数学II（理系コア）（原；http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/˜hara/lectures/lectures-j.html）
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————————————————— 期末試験について —————————————
第４回，５回のレポートが難しかったせいもあって，みなさん，かなり不安を感じているようですね．不安解消 になるかどうかはわかりませんが，いくつかのコメントをしておきましょう．
• 第４回，第５回のレポートは意図的に難しくしたものであって，期末試験には難しすぎる．だから，このよう な問題が解けなくても十分に期末試験の合格基準には達する．ただ，できれば，レポート問題の解答例を理解 する努力はしてほしい．
• それよりも，第１，２，３回のレポート問題（²-δ とかコーシー列の基本的な問題とか）が重要である．だか ら，先ずは第１，２、３回のレポート問題ができるように， （特に第１，２回ができるように）なって下さい．
• コーシー列が鬼門であることは講義の中でも強調した．実際，今回のレポート問 9 を採点していても，コー シー列の定義がアヤフヤな人が散見された．少なくとも「{ a
n} がコーシー列である」ことを示すには何を示 すべきかがきっちりわかっていることが非常に大事だ．
• これだけだとちょっと不親切かもしれないから，出来てほしい参考問題については，以下に付け足してみま した．
期末試験に向けての，参考問題は以下の通りです．以下はあくまで参考であり，これらとかけ離れた問題も出しま す！ただ，基本として以下を押さえておくことは必要でしょう，ということです．
• この講義のレポート問題，特に第１，２，３回のもの．
• 昨年の数学科向け「微分積分学・同演習 A」のレポートの問題，特に問 4〜問 12． （この講義の web page に リンクしておきました）これらは解答例も載せていますから，参考にして下さい．
• コーシー列についてはそれほど問題を貯めていませんが，上のレポート問題や下の参考問題などで，収束する 数列がコーシー列になっていることを自分で証明してみると良いと思います（この講義のレポート問題の第３ 回のノリで． ）
以下の問題には解答はついていませんが，参考までに載せます（これらは昨年度の数学科向け微積の参考問題）．少 し捻ったものもあるから，すべてが出来なければならないということはありません．
問題 3.8.3 以下の数列が n → ∞ で何に収束するのか（しないのか），よくよく納得すること．その場合，N(²) が
どのようにとれるのかを明示することが大切だ（いうまでもなく，n = 1, 2, 3, . . . である）．
a
n= 3, b
n= 1
n , c
n= 1
√ n , d
n= 1
n
2+ 1 (3.8.1)
e
n=
1 （n が 10, 10
2, 10
3, 10
4, 10
5, 10
6, . . . のとき）
0 （上以外のとき）
(3.8.2)
もう少し複雑な例も挙げておくから，考えてみよう（n → ∞） ： f
n= n + 3
n , g
n= sin n
n , h
n= √
n + 1 − √
n, p
n= 2n + 1
n + 1 , q
n= 1
log(n + 1) (3.8.3)
具体的計算に少し慣れたら，以下のほとんどアタリマエに見える性質を ²-N を用いて証明しよう．
問題 3.8.4 極限に関する以下の性質を ²-N 論法を用いて厳密に証明せよ．
• lim
n→∞
a
n= α, lim
n→∞
b
n= β のとき， lim
n→∞
(a
n+ b
n) = α + β.
• lim
n→∞
a
n= α, lim
n→∞
b
n= β のとき， lim
n→∞
a
nb
n= αβ.
• lim
n→∞
a
n= α, lim
n→∞
b
n= β （β 6 = 0）のとき， lim
n→∞
a
nb
n= α
β . この問題では分母の b
nがゼロになるかどう
か，少し気になるところだ．実際，ある m では b
m= 0 となるような数列 { b
n} もあるのだが，それでもこの
性質が成り立つと言えるだろうか？
数学II（理系コア）（原；http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/˜hara/lectures/lectures-j.html）
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問題 3.8.5 以下の極限を，定義に従って求めよ（極限は存在しないかもしれないよ）．極限が存在する場合は，δ(²)
をどのようにとれば良いのか，明記する事．
1) lim
x→0
x, 2) lim
x→0
(
x
2− 2x + 3 )
, 3) lim
x→1
(
x
2− 2x + 3 )
. (3.8.4)
もうちょっとひねった例（a > 0 は定数） ：
4) lim
x→0
1
1 + x , 5) lim
x→1
x
2− 1
x − 1 , 6) lim
x→0
sin 1
x , (3.8.5)
7) lim
x→a
x
3− a
3x − a 8) lim
x→0
√ 1 + x − √ 1 − x
x 9) lim
x→0
√ | x | (3.8.6)
問題 3.8.6 f (x) を以下のように定めるとき，極限 lim
x→0
f (x) は存在するか？存在するならその値と収束証明を，存 在しないならその理由（収束しないことの証明）を ²-δ 論法の定義に基づいて述べよ．
f (x) :=
0.001 （x = 10
−1, 10
−2, 10
−3, 10
−4, . . . ） x （上以外のとき）
問題 3.8.7 lim
x→a
f (x) = α かつ lim
x→a
g(x) = β の時， lim
x→a
{ f (x) + g(x) }
= α + β と lim
x→a
