は距離空間,

9

ベールのカテゴリー定理とその応用

(2011年1月28日更新)

9.1

ベールのカテゴリー定理

まず抽象的な定義から始める：

定義

9.1.1 X

は距離空間,

S ⊂X

とする.

I S

が内点を持たない閉集合の可算和に含まれるとき

S

を

X

で第一類

(of the first category)

であると言い、そうでないとき、X で第二類

(of the second category)

である と言う．特に

X

が

X

で第一類（第二類）なら，単に

X

が第一類（第二類）という．

感覚的に言うと，第一類集合は位相的に見て退化した集合，第二類集合はそうでない 集合と言える．

問

9.1.1

次の

S ⊂X ⊂R

について，

S

は

X

で第何類か？但し

X

に距離

|x−y|,x, y ∈X

を付与する．i)

X =R,S =Q. ii) X =S=Q. iii) X =S=Z.

問

9.1.2 X

を距離空間，S

⊂X

とする．以下を示せ．i)

S

が内点を持たない閉集合な

ら

X\S ̸=∅. ii)X

が第二類，S が

X

で第一類なら

X\S

は

X

で第二類．

問

9.1.3 (X, ρ)

を距離空間，

S ⊂X

とする．以下を示せ．

i)G⊂X

が開かつ

S∩G=∅

なら

S∩G=∅. ii)F ⊂X

が閉かつ

S∩F^◦ =∅

なら

(S∩F)^◦ =∅. iii) (S, ρ)

が第一類 なら

S

は

X

で第一類．

問

9.1.4 (⋆)

以下を示せ．但し

µ

は一次元ルベーグ測度．i )

S ⊂R

が内点を持たない 閉集合なら

µ(R\S)>0. ii)

内点を持たない閉集合の増大列

S_n⊂R

で

µ(R\S_n)ⁿ−→^→∞ 0

なるものが存在する．またこのとき，S

=∪

n≥1S_n

は

R

で第一類かつ

µ(R\S) = 0.

X

がある程度「良い」距離空間なら，内点を持つ部分集合は

X

で第二類である．こ の意味での「良さ」を保障する条件のひとつが完備性である：

定理

9.1.2 (

ベールのカテゴリー定理

⁴⁷)

完備距離空間

X

で内点を持つ部分集合は

X

で 第二類である。

証明：X の距離を

ρ,

また

A⊂X

に対し

dis(x, A) = inf_y∈Aρ(x, y) (x∈X)

と書く．第 一類部分集合は内点を持たないことを示せばよい．そこで，任意の開球

B ⊂ X

に対 し次を言えばよい：

1) A0, A1, ... ⊂X

は内点を持たない閉集合

=⇒ B ̸⊂ ∪

n∈N

An.

まず次のような開球

Bn ={x∈X ; ρ(xn, x)< rn} ⊂X, n∈N

の存在を言う：

47Baire, Ren´e Louis (1874–1932).

2) B ⊃B₀ ⊃B_n ⊃B_n+1, B_n∩A_n=∅, r_n ≤2⁻ⁿ, n∈N

まず

x₀ ∈B\A₀

を任意

(仮定より B ̸⊂A₀)

とすると

A₀, B^c

は共に閉,

̸∋x₀

より

a₀ ^def= dis(x₀, A₀)>0, b₀ ^def= dis(x₀, B^c)>0

そこで

r₀ = min(1, a₀/2, b₀/2)

とすると

B ⊃B₀,B₀∩A₀ =∅.

次に

B₀, ..., B_n

が

2)

の ように構成できたとする.

x_n+1 ∈ B_n\A_n+1 ̸=∅

を任意

(仮定より B_n ̸⊂A_n+1)

とする.

An+1, B_n^c

は共に閉,

̸∋xn+1

より

an+1

def= dis(xn+1, An+1)>0, bn+1

def= dis(xn+1, B_n^c)>0.

そこで

r_n+1 = min(2⁻⁽ⁿ⁺¹⁾, a_n+1/2, b_n+1)

とすると

B_n ⊃B_n+1, B_n+1∩A_n+1 =∅, r_n+1 ≤2⁻⁽ⁿ⁺¹⁾.

これで

2)

の

{B_n}

が構成できた．次に

{B_n}

を用い

1)

を言う. 中心の列

(x_n)

はコー シー列. 実際,

m < n

なら

x_n ∈B_n ⊂B_m

より

ρ(x_m, x_n)<2^−m.

従って

x_nⁿ−→ ∃^→∞ x

か つ任意の

n

に対し

x∈B_n ⊂B\A_n.

よって

x∈B\∪

n∈NA_n.

これで

1)

が言えた.

2

注：

1)

完備でなくても，それに近い距離空間なら定理

9.1.2

の結論は正しい（問

9.1.6

参照）．また，完備性の代わりに局所コンパクト性を仮定しても定理

9.1.2

の結論は正 しい（証明の方針も同様）．

2)

完備距離空間の第二類部分集合が内点を持たないこともある（例えば

R

での

R\Q;

問

9.1.1,

問

9.1.2

参照）. その意味で「定理

9.1.2

の逆」は不成立．

問

9.1.5

距離空間

X

に対する次の二の命題の同値性を示せ：a) 内点を持つ部分集合は

X

で第二類である. b) 可算個の稠密な開集合の交差は稠密．

問

9.1.6 X

が完備距離空間，S

⊂X

が

X

で第一類とする．X

\S

に

X

の距離を制限し て得られる距離空間で, 内点を持つ集合は

X\S

で第二類であることを示せ．

9.2

一様有界性原理

以下, ノルム空間

X = (X,∥ · ∥)

において

B_X(r) ={x∈X ; ∥x∥< r}, r >0 (9.1)

と記す. まず半ノルムの連続性に対し便利な同値条件を与える．

補題

9.2.1

ノルム空間

(X,∥ · ∥)

上の半ノルム

s

に対し以下の

a),b)

は同値：

a) s

は連続, 即ち

∃M ∈[0,∞),∀x∈X, s(x)≤M∥x∥(問 4.1.4

参照)．

b)

次の性質を持つ

x₀ ∈X, ε, r∈(0,∞)

が存在する：

sup

x∈x0+BX(ε)

s(x)≤r.

証明：a)

⇒ b)

は明らかなので逆を示す．y

∈B_X(ε)

とすると仮定より、

1) s(x₀+y)≤r.

よって、

2) s(y)≤s(−x₀)

| {z }

=s(x0)

+s(x₀+y)

≤1) 2r.

ここで、改めて

x∈X\0

を任意、c

= _2∥^ε_x∥

とすると、∥

cx∥=ε/2

なので、

s(x) = c⁻¹s(cx)

≤2) c⁻¹2r= 4rε⁻¹∥x∥.

従って

s

は連続。

2

次の定理は一様有界性原理（系

9.2.4）に対し,「更にその原理」となる事実である.

定理

9.2.2,

系

9.2.3,

系

9.2.4

で「X は第二類のノルム空間」という仮定をおくが，その

ためには

X

がバナッハ空間なら十分である（定理

9.1.2）．一方，全てのノルム空間が

第二類というわけでもない（例

9.2.6,

問

9.2.3,

問

9.2.4

参照）

定理

9.2.2

第二類のノルム空間

X, X

上の半ノルム

s

に対し以下の

a),b)

は同値：

a) s

は連続.

b) {x∈X, s(x)≤r}

が閉集合となるような

r >0

が存在する．

証明：a)

⇒ b)

は明らかなので逆を示す．r, r

^′ >0

に対し

F_r^def= {x∈X ; s(x)≤r}=rF₁ = (r/r^′)F_r′.

従って

F_r

がある

r >0

で閉集合なら全ての

r >0

でそう．また,

X =∪

r∈NF_r, X

は第 二類だから

∃x0 ∈X, ∃ε >0, ∃r ≥1, x0+BX(ε)⊂Fr.

よって補題

9.2.1

より

s

は連続．

2

系

9.2.3 X

は第二類のノルム空間, 集合

S

の各元

s

は

X

上の連続半ノルム, 全ての

x∈X

に対し

s₀(x) = sup

s∈S s(x)<∞

とする．このとき、s

0

は連続.

証明：s

0

は

X

上の半ノルム

(容易に分かる)。一方、各s ∈ S

に対し

s

は連続だから

F_s ^def= {x∈X ; s(x)≤1}

は閉, 従って

{x∈X ; s₀(x)≤1}= ∩

s∈S

F_s

も閉．

以上と定理

9.2.2

より、s

0

は連続.

2

系

9.2.4 X

は第二類のノルム空間,

Y

はノルム空間,

{T_n}n∈N⊂B(X →Y)

とする.

a) (

一様有界性原理

⁴⁸)

全ての

x∈X

に対し

sup

n∈N∥T_nx∥Y <∞ =⇒ sup

n∈N∥T_n∥X→Y <∞. (9.2) b) (

バナッハ

-

シュタインハウスの定理

⁴⁹)

全ての

x∈X

に対し

T x^def= lim

n→∞T_nx

が存在 すれば

T :x7→T x

は

B(X →Y)

の元を定める. 更に

∥T∥X→Y ≤ lim

n→∞∥T_n∥X→Y.

証明：a):x

7→ ∥T_nx∥Y

は

X

上の連続な半ノルムで, 系

9.2.3

の条件を満たす. よって,

∃C ∈[0,∞), ∀x∈X, sup_n∈N∥T_nx∥Y ≤C∥x∥X.

故に

sup_n∈N∥T_n∥X→Y ≤C.

b):T

の線型性は明らか. また

{Tn}n∈N

は

a)

の仮定を満たし, かつ

∥T x∥Y ≤sup_n∈N∥Tnx∥Y

だから 系

9.2.4

より

T ∈B(X→Y).

最後の不等式は問

4.1.3

による．

2

系

9.2.4

は

S.

バナッハ, H. ハーン, T.H. ヒルデブラント

⁵⁰

達により得られた

(1922–

1923)．系 9.2.4b

には後に

S.

バナッハと

H.

シュタインハウスの論文

(1927)

に因んだ

名が付けられた．

問

9.2.1 X

はヒルベルト空間,

x₁, x₂, ...∈ X

は互いに直交,

s_n=x₁+...+x_n,

また任 意の

y∈X

に対し

sup_n|⟨s_n, y⟩|<∞

とする. このとき, (s

n)_n≥1

の収束を示せ.

例

9.2.5 (S,A, µ)

を

σ-有限測度空間、1 ≤p < ∞, ¹_p +¹_q = 1, y: S →C

を可測とす る. このとき，

y ∈L^q(µ) ⇐⇒

全ての

x∈L^p(µ)

に対し

xy∈L¹(µ).

証明：

⇒

はヘルダーの不等式から分かる．そこで

⇐

を示す．σ-有限性より次を満たす

Sn∈A

が存在する：

S₁ ⊂S₂ ⊂..., S = ∪

n≥1

S_n, µ(S_n)<∞, ∀n≥1. (9.3)

そこで，e

n(s) =1{s∈Sn,|y(s)| ≤n}, f(x) =

∫

S

xydµ, f_n(x) =

∫

S

xye_ndµ, x∈L^p(m).

とすると，

|f_n(x)|^ヘルダー≤ ∥x∥p∥ye_n∥q ≤ ∥x∥pnµ(S_n)^1/q,

よって

f_n∈L^p(µ)^∗.

また，

∀x∈L^p(m)

に対し

f_n(x)ⁿ−→^→∞f(x)

（ルベーグの収束定理）．以上と系

9.2.4b

よ り

f ∈L^p(µ)^∗.

これと定理

4.3.6

より

∃z ∈L^q(µ), f(x) =∫

Sxz^∗dµ.

従って

∀x∈L^p(m)

に対し

∫

Sxydµ=∫

Sxz^∗dµ.

よって

y=z^∗ ∈L^q(µ). 2

48共鳴定理と呼ばれることもある.

49Steinhaus, Hugo (1887–1972).

50Hildebrandt, Theophil Henry (1888–1980)

問

9.2.2 (⋆) y:N →C

が全ての

x ∈c₀(N)(例 2.3.6

参照) に対し

xy∈ℓ¹(N)

を満たす とき

y∈ℓ¹(N)

を示せ．ヒント：例

4.3.7.

X

をノルム空間とする．もし，(9.2) が成立しないような

T_n∈ B(X →Y)（Y

は適当 なノルム空間，例えば

Y =C

でもよい）が存在すれば，系

9.2.4

より

X

は第一類と結 論される．その具体例を述べよう：

例

9.2.6 I = [0,1], 1 ≤p < q ≤ ∞

とする．このとき，L

^q(I)

に

L^p-ノルムを付与した

ノルム空間

X = (L^q(I),∥ · ∥p)

は第一類.

注：例

9.2.6

と問

9.1.3

から

L^q(I)

は

L^p(I)

で第一類であることもわかる．L

^p(I)

自身は 第二類（定理

9.1.2）だから，L^p(I)

の中で

L^q(I)

は「少数派」ということになる．

証明：y

n(s) =n^1/p1_[1,¹

n], T_nx=∫

Ixy_n (x∈X)

とする．∥

y_n∥q=n^1p−1q <∞

かつ

|T_nx|^ヘルダー≤ ∥x∥p∥y_n∥q,

よって

T_n∈B(X →C).

一方

1) |Tnx|^ヘルダー≤ ∥x∥q∥yn∥p =∥x∥q.

また，L

^q(I)

は

L^p(I)

で稠密だから，

∥Tn∥X→C = sup{|Tnx|x∈L^q(I),∥x∥p = 1}

= sup{|T_nx|x∈L^p(I),∥x∥p = 1}=∥y_n∥q =n^{1p−1q n}−→ ∞^→∞ .

これと

1)

より

(9.2)

は不成立．従って系

9.2.4

より

X

は第一類．

2

別証明

(⋆)

系

9.2.4

を用いない証明も, ついでに紹介する．L

^q(I) = ∪

n∈NFn,

但し

Fn ={x∈L^q(I), ∥x∥q ≤n}．そこで∀n ∈N

に対し次を言えばよい：

1) Fn

は

X

で閉．

2) X

で

F_n^◦ =∅.

1)

を言うため

x_m ∈ F_n, x ∈ L^q(I), ∥x−x_m∥p

m−→→∞ 0

とする. このとき,

x_m(k) ^k−→^→∞ x a.e.

となる部分列が存在し, ファトウの補題から,

∥x∥q ≤lim_k→∞∥x_m(k)∥q ≤n.

2)

は

L^q(I)\F_n=L^q(I)

と同値. 従って

∀x∈L^q(I)

に対し

x_m ∈L^q(I)\F_n, m= 1,2, ...

を

∥x−x_m∥p

m−→→∞0

なるようにとれればよい．

ym = 2m^1/q1[0,1/m], xm =x+ {

ny_m|^x_x| {s ; x(s)̸= 0}

上で，

ny_m {s ; x(s) = 0}

上で, とする. このとき,

x_m ∈L^q(I),|x_m|=|x|+ny_m,|x−x_m|=ny_m

より

∥x_m∥q ≥n∥y_m∥q = 2n > n, ∥x−x_m∥p =n∥y_m∥p = 2nm^{1q−1p m}−→^→∞0. 2

問

9.2.3 (⋆) 1≤p < q ≤ ∞

なら

(ℓ^p(N),∥ · ∥q)

は第一類であることを示せ.

問

9.2.4 (⋆) (S,A, µ)

を

σ-有限測度空間,µ(S) =∞,S_n∈A

は

(9.3)

を満たすとする．

更に

X = ∪

n≥1{x ∈ L^∞(µ) ; S\S_n

上

a.e.

で

x= 0}, T_nx = ∫

Snxdµ (x ∈ X)

とする.

以下を示せ．i) 全ての

x∈X

に対し

sup_n|T_nx| ≤ ∥x∥1 <∞.

ii) sup_∥x∥∞=1|T_nx|=µ(S_n). iii) (X,∥ · ∥_∞)

は第一類．ヒント：系

9.2.4a.

9.3

開写像定理と閉グラフ定理

まず次の命題で，線形作用素が開写像であることの定義と，その性質を述べる．これ は開写像定理（定理

9.3.2）の証明を実質的に含む：

命題

9.3.1 X, Y

はノルム空間, (T,

D) :X →Y

を作用素, また

B ⊂X

に対し

T B ={T x; x∈D∩B} (9.4)

とし，以下の条件を考える：

BY(δ)⊂T BX(1)

なる

δ >0

が存在する.

(9.5) B_Y(δ)⊂T B_X(1)

なる

δ >0

が存在する.

(9.6)

(9.5)

が成立するとき，T を開写像という

⁵¹

．このとき：

a) (9.5) ⇒ T X =Y.

b) X

がバナッハ空間,

T

が閉作用素なら

(9.5) ⇔ (9.6).

c) T X

が

Y

で第二類

⇒ (9.6)．

証明

: a): (9.5)

の

δ >0

をとると, 任意の

r >0

に対し

B_Y(r)⊂T B_X(rδ⁻¹).

b):(9.5)⇐ (9.6)

を言えばよい

(⇒

は明らか)．(9.6) の

δ

に対しまず次を言う：

1) ∀y∈BY(δ/3), ∃xn∈D∩BX(3⁻ⁿ), n= 1,2, ..., y=

∑∞ j=1

T xj.

(9.6)

より

2) B_Y(δ_j)⊂T B_X(3^−j),

但し

δ_j = 3^−jδ.

2)

で

j = 1

とし

∀y∈B_Y(δ₁)

に対し

∃x₁ ∈D∩B_X(3⁻¹), ∥y−T x₁∥Y < δ₂.

上で、y

−T x1 ∈BY(δ2)

なので, 次に

2)

で

j = 2

として

∃x₂ ∈D∩B_X(3⁻²), ∥y−T x₁−T x₂∥Y < δ₃.

これをくり返すと,

n= 1,2, ..

に対し

∃x_n∈D ∩B_X(3⁻ⁿ), ∥y−

∑n

j=1

T x_j∥Y < δ_n+1

が言え, 1) が成立する. 次に

1)

から

(9.5)

を出す.

X

はバナッハ空間だから絶対収束 級数は収束する．今，

∥x_n∥X <3⁻ⁿ

より

∑

n≥1∥x_n∥X ≤∑

n≥13⁻ⁿ= 1/2.

よって

z_n^def= x₁+...+x_n−→ ∃z ∈B_X(1/2)⊂B_X(1).

51位相空間論における「開写像」と同じ概念．問9.3.1参照.

また，1) より

T z_n →y. T

は閉だから,

z ∈D∩B_X(1),y =T z. y∈B_Y(δ₁)

は任意だっ たから

B_Y(δ₁)⊂T B_X(1).

c):

証明の準備として

(9.6)

と次の条件との同値性を示す：

(

T BX(r) )_◦

̸

=∅

なる

r >0

が存在する．

(9.7) (9.6)⇐(9.7)

を示す

(⇒

は明らか）．次に注意：T B

X(r) =rT B_X(1) =rT B_X(1)

より

3)

集合

T BX(r)

が内点を含むか否かは

r >0

の値によらない．

(9.7)

と

3)

より任意の

r >0

に対し

(

T B_X(r) )_◦

̸

=∅.

特に

B =B_X(1/2)

に対し

( T B)_◦

̸

=

∅.

故に

∃y₀ ∈Y, ∃δ > 0, y₀+B_Y(δ)⊂T B.

従って任意の

ε >0, y∈B_Y(δ)

に対し

x_y ∈B∩D

を

4) ∥y0+y−T xy∥Y ≤ε/2

なるようにとれる. このとき、y

= 0

に対する

x_y

を

x₀

と書くと,

x_y−x₀ ∈ (B−B)∩D ⊂B_X(1)∩D,

∥y−T(x_y−x₀)∥Y = ∥(y₀+y−T x_y)−(y₀+ 0−T x₀)∥Y

≤4) ε 2+ ε

2 =ε.

よって、B

Y(δ)⊂T B_X(1),

即ち

(9.6)

を得る．

T X =∪

r≥1T B_X(r)

かつ

T X

は

Y

で第二類だから

(9.7),

よって

(9.6)

を得る．

2

問

9.3.1

記号は命題

9.3.1

通りとする．次の条件と

(9.5)

の同値性を示せ：

U ⊂X

が開なら

T U

は開．

(9.8)

次の定理は

J.

シャウダーによる

(1930):

定理

9.3.2 (

開写像定理

)X

はバナッハ空間,

Y

は第二類のノルム空間

(Y

がバナッハ空 間なら定理

9.1.2

より

Y

は第二類),

T :X →Y

は閉作用素とする. このとき，

T X =Y ⇐⇒ T

は開写像.

証明：

⇒:

命題

9.3.1c

より

(9.6),

更に命題

9.3.1b

より

(9.5)

を得る．

⇐:

命題

9.3.1a

による．

2

閉グラフ定理

(定理 9.3.5)

の前に補題を二つ準備する：

補題

9.3.3 X, Y

はノルム空間, (T,

D) :X →Y

を作用素とするとき

T

は単射かつ開写像

⇐⇒ T

は全単射かつ

T⁻¹ ∈B(Y →X).

証明：

⇒:

命題

9.3.1a

より

T

は全射. また, (9.5) の

δ

をとると

B_Y(1)⊂T B_X(δ⁻¹).

よっ て

T⁻¹B_Y(1) ⊂B_X(δ⁻¹)

より

T⁻¹

は有界.

⇐: ∥T⁻¹∥ ≤ δ⁻¹, y ∈ B_Y(δ)

とする. 全射性より

∃x ∈ D, y = T x.

また,

∥x∥X =

∥T⁻¹y∥Y ≤ ∥T⁻¹∥∥y∥Y <1.

よって

B_Y(δ)⊂T B_X(1). 2

定理

9.3.2

と補題

9.3.3

より線形空間上に完備なノルムが二つあるとき，一方が他方

に関し連続なら両者は同値であることがわかる：

補題

9.3.4 ∥ · ∥j,j = 0,1

は線型空間

X

上のノルム,

X_j = (X,∥ · ∥j)

は共にバナッハ空 間とする. 更に

∥ · ∥1

が

X₀

上連続なら,

∥ · ∥0

は

X₁

上連続, 従って

∥ · ∥0,∥ · ∥1

は同値.

証明： 仮定より

J : X₀ → X₁ (x 7→ x)

は全単射連続. 故に 定理

9.3.2

より

J

は開写

像. 従って, 補題

9.3.3

より

J⁻¹ :X₁ →X₀ (x7→x)

も連続.

2

次の定理は

S.

バナッハによる

(1932):

定理

9.3.5 (

閉グラフ定理

) X, Y

をバナッハ空間, (T,

D) : X → Y

を閉作用素かつ

D ⊂X

は閉集合とする

(特に D =X

ならそう). このとき,

T

は

(D,∥ · ∥X)

上有界.

証明：D にノルム

∥ · ∥X,

及び

∥x∥D =∥x∥X +∥T x∥Y

が定義され, (

D,∥ · ∥X)

は仮定 より, (

D,∥ · ∥D)

は命題

5.2.1

よりバナッハ空間. また,

∥ · ∥X

は

(D,∥ · ∥D)

上連続. 以 上と補題

9.3.4

より

∥ · ∥D

は

(D,∥ · ∥X)

上連続. よって

T

は

(D,∥ · ∥X)

上有界.

2

例

9.3.6 (

射影の連続性

) X

はノルム空間,P

:X →X

は

P² =P

を満たす線形写像と する．P を

D(P) = X

なる作用素と見なすとき，

P ∈B(X →X) =⇒ P X,(1−P)X

は共に閉集合 更に，X がバナッハ空間なら逆も真．

証明：⇒ は例

5.2.4

からわかるので

⇐

を示す．例

5.2.4

より

P

は閉作用素．更に

X

が

バナッハ空間なら定理

9.3.5

より

P

は有界.

2

例

9.3.7 (⋆)

例

4.1.8

で述べた

T_e:X →K

はバナッハ空間

X

全体で定義された非有界 線形作用素．従って定理

9.3.5

より

T_e

は閉でない（それ以上拡張できないので可閉で もない）．

問

9.3.2 (S,A, µ)

を測度空間，X

=L^p(µ) (1 ≤p≤ ∞)

とする．このとき，次の性質 を持つ線形写像

T :X →X

の有界性を示せ：

x_n, x∈X,x_n →x,µ-a.e.

なら

T x_n→T x, µ-a.e.

問

9.3.3 X, Y

をバナッハ空間,

S, T : X → Y

を共に閉作用素かつ

D(S) ⊂ D(T)

と する. このとき,

∃C ∈[0,∞), ∀x∈D(S),∥T x∥Y ≤C∥x∥X +∥Sx∥Y

を示せ.

問

9.3.4 X

をヒルベルト空間とする. 自己共役作用素

T :X →X

で

D(T) = X

なる ものは有界作用素に限ることを示せ.

出典：問 9.1.1:[Kreyszig, 254頁，問 1–2]による．問 9.1.3,問 9.3.2:[Megginson, 36頁，命題 1.5.3; 48頁，問1.70]による．問9.2.1,例 9.2.6(別証明):[Rudin, 309頁，12.6; 53頁，問4]に よる．