H・ Ludwieg and W・Tillman皿の 局部摩擦抵抗式の修正
服 部 誠
1．まえがき 用いた記号
A， B， C，
Cr ll Ro Rx
V， Vi ．．
a， b， c 7？1，
％， び
x， y ev， 1？， r
c
6tsr．
ti
6v aM p
τ， τノ
v
定数
平板の平均摩擦抵抗係数
境界層に関するパラメータ．H篇歴／θ 境界層運動量厚θに関するR．No，
壁面長さxに関するR． No．
それぞれ，境界層外部，はるか前方の流速 定数
定数
それぞれ，境界暦内のx，y方向流速 それぞれ，流速に平行，垂直な座標 定数
境界暦厚
堺酪除厚・・uイ1（u綱〃
境界雛蝿厚θuイニ（u一肋 脚一轣F吻
・・u・一轤P肋
流体密度
それぞれ壁面摩擦，流体内部摩擦 流体の動粘性係数
乱流における一般の場合の局部摩擦抵抗式には，下記のH．
Ludwieg and W． Tillmannの実験式
r・ ／pU2co＝O．123×10−O 678 Re O・ 268 （1）
ここに，τ：局部壁面摩擦抵抗 ρ・流体密度
U。。：固体のはるか上流の流速 H ： H＝＝6＊／O
U．ee Re： Re＝＝
δ＊，θ・それぞれ，境界層の排除厚，運動量厚
v・動粘性係数
が比較が比較的よく実験値に合うといわれているが，これを 調べてみると，一様流れに平行におかれた平板の場合にはRe
−102〜104の範囲でよく近似するが，それ以外では大きく 違ってくる。また，境界層の剥離点では壁面摩擦はないと考 えられているが，この式では明らかに右辺が零になることは ないから，剥離点近くにも適用出来ないと考えられる。そこ で，本研究では，それ等の場合にも適用可能なように改造を 企てた。
（1）式が前半のHの関数と後半のRθの関数の積としてあ らわされていることに着目し，ここでも，求むる式を
T／pU2ee＝li （H）G（Re） （2）
と仮定し，F， Gを平板にも剥離流にも適用できるように定 めたのである。
2，平板によるG（Rθ）の決定
平板の摩擦抵抗は平均摩擦抵抗係数をCアとし，平板の長 さをxとすれば，／吻U乙C拶であらわされる。一方，これを 運動量の法則によってあらわせば
・吋1吻一・∫1賦すなわち・∫1・（U−u）吻 とあらわされる。両者を等しいとおけば，
・∫1・・（U−ze ee）吻一音，重・f・
θイ語価／U）娩利彫れば，上式は
1
θ＝一2C∫欝
両辺にU。．んを乗ずれば
Re ＝＝ ｛1−CfBm （3）
ここにR、一型，
u二、。
R雄＝
ツ
次ぎに，平板の局部摩擦抵抗を求めよう。局部摩擦抵抗
（τ）は局部摩擦抵抗係数を用いてあらわすことができる。平 板の局部摩擦抵抗係数はCf，xのxに関する微係数にあたる。
47
すなわち
・一義，蠕（…）
または，
．／pu200 一一 e g．（c，x ）
ここで，上式のCプにSchlich七ingの公式 O．455
Cf ＝＝
log ＝ Zogio αo≦1Rの2・f58
d 晦
津山高専紀要（第1巻第2号）
3．乱流境界層の剥離点のHの値
乱流境界層の剥離点の速度分布の式はまだ充分なものがな いようである。実験的にはその状態が調べられているが，そ れが利用できる程充分でないので，便宜上，それを古くW．
Tollmienによ？て解かれた噴流理論1）の中から導いた。利用 したのは静止流体と一様な流れが境を接する場合の解法であ る。この解法はL．Prand七1が指摘しているように，流体の を用いれば，次のようになる。（一（Cfm）に相当するものは
Schlich七ingによって（2］110g H R．v−O．65）一2 3と実験1ii勺に与え
られているが，下式と計算値は酷似しているから，便宜上下 式によった。）
T／puk ＝一 一g−cr （i−zz．ifi： iR2．）
これに（3）式で得られるCfをおきかえれば，
・／鵡一告（1一融
または
s・・／・／ρu識／（ 1．121−
@ logRos）
となる。（3），（4）式の右辺はいつれもRosのみの関数で ある（（3）式のCfにSchlich七ingの公式を用いるものとす る）から，左辺の値はR、、によって定まる．。そこで，
zogRe ：＝￠， zog（Re／tT，．．）＝＝Y
とおいて，Rxに種々な値を与えて計算すればφ，ψ曲線が画 かれる。その形状からそ．の曲線方程式を
φ＋c＝αψb（α，b， cは定数） （5）
と仮定し，これに適当な3組のφ，ψの値を与えて，a， b， c
・を決定すれば
a＝O．465， b：一1．212， c＝＝O．547 と定まる。この値を（5）式に入れて変形すれば
T／PU2co ＝ Lll Be × 10一 （2・ 15ZO93・s24Re）O 825
となる。この式で見れば，平板のτ／ρU乙はRθのみの関数 でHに無関係であることが示される。
そこで
G（Re）＝Re x lOL2・15ZOg3・524Re）O 825 （6）
と定むれば，平板では，
T／pv2．．＝gd（Be）
とな・・すなわち・． では・（H）一＝±であるといえ・．
平板に於いてはH＝1．4が多く用いられるから，ここでもこ の値を採用すれば
F（1．4）一一ll一 （7）
ということになる。これはF（H）を決定する条件の1つとし て用いられる。
大きな塊が動く場合に混合距離理論を利用している点に難点 があるといわれているが，2）今の場合では剥離部分に固体壁 があり，境界暦を考えているのであるから大きな流体塊が存 在すると考えなくてもよいので，敢えてこの癬法を利用し
た。
Tollmienの解によれば， 2次元の場で，一様流れと静止 流体の境目（平面）をx軸に，その正方向を一様流れの方向 とし，y軸の正直に一様流れがあるものとし，運動方程式に
鶴＋聯一÷舞
ここに ze，・u，：それぞれx， y方向の分速 τf・流体摩擦
を用い，これに混合距離の式 ・f一・・就鵠
ここに，Z：混合距離
を用い，さらに 1；cx（cは比例定数），ηコ玖．π＝F （η）
と仮定すれば，流れ関数ψは，Yp＝・x：F（op）となるから，もと の運動方程式は，
F十2eF ＝O となる。これをとけば，
・』・・一・＋・・ζ／2…V号ζ＋・e・ 2c・s肖｝ζ
ここに，A， B， C・積分定 数 4＝＝aop， at＝1／（2c2）i／3
ここまではTollmienの解法とかわらない。
ここでA，B， Cを定めるための境界条件として，
y＝Oでu・＝O，v＝O，
y一・でζ一ζ・この・磯一い凱
と与えると，
A＝：C＝！ 一〇． 242， B＝＝ O． 417
｝ （8）
C ，一 1． 86， C 一8，一ll一
と定まる。
これを一般解に入れてuを求めると，
缶窺・＋B・…s・・吟＋9）一Ae・・…（｝箸ζ ＋晋）
一48一
服 部 誠 H。Ludwieg and W． Tilimannの局部摩擦抵抗式の修正
この式のA，Bは（8）に示された値である。
・の式を恥て・蓄巻鹸を画くとF・g・・となる．・
Fig． 1．
エ，o
！・ U ．
．2 ，3 ．4 5 6 ， Ji ． S ． g L O V， ／6
の曲線の形状は実験で測定された剥離点の．速度分布にかなり
よく似てい…野上式から（翫。。を求めると零に
はならないから，上式をすぐに剥離点の速度をあらわすと断 定するには難があるが，剥離点附近には実際上y＝Oに境界 層の第．・層が存在す・・とを考えれば・必ず・も（瓢。。
＝0でなければならないと考える必要はないと判断した。そ して上式を以って剥離点の境界層の速度分布と見なしたので
ある。
上式から∫諸．．・（3 ）＝＝一tS ・fi（tFt，一）2d（号）一一を
求めると
争一と｛A唱一一［・］ 1
＋Begi／2sin ［O］｝：＝O．603 1
ここに，搬式として［・・］一隠ζ＋・堵
（9）式に得た値を剥離点に於ける実験3）4）で得られたもの と比較すると，いずれも，実験値のバラツキの中央部附近 にくるから，あえて（9）式を剥離点に於けるものと見なし
た。
（9）を用いて剥離点におけるHを次ぎのように算出するこ とができる。
書・ト警一・．39乳÷一書一三一・．146
6＊
＝2．72
11 ＝＝
e
Hがこの値になる時が剥離点で，この時にFは零でなけれ ば剥離点のτ／ρU2は零にならない。
すなわち
F （2．72） ＝＝ O
もIFを決定する1つの条件と考えられる。 ．（10）
3．F（H）及びτ／ρU2の式の決定
（2）式の右辺の中G（Rθ）はすでに（6）式として定めてあ るから・F（H）を定めれば同時に（2）式も完成するわけであ
る。
（10）式に示されたF（H）に対する条件を考慮して，
F（IEI） ：一： a（2．72−1［［）PxIOYH （11）
ここにα，β，γは定数
と仮定する。これに含まれる3つの定数α，β，γを決定すれ ばF（H）が定まる。利用できる条件は（7）に1つあるだけ で，なお2つの条件が与えられなければ，α，β，γは求めら れない。適当な資料がないので，Ludwieg and Tillmannの 実験式，及びJ．Ro七七aの理論式から算出される値を参考
にして，
紫∴徽∴∵1脚
エ ヨ
§ ξ 工 5
ρU2 11
2
ユ ロ る
ミ 乙
5 4
3 2
を，
一49一
lo−n 】．2：㌃斗567
10gRe
門門：＝i：：膨：二搬：；：；嬬：｝
（12）
F（H）決定の2条件として採用した。これを（7）と併
ザムつ慰・
即配棚魂
へ トぴ
寵黛︑ D． なゆねへり ぬ む
@ へV＼＼＼
トト
＼＼
̲＼＼
̲＼、
・＼ 一
⊥
L抗式の修正津山高専紀要（第1巻第2号）
用して（11）式に入れて，ev，β，γの連立方程式をと．けば，
tu＝TO．691， B＝：08465， r＝＝一〇．1733
と定まる。これで（11）式が定まるから，結局求むる（2）式
は
鋸雛諏：離1蕊1凹｝働
と定まる。
この式により，Rθ， Hの種々の値に対するτ／ρU島を計算 して曲線を画いたのがFig．2である。これに参考のために
：Ludwieg and Tillmannのもの及び」． Ro七七a（5）のものも画い ておいた。
参 考 文 献
1） W． Tollm1en Z． a． M． M． Bd．6 1926 Berechnung七urbulen七Ausbrei七ungsvorg翫nge．
2）L Prandtl Z． a． M． M． Bd．6 1942
Bemerkungen zur Theorie der freien Turbulenz．
3） G． B． Sehubauer and P． S． Klebanoff
NACA Rep．1030 1950
1nves七iga七ion of sepera七ion of七he七ロrbulen七boundary layer．
4） A．E． Doenhoff and N． Tetervin NACA Bep．772 1943 Deberminabion of general retations for tke behavior of turbulent boundary layer．
5） H． Sehlichting （Translated byDr． 」． Kestin）
Pergamon Press・ 工」ondon Boundary layer theory． p 441．
4．むすび
：F（H）決定に用いた4条件の中（12）に与えたものは直感 的に選んだものであるから最：適のものとはいえない。当然も っと確実な資料が入手できた場合にはα，β，γを再計算す べきものである。しかし，充分なものでないにしても，従来 のものより広い範囲で利用できるという点で，やはり無意義 なものではないと考える。 以上。
一50一
