第 ４ 講　原子核の液滴模型 講　原子核の液滴模型

原子核物理学

第

^{講　原子核の液滴模型}

液滴模型

 電子散乱などから得られた原子核の電荷密度は次の特徴をもつ

 表面が明瞭である（原子核表面で密度が急速に減少）

 内部の密度は原子核に依らずに一定（密度の飽和性）

 Fermi の分布関数でよく記述できる

 原子核の液滴模型

 原子核の最初の模型

 原子核を非圧縮性流体（密度の飽和性から）と考える

 原子核全体の性質を記述する模型

 量子流体であるので，通常の流体の液滴とは異なる

⇒　核子は Fermi 粒子であり， Pauli Pauli 原理がはたらく原理がはたらく

　 原子核内では，核子間距離が大きく核子の衝突は稀である核子間距離が大きく核子の衝突は稀である

核子間距離

 原子核の結合エネルギーは核子数（質量数 A ）にほぼ比例する

⇒　核子は限られた個数の核子とだけ相互作用する（核力の飽和性）

全ての核子と相互作用するのであれば，結合エネルギーは A² に比例する

 原子核の半径は

 原子核を球として，１個の核子が占める体積は

　　１個の核子が占める体積を球と仮定すると，その半径は　 　　核子間距離は球の半径の２倍程度

核子間距離と原子核の結合エネルギ ー

 原子核は自己束縛（量子）多体系

 原子核は

 大きな正の運動エネルギー

 大きな負のポテンシャルエネルギー

　　のバランスによって結合している

 粒子を狭い空間に閉じ込めると運動エネル ギーは増大する

 核力の到達距離は 1.5 fm 程度であるので，

核子間距離が広がるとポテンシャルエネル ギーは急速に減少する

原子核の結合エネルギー

結合エネルギーの特徴

1. 結合エネルギー B(A,Z) は質量数 A に比例する。

　　核子あたりの結合エネルギーは，ほぼ一定。

2. 核子あたりの結合エネルギーは A = 60 付近で最大になる。

　　 A = 60 以降は単調に減少する。

3. 質量数 A を固定して，陽子数 Z 依存性をみると， Z の２次曲 線で近似できる。

4. ３．をさらに詳しく見ると，質量数 A が奇数のときは１つの２次 曲線で表されるの対して，偶数のときは２つの２次曲線で表される。

陽子数が偶数の原子核は奇数の原子核に比べて結合エネルギーがや や大きい。

5. 質量数が小さい領域では，陽子数と中性子数が同数ずつ（ Z = N ） もつ傾向がある。質量数が大きい領域でも同様な傾向があるようで

半経験的質量公式

Weizsaecker の質量公式

　　　　　　 　　　　　　 β安定線へ

１．体積エネルギー項

 流体の凝集エネルギーは流体の量に比例する

 原子核のエネルギーの場合には，最も粗い近似で，核子の数，す なわち，質量数に比例する

　 結合エネルギーの飽和性

 核子のあいだにはたらく核力は平均して引力である そのため，エネルギー E₁ には負号をつけてある

結合エネルギーには正で寄与する　⇒　結合を強める

 他の項（対エネルギー項を除いて）は全て逆符号で結合エネルギ ーに寄与する　⇒　結合を弱める

 体積エネルギー項によって，原子核は束縛系として存在できる

２．表面エネルギー項

 液滴の表面には表面張力がはたらく

 単位面積あたりの表面張力を　　　とすると，

半径が R の球状液滴の表面エネルギーは，表面張力と球の表面積の 積で与えられる：

液滴の体積が質量数に比例すると考えると

 表面エネルギーは原子核のエネルギーを増加させるので，結合エネ ルギーを減少させる

 核子は，そのまわりの核子から引力を受けている

しかし，表面にある核子は，内部にある核子からだけ引力を受ける 表面効果として，エネルギーを増加させる表面エネルギー項が現れ る

３．

エネルギー項

 半径 R の球に電荷 Ze が一様に分布していると考える

 積分の前の因子は Z 個の陽子から２個を取り出す組み合わせの数 積分を実行して

 Z ( Z – 1 ) を Z² で近似

 Coulomb エネルギーは原子核のエネルギーを増加させる

⇒　原子核の結合エネルギーを減少させる

４．対称エネルギー項

陽子数が 1 から 20 までの安定な原子核

 Coulomb 相互作用を除くと，原子核は同数の陽子と中性子をもと うとする傾向がある

　　⇒　

 中性子数と陽子数の比 N / Z が同じでも，

核子数が２倍になれば対称エネルギーも２倍になるはず 　

 この式は， Z = N のまわりに N – Z について展開して，最低次の ２次の項だけをとったもの

原子核の質量の実験データは， N – Z に比例する項はないことを 示す

５．対エネルギー項

 原子核は同種の核子を偶数個 もとうとする性質がある

 A = 奇数 の原子核の質量は１ つの２次曲線で近似される

 A = 偶数 の原子核の質量は２ つの２次曲線で近似される

 従って，次の３つの場合に応 じて

1. Z = 偶数， N = 偶数 2. Z + N = 奇数

3. Z = 奇数， N = 奇数

対エネルギー項の質量数依存性

 原子核の質量の実験値から，

対エネルギーが求められる

⇒　右図

 実験値を次の関数で近似的に 表す（右図の曲線）

 これとは異なる関数型を用い ることもある

β

安定線

 質量数が等しい原子核の中で，結合エネルギーが最大の原子核

⇒　下図の曲線（黒い四角は安定同位体）

結合エネルギーの内訳

 質量数の増加とともに，表面の効果は減少

 質量数（陽子数）の増加とともに， Coulomb エネルギー項は増大

 対称エネルギー項は小さく見えるが，この項は本来「非対称エネ ルギー」

原子核の結合エネルギー

安定な原子核　　　　　　全ての原子核

殻効果

 半経験的質量公式は，

全体として実験値をよく再現 する

 しかし，詳細に比較すると，

特徴的な違いが見られる

 質量数が小さい領域

 質量数が

　 A = 90, 140, 210 の領域

 実験値 － 質量公式 の値を，

横軸に「陽子数」，「中性子 数」をとって表すと（右図）

，違いが顕著に見える

⇒　魔法数

核物質

 対称核物質

　　核子あたりの結合エネルギー（ Coulomb エネルギーを無視す る）

 中性子物質（中性子星）

　　核子あたりの結合エネルギー