Osamu Kato, Department of Mechanical Engineering, graduate school of Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamioka, Nagaoka 940-2188

 

日本機械学会［No.0117-1］北陸信越支部 48 期総会・講演会  講演論文集 [2011.3.5  長野県上田市] 

903

分子動力学法による界面の力学的応答解析 

Analysis of mechanical response of interface using Molecular Dynamics

○加藤修（長岡技術科学大学）  正  古口日出男（長岡技術科学大学） 

Osamu Kato, Department of Mechanical Engineering, graduate school of Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamioka, Nagaoka 940-2188

Hideo Koguchi, Department of Mechanical Engineering, Nagaoka University of Technology Key Words: Molecular Dynamics, Interface, Elastic constants, Interface stress, interface energy

1.

はじめに

  現在，電子デバイスの微小化に伴いナノメートルスケー ルの薄膜，回路等の研究が盛んに行われている．ナノメー トルスケールでは体積に対する面積の割合が増加するた め，表面および界面の力学挙動に対する表面または界面に おける力学的特性の影響が大きくなる．そのため界面特性 を知ることは，ナノメートルスケールでは重要であると考 えられる．

  このような背景から今回は分子動力学（

MD

）法によっ て，異材が接合している界面におけるエネルギ，応力，弾 性定数についての解析を行い，界面特性を調べる．

2. GEMA ポテンシャル 

本研究では

GEM

ポテンシャルを用いて解析を行う．

GEAM

ポテンシャルは，汎用性，柔軟性を有するポテン シャル関数で，埋め込み関数が多項式や

log

の形式で与え られている．さらに，簡単に多元系を扱うことができる．

 

GEMA

ポテンシャルEは以下の式で表される⁽¹⁾．    

!

E

_tot

= 1

2 V (r

^"#

)

#($"

%

)

"

% + F ( &

^"

)

"

%

             

⁽¹⁾

    F(

!

)=

F_ni(

!

!

n

"

1)ⁱ ,

!

<

!

n,

!

n=0.85

!

e i=0

3

#

F_i(

!

!

e

"

1)ⁱ ,

!

<

!

e,

!

e =1.15

!

e i=0

3

#

F_e 1"ln

!

!

e

$

%&

' ()

*

n

+ , ,

- . / /

!

!

e

$

%&

' ()

n

,

! 0 ! 1

2 3 3 3 3

4 3 3 3 3

(2)

    V(r)=

Aexp

!"

r r_e

!

1

#

$%

&

'(

)

* + ,

- .

1+ r

r_e

! /

#

$%

&

'(

20 +

Bexp

!0

r r_e

!

1

#

$%

&

'(

)

* + ,

- .

1+ r

r_e

! 1

#

$%

&

'(

20

#

$

% %

%

% %

&

' ( ( ( ( (

 

(3)

    != f (r)

"

%

(#$)        

(4)       

    f(r)=

f_eexp

!"

r r_e

!1

#

$%

&

'(

)

* + ,

- .

1+ r

r_e

! /

#

$%

&

'(

20

#

$

% %

%

% %

&

' ( ( ( ( (

(5)

原子の種類が異なるときの原子間ポテンシャル

!

V

^"#

(r)

は，

    V^ab(r)=1 2

f^b(r)

f^a(r)!^aa(r)+ f^a(r) f^b(r)!^bb(r)

"

#$ %

&

'

(6)

  ここで

!

f

_e

, r

_e

, "

_e

, # , $ , A,B, % , & ,F

_ni

, F

_i

, ' ,F

_e^{はポテンシャル} パラメータである．

!

r

^"#は原子α, β間の距離を表す．

3.

界面エネルギ，界面応力，界面弾性係数

  界面応力および界面弾性係数は界面エネルギの界面ひず みによる変化割合を表す物理量であり，界面応力は界面エネ ルギの一階微分，また界面弾性定数は，界面エネルギを二階 微分で与えられる．

界面エネルギγは     != 1

2A(E^surf"E^balk)

       

(7)

と表される⁽²⁾．

A

は界面の面積，E^surfは界面のある系のエネ ルギ，E^bulkは界面のない系のエネルギである．ここから界面 応力τ_ijは

   

!ij= d"

d#ij

= 1 2A

$E^surf

$#ij

%$E^bulk

$#ij

&

'( )

*+

         

(8)

また界面弾性係数

!

d

_ijkl^は

   

d_ijkl= d²! d"ijd"kl

= 1 2A

#²E^surf

#"_ij#"_kl$#²E^bulk

#"_ij#"_kl

%

&

'

( )*

       

(9)

と表される．

  また，原子レベルでの不連続構造体における有効な弾性係 数として原子弾性係数 C^αがある．原子弾性係数は以下の式 で表される⁽³⁾．

    C_ijkl^! = 1

"^!

#²E_!

#$ij#$kl

(10)

ここでΩ^αは原子αに対するボロノイ多面体の体積である．

4.

解析モデル

  本研究の解析モデルでは，図１のように(010)面を有する金 属薄膜にz軸回りに

22.6

，28.1 もしくは

36.9

回転した 異材金属を載せて界面を作った．境界条件はx, y軸方向に周 期境界条件を適用している．周期境界条件は異材間で周期が 異なった場合でも適応できるものを用いた．

  計算中の温度変化は

0K

から計算を始め，

5ps

後に

1K

まで 上昇させ，その後

35ps

後までに

0K

に減少させた．

  モデルの大きさは周期境界条件を適用するため

Material 1

の結晶方向により異なるが，

Material 1, Material 2

合わせて原

子数

5,000~13,000

個程度である．

  解析した原子の組み合わせは

Material 1

が

Ni、Material 2

Fig. 1 Model for analysis

Fig.2 Atomic elastic constants

!

(C

₁₁^"

)

^surf

# (C

₁₁^"

)

^bulk

       

against y-coordinate

が

Cu

のものと

Material 1

が

Ag，Material 2

が

Au

のもの２種 類である．

5.

界面の影響

  界面がどのくらいの深さまで弾性係数に影響を及ぼす の か を

!

(C

₁₁^"

)

^surf

# (C

₁₁^"

)

^bulkの 値 を 用 い て 調 べ た ． 図

2

は

Material 1

が

(010)

面をz軸方向に

36.9

傾いた

Ni

，

Material 2

が

Cu

の解析結果である．

  この場合，界面から

3

~７Åの範囲に界面の影響が及ん でいることがわかる．

6 界面エネルギの解析結果  解析で得られた界面エネルギを表１に示す． 

 

Au-Ag

モデルでは回転角が大きくなると界面エネルギが

徐々に大きくなる．一方，

Cu-Ni

ではある角度で最大値とな る．

  他の研究者により得られた界面エネルギの大まかな値は、

部分整合界面で

0.2~0.8J/m

²，整合界面で

0.05~0.2J/m

²，非 整合界面で

0.8~2.5J/m

²である⁽⁴⁾．今回解析した界面エネル ギは部分整合界面の範囲に入っている．今回のモデルは温度 を与えることにより緩和させているため部分整合界面にな ったと考えられる．

Table 1 Interface energy

γ

(J/m

²

) Rotation

angle[deg]

γ

Rotation

angle[deg]

γ

22.6

0.311 

22.6

0.465

28.1

0.320

28.1

0.524 

Au

|

Ag 36.9

0.489

Cu

|

Ni 36.9

0.288 

Table 2 Interface stress

τ₁₁

(N/m) Rotation

angle[deg]

τ₁₁

Rotation

angle[deg]

τ₁₁

22.6 0.532 22.6 0.335

28.1 0.26 28.1 -0.45

Au

|

Ag 36.9 -0.653

Cu

|

Ni 36.9 -0.789

Table 3 Interface elastic constants d

ij

(N/m) Rotation

angle[deg]

d11 d44

22.6 -2.869 -0.916

28.1 -1.469 -2.303

Au

|

Ag 36.9 -1.689 -1.258

22.6 -2.915 -4.015

28.1 -2.567 -3.686

Cu

|

Ni 36.9 -1.487 -1.492

7. 界面応力の解析結果

  解析で得られた界面応力を表

2

に示す．

  すべてのモデルに関して回転角が大きくなるに伴い，その 値が低くなる傾向にある．また

Cu, Ni,

の表面応力τ₁₁は

0.62

~

1.77J/m

^２程度である⁽⁵⁾ため今回解析した界面応力は表面応

力より小さい値を示している．

8.

界面弾性係数の解析結果

解析により得られた界面弾性係数を表

3

に示す．

  原子の距離，結晶方向により界面弾性係数が変化すること が見て取れる．

Ladan

らによると⁽⁶⁾，界面弾性係数d11は

[1 1 1]面で接合している Ag， Au

は

2.16N/m， Cu,Ni

で

3.28N/m

で あった．また，[0 0 1]面で接合しているものは

Ag，Au

が

-0.064N/m

であり

Cu, Ni

で-0.064N/m．今回の結果は大きさで

考えれば[0 0 1]面で接合したモデルの値と[1 1 1]面で接触し たモデルの間の値を示している．

9. 結      言

分子動力学法を用いて界面エネルギ，界面応力，界面弾 性係数を求めた．その結果，界面エネルギ，界面応力は接 触面の結晶構造によって規則的に変化することがわかっ た．

参考文献

(1) X.W.Zhou, H.N.G.Wadley, R.A.Johnson, Atomic Scale Structure of Sputtered Metal Multilayer, Acta mater., 49, pp.4005-4015, (2001).

(2)

泉  聡志，原  祥太郎, 熊谷  知久, 酒井  信介, 半導体 材料の界面応力／弾性定数の原子レベル評価

,

機械学会 講演論文集, No03-06, (2003).

(3)

加藤  史，分子動力学法による界面構造の解析，長岡技 術科学大学修士論文, (2000).

(4)

古原  忠，鉄鋼材料における界面構造とエネルギー

,

鉄 と鋼, Vol.89, pp497-509, (2003).

(5)

櫻井  隆幸

,

分子動力学法と弾性理論を用いた

[1 1 1]

面 の 表 面 近 傍 の 変 形 解 析, 長 岡 技 術 科 学 大 学 修 士 論 文

, (2006).

(6) L.Pahlevani, Hossein M.Shodja, Surface and Interface Effects

on Torsisn of Eccentrically Two-Phase fcc Circular

Nanorods: Determination of the Surface/Interface Elastic

Properties via an Atomistic Approach, Journal of Applied

Mechanics, Vol.78, 011011, (2011).