微分ゲームにおける時間整合的戦略 : 二主体のオ ープン・ループ解

微分ゲームにおける時間整合的戦略 : 二主体のオ ープン・ループ解

その他のタイトル Time‑consistent Open‑loop Strategies in Continuous Time Dynamic Games

著者 村田 安雄

雑誌名 關西大學經済論集

巻 37

号 3

ページ 219‑245

発行年 1987‑09‑30

URL http://hdl.handle.net/10112/14331

2 1 9  

論 文

微分ゲームにおける時間整合的戦略＊

—二主体のオープン・ループ解—

村 田

安 雄

目 次

1 .  

2 .  

4.  浜田の二国間政策連関のナッシュ戦略

5 .  

6 .  

7 .  

8.  浜田モデルの時間整合的シュタッケルベルク戦略

1.  微分ゲームにおける主要戦略

我々は政策決定の主体が二人である場合について動学的ゲームの解を求め，

そ れ ら が 時 間 整 合 的 で あ る よ う に 調 整 す る こ と を 試 み る 。 二 主 体 に 限 定 す る の は計算の簡単化のためと，経済問題では二主体間のゲームが多いためであり，

分 析 結 果 を 多 数 主 体 へ 拡 大 す る こ と は 容 易 で あ ろ う 。 ま た 本 稿 で は 時 間 を 連 続 的に扱う微分ゲームについて考察する（離散時間動学ゲームは村田

( 1 9 8 5 )が詳論し

先 ず 微 分 ゲ ー ム の ナ ッ シ ュ 戦 略 に つ い て 概 説 し よ うI)o X(f) を 第

t

＊本稿は関西大学学術研究（テーマ：「寡占経済戦略の動学ゲーム論的分析」）助成基金に よる助成を受けた成果の一部分である。また第

8

1) Cruz(1975)

2 2 0   闊西大學「経清論集」第 3 7 巻第 3

( 1 9 8 7

9 月 ）

ぇ

( t ) =  f ( x ( t ) ,  U 1  ( t ) ,   u i ( t ) ,   t )  

Xの変化率， u ; ( i = l , 2 )

え ( t )=ax(t) + b 1 u 1  ( t )  +b 必 ( t ) ( 1 ' )  

0

T

i

( i n t e r t e m p o r a ll o s s  f u n c t i o n )  

L;=

^{( u ,( t )  + u 2 ( t ) ) 2}  

^{― P ' d t   (i=  1 ,   2 )}  

゜

^{( 2 )}  

として叫その損失関数に対する第

i

U;=V;  ( i = l ,   2 )   ( 3 )  

L ,

L,=Lh1, 1 1 2 )   ( i = l ,   2 )   ( 4 )  

，

l l zに対して

L i

l z * ) : 0 : :  

l l z * ) Lz

1 2 * ) : 0 : : L 2

l z )  

(5a)  (5b)  とするような一組の戦略

1 , 1 1 * ,ゲが存在すれば，

x ( t )

かくして

1 , 1 1

1 1 2がぉ( t )

Jレープのナッシュ戦略と言う。巧と厄が必(t)に依存しない時に (5a)・(5b)

2) ( 1 ' )

3)  ( 2 )

微分ゲームにおける時間整合的戦略（村田）

を充たすが，ゲはオープン・ループのナッシュ戦略と呼ばれ，それは時間

t

損失関数として(2)のような二次式を想定して，オープン・ループのナッシュ均 衡戦略を導出し（第

2

3

4

次にシュタッケルベルク戦略について概説しよう。いま第

2

1

2

2

( l e a d e r )

l l zを最初に宣言して，それ

1

1

( f o l l o w e r )

l l zに対応して一つの戦略 l / 1を決めるので，（附，％）の組が

l / 1が決まり，かくして成立する（巧， l l z )

侶*,

l l 2 * )

L2

l z * )  : C : : L 2

( 1 1 1* ,   1 1 2 * )

2

4)

分 析 す る 方 が 理 解 し 易 い （ 村

r l l ( 1 9 8 5 )

5)

3

6)

(Cruz( 1 9 7 5 ) ,  

3 4 2

2 2 2   闊西大學「綬清論集」第 3 7 巻第 3

( 1 9 8 7 年 9

て，オープン・ループのシュクッケルベルク戦略を導出して（第5節），その時 間非整合性を示し（第

6

7

なお計算の簡単化のために，本稿での状態変数と制御変数はスカラーである が，このことは問題の解明に妨げとはならない。

2 .  

本節のナッシュ戦略の枠組みでは，次節以降の特殊な関数形に縮小可能な比 較的一般性をもつ関数形が想定される。状態方程式として

( 1 ' )

え =ax+b 必 +b 必 +c

y==x

c / a  

と置いて，

y

=ay+b 必 +b 必

となるから，最初から

(7) 

(8) 

(7') 

ぇ

( t )= a x ( t )  + b , u ,  

+ b 2 u ( t )  

u ; ( i = l ,   2 )

i

t

( d x / d t )

a ,b ; ( i = l ,   2 )

( s t a t e ‑ s p a c e f o r m )

ームにおけるシュタッケルベルク戦略のフィードバック解は村田

( 1 9 8 5 )

7)

x=Ax+Bu

n

m

( 9 )

n=1,m=2

M i l l e r ‑ S a l m o n( 1 9 8 5  b)

微分ゲームにおける時間整合的戦略（村田）

x(O)=X

第

i

( 2 )

( s ; ,  q ; ,  r ; ,  p

1 

L;=

^{[ s}

^+q

^{+ r ; ( u}

^{t U l l}  

ここに

P

q ;

S

0

U l l

さて(9)とUDlの制約の下にUりの関数を極小化するような制御変数約を各

i(=

1 ,   2 )

i

H ;

H

1  [ s

+q

+ r ; ( u

u

+b1u1+b

2 

を定義し（ただしかは補助変数），

d(P 面

a ( H ; e ‑ P ' )   d t  

a x  

〇＝警

^{C i = l ,   2 )}  

および横断条件

( i = l ,   2 ) ・ .  

limp 面 P1=0 ( i = l ,   2 )   [ 5 )  

I→^{O O}  

が(9), UO)と共に成立することである。 U2)式 の 中 の 公 を(9)で代替して， U3l式を 整理すると次のようになる。

‑A=  ( s ; a 2 + q ; ) x +  ( a ‑ p ) p ; + s ; a b 1 u 1  + s ; a b 2 u 2

q ; ( i = l ,   2 )  

U 4 l

8) 正確には集計された現在値の半分であるが，ーは後の計算の便宜のために付されてい 1 

るに過ぎない。

9)  S t a r r ‑ H o   ( 1 9 6 9 )

M u r a t a ( 1 9 7 7 ) ,   p .   3 4 4 を参照。

3 7  

2 2 4   闊西大學「綬清論集」第 3 7 巻第 3 号 ( 1 9 8 7 年 9

O=s1ab1x+b

+ C s 1

+ ( s 1 b

r 1 ) U 2 O=s2ab2x+b

+ ( s 2 b

U

( s 2

+ r 2 ) U 2 ( 1 7 a ) ,   ( 1 7 b )

U 1 ,U 2

( 1 7 a )  

「 ] = ^{1  [  ̲aD  b 1 ( s}

^{+ r 2 ) ‑ b 2 C s}

^{+ r 1 )}

u ,   (b,‑b,)D ‑aD  ‑b,(, 

+ r , ) b , C ,  

+ r , )] [ : : ]   u m  

となる。ただし

D

D = = s 1 b 1 r 2 ‑ s

1

られる。すなわち，

︱

︱

⑳   0 I 

Xq I‑ 5 

︱

︱

＋   

︱

︱   u l

約

l

‑

︳ 一

︱

I  O I X q I

知叫叫[•

＋  ゎ

81 82

l l  

‑ ︳  

P l

柘

la

bl

ab

l‑

︱ 

b s l 8 2 p  

︱

‑ +  

l

﹃

r l a

＋ 叫

D

‑

︱

‑ S t r l  

P l 拓 血

D甘廿廿且紀

D

‑ 8 2

a 

o o

‑ P  

P +  

a a 

‑ 0  

2 2  

゜

r r  

2 r p 

q i

の

b l

D a

b l

D a

b l

D

̲ ︳

︳

S l 8 2   a2a2a 

ー の Sl 82

o

q

︱

︱  

︱ ︱

︱

︱

＝l  

︳ ︳  

l

‑

え．

P l

． 拓

︱

︱  

体系(20)の特性方程式は

O+a‑p)  ( A 2 ‑ p A ‑ r p )  =O 

r p = = ( q 1 b 1 乃一 q 2 b

ID >O 

入

1=p‑a

A2=‑(p‑i/ 1 

4 r p ) < O 2 

入

3=‑(p+i/ 1 

>P  2 

となり，各根に対応する固有ベクトルは順に次のように算定される。

(21) 

(22) 

(23) 

［

臼

H

l

^{H :}

^{H : : :}

  ^{j :} _~

更に(20)式の非同次項に対して特解｛え，

0 ,O }

( 2 0 )

[ : : I ! J

^{・ , t : : J}

  i :

最後に横断条件

( 1 5 )

( 2 5 )

a j ( j = 1 ,

3 )

( 2 4 )

( 2 5 )

幼

=a2

を得，また

As‑P>O

( 1 5 )

as=O 

であり,

( 2 6 )

( 2 7 )

a 2が次のように決まる。

伶

=x

かくして

t=Oの時の ( 2 5 )

a : : : o

b

ぬ ‑q ,  + s , a ‑ l 2   p , ( O )   =a1 b — , r 2 +(xo-x)

s‑a

qz+s2a

2

入

a‑a

になり，従って

a 1は次の二つの表現を持つ。

Q1+S1a

2

a 1  =[P1 

( x o   X  b 1 r 2  

入

a‑a

Q 2 + s 2 a . l 2  

入

a‑a

P 1 C O )

( 0 )

a>O

x ( t )  =(xo‑

e > ‑ , 1

( 2 6 )  

(2~

(28) 

(29a)  (29b) 

(30a)  (30b) 

(31) 

2 2 6   闊西大學「純清論集」第 3 7 巻第 3

( 1 9 8 7 年 9

q

s ; a . . t 2

p ; ( t )  =P;(O)e

. . t a ‑ a  

^{C i = l ,  2 )}  

もし a:S:Oであれば， a1

=0

( 3

p , ( t )  

_{. . t a ‑ a}   ^{( i = l ,  2 )   ( 3 3 )}  

になり，

p i ( O )

0 )

( 3 U

オープン・ループのナッシュ戦略は

( 3 U( 3 3 lの { x ( t ) ,P 1 C t ) ,   P 2 C t ) }

( 1 8 )

3 .  

オープン・ループのナッシュ戦略が時間整合的

( t i m ec o n s i s t e n t )であるかど

Cohen‑Michel(l984)

i

( t ) }

し，もしこのゲームを任意の時点

t=t

(>O)

t o )

i

( t ) }

や

t oI

( t ) }1 : : ; ; : oは時間整合的であると言われ

Cohen‑Michel(l9 8 4 )は多数主体の微分ゲームについて，第 i

L;=

2

+ r ; u ; ( t ) 2 ] d t ^{( 3 4 )}  

n n

=p=Oと置き，がと他主体の制御変数を除いたも

( 9 )

この場合には

( 1 8 )

b ;  

u,=‑‑P,  r ,   ^{C i = l ,  2 )}  

であり

' ( 2 3 )の特性根は

入i=‑a A2=‑r 

炉 =r==(a吐生釘＋匈社）究＞〇 r1  r2 

となり，従って(

3 1 )

x(t)=x

^{e ―}

^=x(O): 

p ;  ( t )  = 

( t )

( p ; ( O )

^{a t (i=} 

227  ( 3 5 )  

(36) 

(37)  (38)  である。 (38)を(35)へ代入すると，ォープン・ループのナッシュ戦略が次のように 確定する。

u;(t)=え竺/-y号（竺—p;(O))e―at

^{( i = l ,  2 )   ( 3 9 )}  

いま

t=t

C > o )

xCto)=x

^{e ― r t}

^{( 3 7 ' )}

を

t

( 3 9 )

X oをぷ( t o ) , tを t‑t

p ; ( O )

U;(t)=

0 ) e ‑ r ( t ‑ t o )

^{( t}

^{( 3 9 ' )}  

そして

( 3 7 ' )より得られる

x ( t o ) e ‑ Y ( t ‑ t o )  = x o e ‑ Y t   ( 3 7 ° )  

砂 ） ＝ 直 邸 ）_r‑a  + 

^{( P , ( O )}

^{e ‑ a t o   ( 3 8 ' )}  

を

( 3 9 ' )

( 3 9 )

3 9 )

前節で我々の導出したナッシュ戦略

{ u ; ( t ) }

t=t

> o

2 2 8   闊西大學「純清論集」第 3 7 巻第 3

( 1 9 8 7 年 9

x ( t )

p ; ( t ) ( i   =  1 ,   2 )

t=O

t=O

x ( t

t o )は x ( t

=(xo

e

0

か

( t o )=p;(O)

) 

( e l

o‑e

1 1 0 ) As‑a 

( 3 1 ' )   ( 3 2 ' )  

toC>O)より再出発してナッシュ解を求めなおすと， t(>t

x ( t )  =  ( x ( t o )

e h o (

l o ) +

( 4 0 )  

p ; ( t )  

( x ( t o )

( 4 1 )   . . t 3 ‑ a  

となる。（船）と

( 4

x ( t

p ; ( t

( 3 1 ' ) ,( 3 2 ' )

3 1 )

( 3 2 )

U ; ( t )

U 8 l

x ( t )とか( t )の一次結合であるので，再出発し

{ U ; * ( t ) }

t=Oから出発した元の系列 { u ; ( t ) }

4 .  

本節ではオープン・ループのナッシュ戦略が二国間政策問題へ応用される。

応用例として浜田

( 1 9 8 2 )の第 V

i

M;=

( i = l ,  2 )  

応＝第

i

U戸＝第

i

M,=

i

( 4 2 )  

である。また

冗

=w

+CiJ2U2+G ( 4 3 )  

叫＝全世界の貨幣残高

(M1+

M,の比率 R 1   R 2  

G=(

/CM: 

M2)=w1

+  ( 4 4 )  

C i / 1 =

1  G=O

t

Z;(t)=

1  C u i( t ) ‑ u 2 ( t ) )   2 

1 

冗

( t )

2  u i( t )  +  u 2  ( t ) )  

ここに Z;=応/M;と記し，更に

炉 我 1C=

/M1)

( 4 2 ' )  

(43') 

( 4 6 )  

( 4 4 )

Z2=

x ( t )  

1  ( u 1( t )  ‑u2  ( t ) )  

さて第

2

L2=~00[年（が＋上磁(t)2]e―P'dt₀ 

₂  ^{( 4 8 )}  

とし，第

1

L1=~)2が(t)2 嗜S1i(が＋和 (x(t) ーが]e―ptdt ⁽⁴⁹⁾ 

としよう10)。(43')を代入すると， (48)と(49)の関数は我々のUl)式に一致する（ただ し

q2=0)

初期時点における第

1

x(O).

x

1 0 ) 浜田の損失関数にはんの一次の項が入っていたが， これは今後の分析に本質的影響 を与えないので，省略された。

式中の

ーえは第

国 の 外 貨 準 備 の 目 標 と の 差 を 表す代理項目である。

43 

230  閥西大學「綬清論集」第37巻第3号 (1987年9月）

えられたとして，

( 4

4 8 ) , ( 4 9 )

2

a=O,b1= 

1  1 

百，炉ーすとなっており，

q2=0

U B l

2ls2rJ‑(

^{( t )}

^{P 2 C t ) ]   ( 5 0 a l}  

叫 ） ＝ 紺

2ls2rJ‑(

^{( t ) +}

w ]

であり

' ( 2 3 )

ここに

A1=P 

i

1  (p‑,1

4 r p ) < O 2 

圧 ー

1  (p+,I 三 ） >P  2 

' P " =   Q 1 r 2  

S1

乃十

かくして'

( 3 1 ) , ( 3 3 )

x ( t )   =  ( x o

か(t)

=(xo

e

As  拓

( t ) = O

そして浜田モデルに従って

r1=

= 1 / 2 ,s 1 = s 2 = 2 s ,   Q1=2q  ( s ,   q>O) 

( 5 0 b )  

(51) 

(52) 

( 5 3 )  

( 5 4 b )  

邸） と置いて,

( 5 4 )

叫 ）

= 

X o )

s P+V

+ 2 q / s

= 

( t )   1   ( ‑ + )  /    1 ( +¼) ^{( 5 6 b )}  

となる。ぇ

> x

U 1   1 

‑=..l2=‑(p‑i/

+2q/s)<o

U1 

2 

であり，これは U2,

P 1 ,  

1 1 )  ( 5 4 b )

( 3 Q a ) = ( 3 0 b )

(57) 

2 3 1  

5 .  

さて二主体のうち第

2

1

2

U l l

U l )

1 2 )

1

ュ解と同ーであり，ハミルトニャン

H1

Hi=‑[s,  1 

q

+r1(U

U2)2]+

(ax+b

+b 西）

2 

を定義し（公は(9)式で代替），

d ( P 1

a ( H 1 e ‑ P 1 )  

‑ = 

゜

dt 

ax 

＝ ー

8H1  a u 1   =s1ab1x+b

+(s

+ r , ) u 1+  ( s 1 b

+ r 1 ) U 2 1imP1e ― P'=o 

t

→

が成立することである。 (59)は次のように書き換えられる。

炉＝ー

( s

+q

+(p‑a)P1‑s,ab

s 1 a b

,

(58) 

(59)  (60) 

( 6 1 )  

(59')  第 2主 体 の ハ ミ ル ト ニ ャ ン 比 は(9),(59')および(60)を含むが，予め(60)よ り 約 を

u 1  =  ‑( s 1 a b 1 x  + b 1 P 1  +  C s 1 b 1 b 2

r 1 ) u 2 ) / ( s 1 b 1 2

r 1 )

U 1

1 3 )

H

1  2  [ s 2 ( a x + b 1 u 1+b 西 ） 吐 Q 2 ( X ーえ）吐乃 (u1+U2)2]+

(60') 

b 1 u 1  + b 2 u 2 )  +p3[ ‑(s1a2+q1)x+ (p‑a)P1 ‑ s 1 a b 1 u 1  ‑ s 1 a b 2 u 2 J  

U 1

1 2 )   Simaan‑Cruz  ( 1 9 7 3 ) および Murata ( 1 9 7 7 ) ,   p .   3 4 4 を参照。

1 3 )   Simaan‑Cruz  ( 1 9 7 3 ) による出は次のようになる。

H2==—[s炉十q2(か→か＋乃（佑十約）

1 

2 J + P 2

+Pa

+ P . C 8 H i / 8

た だ し 公 は(9)で，かは(59')で，

a H i 1 a

H

の p .

4 5  

2 3 2   閥西大學「純清論集」第 3 7 巻第 3

( 1 9 8 7 年 9

d ( P 2 e ― p t )  

p t )

‑ = 

dt 

a x  

d ( P a e

P l )  

‑ dt 

=  a p 1  

゜

^{8H2  a u 2}  

limP2e‑P1=0 

t→OO 

加

(O)=O

がすべて充たされることが必要である。

F = = s 2

+ s 1 2 r 2 b 1 2

( 6 3 )   ( 6 4 )   ( 6 5 )  

( 6 6 )  

(67)  と置いて，

( 6 5 )

U

( b

^[aFx

^{( s 1 乃ー s 2 r 1 )}

^+r1(r1+s

^{( P 2 ‑ a s 1}

^{( 6 5 ' )}  

そして(

6 3 ) , ( 6 4 )

6 5 ' )

Pz=‑qzx+p̲

+q

Q z Ps=  . . . : . . b i 2 s 2 r 2   b 1 2 s 1 r 2   a s 2

F

F

F

( 6 0 ' )

( 6 5 ' )

1  . 

u 1  =  ( b 2 ‑ b 1 ) F   [aFx+b1P

+ r 1 C s 1 b

r 1 ) C P 2 ‑ a s 1 P s ) ] ( 6 0 ° )  

( 5 9 ' )

6 0 ° )

( 6 5 ' )

( 6 3 ' )   ( 6 4 ' )  

うになる。

公 ＝ 一

F  [ s

P

(P2‑as

゜

, 9  

O l

↓

↓  

．狐

00 I 

X q

l ‑ 叩

q i

る

l

̲

ぇ 十

＋ め

︱

︱

〇 と

xpsplかP

ま

︱

︱ S l

こ

a I  

亡 [ [ ふ

F叩 F P

2方2

5F 分 釘 釘 年

F o a微

rZ Fr zF a

＋ 次 Slsz

︳

P

‑

︱ ︳  

り 立

Y

2 2

ー

r l FS zr Fa sl Fq i 

s z r F

連

r l

aを

S l

り

a a ( 6 3  

L>

︵ 一

＋び

︒︒

qlqzx

ょ 一

︱ ぉ ーq 

,

．  

︐ 

I‑︵ ︐ 

9 ,  

4 

•Pl,

6 

9 9  

饂

. x  

•Pa

•Pl

拓

(68) 

( 6 9 )  

『0)

{70)についての特性方程式を整理して間を得る（ただし入は特性根である）。

0=( えー p ) 2 , ' ! 2 ‑ ( , ' ! ‑ p )

R/F+Q/F

Q=q

q 2 a r 1 2 ( p ‑ a )

R = 2 q 1 s 1 r 2

+q2

a s 2

(p‑a)

233 

( J l )  

⑳

t 

と置く。『1)に根の公式を適用して

J . ( , l ‑ p )  =  (R‑(K: 

r

( q

,‑q

K

( 7 4 a )   え ( , l ‑ p )=(R+(K: 

r

( q

1‑q

K

( 7 4 b l  

K==(q; +as;(P‑a))

7 0 )

l1=(p‑i/

4 C 1 ) / 2 l2=(p+i/

C 1 ) / 2 la=(p‑i/

C 2 ) / 2

入

4=(p+ 

C 2 ) / 2

と導出され，特解を加えた『0)の一般解は

( i = l ,  2 )  

(76) 

X (t) 

K 。

l 

釦(t) 4  知 。

=J~=l

a;  e X J ' +  

P 1 C t )  

o 

加Ct) 知J L 

o 

(77) 

となる。ここに

{ k

k a ; ,   k l j ,   k 2 ; )

C

0 ,C2>0 

と想定すると，

入

1 6 0 ,

2 ; ; ; ; ; P , A s < O ,  

>P

閥

( 7 9 )  

( 7 7 )

a4=0でなければならない。

故に

koi=l 

(j=l, 2 ,   3 )  

2 3 4   関西大學「経清論集」第 3 7 巻第 3

( 1 9 8 7 年 9

x(t) 

= I :

:  a

> ‑ ; t +

i=l 

が得られ，また

3 

p;(t) 

= I : :  a ; k ; ; e ザ ( i =  l ,   2 ,   3 )   ( 8 2 )  

i=l 

となるが，特に加について(66)の初期条件が充たされなければならない。すな わち

加

( 0 ) = a 1 k a 1  +a2ks2+askss=O 

Xo=

+a2+aa

となる。いま仮に加(

0 )を任意に与えると

( 0 ) = a 1 k 2 1

+ a a k 2 s

( 8 1 ' )  

( 8 2 ' )  

( 6 6 ' ) ・ ( 8 1 ' ) ・ ( 8 2 ' )

a gを決定する。かくして x ( t ) , p;(t)  ( i  

1 ,   2 ,   3 )

( 6 5 ' )

( 6 0 H )

り，シュクッケルベルク戦略

u 2 C t )

U 1 ( t )

6 .  

前節で求めたオープン・ループのシュタッケルベルク戦略が，第

3

Cohen‑Michel ( 1 9 8 4 )

( 3 4 )

/ 0 )

8 3 )

)

( 8 4 )

え a  0 ‑ b i 2 / r 1  

/ r 2

゜ ^a  ゜

^{/ r 1 P a}  

か

^‑qi 

゜ ^‑a  ゜ ^{P i}  

か

^{‑q2  Q i}  

゜ ^{‑a  P 2}  

. l . 1 = ‑ r  

入2=[a吐Aげー(A2-VA社十 4A1A2)J½==r

2  1 

( 8 3 )  

(84a) 

J3=‑6 

J4=[a

A

2  1  (A

, I Ai

4 A 1 A 2 ) ]

ここに

A1=Q1

r 1 > 0 ,A

q

/r2>0

入

a<A1<0,O<A2<A4 

235 

( 8 4 b )  

(85) 

( 8 6 )  

x ( t )  =a1e

^{t  + a a e ‑ a t}  

p ; ( t )  = a 1 k ; 1

i s B ― a t ( i = l ,  2 ,   3 )  

O }

( 6 6 )

゜

=x(O)=a1 +a8  O = P s ( O )  

k s 1+ a s k s s  

a 1

a s

a 1  = k s s X o / C k s s ‑ k s 1 ) ,  a s = k s 1 X

^{/ ( k s 1‑ k s s )}  

と決まる。ここに加

( i = l ,2 ,   3 ; j = l ,  3 )

ku  q l  

,  k 2 1 =   q 2 ( l  ‑B)  ‑ A 1 k 2 1  

＝ 

r‑a  2(r‑a)  ,  k s 1 =  

q 1 ( r + a )  

知見，

^{k 2 s = q} _2(6‑a) ,  ^{2   ( 1   +  B)  k s s =}   _q ^‑ ₁ ^: ₍ ^‑ _i ^{‑ A} _l ¹ ₊ ^{k 2} _a ^s ₎    

と算定され

(B==V1+4Ai/A2),(

罰 闊

闘 闊

(91) 

( 9 2 a )   ( 9 2 b l  

.  (B‑l)xo  (B+l)x

a 1  =  2B  , aa=  2B 

となる。 (92)と(93)を用いて，シュクッケルベルク戦略は次のように確定される。

( 9 3 )  

U 1 ( t ) =

^{a t )}

叫）＝唸（竺」叫—-yt_ 『;)2 げ）

^{( 9 4 b )}  

いま

t=t

C>O)

4 9  

236  闊西大學「純清論集」第 3 7 巻第 3

( 1 9 8 7

9

巡）＝嘉

((B‑l)e

t 。 +(B+l)e‑810)

9 4 )

X oを 以t o ) ,t

t‑t

U1(t)=

^{6 ‑ r ( t ‑ t o )}

^{e ‑ 8 ( t ‑ t o ) ) ( 9 4 ' a )}  

x ( t

b 2 q 2   (B‑1)2 

u 2 ( t )  =  4 B r 2   (  (B+l)2 

r‑a  e

^{< t ‑ t o )  + .  B‑a  e ‑ a < t ‑ t o ) )}   ( 9 4 ' b )   ( 9 4 ' )

o )へ( 9 5 )

( 9 4 ' )

9 4 )

O=r  ( 9 6 )  

であることが判明する。しかし

( 8 4 )における Ai2+4A1A2

( 9 6 )

9 4 )

闊と同様の論理を使うと，第

5

( J 6 )

8 1 ) , ( 8 2 )

J 9 )

シュタッケルベルク戦略が時間非整合的となる主たる原因は，任意の再出発 時点

t

加(t。)

=O  ( 6 6 " )  

a 1

' ( 9 3 )

x

x ( t o )

( 9 4 )

U ; ( t )の中の x

x C t o )で置・

き換えられ，

t

1 4 )

B u i t e r ( 1 9 8 3 )