2. 曲げねじりを考慮したたわみ角法

山 崎 英 樹*

Slope‑Deflection Method in Consideration of  Bending‑Torsional Moment

Hideki Yamazaki

l.ま え が き

構造物に生ず るね じりモーメン トについて考察す ると,部材断面が 自由にそることができ る場合の単純ね じりモーメン ト ( サソプナンのね じりモーメソ り , お よび断面のそ りが拘 束 された場合の曲げね じりモーメン トがあることは周知の通 りである0

構造解析に当っては,曲げね じりモー メン トの扱いについては,計算の繁雑になるのをさ けるため と,ね じり応力におよばす影響が小 さい もの どt =て通例 これを無視 しているo Lか し構造によっては無視できない場合 も多いので, これを考慮 した計算方法の簡易化は重要な ことと思われる｡

一般に構造解析にあたっては,変形法の

種であるたわみ角法にサソブナソね じりモー メ ン トを考慮 した解法

3 )が有力な解法の一つである.

薄肉開断面部材か ら成 る構造においてほ,この解法を用 いて曲げね じりモーメソ トの影響 を容易に計算す ることがで きるので,以下に簡単な ラーメンについて例解す る｡

2.

ね じりモーメン トとね じれ角

た とえば,図 ‑ 1 に示す ように H 型鋼の端部 にね じりモーメン ト

fが作用 した場合に断面 のそ りを拘束す ると, 〟 ′はサンプナンのせん 断応力によるね じりモーメソ トとフランジの曲 げによって生ず るせん断応力に よる偶力 とつ り あいを保つ ようになる｡

すなま っち

ME ‑GJ

E J

ここに

せん断弾性係数

′:

ね じり抵抗係数

弾性係数

Zf:H

型鋼のフランジの y軸に関す る断面二次モー メソ ト h:H型鋼の高さ

∂;

単位長 さ当 りのね じれ角

*土木工学科

が成 りたつ｡

式( 1 ) の一般解は

0

_c o s h 仙

＼ ｣

a2 ‑響

である｡式(

に示 され る

は長 さの次元を持ち部材の断面形によって定 まる値である｡

次に,任意断面のね じれ角を βとして これを求めることにする

単位長 さ当 りのね じれ角

なるゆえ式

を積分 して次式を得 るO

cosh (7^I.^I)

＼

.

部材端におけるね じれ角は上式において

Jとすれば よい｡

したが って

0.‑I

‑ 器 ^ll

となる｡

式(

を変形 して

ML‑I̲aGt慧 言;/α)

を得 る｡

式(

の

′は,サンプナンのね じりモーメン トと曲げね じりモーメン トとに よってつ りあ うね じりモー メン トである.

い ま,ある構造物を解いて部材端に生ず るね じりモーメン トを求めた場合に, これをサ

ブナソのね じりと曲げね じりとに分解す る必要があるときには,次の ように して計算するこ とができる｡

サ 1 /ブナンのね じりモーメソ トは

e であるか ら, これに式

を代入す ると

^tI.=At

L

が得 られ る｡

次に,曲げね じりモーメソ トは

M,b

=

E B

壁旦

であたえられ る｡

一方式

を用いて

d

̲

,1

,1

j百

となるか ら, これを式(

に代入 して

MLb‑ME

_{( 1 d}

を得 る｡すなわち,式 ( 8) ,式鵬が求める計算式である｡

以上は図

に示す

型断面について計算 したのであ るが,上に得られた各式は任意 の断 面の部材について成 りたつ ものである｡ただ し

の値は断面形に よって定 まる値であるので 注意 しなければならない｡表 ‑ 1 に

, ∫

の例を示 した｡

表 1

断面 J 断 面 図

i I I I

3.

たわみ角法への適用

図

に示す よ うな長 さ

の部材

の端 部にね じりモー メソ ト M E A,M L B が作用 し, この時の

端

端のね じれ角を

とす る｡

サ ンプナンのね じりモー メン トは

^TL . 4‑

AIL B‑

GJ( eA‑oB) J

GJ( CB‑OA) ‑‑Mt A

BB

であ る｡

次に断面のそ りを拘束 した場合のね じりモー メン トは,次のよ うに求め ることができる｡

0 : 1A

A (t')

BM O B t l B I

図

を同図0

C

の ように, 一端に

t Aまたは M , B が単独 に働 く

つ の 片持ば りに 分解 して考えた後 これ らを合成すればよい｡図

を見なが ら式

に よってね じりモー メン

ト式を立てると｡

G

eBI

M E Bl ‑

)‑‑M f Al ･

G

eA

M E A2

ニーM L B2 となる｡

さらに,重ね合わせの原理に よって

M l , 1 ‑M L Al +M E A2 ,M E B‑M t Bl +M L B2 であ るか ら式色 カを用 いて

j VL ^ ‑

ATL B ‑

GJ(CA2

I‑atanh侶

GJ(CB1

OA2 )

∫‑αt a n h

とな るが,ここで , ^CA2

^OA

^el

^{であるか ら式柳 ま}

AlL ^= GJ(

7‑ αtanh

M tB

=

(

訂

O i

(烏

‑‑ 1

VL J

とな る｡次に上式において分母を,

ト αtanh(∫

/

)エム とお くと次式 のようになる｡

(1‑3

( 1 4

8 匂

AlI^‑GJ(oA一

G

)

L

'

M IB‑GJ(OB‑CA)‑‑M tA

.

L

式( 1 4は,長 さ

^の部材

における端部ね じれ角 とサンプナンのね じりモーメソ トの関係 式 と見 ることができる. したがって,曲げね じりを含むね じりモーメン ト式を式( l bの形で表 わ してお くと, これ と周知のたわみ角式 とを併用することに よって,立体 ラーメ ソや格子構 造等について曲げね じりモーメン トの影響を考慮に入れた解を求めることが可能になるわけ である｡ さらに必要に応 じて式(

,読( l Oを用 いることによって,得 られたね じりモーメン ト をサンプナンね じりと曲げね じりとに分解す ることができるのほ,すでに述べた通 りである｡

4.

計 算 例 図 ‑ 3 の平面 ラーメソの節点 B に両に直角に

荷重

が. 作用す る場合について解 く｡座標軸 は図の如 くとることとし,ラーメソ部材の諸元 は表‑ 2 に示す通 りである｡

表

4‑1

たわみ角法 による解

このラーメンの未知量は,節点

F こおけるたわみ角

∫

の回転

の

ケである.添字の

‑少 として計算を進め る.

( 1 ) 端モーメン ト式

M ∫AB‑kb(r∫b+

￠) ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

l ･ 4)

･ 4) .

(2)

節点方程式

EM ,a‑0‑M.B^+M ,BC:2(kb+PkE′)P,B+kb￠‑0.

( 1 9

2(βkL+kb′)P,B+h/l･k

b ′

(3)

層方程式

図

を見ながら端せん力式を立てる.

X,BA‑‑(M ,B^+M ,AB)/h,

X.BC‑‑(M ,BC+M ,cB)/

l ,

これを 層方程式

0に代入 して 次式を 得る｡

3kbPJB+3kb′pyB+2(kb+kb′

h/

p 臥XM

緊

≡ ≡ 芳 賀

式㈹,軸

納の連立式の解は次のように求 まる.

pxB=‑l2hkb(k

A ' '

p

‑

戸

t ′ ) p,

￠‑

_D

^{b ′+}

ただ し

b '+

L ′ ) I

‑41(kb+βkL′)(k

b ′+

I ).

これを式8 朗こ代入 して端 モ‑ メソ トが待られ る｡

M .^B‑Phk'(k

' '

^{L '}

^メ

^?L

^p,

M ,

^ B ‑ ^2L

′

^p

3 h

禦･ D '

^p,

M

21 h 2

( k ' _D n + ^{PkE ' ) β k l p,} _̀'J

_L

^k/

･ + P

･ D L ) (

⁺²

^kL

^p.

ここで, βは

β‑畠

‑ :ポアソン数

1)Z

であって,銅のポアソン数を

となる｡

Ol)

的

式￠カを用いて,部材の断面を H 型 として,サ ンプナンのね じりモーメン ト考慮 した場合と 断面のそ りを拘束 した場合につ いて,それぞれ数値計算を行 う｡

4‑2

断面のそ りが 自由な場合 図

に示す ような部材断面寸法 とす る｡表

‑ 3

は諸元および剛比であ り表

にこれ らに よって計算された端モーメン トを示す｡

表3

部 材 1部材長

I

q

C

A B

0 0

B CIl=

4 0

7 8

ん / ^JIJ/

^】

( 註)AB 部材の剛度を基準剛度とする ( K ‑‑I

T･‑｣叫勘l

図5

4‑3

断面のそ りを拘束 した場合

式( 1 7 ) を用いて計算を行えば よい｡ この場合の部材長は,式￠ 射こよってあ らわされるので次 のようになる｡

部材

部材

ここで図

の

断面について

の値を求めてお く｡

′〜‑1.9×353/12‑6789cm4(

フランジ

枚の断面

次モーメン ト),

×

×

4 ,

E‑2.1XIO6kg/cm2

,

G‑mE/2(m+1)‑0.84×106kg/cm2,

朗

S‑35cm(H

型鋼の高さ) .

α二s億 t=242cm.

これらに より

ラーメソの各部材長は式的に より

H‑6‑2.42tanh(6/2.42)‑3.59m, エ‑4‑2.42tanh(4/2.42)‑1.75m

となる｡

ここで注意 しなければならないことは,式朗で計算された部材長 と H 型鋼断面の高さとの 比がおお よそ

以上でなければならない とい うことであ る｡ なぜならこの比が小 さ くなると, 曲げによるたわみに対す るせん断力の影響が大 き くなるが,通常 のたわみ角式には これが取

り入れ られていないために,たわみ角法が適用できな くなるか らである｡例題の場合は,

L/S

‑

であるか ら適用す ることがで きる｡

表

に諸元お よび剛比を,

に これ らに よって計算 された端モーメン トを示す｡

表

部 材 長 F I

hH‑=6芸9 I3

^{88 0 0}

.

× 1 0 3

BC ^li==41?5 138800 f 178

^{I Iy /}

1 1 5 . 7 0

(註)基準剛度 KI‑IJh

表5

( 係数 :

1 00 0)

例題のラーメソが,部材断面のそ りを許 した場合 とそ りを拘束 した場合 とで同様な変形状 態を生ぜ しめた時,部材端に生ず る端モーメン トには

つの場合に大 きな差があることが表

‑5

より明らかである｡すなわち,後者にあっては, フラソジの曲げに よって生ず るせん断 力がかな り抵抗モーメン トに影響をお よぼ していることがわかる｡

5.

あ と

き

構造物の曲げね じりモーメン トを考慮する場合,式的であらわ され るね じりモーメン ト式

と周知のたわみ角式 とを併用す ることに よって容易にその影響を知ることがで きることを示

し,簡単な ラー メンについて例解 した｡

参 表 文 献

(2)

〟 :

(3)

村上 ･青田 :たわみ角法による格子の解法, コロナ社 .

坪 井 :建築学大系

Ⅰ 建築弾塑性学,彰国社.

(44.8.20

受理)