高等学校数学科における授業改善に関する実践的研究

(1)

BulletinofFacultyofEducation,NagasakiUniversity:Cu汀iculumandTeachingNo.41(2003)15‑28

高等学校数学科における授業改善に関する実践的研究

平岡賢治 * 梅野呂高 **

(平成

1 5

年

3

月

1 4

日受理)

APr a c t i c a lSt ud yo nt heI mp r o v e me n to f Ma t he ma t i c sLe s s o nsi nHi g hSc ho o l

Ke n j iHi r a o ka

*

■Ma s a t a ka■ Ume no

^{* *}

(ReceivedMarch14,2003)

1

̀はじめに

高等学校では｢生きる力｣｢数学的活動｣｢創造性の基礎を培う｣などをキーワードとする新学習指導要領によるカリキュラムが平成

1 5

年度から実施される01)筆者の一人 **は, 教職

1 0

年目を迎え｢もっといい授業をするには, どうすればいいのだろうか｡｣という悩みを日々抱き続けている｡毎日の授業では,生徒から考え方を引き出すというよりも,教師側から一方的な教え込みになりやすい｡例えば,新しい定理や公式の教授,■問題演習など,知識の伝授や技術の習熟が中心になる｡｢これではいけない

/ ｣

と考え始めたのは, 前任校で進路指導を担当したときであった｡就職担当として企業の方との話し合いの中で, 授業に対する考え方が変化してきた.数学の問題が解けるだけの授業七はなく,一人ひと

りの進路や卒業後の人生を見据えた生涯学習としての授業を考えるようになった｡それはちようど新学習指導要領の数学科の目標と一致しているように感じたものである^｡2)

われわれは,授業改善の方策として次の2つの観点から考察することとする｡

1つめは,｢生徒たちが自ら考え問題解決を行う｣の視点に立ち,｢問題解決学習｣を具体的に実践を行う｡

2

つめとして,生徒たちが自ら考えていくためには,授業での生徒一人ひとりの考え方がどのようになっているのか,それに伴う活動は何を行っているのかを理解し,把握する｡そのため,授業構成では生徒たちに数学的な考え方を促す教材の扱いについて考察し,工夫する土とが必要であると考えた｡ところで,新学習指導要領には, 上記の

2

つを実践するものとして｢数学的活動｣が取り入れられている｡本稿では,この

｢数学的活動｣について考察するとともに,｢問題解決学習｣の観点から授業構成を考える｡

すなわち,｢問題解決学習｣と｢数学的活動｣をあわせた授業構成を行うことにより授

*長崎大学教育学部数学教育講座 **長崎県立長崎東高等学校

(2)

業改善が行われ,生徒一人ひとりの考え方を捉えることができ,また学習とともに変容する生徒の姿を授業全体の中で考察し,把握することを通して学習の意義を実感させることができると考えている｡

2

｢間違解決学習｣について

G. Po l ya

は『いかにして問題をとくか』において,問題解決の過程を次の

4

段階に分類している｡3)

･理解 :問題を理解すること｡

未知のものは何か｡条件は未知のものを定めるのに十分であるか｡図をかけ｡

適当な記号を導入せよ｡条件の各部を分離せよ｡それをかき表すことができるか｡

･計画 :計画を立てること｡

前にそれを見たことがないか｡似た問題を知っているか｡その結果を使うことができないか｡その方法を使うことができないか｡役に立つ定理を知っているか｡もっとやさしくてこれと似た問題はないか｡もっと一般的な問題は ? もっと特殊な問題は ? 条件の一部を残し他を捨てよ.そうすればどの程度まで未知のものが定まり, どの範田まで変わりうるか｡

･実行 :計画を実行すること｡

解答の計画を実行するときに,各段階を検討せよ｡その段階が正しいことをはっきりとみとめられるか｡

･検討 :振り返ってみること｡

結果 (議論)をためすことができるか｡結果を違った仕方で導くことができるか｡それを一目のうちに捉えることができるか｡他の問題にその結果や方法を応用することができるか｡

問題解決においては,問題の意味を理解することから始まる｡すなわち,条件は何か, わかっているものは何か,求めるものは何か,などをはっきりさせることが必要である｡

そして,これらのものの関連について考察したり,文字や計算,グラフ化や図示などを通して,既知と未知のものの結びつきを把握することが,解決のためのストラテジーを模索することになる｡次に,このストラテジーの決定が問題解決の計画をたてることになる.

これに基づいて計画を実行し求めた解答が正しいかどうかの判定を行うことになる｡さらに,その結果や方法を何か他の問題に活用できるか,条件を変えることにより新たな問題を作ることができ,新しい｢問題解決学習｣をスタートさせることも可能になる｡

ところで,われわれは算数･数学科の授業を｢問題解決学習｣の観点で授業構成を行う場合,/晋虜J,胤の

2

つの段階に視点を当てることが大変重要であると考えている｡

算数･数学科の授業では,導入時に具体的な教材を教師が提示し,その教材の持つ算数･数学的な性質や課題を生徒一人ひとりが｢理解｣を深めれば深めるほど

,

｢計画｣,｢実行｣

の段階に至るまでのストラテジーになると考えることができる｡それはより具体的な教材であればあるほど,教材の算数･数学的な課題を考えることが可能になる｡生徒たちが自

ら積極的に考察することにより,一人ひとりがその問題について｢知っていること｣｢似

(3)

平岡･梅野 :高等学校数学科における授業改善に関する実践的研究 17

ている問題｣など既習の知識や数学的な考え方などを発表し,コミュニケーション活動を通して問題の意味を理解することになる｡と同時に,発表された意見や考えを理解することを通して｢計画｣

,

^{｢実行｣という}

G. Po l y a

の

3

つの段階をあわせて行っていると考えることができ,われわれはこのことを新しく鳳と定義する｡

次に,傾討｣の段階は,提示された具体的教材を｢知っていること

｣

^｢^{似ている問題｣}

など他の生徒の｢理解｣と比較しながら異なる内容や疑問,考え方の違いなど新たな課題を抱くことで,授業のねらいに一歩近づけることができる｡このとき, 自分の考えを他の生徒の考えとともに振り返りることによって,生徒一人ひとりの問題からクラス共通の新しい問題が生まれてくる｡このように一人ひとりの考えが深まり,同時に問題が具体例から数学化されることになり,具体的教材から数学的問題に課題を変化させることができる｡

そして,新たな /普

軌

の段階を生じさせ,数学化された問題の /晋

鳳

/が問題解決のために必要となる｡授業はこのように展開されていぐことによって,生徒たちが自ら問題解決を目指して取り組む授業へと変化することになると考える｡

すなわち,われわれの｢問題解決学習｣の考え方を図式で表すと次のようになる0

｢理解｣｢計画｣｢実行｣

＼＼､1＼ノ /

摺廟リ

｢検討｣

ー＼､｣､､〜 /

｢検, yJ ,

｢問題解決学習｣では,具体的教材,数学化した課題,解決した課題の教材への適応などの鳳の段階で,

G. Po l ya

のストラテジーを深く行っていくことは,生徒が自ら問題解決を行うために非常に有効であると考えている. さらに,｢検討｣の段階では胤の段階で創り出した課題を新たな視点から考察し,.新たな課題の鳳へとつながっていくことが授業展開になると考えている｡このように授業では

,

｢問題解決学習｣の摺

腐り

と｢検討

｣

の段階を繰り返すことにより,具体的教材から数学化された新たな問題

を創り出し,授業のねらいを達成して新しい知識を獲得することができると考えている｡4)

われわれは,授業構成において｢問題解決学習｣の /晋

MJ

と r検.

yJ ,

に焦点を当てて, 教材の具体化とその分析,授業のねらいの明確化,生徒の既習の知識の内容分析,●そこで使われているストラテジーの考察などを行い,授業実践を通して授業改善の方法を研究す

る｡このことより,本稿における･｢問題解決学習｣を次のように定義する｡

｢問題解決学習｣とは具体的な問題について

,

^個

展J

と｢検討

｣

を繰り返しながら

3 ･

｢数学的活動｣について

平成14年度から小･中学校において,平成15年度から高等学校において学年進行で新学習指導要領のもとで授業が始まる｡それによると,高等学校数学科の目標は,小学校及び

(4)

中学校の目標との一貫性を一層図るとともに,生徒の発達段階に応じた適切かつ効果的な学習が行われるように配慮されている｡

小学校算数科及び中学校数学科の目標は次のように示されている^｡5,6)

く小学校算数科)

数量や図形についての算数的な活動を通して,基礎的な知識と技能を身に付け, 日常の事象について見通しをもち筋道を立てて考える能力育てるとともに,活動の楽し

(中学校数学科)

数量,図形などに関する基礎的な概念や原理 .法則の理解を深め,■数学的な表現や処理の仕方を習得し,事象を数理的に考察する能力を高めるとともに,数学的活動の

高等学校数学科の目標は,小学校及び中学校の目標を踏まえて,次のように示されている｡

数学における基本的な概念や原理 .法則の理解を深め,事象を数学的に考察し処理する能力を高め,数学的活動を通して創造性の基礎を培うとともに,数学的な見方や

今回の学習指導要領改訂で強調されていることは

,

｢数学的活動を通して創造性の基礎を培う｣ということである｡これは小学校の

｢

(算数的)活動の楽しさ (に気付き

) ｣

と, 中学校の｢数学的活動の楽しさ (を知り)｣の表現に対応しており,各学校段階における算数的活動や数学的活動を授業の中に取り入れ｢生きる力｣の育成を目指したものであ

る｡

高等学校学習指導要領解説数学編によると｢数学的活動｣の具体的内容を次のように述べている｡

数学的活動については,観察,操作,実験 .実習などの外的な活動と,直観;類推

｢数学的活動｣とは,今回の改訂において新しく用いられた文言である｡今までも数学科の学習指導上,その趣旨は問題解決能力や考える力の育成などとして重要視されてきたが,今回の改訂のキーワード｢生きる力｣に対応して算数･数学科の具体的目標として導入されたものであると考えられる｡

ところで,

Ke i t hDe vl i n

は

『 TheFo urFa c e so fMa t he ma t i c s 』

の中で次のように述べている｡7)数学科の授業では, とかく計算や形式的な推論,問題解決が強調される場合が多い｡もちろんこれらは大切であるが, これらを含めた次の

4

つの視点から捉えることが重要である｡

(5)

平岡･梅野 :高等学校数学科における授業改善に関する実践的研究′

1 9

･数学とは計算であり,形式的な証明であり,･問題解決である｡ (数学的な考え方)

･数学とは知るための方法である｡ (既知の数学的な知識)

･数学とは創造の手段である｡ (獲得する創造性)

･数学の活用 (他のものへの活用)

この視点に立つと,数学科の授業構成の中で｢数学的活動｣を誘発する要因として次の

4

つ要因を考えることができる｡すなわち,｢数学的な考え方｣,｢既習の知識｣,｢創造性の基礎｣,｢数学の活用｣である｡具体的な教材,数学化した課題,解決した課題の教材への適応など /賓

腐り

と｢検.

yJ ,

の段階で生徒一人ひとりの思考活動を捉えることが可能になると考えている｡さらに,授業構成においては,外的および内的な｢数学的活動｣の場面を想定することが容易になってくる｡これらの

4

つの要因は生徒が数学的考察をする時に相互に関係しあいながら｢数学的活動｣を誘発する要素であると考えることができる｡8)

生徒一人ひとりの考え方･能力というものは当然異なるものである｡われわれは, 1時間の授業の中で,生徒が考えを深め,その時間で獲得していく知識が形成される授業構成を設定し,実践,分析をしていくことが,その時間の目標を明確にし,授業改善につながると考えた｡

4

授業構成について

われわれは授業構成において,｢問題解決学習｣と｢数学的活動｣を次のように捉えている｡

クラス全体の思考の流れ方に視点をあてた｢問題解決学習｣,生徒一人ひとりの個..

授業では導入問題として具体的な問題を示し, この問題を /理解

J

L,傾

計̲

/することで数学化を行う｡この段階をわれわれは第 1水準と呼ぶことにする｡次に,数学化された新しい問題を解決するために次の摺

鳳

ノのストラテジーが始まる｡そして,｢検

京U

のストラテジーで具体的な問題と数学化された問題との関連を考察する｡これを第

2

水準という｡そして,問題を条件や見方を変えることによって,新しく得ることができた定理や公式などの考え方について振り返ることになる｡このことによって,生徒一人ひとりの数学的考察が深まることになる｡つまり,

3

回目の鳳と｢検討

J

が行われる｡これをわれわれは第

3

水準という｡

(6)

このようにして｢問題解決学習｣では授業の中に

3

つの水準を設定することにより,

1

時間の授業構成を行う｡これは図形学習における

va nHi e l e

の｢学習水準理論｣9)を 1時間の授業に適用したものである｡後で実践例を示すように具体例,数学化された内容,数学的な考察の授業内容によって,

3

つの水準を設定している｡

I 水

準 ^[③理解2 l l @

^⑤理解

鮒 2 3l J l ⑥ 検討 3

l ①理解

1

^l

l

^{◎ 検討}

¹

^l

導入展開 1 展開

2

まとめ

(1

)導入 :①理解 1‑具体的な問題について,何をやろうとしているのかを既習の知識をもとに理解する｡

(2)展開1:②検討 1‑具体的な問題を変化させることによって,新たな問題を作る｡

〜③理解2‑新たな問題について,数学的な見方や考え方によって理解を深める｡

(3

)展開

2

:④検討

2

‑･さらに条件や見方を変えることによって課題を発展させていく｡

〜⑤理解

3

‑新しい課題を通して,新しい知識を獲得し理解していく｡

(4

)まとめ :⑥検討

3･

‑獲得した新しい知識を他のものへ活用できないか検討する｡

われわれの｢問題解決学習｣の授業は,次のような授業展開を考えている｡

第 1水準として,具体的な問題が教師側から提示し,生徒たちはそれぞれに問題解決の過程を行うことによって,それぞれの課題をもつ｡

第

2

水準として,それぞれの課題を数学化するために,新たな問題へと置き換えることによって生徒の思考水準が上がる｡その新たな問題をクラス全体の共通の問題として,問題解決の過程を行う｡

第3水準として,第2水準で導かれた考えを基に,他の考え方はないのか,別のものに用いることはできないのか,具体例との関連などについて,さらに深く考えていく必要がある｡そこで,新たな問題へと置き換えることによって理解を深めていく｡この時に生徒の思考水準が上がり,

3

回目の問題解決の過程を行うことによって解決がなされる｡

次に,｢数学的活動

｣

を誘発する

4

つの要因｢数学的な考え方｣｢既習の知識｣｢創造性の基礎｣｢数学の活用

｣

の観点から各過程で生徒の思考活動を考えることが重要である｡

われわれは学習指導案を作成するに当たって, これらの活動を明確にするために次の記号を導入する｡

知識創造

三 ̲‑il=

なお,数学的な考え方はその都度用いた活動として,中に書き込んでいく｡10･11)

(7)

平岡･梅野 :高等学校数学科における授業改善に関する実践的研究

2 1

5

実践例 (数学 Ⅰ :数と式の分野より) ゝ

1.項目

▲

(x

+

y)nの展開式

2.

ねらい

本時では,整式の加法･減法と乗法のまとめとして, (Ⅹ+ y)nの展開式について考えていく｡

既に,生徒た.ちは

n.

‑ 2, 3の場合, (x+ y)2, (Ⅹ+y)3の展開公式は学習しており, また因数分解の学習も終わって,計算練習を十分に行った後の授業である｡この単元の導入では,生徒たちが中学校で習ってきた (x+ y)2について,正方形の面積を用いながら展開式の意味を考えさせる授業を行った｡また,高等学校において学習する (x+y)3

･についても,同様に体積へと考えを深めていくことによって,生徒たちが公式の意味を考えていく授業を行った.12.･13)

式の展開や因数分解の授業では,いかに生徒がこれらの公式を暗記して活用できるよう

･になるかが焦点になりやすい｡その結果,どうしても生徒は公式の暗記中心?学習になり,:

さらにそのことで学習ができたと思いがちである.高等学校の数学七は,たくさんの公式が出てくるが,それを意味もなく覚えていくだけでは学習の成果も上がらないし,公式を忘れてしまったらどうしようもないという状態に陥ってしまう｡そうではなく,生徒たちが授業を通して,‑フ一つの公式のできる過程や意味を理解することによって,数学の楽しさや美しさを実感することができ,また,忘れても自分で導くことができるようになるI ことが大切である｡そこで,1年生の最初の時期だからこそ,本時では公式のできる過程や意味を理解することの重要性を強調し,単純な公式を全体からみていくことによって, 展開公式で使われている数学的な考え方について,生徒たちに考えさせたい｡

3.

授琴計画

パスカルの三角形を作る

(Ⅹ†y)5を予想

導入展開 1

係数との関連に気づく

展開 2

(Ⅹly)

1 0 は

Ⅹ4y³の係数は

まとめ

(8)

4.

予想される主な数学的活動

｢問題解決学習｣｢数学的活動｣

①理解1 ･112,113を計算する

･(x+y)2, (Ⅹ+ y)3を展開する

知識･計算と展開をすること

･112と (Ⅹ+y)2,113と (Ⅹ +y)3を見比べて関連を予想すること

(類推的な考え方)

②検討 1 (Ⅹ+ y)4の展開された式を予想する

･実際に展開して確認する

知識

･(Ⅹ+y)4を展開した式を (x +y)2, (x+y)3とまた114 から予想をし,式をつくる

(瑛推的な考え方)

･展開をし,予想の確認をするく帰納的な考え方)

③理解

2

(Ⅹ+y)5の展開された式を予想する

･実際に展開して確認する

知識

･同様にして (Ⅹ + y)5の展開した式を115から予想をし,式をつくる

(類推的な考え方)

･展開をするもののここで初めて予想と異なる結果となったので,その理由について視点を変え,考える

く帰納的な考え方)

④検討

2

･別の視点で考えていくため, 元に返って (Ⅹ+y)2の展開を図式化する

･(Ⅹ+y)3の展開を図式化する

知識

創造

(Ⅹ + y)2,(Ⅹ+ y)3を分配法則を使って図式化する

(記号化の考え方)

2

つを見比べることによって, 係数との関連に気付き同じように3乗,4乗,5乗へとつながっていくことが分かる

く帰納的な考え方)

⑤理解3 ･自ら発見した係数を抜き出す

(む検討3 ･(Ⅹ+y)10を展開する

･115ではなぜうまくいかなかったのかを考える

創造･係数を抜き出すことによってパスカルの三角形ができてくる

(一般化の考え方)

･パスカルの三角形を使って求める (発展的な考え方)

･獲得した知識を用いて振り返る (統合的な考え方)

(9)

平岡･梅野 :高等学校数学科における授業改善に関する実践的研究 23

5.

学習指導案

全体の学習活動数学的活動指導上の留意点

導入導入教材と既習の

112,113を計算して求めようo: l

【理解】.答えだけではなく,計算の過程を <脚2+2Xy+y23+関連を予想する

3

x2y+な考え方>

3

Ⅹ

おさえるo 展開公式との関連 ‑

｢(Ⅹ+y)2,.(x+y)3を展開するとどう y2+y3に気づかせたいo なりましたか･展開することによってできる項に着目し,

o ｣

その係数を調べるo 11 121

×11 × 11 (XL+y)2‑

11 121

11 121 .(x+y)3‑

121 1.331

展【検討】 <類推解な考え方予想をたてる> 114との関連から開1 ｢(Ⅹ+y)4を展開するとどうなるか実際に予想させたい人の意見を聞くこ0

計算をせずに,まず予想してみようo｣

･現れる項を確認するo

｢それでは,予想してできたものを発表しとによって自分の

てくださいo｣考えを深めさせるo予想を確認するこ解決の過程をふまとによって,問題

･理由も発表させるo

lそれでは,実際に計算して確認しましようo l

｢自分の予想と比べてどうだったでしょう

かo｣･予想と比較することによっていろいろ琴違

憲

^>l

題を出させたいo えさせるo

1■14‑14641 (x+y)4=;Ⅹ4+4Ⅹ3y+6x2y2+4Xy3+y4

【理解】

｢(Ⅹ+y)5はどのようになると予想されま

すか･予想したことを発表させるo

o ｣

F<芸芸蔓,1

(10)

14641

(x+y)

5

‑

Ⅹ 5

+

5Ⅹ 4

y+

10Ⅹ 3

y2+

10

x2

y 3

+

5

X

y 4

+

y 5

× 11

【検討】

｢( Ⅹ+y)2

を図式化してみよう｡それから何か気づいたことはありませんか｡｣

｢( Ⅹ+

y)3も同じように図式化できますか｡｣

･係数の関係を考えさせる｡

予想との確認

<脚な考え方

>

図式化する

<記号 ltの考え方>

図示化するルールとして

｢X

を掛けたときにできる項を左に,

( Ⅹ+y)×( Ⅹ+y)

115では上手くいかないことから視点を変えさせたい｡

(Ⅹ+y)2を分配法則で考えること

よって気づかせたい｡

yを掛けたときにできる項を右に書いていくこと

｣

とする｡

係数の関係

Ⅹ

+

y

① Ⅹ / パ

^{◎ y}

◎ Ⅹ /

^㌔ ^,

Ⅹ2 +Xy+Ⅹy+y2

=

Ⅹ2 +

2Ⅹy + y2

/ / ‑ ‑ プ / へ ^卜＼

Ⅹ3 +Ⅹ2 y+2Ⅹ2 y+2Ⅹy2 +Ⅹy2 +y3

‑x3 +3x3 y+3xy3 +y3

【理解】

｢係数を抜き出してみよう｡｣

･既知の考えから新しい考えを獲得させる｡

1 I

1 2 1

1 3 3 1 1 4 6 4 1

1

5

10 10

5

1 パスカルの三角形

(Ⅹ+y)

10を展開するとどうなりますか｡

【検討

】

･パスカルの三角形を使って考えさせる｡

･115ではなぜ上手くいかなかったのかを振り返らせる｡

活用する発展助な考え方

パスカルの三角形の紹介をする｡

あまり深くは説明しない｡

パスカルの三角形を使うことのよさを伝えたい｡

全体を振り返って考えをまとめさせたい｡

(11)

2 5

6.

反省点

授業終了後に行った授業についてのアンケート結果について考察する｡ (ただし,番号はそう思った方から

54321

となっている)

1

.授業に積極的に取り組んだ

20151050 Ill.: I‑∫JE .^lJ,lt蚕々hJ.:I;,...rp=.

擁:. l

jif'l Tl(:/̲i･.∴‑ 諌‥借問

5 4 3 2 1

2.

楽しい教材だった

20 15

1005 ri: '宗l.:..

煤

;I‑;i一L::;:91

故 ‑

7十JLpj

事

;

. . .

蕃 ?

3.質問に答えることができた

25

20151050 違tl. ",L‑ 鵜艦 ;i̲,

･ .

#t.i‑I.㌻ ‑‑.I:..‑,‑.l!,J h.lip;J車.i.,I,:‑pl‑ ;;̲i:.脚,.,i,} ='‑礎護染:::LE:F!Jl=:;rJl'l

/ i i ,耳lt.i;

4.説明がよくわかった

擢1r, rl,̲I.li +.ItJJl,ll. ll.淋L‑5‑:I:i‑A:llII;i.LL l/

･ lj̲

矧莱描

2

クラスともに積極的に取り組んでいることが分かる｡しかし,

1‑4

に数名気になる生徒がいる｡

授業中の雰囲気は

1‑8

のほうが良かったため,教材に対する評価も高い｡

授業における発問には,考える場面が多くてあまり答えることができていなかったことが分かる｡

質問

2

で楽しい教材だったという解答が多かった

1‑8

のほうが説明に対する理解度も高い｡このことから生徒たちが授業に望む姿勢が理解に対して大きく影響することが分かる｡

(12)

質問事項はこのほかに,

･どこが一番おもしろかったですか.

･分からなかったところがありますか｡具体的に書いて下さい｡

･今回の授業の中で重要なことは何ですか｡

･今回の授業に関しての意見･感想

というのがあり,それには文章で書かせた｡ここでは生徒が書いた感想をもとに授業を振り返る｡

1

年生では

2

クラスで授業を行った｡先に行ったクラス (

1

年

4

組)の感想では｢この授業で大切なことは何だと思いますか｡｣という質問に対して｢パスカルの三角形

｣

という解答が

8

名と多かった｡そのことを強調したつもりはなかったが,生徒達にと

っては,まだまだ考え方より公式として捉えようとしていると感じた｡それでも,｢おもしろかったことは何ですか｡｣という質問に対しては,｢パスカルの三角形の発見がおもしろい｣が

4

名

,｢( Ⅹ+y)n

の規則性が分かったことがおもしろい｣が

3

名

,｢2

つの関連性がおもしろい｣が9名とねらい通りに教材の考え方に興味を持った生徒も4割程度いた｡

また,

3

名ではあるが

,

｢簡単な方法を見つけて解く｣ことや｢予想してヒントを手がかりに解く｣ことのなどの数学的考え方に重要性を感じている生徒もいて,少し驚いた｡なお,｢おもしろくない

｣

と感じた生徒も

5

名いた｡

このことから本時の授業については,｢数学的活動｣の観点としてみてみると, 自ら予想を立てて考えていくというメインの｢数学的活動｣について,ほとんどの生徒は積極的に取り組んでいた｡またなぜそうなるかの理由を帰納的に考えていくなどの活動がよく見られたので,良かったと思う｡ただ,時期的に

5

月ということで,授業の展開としては教師側からヒントをたくさん与え,｢数学的活動｣を促していくことが多かった｡それでも, 初めてにしてはよく取り組んだのではないかと思う｡

また,｢問題解決学習｣の観点としては,生徒の｢関連性が分かったときがおもしろかった｡｣という感想もあり,ねらい通りに学習水準があがっていった｡授業では,問題解決の第

2

水準である検討

2

のところで,係数との関連に気づかせるところで少し時間をと

ってしまい,第

3

段水準の検討

3

のパスカルの三角形を使っていくというところまでは進むことができなかった｡それによって,パスカルの三角形を使うことのよさを伝えるという観点からすると少し時間的に足りなかったと思う｡それでも,生徒たちが, 自分で気づいたということを大切にしたかったので,遅れていると感じつつも無理をしなかった｡生徒の肯定的な感想が多かったことからも結果的に良かったと思う｡それでも,まだ,公式として捉えていこうという生徒もいたし,少数ではあるが授業がおもしろくないといった感想を持った生徒もおり,授業に関心が持てるように発問を工夫するなどして,やる気を持てるようにしていき,授業のねらいをしっかりと伝えていこうと思った｡

このクラスの反省点をもとに 1年

8

組での授業を行った｡このクラスではいろいろな感想が開けた｡それは

,｢ 1

1の累乗と

x+y

の累乗との関連性がおもしろい｡｣といったことや

,

｢自分の予想が見事にはずれたこと｡｣が印象深いなど, 1年

4

組とはまた違った感想が多かった｡｢パスカルの三角形が大切である｡｣という感想は

3

名と少なく前時の反省が上手くいかされた｡また,｢わかったとき,数学っておもしろいなと思った｡｣といった理解することの楽しさを感じた生徒が

5

名いて,私自身たいへんうれしかった｡なお,｢数学についてもっといろいろなことが知りたい｡｣と感想をもった生徒もいた｡

(13)

2 7

授業者も

2

回目ということもあり,授業ははば計画通りに進んでいたという感触を得た｡

生徒の反応もよく,たいへん良かったのではないだろうか｡｢数学的活動｣を積極的に取り入れることによって,多くの生徒が興味･関心を持って授業に取り組み,｢問題解決学習｣の過程を

3

つ取り入れたことによって学習水準もあがり十分に手応えを感じた授業だった｡

一方で,見に来ていた学校の先生からは,｢何故この時期にパスカルの三角形を扱う必要があるのか｡二項定理のところで十分ではなかったか｡｣という意見もあった｡授業の進度との兼ね合いからを考えての意見で,やりたいこと･伝えていきたいことと授業の進度の問題は,今後の課題である｡

全体的にみると,今後の方向性として,｢何故そうなるかを, 自ら考える｡｣ことを示すことができたことは非常に有意義なことであった｡

6

おわりに

本稿では,｢問題解決学習｣と｢数学的活動｣という

2

つの視点で,授業構成およびその実践を行った｡授業者が生徒たちに伝えていきたいことは,決して｢数学ができるようになる｣ことだけではない｡数学の良さや美しさに気づくことなどの数学に関することから,いろいろな場面で問題解決が行えるように,物事の本質を考えることの大切さや何事にも積極的に取り組む姿勢,物事の見方などこれから生活の中で役に立ってくれればと願うこともある｡授業改善とは,今回の研究だけで行われるべきものでもなく,成果が出るものでもない｡授業改善を行うことによって,その結果として生徒たち一人ひとりの考え方や意識が変化していくことをねらっている｡そのため,成果を感じるのはかなり後のこ

とである｡だからこそ,これからも継続して研究を行いたい｡

またここで発表した以外にも, 日頃の授業の中でこの

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つの視点を意識した授業を行うよう心がけてきた｡ただ,授業の進度という点との関係はなかなか解決できそうにもない｡

これはまだ転勤してきて 1年目ということとも関係していると思うので,これから経験を積むことによって解決の方法を探っていきたい｡今年度は現場に戻って,多くの授業を見つめなおしていくことによって,考えを深めていき,授業改善を目指して取り組んできた｡

生徒たちも授業に積極的に取り組み,簡単には結果がでないがあきらめずによく頑張っている｡生徒の意識は確実に変わってきていると思う｡私**も負けないようしっかり取り組んでいきたい｡そして,一人でも多くの生徒に数学のよさがいつまでも心に残るような授業を目指して取り組んでいきたい｡高校の 3年間で,教えていくべき内容は,まだまだたくさんある｡そういった意味からも, 日頃からの授業改善への意識がとても重要となってくる｡もっともっと内容を深めていけるように研究を続けたい｡そして,よりよい授業実践が行えればと思う｡また,｢問題解決学習｣と｢数学的活動

｣

という

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つの視点から授業を振り返って見てきた申,この

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つの視点に関してもまだまだ研究をしていく必要を感じている｡これについても,あわせて研究を続けていきたい｡また,高校数学における授業について,単なる教材ではなく授業構成についで情報交換ができる場所があればと思

う｡そういったこともこれから行っていけたらと思う｡

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参考文献

1)『高等学校学習指導要領解説数学編』平成11年12月文部省

2)吉田明史編著 (2000) 『高等学校新学習指導要領の解説数学』学事出版 3)G.Polya著 (1954) 柿内賢信訳『いかにして問題をとくか』丸善株式会社 4)G.Polya著 (1961) 柴垣和三雄･金山靖夫訳

『数学の問題の発見的解き方 1

,2』

みすず書房 5)『小学校学習指導要領解説算数編』平成11年5月文部省

6)『中学校学習指導要領解説数学編』平成11年9月文部省 .

7)KeithDevlin著 (2000) 『TheFourFacesofMathematics』NCTM2000YEARBOOK 8)平岡賢治 (2002) 授業における数学的活動の研究

( Ⅰ)

‑ 創造性の基礎について一

長崎大学教育学部紀要一教科教育学一第38集 9)平林一条先生頒寿記念出版全編 (1990) 『数学教育学のパースペクティブ』聖文社 10)片桐重男著 (1988) 『数学的な考え方の具体化』明治図書

ll)片桐重男著 (1988) 『問題解決過程と発問分析』明治図書

12)『改訂版高等学校新編数学A』平成9年2月15日文部省検定済数研出版 ‑ 13)『改訂版高等学校新編数学Ⅰ』平成9年2月15日文部省検定済数研出版

高等学校数学科における授業改善に関する実践的研究