cassini,1625‑1712)が研究 した 曲線であるが,デカル トは先述の とお り,『幾何学』に収録する目的で この領 域の研究 を精力的に行 っている8デュ̲ラーやカ ッシーニが絵画や天文学上 の関心か らこの曲線 を扱 ったのに対 して,デカル トのモチベーシ ョンとは異 なるところにあった.『幾何学』第2巻に収録 されているように,屈折光学研 究の成果 を展開 し,理想的な レンズ曲面を数学的 に演繹 しようとしたのであ る 以下では,断片10から 12に かけて展開され る卵7//線についての数学的 構成について概説 し,執拗 に展開 された研究のね らいを明 らかに してい く.
断片10の第1部
同一直線上に定点 θ,lV,B,ス をとる 点 Ⅳ はBCの中点,Ⅳス=α,ⅣB=o
とする 媒介変数2,,にたい して,動点Eを
θE+BE=2α ‑2y,
D4=″
であるようにとる。ここではDは Eから直線 スθ に降ろした垂線の足 となっ ている ただ し,Eがス を通 るように媒介変数 ■,yは■=oのときy=0で
あるように とる。 この とき,
σE2̲3E2=σD2̲B,2=(α tt b― ￠)2̲(α̲み‑2)2
: 4b(a - r)
嘩驀警 鷺 魃 魃 栃 鸞
t rt61.B,s
CE - BE = zb(a - a) a-y
z.116.
..t
BE,CE l*.D,tTol r t:b 6bz n6.BE: a, ! _b(a - x) -vz -2ay+a2 +br-ab
α― υ α ―y
θE=。一 ν+ら(α ‑2)=y2̲2● y+α2̲防 +ab
した が って
,E2=BE2̲BD2=豊 生三竺
★lCi丼碧・生 壁■ ―(α̲b̲・
)2
‐
(c̲ν)2
い ま点 Eが描 くべ き曲線 にEで接 す る円の 中心 とな る スθ 上の点Fを
見 つ け る。 そ こで ⅣF=c,FE=ご とお き,原点 を Ⅳ とす るXy座標 を
E=(a― o,DE)であ る よ うに とる と,中心F,半径FEの円の方程 式は (χ―c)2+γ2=d2
また媒介変数 ■,yを「何 らかの方法で」消去す る ことがで き,媒介 変数 を 消去 したEの軌跡 の方程 式
′(X,y)=0
が得られたとすると,円と点Eの軌跡が接することから,
′(X,V中 =0
とい うXの方程式はX=α―″で重解 をもたなければな らない。この条 件か らcおよびdを求めることがで きる.
断片10の第2部
C,3,ス,Rはこの順で同一直線上にある定点D,E,Fは動点である.OB=
4,3И =1,スR=5より,αB,ス,Rを定め,点ス を原点にとると,
c = (-5,0), B : (-1,0),A = (0,0),a = (5,0)
=0‑・)(α+b―ν)(c― b― y)(2α‑2‑y)
。BD=c‑6̲3,OD=0+0‑τ
と座標 を設定 す る.媒介 変数0≦ ν≦1にた い して
EB=1+5y,Eσ =5‑3y
で点Eを定める。ここでCB=4,EB=1+5y,Eσ =5‑3vよ り0≦ y≦ 1
でつねに αB,Eは三角形を構成 し,v=oで Eは ス と一致 し,y=1で EB=6,EC=2で あるような直線BC上の点 となる。また点Dは点Eか
ら線分CAに降ろした垂線の足である。ここで,
CD2̲D32=Eθ2̲EB2=(5‑3v)2̲(1+5ν
)2=‑16υ2̲43ν+24,
よ り
cD-DB:##=_4r,2_roy+6
CD = -4 -51g +6,
DB:2v2+5v-1.
DA: DB + BA : zlf + 5s,
DE = d2 - pB2 : (t + 5il2 - (2!z + 5s _ r)2
= -4y1 -?ft,3 + ty2 +W
L tr5. j.tJb6,
e = (-sy -zf ,
とまとめることができる。ちなみにここで,媒介変数 νを0≦ y≦ 1の 範 囲で動かせばEの軌跡を描面でき,デカル トの著作中においては一度も出現
しなかった卵形線の全体像が表示できる.
よって,
さらにここで,E=(X,y)とおいて νを消去すると
4X4+116X3+(8y2+316)χ2+(116y2̲2100)X=γ2(525‑4/2)
とい う軌跡の方程式が得 られ る この一般形 もデカル トは表示 しているわけ ではない。あ くまでもCD―DBとい う形で論 しているに過 ぎないのである
さて,さらにここか ら別の点Fを定義 してい く。すなわち,
FA=29y+10
とい う関係 を満たす点Fを定め,この点か らER,EOに降ろした垂線の足 を それぞれG,″ とするとき,
△FO″〜 △ECD
△FRG〜 △ERD
なの で,
等 =寺 ギ寿鵠語尋
=:となる。1。したがって,F″/FGはyによらず一定である Rから出た光が 点EでFEと直交する直線で相対屈折率 3/7で 反射 しながら屈折した光が点 θ に到連 していると理解できる.
さて,FEと直交する直線は卵形線 θ に接する。これを示すには,以下の 条件が必要である すなわち中心F,半径EFの円の方程式は,
(X+2鶏:翼半)2+γ2=EF2
となるので,これをy2について解いてEの軌跡 の方程式に代入す るとX
についての方程式ができる.この方程式がX=‑5υ‑2y2で重解 をもつこと がわかればよい.
断片10の第3部
定点C,3,■,Rを同一直線上に スθ=AR=0,■B=bであるようにとる 動点Eを
θE=堅型̲ν +α,
BE=b+ν
10F″ :2つ = "+15:(5‑3ν),FC:ED=等 鮮 器 :(5+η)よ り
で あるよ うに と り,点Eから スσ に垂線 を降 ろ してその足 をDとす る こ の とき,
ο
D2̲3D2=σE2̲3E2= (2:子―
y+α)2̲(b+ν)2, CD― BD=θ B=4σ ̲スB=α̲ぅ
よ って,
OD+BD=α +b̲2ν ― 望
したが って
θD=α ̲ν ̲笙 BD=わ ―ν―:墜生
さ らに
スD=スB̲BD=̀坐髪+ν,
DE2=BE2̲BD2=(b+υ )2̲(b̲9‑4手
)2,
̲学 ̲多υ3+1昇
ν2+4■
が成 り立 つ こ こで,
Fス =4ι
2ν +2ほ2+α2y
物 +α2
で あ る よ うな点 Fを スB上に と り,Fか らBE,cEに 降 ろ した 垂 線 の 足
をそれぞれc,″ とする このとき
△FBC〜 △EBD,
△Fθ〃 〜 △EθD
奮
3薔鷹 Lttlil∬
'協舅
fffittt,先 FttF″軸
器 =男 穿
=1も共凸
α
とγに依存 しない定数になる 2ι
―α
重解 による方法 と疑われ る他の方法
断片10から12で扱われ る卵系線 とはデカル トによれば,円錐曲線 を包含 する上位曲線 として考案 されたもので3種類の焦点で定義されるものである.
この曲線 を研究するための意義は,デカル トにとっては屈折光学上の知識の 拡充 として最適な レンズの形状 を決定するためである 図にあるように焦点 は3,C,Rだとすると,この特異な曲線の方程式を求めるには,動点Fの位 置が重要なポイン トになって くる ただ し,この方程式を求めるためには,原
nE=zbfl.+y+.
l\C : tl:con.t
によって推測 される方法によると長大な計算が必要 とされるが,断片 10に 合 まれている記述 にはその結果 しか示 されておらず,デカル トが実際に とった 方法をこの記述のみか ら導出することは出来ないJlこ の方法 とは,卵形線 に 内接する円を描画 し,さ らにこの円の接線 との交点 を解析的 に求める,すな わちよ り具体的にいえばこの2つの方程式の重解 を用いる方法である しか し,この分析 には1つの難点がある 断片10において考察 されてい る卵形 線は初期条件 のことなるものが4種類存在 してお り,最初の3種について こ の重解 を用いる方法であれば順調に計算を遂行することで結果 まで到達でき る しか し,最後の4種目については計算量の観点か らはきわめて膨大で精 密な計算 を遂行 しなければ達成できないので,この4種類については フェル マーの接線法を用いるなどの別の方法の利用が推測 されるのである
5
むすぴ としてデカル トの数学研究の発展過程 において,マイナーワークか ら得 られる情 報はこれ まで精密科学史上の議論対象にはな らなかったように思われ る た しかに大著作『幾何学』の達成 と比べると,今回分析 の俎上に乗せ た『摘要』
は最大の分量 を誇 る卵形線問題でも比較的小規模の作品であ り,技術的な計 1r[gara f985]: Comment Descarr6 a-t-il decouvert ses oi-ales? Iturona Scient 6n m 29, pp. 51-82.
算過程 を集めたもの という誹 りを免れないかも しれない. しか しなが ら,デ
カル トの直観 の鋭 さは,こうしたマイナー ワークにこそ よりよ く反映 されて お り,さらにいえば直観や数学的発想の豊かさ以上に技術的な計算 を粘 り強 く丹念 に繰 り返 していた点については数学者 としての,いわば足腰の頑健 さ を強 く感 じずにはい られない。そもそも『幾何学』においても結果を散文的 に配置する記述方法は,現在の数学の論理様 式にどっぷ り浸か っているわれ われに とって も容易に読み進め られる代物ではないが,結果 を粘 り強 く追い 求める良い意味での執拗 さがこれ まで とは異なるデカル ト数学のイメージと 呼べるのかも しれない。なお,この部分の全訳を近 日中に発表する予定であ るが,当報告においては断片10のみを付録 として公表する。
参考文献
・ 佐 々木力『 デカル トの数学思想』 東京大学 出版会 ,21X13.
・ 小泉 義之他訳『 デカル ト全書簡集』 (第2巻)知泉 書房,2014
Ren6 Descart∝ ,Opusctlla posthuma,physlca et mathemlltica(Landmatrks Of sclence,ed by HarOld Hartley.Dualle H D Ro■ er),Readex Microprlnt, 1969
・Ren6 Descartes,Physic∝mathematica i Compendium music";Regula ad dtectbnem ingemi: Recherche de la verit6, Suppに mentゝ la cOrrespon―
dmce(Cuvres de Descartes/publitt par Charles Adam et Paul Tannery.
10)NOuv 」Vdn,1996
・John Schuster Descartぃ■agomstes:physlc∝mathematics,method and∞ rpuscular‐
mech・"■m161333(Stdes ln hlstOry and phl10sOphy of scicllce,v27), Springer,21113
10
付録 :第 10断片「四種の光学的卵形線」
口l点■,3,Cを一直線上に並べ,頂点 ス,軸スBの曲線 を見出す。この と き曲線 は,点Bから発せ られ る光線 が,この曲線上で屈折 し,あたかも点 θ か ら光線 が発せ られ,よ り遠 くへ連続 してい くように,湾曲 してい くもの と する。 また逆も同様である.
点B,θの中点 Ⅳ をとり,Ⅳス=α,Ⅳ3=b
CE+BE=2α ‑2y,そ してDス =ュ
としてこのとき,と yは二つの不定量である。その片方は不定のままとど まるものであ り,この曲線のすべての点を描 くだろう。また他方は曲線が必 ず描画 されるや り方でやがて決定 される。そ して このや り方を見出すために,
まず点Fを探す.点 Fとは,中心 とみな され,ここか ら点Eにおいて曲線 と接するような円をここか ら描 くように,わた しが認める点である。つづい て,Fσによって掛 け合わ される直線BEが,3Fによって掛 け合わ され る σEに対するの と,″F力｀FGに対するのは等 しくな り,ある透過媒質内で 屈折 され る光線の傾 きが他の媒質内で屈折 される光線の傾 きに対するのと等
しくなる。12
BD=α ―b‑7,vし,+ca+め ̲2●″+2"‑2αb
OD=α +6‑″,v′r●+α●+らわ‑2o,‑2し,+2αb
BE=ν ν‑2αy+αα十 院 ― αι
α―y 12Fσ EE:,F σ
̀=″F:￨し
θE=yν ‑2αν+αα― υα―"十αわ
y4 -4dv3 I2axx
-4aor nn *zo],o
DE= -2a3
いま,ⅣF=c,そ してFE=dと お く この2つの量 こと こは,各辺が 決定 している直角三角形FDEが生 じさせ る方程式が
τ7‑2e2+ee
とかならず等しくなることから見出し得る。同時に差を2と し同時にe=2
とすると,
FD=a_c_r,55:-11@
12rス=5,3ス =1そして スR=5となるような点 をお き,曲線 スEが描 かれると想像する。 この曲線は焦点 C10に おいて固定された糸か ら出発 して,
0からE,3に至 り,BからはEに引 き返 してい く つづいて,″の方向に 無限に引き延ばされ,角 ERCが開いていけばい くほど14,延伸 されてい く もの とする.
つねに以下の ことが成 り立つ.
13ル .諄
14開き方に比例 しての意味
+5oo
―bb
‑2●
く+2αz>
*bbrt
u -2obbt
t2a3t
ER=5+7y, EB=1+5y,
Eσ=5‑3y,
D■ =2yッ十
",
つづいそ F■ =Tと おくと 中 卜をFとする剛 た 点Eにおい
ILIi::1事1:言F:L二[IFσ
=三
瑠
:霧二 を
ER=5+ηに
アE=5‑3ν によって掛 け合わ された
臨
Jをう
:≒島 『」 ∴
rlllllF:ξ:ふ:どこ
1111黛 :11
すべての光線 は,屈折 を経て,θの方向に引つ張 られる. 131いま,■σ=α,AR=a,■3=ら,3E=b+ν とすると,
RE=2堕a +y+α,
cE=2堕 ̲ν+a,
α
スD=聖 十y,
DE=ザ
ー
:等r―讐 ♂
+:讐w+41y,FA=4bby+?baa+aav,
となり,ERによるσFがσEによるFRに対するように,a‑2ら はa+2b
に対す る。15
141いま,■R=0,■3=ら,■σ=c,3E=b tt νとすると,以下のように なる。
ER= ν り+4by+aa+ac
a+c
σE=十αν―&ツ+4つ+aC+
α+c
D■ =4avν‑4響 +8婉+3aav+3吻 ‑2吻 +4吻‑4cby
DE=y̲角r̲20「 +4νy+20y;
u+2e+ cc 15E2・ σF:σF・σE=●‑21:●+26
13
F4=4αα,+4αb,‑46掟 +4bcc tt ααν+8αby+16b″ +2αcν+cCν ‑8bc.
3αα+3cc‑2α c+4αら‑4bc+8αυ+16♭ν‑8cν
14
