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M

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B (H)

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M

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M

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M

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M

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a ∈ A

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δ a (x) = [a, x] = ax − xa x ∈ A

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A

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2 , δ _Im (x) := δ(x) − δ(x ^∗ ) ^∗

2i , x ∈ A.

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M

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(3)

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ø

{ a _n } ^∞ n=1 ⊂ E

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a = a ^∗ k a _n k ^E → 0

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k δ(a n ) − a k ^E → 0

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n → ∞

møó

a = a ₊ − a ₋

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ü5üö$ô ó$ôÍü"û ü,!

a

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a ₊ , a ₋ ∈ E a ₊ , a ₋ > 0

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a ₊ a ₋ = 0

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a ₊ 6 = 0

ü"ó7ø$÷côÍöø^÷Tø

ü"û7ö$ô>ø

ó7øZöø1J7øû

ø

{− a n } ^∞ n=1

7fô û

ø

a ∈ E

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p ∈ M

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^!ªü

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λ > 0

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a _n

^{÷cô ó}

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^÷Tø ¹ ^"ööØø

pap > p

^kKøû ø*!ªü<öüØøKü5ø+óü

c ∈ M

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bD7øøS,øJó`÷Tü;5üöö$ôùÍø

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(i)

bD7øøÃøCB(ôÍö$óö&+û)+óü

0 6 = q ∈ P ( M )

^ö ^uó+ó

q 6 p

(ii)

bD7øJù++ó$ó$ô

ø

P ( M )

üøBö<û7ü"ó

ü"ûó+ô û +óüØö

q 6 = 0

^ö ^uó+ó

q 6 p

]`ûó7ø

"öø

(i)

^÷Tø1ø

q ∈ E

^+û

q 6 qaq

^{fô û} ^ø

q

ôÍöS+û/+óü-ô ó3!ªü"ù ùÍü-÷ö

qa _n q = λ _n q

λ _n ∈ C

^+û ÷TøØôØø1(ô++óøù/ø18

øÂó+ó

lim _n→∞ λ _n = 0

^!'ü ó7øU"öö5ó$ôÍü"û

k a _n k ^E → 0

fô û

ø

δ(qa _n q) = δ(q)a _n q + qδ(a _n q)) = δ(q)a _n q + qδ(a _n )q + qa _n δ(q)

ô óD!ªü"ù ùÍü-÷öó+ó

k δ(qa _n q) − qδ(a _n )q k ^E 6 2 k δ(q) k ^M k a _n k ^E → 0,

s n → ∞ ,

+û

q 6 qaq = k · k ^E − lim

n→∞ δ(qa _n q) = k · k ^E − lim

n→∞ δ(λ _n q) = δ(q) lim

n→∞ λ _n = 0.

bDôÍö

ü"ûó(ô

óö^÷cô óuó7øS"öö5ó$ôÍü"ûuó+ó

q 6 = 0

]`ûuó7ø

"öø

(ii)

4ó7øøøCB(ôÍö$óö&5+ô$÷côÍöøü$ó7üü"û+ù6öø1J7øû ø

{ e _n } ^∞ n=1 ⊂ P ( M )

^ö ^õó+ó

0 6 = e _n 6 p

^{!ªü+ù ù}

n > 1

\jVùÍø ,$ù*÷TøU1ø

{ e _n } ^∞ n=1 ⊂ E

^+û

e _n ae _n > e _n

^!ªü+û ^û+ó+ù

ûSø

n ∈ N

^møó

{ m _n } ^∞ n=1

øI+ûgöø1J7øû

øÃü,!@5üö$ô ó$ôøZô ûóøøöKö

uó+ó

m _n > (2n + 1)/ k e _n k ^E , n > 1.

E@"öö$ô ûØóüyö7öø1J7øû

øJô!6û7ø

øBöö,*(÷Tø$1-"ööØøJ÷cô ó7üóùÍüööü,!@øû7ø+ù ô ógó+ó

k a n k ^E < m ⁻¹ _n 2 ⁻ⁿ , k δ(a n ) − a k ^E < m ⁻¹ _n

(4)

+ûgó+ó

k a _n k ^E < 2 ⁻¹ nm ⁻¹ _n k δ(e _n ) k ⁻¹ M

÷67øû7øø

n > 1

^ôÍöö ^uó+ó

δ(e n ) 6 = 0

7møó:7ö:ø27û7øS+ûõøùÍøØøûó

c :=

X ∞ n=1

m _n e _n a _n e _n ∈ E

÷67øø<ó7øcöø$ôÍøBö

ü"ûøøBöô ûyó7ø<û7ü

k·k ^E

^{"ö$ô û} ^øT÷TøD1ø

k m n e n a n e n k ^E < 2 ⁻ⁿ

^5@ ø<ô ûóøûyóü üó+ô û

ü"ûó(ô

ó$ôÍü"ûUHö7ü-÷cô ûÃó+ó\ó7øcû7ü

k δ(c) k ^E

ôÍöù+,ø\ó+ûU+ûP5üö$ô ó$ôøcô ûóøø

n

]`ûøBø1 2B(ô ûÂö

n > 1

^(÷Tø$1ø

k δ(c) k ^E > k e _n δ(c)e _n k ^E

^+û

k e _n δ(c)e _n k Ê = k δ(e _n c)e _n − δ(e _n )ce _n k Ê = m _n k δ(e _n a _n e _n )e _n − δ(e _n )e _n a _n e _n k Ê

= m _n k e _n δ(e _n a _n e _n )e _n k ^E = m _n k e _n δ(a _n )e _n + e _n δ(e _n )a _n e _n + e _n a _n δ(e _n )e _n k ^E

> m _n k e _n (δ(a _n ) − a)e _n + e _n ae _n k Ê − m _n k e _n δ(e _n )a _n e _n k Ê − m _n k e _n a _n δ(e _n )e _n k Ê

> m _n ( k e _n ae _n k Ê − k e _n (δ(a _n ) − a)e _n k Ê ) − 2m _n k a _n k Ê k δ(e _n ) k ^M

> m _n ( k e _n ae _n k Ê − k δ(a _n ) − a k Ê ) − n > m _n k e _n ae _n k Ê − 1 − n > m _n k e _n k Ê − 1 − n > n.

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( E , k · k ^M )

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k δ k = k δ k ( E ,k·k E )→( E ,k·k E )

5

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( E , k · k ^E )

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p x 6 = 0

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0 < ( k δ(x) k ^M − ε)p _x 6 | δ(x) | p _x

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p _x ∈ E

^+û

| δ(x) | p _x = (p _x | δ(x) | ² p _x ) ^1/2 = (p _x δ(x) ^∗ δ(x)p _x ) ^1/2 = | δ(x)p _x | .

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k · k ^E

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( k δ(x) k ^M − ε) k p _x k Ê 6 k δ(x)p _x k Ê = k δ(xp _x ) − xδ(p _x ) k Ê 6 k δ(xp _x ) k Ê + k xδ(p _x ) k Ê 6 k δ(xp x ) k Ê + k x k ^M k δ(p x ) k Ê 6 k δ kk xp x k Ê + k x k ^M k δ kk p x k Ê

6 k δ kk x k ^M k p _x k Ê + k x k ^M k δ kk p _x k Ê = 2 k δ kk x k ^M k p _x k Ê ,

ó+óôÍö

( k δ(x) k ^M − ε) k p _x k ^E 6 2 k δ kk x k ^M k p _x k ^E .

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k p x k ^E

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k δ(x) k ^M 6 2 k δ kk x k ^M .

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(5)

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x ∈ E

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M

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P ( M )

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C _∞ (Q, C )

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M

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E

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∗

1

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1

2

3

δ : M → M

M

δ(x) := δ a (x) = [a, x] = ax − xa

x ∈ M

a ∈ M

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K (H)

C ∗

C ∗

B (H)

H

δ : K (H) → K (H)

a ∈ B (H)

δ(x) = [x, a]

x ∈ K(H)

δ : E → E

E ⊆ K (H)

∗

M

M

E

∗

M

δ : E → E

E

a ∈ M

δ(x) = [x, a]

x ∈ E

δ

∗

C ∗

A

A

∗

B (H)

H

M = A wo

A

B (H)

A = K (H)

H

M = B (H)

δ

A

a ∈ B (H)

δ(x) = [a, x]

x ∈ K (H)

K (H)

B (H)

E 6 = K (H)

∗

C ∗

( E , k · k E ) ⊆ K (H)

H

δ : E → E

E

δ

k · k E

E

a ∈ B (H)

δ(x) = [a, x]

x ∈ E

M

∗

E

M

∗

E

k · k E

k axb k E 6 k a k M · k x k E · k b k M

x ∈ E

a, b ∈ M

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C ^∗

C ^∗

C ^∗

M = A ^wo

C ^∗

( E , k · k ^E ) ⊆ K (H)

k · k ^E

k · k ^E

k axb k ^E 6 k a k ^M · k x k ^E · k b k ^M

( E , k · k ^E )

k·k ^E

( E , k · k ^E )

a ∈ E ^wo

k a k ^M 6 k δ k ^E → E

P ( M ) = { p ∈ M : p ² = p = p ^∗ }

δ _a (A) ⊆ A

δ _a

δ(x ^∗ ) = δ(x) ^∗

δ _Re(x) := δ(x) + δ(x ^∗ ) ^∗

2 , δ _Im (x) := δ(x) − δ(x ^∗ ) ^∗

δ _Re

δ _Im

δ = δ _Re + iδ _Im