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目 次
第1章 母関数 1 1.1 母関数とは？ . . . . 1 1.2 母関数の代数的性質 . . . . 3 1.3 漸化式 . . . . 8 1.4 組合せ論的等式. . . . 12 1.5 反転公式. . . . 14 第2章 グラフとは 25 2.1 グラフとは . . . . 25 2.2 標識グラフの描画. . . . 29 第3章 標識グラフの数え上げ 35 3.1 数え上げの基本的理解 . . . . 35 3.2 いろいろな標識グラフ . . . . 40 3.2.1 連結グラフ . . . . 41 3.2.2 奇点個数による数え上げ. . . . 44 3.2.3 標識木. . . . 50 3.2.4 標識ブロック. . . . 52pLATEX 2ε: enubook : 2014/5/1(9:52) viii 目 次 第4章 非標識グラフの数え上げ 61 4.1 配置とその同値性. . . . 62 4.2 グラフと群 . . . . 63 4.3 Cauchy-Frobenius . . . . 64 4.3.1 Cauchy-Frobeniusの補題 . . . . 64 4.4 Cauchy-Frobeniusの補題の応用. . . . 67 4.4.1 RDへの応用 . . . . 67 4.4.2 非標識グラフへの応用. . . . 68 4.5 重み関数. . . . 73 4.6 巡回指数. . . . 75 4.7 数え上げの基本定理 . . . . 79 4.7.1 P´olyaの定理. . . . 79 4.7.1.1 1変数の場合. . . . 79 4.7.1.2 2変数の場合. . . . 83 4.7.2 1 : 1写像. . . . 85 4.8 グラフの数え上げ. . . . 87 4.9 連結グラフの数え上げ . . . . 87 4.9.1 位数をパラメータとした場合 . . . . 87 4.9.2 位数および大きさをパラメータにした場合 . . . . 90 4.10 互いに同型でない非標識な連結成分を持つ非標識グラフの数 え上げ . . . . 92 4.11 2部グラフの数え上げ . . . . 93 4.12 木の数え上げ . . . . 97 4.12.1 根つき木の数え上げ. . . . 98 4.12.2 非標識木の数え上げ. . . 101 第5章 べき群数え上げ定理 107 5.1 べき群による数え上げ . . . 107 5.2 べき群による配置数え上げ級数 . . . 112 第6章 自己補グラフ 117 6.1 自己補グラフと群. . . 117
pLATEX 2ε: enubook : 2014/5/1(9:52) 目 次 ix 6.2 Readによる非標識自己補グラフの数え上げ. . . 121 6.3 Royle予想 . . . 122 6.4 標識自己補グラフの数え上げ . . . 127 6.4.1 自己補グラフを数える. . . 128 付録A 補題1.5.5の証明 137 付録B 位数5の標識グラフとそれの群の位数 141 B.1 位数5の標識グラフ. . . 141 B.2 対応する群の位数. . . 145 付録C 共役類 147 付録D 巡回指数 151 D.1 Snの巡回指数. . . 151 D.2 交代群 Anの巡回指数 . . . 152 D.3 巡回群の巡回指数 . . . 153 D.4 二面体群の巡回指数. . . 153 D.5 対群Pnの巡回指数 . . . 154 D.6 Sm×Snの巡回指数 . . . 155 D.6.1 m̸= nの場合 . . . 155 D.6.2 m = nの場合 . . . 156 D.7 S2[Sn]の巡回指数. . . 157 D.8 (S2[Sn)′の巡回指数. . . 158 D.9 べき群BAの巡回指数 . . . 159 D.9.1 A =Sn, B =S2の場合 . . . 159 D.9.2 A =巡回群Cn，B =S2の場合 . . . 159 D.9.3 A =二面体群Dn，B =S2の場合 . . . 160 D.9.4 A =対群Pn，B =S2の場合. . . 160 参考文献 161 索 引 165
