ここは導出の途中までで、まだ計量は出していません

カー解〜導出〜

軸対称に回転している場合の解を求めます。ここは導出の途中までで、まだ計量は出していません。

シュバルツシルト解のときと同じように軸対称であるという条件から求める方法(S.Chandrasekhar著「The Math- ematical Theory of Black Holes」)もありますが、ここでは別の方法で導出します。

長々と計算をしていくだけなので、途中計算がどうでもいい人は「カー解〜ボイヤー・リンキスト座標〜」を見 てください。

途中で3次元になり、ローマ文字の添え字をi= 1,2,3としています。

 シュバルツシルト解は球対称としたものですが、実際の星は自転しています。なので、軸対称に回転している場 合の解が必要になり、その解をカー(Kerr)解と言います。これは、回転する星の重力崩壊を考えるときなどにも 重要な解です。

 ちなみに、重力源が回転している解は1918年にレンスとティリングによって近似的な解が求められました。こ れはシュバルツシルト半径より大きな星に対しては十分な近似でした。しかし、ブラックホールのように強い重 力に対しては適用できません。

 ここでのカー解の導出は計算がゴチャゴチャして分かりづらいので、先に何をしてるか示しておくと 1.使用する計量の決定。

2.計量を真空のアインシュタイン方程式に入れる。

3.アインシュタイン方程式を簡単化していく。

4.求められた関係式を複素関数γ=α+iβに適用。

5.γを決定し計量を求める。

このようにして求められたカー解は、定常的で軸対称に回転する物体が作り出す空間を与えます。回転をとめれ ばシュバルツシルト解に一致します。

 カー解を求めていきます。最初に計量の形を決定させるために、シュバルツシルト解を座標変換します。座標変 換は

x⁰=x⁰+ 2mlog| r

2m −1| , r=r , θ=θ , φ=φ

dx⁰=∂x⁰

∂x⁰dx⁰+∂x⁰

∂r dr=dx⁰+ ( r

2m−1)⁻¹dr これをシュバルツシルト解に入れて

ds²= (1−2m

r )(dx⁰)²−(1−2m

r )⁻¹dr²−r²(dθ²+ sin²θdφ²)

= (1−2m

r )(dx⁰)²+ (2m)²

r(r−2m)dr²−4m

r drdx⁰− r²

r(r−2m)dr²−r²(dθ²+ sin²θdφ²)

= (1−2m

r )(dx⁰)²−r²−(2m)²

r(r−2m)dr²−4m

r drdx⁰−r²(dθ²+ sin²θdφ²)

= (dx⁰)²−dr²−r²(dθ²+ sin²θdφ²)−2m

r (dx⁰+dr)²

この座標変換したものをエディントン形式と呼びます。極座標からデカルト座標に変えて

ds²= (dx⁰)²−(dx)²−2m

r (dx⁰+xdx+ydy+zdz

r )²

(r²=x²+y²+z², dr= ∂r

∂xdx+ ∂r

∂ydy+∂r

∂ydy=xdx+ydy+zdz r

)

計量は

ds²= (dx⁰)²−(dx)²−2m r ((dx⁰)²

+x²dx²+y²dy²+z²dz²+ 2xydxdy+ 2xzdxdz+ 2yzdydz

r² + 2xdx+ydy+zdz

r dx⁰)

= (1−2m

r )(dx⁰)²−((dx²+dy²+dz²) + 2mx²dx²+y²dy²+z²dz²

r³ )

−2m r

(2xydxdy+ 2xzdxdz+ 2yzdydz

r² +2xdx⁰dx+ 2ydx⁰dy+ 2zdx⁰dz r

)

これから各成分の係数を抜き出すと

g_µν =













1−2m

r −2mx

r² −2my

r² −2mz

r²

−2mx

r² −1−2mx²

r³ −2mxy

r³ −2mxz r³

−2my

r² −2mxy

r³ −1−2my²

r³ −2myz r³

−2mz

r² −2mxz

r³ −2myz

r³ −1−2mz² r³













=ηµν−2mlµlν

l_µは

lµ= 1

√r(1,x r,y

r,z r) とし、ηµνはミンコフスキー計量で、lµlνη^µν = 0です。この計量の形

gµν =ηµν−2mlµlν

を元にして話を進めます。元にするというのはlµが未知で、mが任意定数とすることです。lµに対してはlµlνηµν = 0 という制限がかかっています。

 この段階でわかるlµの性質を求めます。lµの添え字の上付きをミンコフスキー計量によって

l^α=η^αγlγ

と与えられると定義してみると

g^µν =η^µν+ 2ml^µl^ν

これとgµνとをかけることで単位行列になるので、g^µνはgµνの逆行列です。なので、g^µνは反変計量テンソルに なっています。このことから、ベクトルlµに対する添え字の上げ下げには

l^α=g^αγlγ =η^αγlγ

として、本当の計量とミンコフスキー計量のどちらでも行えるのがわかります。これではっきりとlµは知りたい 空間でヌルベクトル(ベクトルの大きさが0)と分かります。

 他にもlµの性質として、lµlνη^µν = 0から

l^αl_α|γ =lαl_|^α_γ =1

2(l^ν_|γlν+l^νl_ν|γ) =1

2(η^µνlµlν)_|γ= 0

となっています。共変微分ではどうなってるのかも知りたいので、まずクリストッフェル記号を使って

{ α β µ

} l^µ= 1

2g^αγ(dgµγ

dx^β +dgγβ

dx^µ −dgβµ

dx^γ )l^µ

=mg^αγ(−(l_µl_γ)_|β−(l_γl_β)_|µ+ (l_µl_β)_|γ)l^µ

=mg^αγ(−l^µ(l_µl_γ)_|β−l^µ(l_γl_β)_|µ+l^µ(l_µl_β)_|γ)

=mg^αγ(−l^µ(lγlβ)_|µ)

= −ml^ν(l^αlβ)_|ν

ミンコフスキー計量の微分は0です。共変微分ではl_τをかけたものを使うので {

τ ν λ

}

l_τ=m(−l^γ(l_λl_γ)_|ν−l^γ(l_γl_ν)_|λ+l^γ(l_νl_λ)_|γ) =ml^γ(l_νl_λ)_|γ

これから共変微分は

lνl_||^ν_γ=l^νl_ν||γ=l^ν(l_ν|γ− {

τ ν γ

}

lτ) = 0 =l^νl_ν|γ

となるために、偏微分と共変微分は同じ結果になるので、どちらでも使用できます。

 今求められたlµの性質

l^α=g^αγlγ =η^αγlγ

l^αl_α|γ=lαl^α_|γ = 0

を使ってさらに計算を進めていきます。

 計量の形が決まったので、計量を真空でのアインシュタイン方程式

Rµν = {

β µ ν

}

|β

− {

β µ β

}

|ν

− {

β τ µ

} { τ β ν

} +

{ τ µ ν

} { β τ β

}

= 0

に使っていきます。

{ α ρ α

} は

{ α ρ α

}

= ∂

∂x^ρlog√

−g

で求められます。行列式gは空間回転に対して不変という性質を利用して、gを求めるために三次元空間での回転 を行います。計算を楽にするために、x軸に合わせたlµ= (a, a,0,0)という座標をとることで

g=

1−2ma² −2ma² 0 0

−2ma² −1−2ma² 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

= (1−2ma²)(−1−2ma²)−(2ma²)²

= −1 + (2ma²)²−(2ma²)²

= −1

よって、g=−1なので

{ α ρ α

}

= 0

これによってアインシュタイン方程式は

R_µν = {

α µ ν

}

|α

− {

α β µ

} { β α ν

}

= 0

右辺のクリストッフェル記号を第一種に書き換えると

R_µν = (g^αρ[µν, ρ])_|α−g^ασ[βµ, σ]g^βλ[αν, λ]

= (η^αρ+ 2ml^αl^ρ)[µν, ρ]_|α+ (η^αρ+ 2ml^αl^ρ)_|α[µν, ρ]

−(η^ασ+ 2ml^αl^σ)[βµ, σ](η^βλ+ 2ml^βl^λ)[αν, λ]

= (η^αρ+ 2ml^αl^ρ)[µν, ρ]_|α+ 2m(l^αl^ρ)_|α[µν, ρ]

−(η^ασ+ 2ml^αl^σ)[βµ, σ](η^βλ+ 2ml^βl^λ)[αν, λ] (1)

第一種クリストッフェル記号は

[βµ, σ] =m(−(lµlσ)_|β−(lσlβ)_|µ+ (lβlµ)_|σ)

このため、mのオーダによって区別でき、m, m², m³, m⁴による4つの項が現れます。そして、mは任意なので、

mの各係数は0になるべきです。

 (1)をmのオーダで分けると

• 1次：m

η^αρ[µν, ρ]_|α= 0

• 2次：m²

2m(l^αl^ρ[µν, ρ])_|α−η^αση^βλ[βµ, σ][αν, λ] = 0

• 3次：m³

l^βl^λη^ασ[βµ, σ][αν, λ] +l^αl^ση^βλ[βµ, σ][αν, λ] = 0

• 4次：m⁴

l^αl^σl^βl^λ[βµ, σ][αν, λ] = 0

この4つを見ていくことで解くべき方程式が何かわかります。ここからの計算にはlµの性質を使っていきます。

 m⁴では第一種クリストッフェル記号からわかるように左辺は普通に0になるので、目新しいことは起きません。

 m³では途中式を書くと分かりづらくなるので、ここでは結果だけ示して(導出は「途中式」を見てください)

−l_µl_ν(v^αv_α) = 0 (v^α=l^βl^α_||β=l^βl^α_|β)

よって、0になるためには

v^αv_α= 0

となり、v^αはヌルベクトルです。そして、v^αはlνとの内積をとると

v^νlν= (l^αl^ν_|α)lν=l^α(l^ν_|αlν) = 0

このことから、v^νとlνは直交しています。さらに、vとlはヌルベクトルなので

l^ν = (|l|,l) , v^ν = (|v|,v)

このように書けます。l,vは3次元ベクトル、|l|,|v|はベクトルの大きさです。v^νの添え字の上げ下げもミンコフ スキー計量によってできます。このように書けるのも

l_µl_νη^µν = 0 , v_µv_νη^µν = 0

であるためです。このことから

l^νv_ν=|l||v| −(l·v) =|l||v|(1−cosθ) = 0 (cosθ= l·v

|l||v|)

つまり、cosθ= 1になるので、lとvは平行です。そして、l0, v₀はそれの絶対値でしかないので、v^νはl^νに適 当な係数をつけて

v^ν =−A(x)l^ν

A(x)はスカラーです。この関係がm³の式から導かれる結果で、これ以降の計算で使っていきます。

 次にmの式を見ます。これは

η^αρ[µν, ρ]_|α=η^αρ((lνlρ)_|µ|α+ (lρlµ)_|ν|α−(lµlν)_|ρ|α) = 0

ここでスカラーLを

L=−l_||^α_α=−(l^α_|α+ {

α α τ

}

l^τ) =−l^α_|α

と定義します。これとダランベルシャン□= (∂/∂x⁰)²− ∇²と、m³の式から求められたvµでの

v_ν =l^αl_ν|α

v_ν|µ=l^α_|µl_ν|α+l^αl_ν|α|µ=−A_|µlν−Al_ν|µ

を使うことで、mの式は

(lνl^α)_|µ|α+ (l^αlµ)_|ν|α−(lµlν)^|_|^α_α= 0

□(l_µl_ν) = (l_ν|µ|αl^α+l_νl^α_|α|µ+l_ν|µl_|^α_α+l_ν|αl_|^α_µ) + (l^α_|α|νl_µ+l^αl_µ|ν|α+l_µ|νl^α_|α+l_µ|αl^α_|ν)

= (v_ν|µ−l_|^α_µl_ν|α−lνL_|µ+l_ν|µl_|^α_α+l_ν|αl_|^α_µ) + (−L_|νlµ+v_µ|ν−l^α_|νl_µ|α+l_µ|νl_|^α_α+l_µ|αl^α_|ν)

= (v_ν|µ+l_ν|µl^α_|α−lνL_|µ) + (−L_|νlµ+v_µ|ν+l_µ|νl_|^α_α)

= (vν|µ−lν|µL−lνL_|µ) + (−L_|νlµ+vµ|ν−lµ|νL)

= (−A_|µl_ν−Al_ν|µ−l_ν|µL−l_νL_|µ) + (−L_|νl_µ−l_µ|νL−A_|νl_µ−Al_µ|ν)

= −((A+L)l_ν)_|µ−((A+L)l_µ)_|ν

として、簡単な形になります。

 m²の前にmを見てきたのには理由があり、もしlµがこのmの式を満たすなら、m²の式も同時に満たすこと が分かるからです。このことを見るために、m²の式を今までと同じように展開します。展開した結果だけを示す とm²の式は(「途中式」参照)

2(l^αA)_|α−A²+l^α_|βl^β_|α−l_|^α_βl_α^|β = 0 (2) となります。この式をさらに変形させていきます。第三項は

l^α_|βl^β_|α= (l_|^α_βl^β)_|α−l_|^α_β|αl^β=v_|^α_α+L_|βl^β=−(Al^α)_|α+L_|βl^β= [Ll^α−Al^α]_|α−Ll^α_|α= [(L−A)l^α]_|α+L²

また、第四項は

l_|^α_βl_α^|β= (l^αl^|_α^β)_|β−l^αl^|_α^β_|β =−l^αl^|_α^β_|β (3) これに対してmの式を利用します。つまり、mの式が成り立っているという前提で話を進めます。まずmの式は

−(l^|_µ^α_|αl_ν+l_µl^|_ν^α_|α+ 2l_µ|αl^|_ν^α) =(

(A+L)l_ν)_|µ+ ((A+L)l_µ)

|ν

=(

(A+L)_|µl_ν+ (A+L)l_ν|µ) +(

(A+L)_|νl_µ+ (A+L)l_µ|ν)

= (A+L)_|µl_ν+ (A+L)_|νl_µ+ (A+L)(l_ν|µ+l_µ|ν)

これにl^µをかけて

−l^|_µ^α_|αl_νl^µ= (A+L)_|µl_νl^µ+ (A+L)l^µl_ν|µ

= (A+L)_|µlνl^µ−(A+L)Alν

内積の外にいるl^νを消して

−l_µ^|α_|αl^µ = (A+L)_|µl^µ−(A+L)A

= ((L+A)l^µ)_|µ−l^µ_|µ(L+A)−A(L+A)

= ((L+A)l^µ)_|µ+L²−A²

この結果を利用することで、(3)は

l^αl_α^|β_|β=L²−A²+ ((L+A)l^µ)_|µ

そうすると、(2)は

2(l^αA)_|α−A²+ [(L−A)l^µ]_|µ+L²−L²+A²−[(L+A)l^µ]_|µ

= 2(l^αA)_|α+ (L−A)_|µl^µ+ (L−A)l_|^µ_µ−(L+A)_|µl^µ−(L+A)l^µ_|µ

= 2(l^αA)_|α−2Al^µ_|µ−2A_|µl^µ

= 2(l^αA)_|α−2(l^µA)_|µ

= 0

となり左辺が0になります。このようにmの式が満たされているなら、m²の式も満たされています。なので、結 局考えるべきアインシュタイン方程式はmの式だけです。

 よって、解くべき方程式はlµに対する

□(lµlν) =−((A+L)lν)_|µ−((A+L)lµ)_|ν (4)

ここで計量は時間独立という条件を加えます。そして、lµは

lµ =l0(1, λ1, λ2, λ3)

と書くことにします。λjはλ²= 1です。

 µ, νで場合わけします。時間独立という条件から、時間微分は0になり

• µ=ν = 0

∇²(l²₀) = 0 (lµlµ=l²₀) (5a)

• µ= 0, ν=j̸= 0

∇²(l₀²λj) = ((L+A)l0)_|j (lµlj=l₀²λj) (5b)