数学補習プログラム（社会人院生向け）
トピック 7 ：多変数関数の 1 階全微分
北村友宏
∗ 2016
年3
月19
日1 1 階全微分（参考書上巻 pp.254-257）
•
多変数関数において，全ての説明変数が微小に変化したときの被説明変数の変化量を全微分という．•
全微分を求めるプロセスも，全微分という．•
多変数関数z = f (x
1, x
2, · · · , x
n)
の全微分は，dz = ∂ z
∂ x
1dx
1+ ∂ z
∂ x
2dx
2+ · · · + ∂ z
∂ x
ndx
n, dz = f
1dx
1+ f
2dx
2+ · · · + f
ndx
n,
などの書き方がある．⋆ ∂ z
∂ x
1dx
1は，x
1の微小な変化がz
の変化に与える効果．同様に，
∂ z
∂ x
2dx
2は，x
2の微小な変化がz
の変化に与える効果，· · ·
．⇒
「∂ z
∂ x
1dx
1+ ∂ z
∂ x
2dx
2+ · · · + ∂ z
∂ x
ndx
n= dz
」は，x
1, x
2,· · · , x
nの全てが微小に変化したときのz
の変化量．•
関数を1
回のみ全微分することを1
階全微分という．. . . .
例題1.1 z = x
23y
13 の1
階全微分を求めなさい．解法
•
まずx
とy
に関する1
次偏導関数を求め，それを全微分の式に代入する．x
とy
に関する1
次偏導関数は，それぞれ，∂ z
∂ x = 2
3 x
23−1y
13= 2 3 x
−13y
13,
∂ z
∂ y = x
23· 1
3 y
13−1= x
23· 1
3 y
−23= 1 3 x
23y
−23.
∗
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1
となる．よって，
z
の1
階全微分は，dz = ∂ z
∂ x
|{z}
=23x−13y13
dx + ∂ z
∂ y
|{z}
=13x23y−23
dy = 2
3 x
−13y
13dx + 1
3 x
23y
−23dy
である．
※
dx
とdy
はそれぞれ1
つの記号なので，さらに指数の法則を使って計算して2
3 x
−13+1y
13d + 1
3 x
23y
−23+1d = 2
3 x
23y
13d + 1 3 x
23y
13d
としてはいけない．. . . .
例題1.2 z = 2x
1 2
1
+ 3x
1x
2+ 4x
1 2
2 の
1
階全微分を求めなさい．解法
•
まずx
1とx
2に関する1
次偏導関数を求め，それを全微分の式に代入する．x
1とx
2に関する1
次偏導関数は，それぞれ，∂ z
∂ x
1= 2 · 1 2 x
1 2−1
1
+ 3 · 1x
1−11x
2+ 0 = x
−1 2
1
+ 3x
01x
2= x
−1 2 1
+ 3x
2,
∂ z
∂ x
2= 0 + 3x
1· 1 x
1−12+ 4 · 1 2 x
1 2−1
2
= 3x
1x
02+ 2x
−1 2
2
= 3 x
1+ 2 x
−1 2 2
となる．よって，
z
の1
階全微分は，dz = ∂ z
∂ x
1|{z}
=x−112+3x2
dx
1+ ∂ z
∂ x
2|{z}
=3x1+2x2−12
dx
2= ( x
−1 2 1
+ 3x
2) dx
1+ (
3x
1+ 2x
−1 2 2
) dx
2である．
※
