2 時間に依存しない摂動論 ( 縮退のある場合 )

量子力学 II ^演習問題 8

2018 年 6 月 3 日

1 時間に依存しない摂動論 ( 縮退の無い場合 )

ハミルトニアンがH(g) = ˆˆ H₀+gVˆ で与えられるとき、gVˆ をHˆ₀に対す る摂動とみなしたときの摂動論を考える。いずれの項も時間に依存せず、更 に非摂動ハミルトニアンHˆ₀には縮退が無いとする。Hˆ₀の固有値および対応 する固有状態をそれぞれEn,|ψn⟩(n= 1,2,· · ·)とする。Hˆ(g)の固有値およ び対応する固有状態をgについて展開して次のように表す。

E_n(g) =E_n+gE_n⁽¹⁾+g²E_n⁽²⁾+· · ·

|ψ_n(g)⟩=|ψ_n⟩+gψ⁽¹⁾_n

⟩

+g²ψ_n⁽²⁾

⟩ +· · ·

但し、計算の簡単化のために規格化条件を⟨ψ_n|ψ_n(g)⟩= 1とした。この後、

講義ノートにおいてはSchr¨odinger方程式の両辺をgの次数ごとに比較して En⁽ⁱ⁾,ψn⁽ⁱ⁾

⟩を順に求めていった。この方法をRayleigh-Schr¨odinger摂動展開

という。ここでは、高次の項まで系統的に効率よく計算しやすい、Brillouin-

Wigner摂動展開という方法を導出しよう。

(1)次の等式が近似なしに成立することを示せ。

E_n(g)−E_n = ⟨ψ_n|gVˆ|ψ_n(g)⟩ (2)次の等式が近似なしに成立することを示せ。

|ψ_n(g)⟩=|ψ_n⟩+gRˆ_n(g) ˆV|ψ_n(g)⟩ ここで、Rˆn(g)は次のように定義される。

Rˆ_n(g) := ∑

m̸=n

|ψ_m⟩ 1

E_n(g)−E_m⟨ψ_m|

(2)で示した等式については、右辺における|ψn(g)⟩に右辺全体を反復代入 することによって|ψn(g)⟩の展開を構成できることに注意せよ。

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(3)次の等式を示せ。

E_n⁽³⁾= ⟨ψn|VˆRˆn(0) ˆVRˆn(0) ˆV|ψn⟩ − ⟨ψn|VˆRˆn(0) ˆRn(0) ˆV|ψn⟩ ⟨ψn|Vˆ|ψn⟩

2 時間に依存しない摂動論 ( 縮退のある場合 )

ハミルトニアンがH(g) = ˆˆ H₀+gVˆ で与えられるとき、gVˆ をHˆ₀に対する 摂動とみなしたときの摂動論を考える。いずれの項も時間に依存せず、更に 一般には非摂動ハミルトニアンHˆ₀に縮退があるとする。Hˆ₀の固有値および 対応する固有状態をそれぞれEn,|ψn,i⟩(n = 1,2,· · ·, i = 1,2,· · · , dn)と する。Hˆ(g)の固有値および対応する固有状態をgについて展開する。計算の 見通しを良くするために、次のように定義される射影演算子Pˆ_nを導入する。

Pˆn :=

d_n

∑

i=1

|ψn,i⟩⟨ψn,i| この射影演算子を用いて|ψn(g)⟩= ˆPn|ψn(g)⟩+

(Iˆ−Pˆn

)|ψn(g)⟩のように 分解する。但し、Iˆは恒等演算子である。

(1)次の等式が近似なしに成立することを示せ。

(En(g)−En) ˆPn|ψn(g)⟩=gPˆnVˆ|ψn(g)⟩ (2)次の等式が近似なしに成立することを示せ。

(Iˆ−Pˆn

)|ψn(g)⟩=gRˆn(g) ˆV|ψn(g)⟩

ここで、Rˆn(g)は次のように定義される。

Rˆn(g) := ∑

m̸=n d_m

∑

j=1

|ψm,j⟩ 1

En(g)−Em⟨ψm,j|

(3)次の命題を示せ。

• En(g)−EnはO(g¹)まではgPˆnVˆPˆnの固有値である。

• Pˆ_n|ψ_n(g)⟩はO(g⁰)まではPˆ_nVˆPˆ_nの固有ベクトルである。

(4)次の命題を示せ。

• En(g)−EnはO(g²)まではgPˆn

(Vˆ +gVˆRˆn(g) ˆV

)Pˆnの固有値である。

• Pˆ_n|ψ_n(g)⟩はO(g¹)まではPˆ_n

(Vˆ +gVˆRˆ_n(g) ˆV

)Pˆ_nの固有ベクトルで ある。

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3 Stark 効果

一様な電場中に置かれた水素原子を考える。但し、電子のスピン自由度は 考えない。このとき、ハミルトニアンは次のように与えられる。

Hˆ = ˆH0+ ˆV ,

Hˆ0= pˆ² 2m −αℏc

r , Vˆ =eEz=eErcosθ

ここで、α:=_4πϵ^e2

0ℏcは微細構造定数、mは電子の質量、−eは電子の電荷、r は電子の原子中心からの距離、zは電子のz座標である。但し、電場は大き さEでz軸の正の向きに印加されている。Hˆ0を非摂動ハミルトニアン、Vˆ を摂動とみなして摂動論を適用する。

 はじめに、1s軌道について考える。非摂動ハミルトニアンの基底状態|1s⟩ に対応する極座標表示の波動関数はψ1s(r, θ, ϕ) :=R1s(r)Y00(θ, ϕ)である。

(1) 1s軌道について、エネルギーの1次の補正を求めよ。

次に、2s, 2p軌道について考える。非摂動ハミルトニアンの固有状態のう ち、4重縮退した第1励起状態を|2s⟩,|2p, m⟩(m=−1,0,1)とすると、それ ぞれに対応した極座標の波動関数は次のように与えられる。

ψ2s(r, θ, ϕ) :=⟨r|2s⟩=R2s(r)Y00(θ, ϕ)

ψ2p,m(r, θ, ϕ) :=⟨r|2p, m⟩=R2p(r)Y1m(θ, ϕ) (m=−1,0,1) R_2s(r) =κ^3/2(2−2κr)e^−κr, R_2p(r) =κ^3/22κr

√3e^−κr Y00(θ, ϕ) = 1

√4π, Y10(θ, ϕ) =

√ 3 4πcosθ,

Y_1±1(θ, ϕ) =∓

√ 3

8πsinθe^±iϕ 但し、κ:=_2a¹

B であり、aB:= _mcα^ℏ はBohr半径である。

(2) 2s, 2p軌道について、1次のエネルギー補正、および対応する0次のエネ

ルギー固有状態を求めよ。

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