安信誠二

(1)

知的制御システム

第２週目

安信誠二

筑波大学大学院

システム情報工学研究科

(2)

ファジィ理論とは

「少し」とか「若い」と言った人間が扱う，言葉の意味や状態の認識・評価における主観的な「あいまいさ」をコンピュータで取り扱う手段

ザデー（Zadeh)教授（米国カルフォルニア大）が、1965年に提唱ファジィシステムは，「あいまいさ」を含む人間の知識を持つ

Ｆｕｚｚｙとは、「けばのような，けば立った、ぼやけた」を意味する形容詞

「ファジィ集合」を直訳すれば，「けばけばな集合」や「ぼかした集合」

従来の２値論理の集合を、クリスプ集合と呼ぶこのＦｕｚｚｙの発音の片かな記述は：

日本ファジィ学会等では、「ファジィ」

電気学会や新聞等では、「ファジー」

中国では、「曖昧模糊」から「模糊集合」と呼ぶ

ファジィ集合は、人間が主観的に捉え言葉で表現している概念をその情報量に応じて大雑把・大局的に定量化し，コンピュータで扱おうとする概念

→ ファジィ情報処理は，人間の大局的な状況認識や，目的評価に関する知識（ファジィ知識）をコンピュータで実現

ファジィ理論は近似的な補間や内挿を行う近似処理技術でもある

(3)

あいまいな知識について

（１）蓋然（確率）性：起こって見るまで不確か

「今日地震が起きる．」「サイコロを振って１の目が出る．」

（２）多義性：解釈がいく通りかある不確か

「ハシをつくる．」→「箸を作る．」「橋を造る．」

（３）不正確性：雑音や誤りの混入により不確か

・道路脇や電車内での会話・伝送エラー

（４）不完全性：情報の欠落，不足により不確か

「１００万円を預金したら利子はいくらか？」

（５）曖昧性：言葉の意味や定義のあいまいさにより不確か

「中級向けコース」「２０才から４０才程度の方」「胡椒を少々」

「金利が低い」「体温が高い（熱がある）」 → ファジィ集合

（６）その他

・いいかげんな不確かさ：同じ状況でも答えが違う

(4)

ファジィ制御の概念

ファジィ推論［無限値論理］

１．もし，車間距離が小さく，走行速度が大きいならば，

ブレーキを強く．

2．もし，車間距離が大きく，走行速度が小さいならば，

ブレーキを弱く．

1 0 μ

速度100Km/h 0

大きい

100m 0

1 0 μ

距離

小さい

μ

強く

10 0

1

0 ブレーキ力

100m 0

1 0 μ

距離

大きい

100Km/h 0

1 0 μ

速度

小さい 1

0

μ 弱く

0 10

ブレーキ力

μ 0 10 1 0

ブレーキ力非ファジィ化ブレーキ力5.2 車間距離走行速度

［ブレーキ操作］

前の車にぶつからないように，ブレーキをかける．

車間距離

走行速度

時間→

10

0

ブレーキ力

・ファジィ判断

→滑らか

・人間的演算

・少ないルール

(5)

知的制御システム課題１

（１）「水温が中位」のファジィ集合を定義し、それを実現する関数 tempM を作成せよ。

（２）x＝０℃、１０℃、２０℃、・・・、１００℃のメンバーシップ値を求めよ。

（３）「水温が高い」のファジィ集合を定義し、それを実現する関数 tempM を作成せよ。

（４）上記２つのファジィ集合の論理積

「水温が中位かつ高い」のファジィ集合を求めよ。

（５）（４）の代表値を求めよ。

（６） 62.0 ℃に対する、「水温が中位」、「水温が中

位かつ高い」の度合いを求めよ。

(6)

ファジィ集合は言葉のあいまいさを定量化

暑い１

００１０２０３０４０

寒い快適

室温℃

15.0℃

14.9℃

１５．０≦ｘ≦２５．０

（ａ）従来集合

（ｂ）ファジィ集合 1.0

0.0 ０１０２０３０４０

寒い暑い

室温℃

μM(x) 快適

室温が快適（Ｍ）のファジィ表現

Ｍ = 0.25/0＋0.5/10＋1.0/20＋0.5/30＋0.25/40 (2.1) 5

＝ Σ μM(xi)/xi (2.2) i=1

＝ ∫ μM(x)/x (2.3) v

(7)

ファジィ集合の記述関数

1.0

0.0

０１０２０３０４０

寒い快適暑い

室温℃

0.5

室温が快適

∫μ快適（室温）／室温 1.0 ： 16.0≦x≦24.0

0.5 ： 10.0≦x≦30.0 0.25： 0.0≦x≦40.0

（１）最大に適合する区間：１．０

（２）普通に適合する区間：０．５

（３）少しは適合する区間：０．２５

左下がり関数（Ｓ関数）

右下がり関数（Ｚ関数）

凸（富士）型関数（Π関数）

(8)

Ｓ型メンバシップ関数

（ａ） S1 ( x , as )

as X

1.0

0.0 0.5

(d) S3( x,as,bs,cs) ( ただし，bs < 0 ) cs as 1.0

0.0 0.5

|bs|

as+bs X

(e)S3(x,as,bs,cs) ( ただし，0<bs ) cs

0.25 1.0

0.0 0.5

as bs 2 bs

as-bs

as-3bs X

(b) S2(x,as ,bs ) ( ただし，bs < 0 ) (c) S2 ( x , as , bs ) ( ただし，0 < bs ) as

1.0

0.0 0.5

|bs|

as+bs X

bs 1.0

0.0 0.5

as 0.25

2 bs

as-bs

as-3bs X

(9)

Ｚ型メンバシップ関数

(a) Z1 ( x , az ) 1.0

0.0 0.5

az X

(b) Z2(x,az,bz ) （ただし，bz < 0 )

1.0

0.0 0.5

az bz

0.25

2 bz

az+bz az+3bz

az 1.0

0.0 0.5

|bz|

az-bz X

az cz 1.0

0.0 0.5

|bz|

az-bz X

(d) Z3(x,az,bz,cz) (ただし，bz < 0 )

X

1.0

0.0 0.5

az bz

0.25

2 bz

az+bz az+3bz

cz X

(e) Z3(x,az,bz,cz) （ただし，0 < bz ) (c) Z2(x,az,bz ) （ただし，0 < bz )

(10)

π型メンバシップ関数

1.0

0.0 0.5

as=az X

(a) π11 ( x , as, az ) (ただし，as=az )

1.0

0.0 0.5

as az X

(b) π11 ( x , as, az ) (ただし，as < az )

(c) π22 ( x , as , az , bs, bz )

(ただし，as=az, bs < 0 , bz < 0 ) 1.0

0.0 0.5

as=az

|bs| |bz|

az-bz X as+bs

(d) π22 ( x , as , az , bs, bz )

(ただし，as<az, bs < 0 , bz < 0 ) 1.0

0.0 0.5

|bs| |bz|

as az

as+bs az-bz X

(e) π22 ( x , as , az , bs, bz )

(ただし，as=az, bs < 0 , 0<bz) as=az

1.0

0.0 0.5

|bs| bz

as+bs az+bz

0.25

az+3bzX 2 bz

(f) π33 ( x , as , az , bs, bz,cs,cz ) (ただし，as<az, bs < 0 , 0<bz)

as 1.0

0.0 0.5

|bs| bz

as+bs az+bz

0.25

az+3bzX 2 bz

cs az cz

(11)

列挙型・ベクトル型メンバシップ関数

列挙型メンバシップ関数

x1 x2 x3 x4 x5 xM-1 xM

y1

y2

y3

y4 y5

yM-1

yM 0.0

1.0 X

μ（ｘ）＝｛ｘ： y1/x1 + y2/x2 + ・・・ + yM/xM ｝

ベクトル型メンバシップ関数

0.0

1.0 X

Δx = xN-x0

N

x0 xN

g0

g1

g2

g3 g4

gN-1

Δx

gN

μ（ｘ）＝［x : x0 , xN ,N ］< g0, g2, ・・・, gN >

(12)

ファジィ集合のＳ,Ｚ,π関数による表現

1.0

0.0

０１０２０３０４０

寒い快適暑い

bs bz

as az

0.5

室温℃

μ快適（ｘ）＝{ x: 0.25/0 +0.5/10 +1.0/20 +0.5/30 +0.25/40}

＝［x : 0 , 40 ,4 ］< 0.25, 0.5, 1.0, 0.5, 0.25 >

Ｓ，Ｚ，π型関数を用いて

（１）最大満足（グレード値＝１．０）区間：［１５，２５］

（２）ほぼ満足（グレード値＝０．５）区間：［１０，３０］

（３）適合（グレード値＝０．２５）区間：［０，４０］

μ快適（ｘ）＝ π（ｘ， as， az， bs， bz）

＝ π（ｘ，１５，２５，５，５）

μ寒い（ｘ）＝Ｚ（ｘ， az， bs）＝Ｚ（ｘ，１０，５）

μ暑い（ｘ）＝Ｓ（ｘ， as， bz）＝Ｓ（ｘ，３０，５）

(13)

ファジィ集合の各種表現

三角型ファジィ集合の表現

1.0

0.0

０１０２０３０４０

寒い暑い

10 10

0.5

室温℃

快適

全体集合(x0,xN)に依存した「快適」の表現

室温℃

1.0 0.0 X0 a=(x0+XN)/2 XN

快適

0.5 b

b= XN-X0 b 4

1.0

0.0

０１０

15

２０３０

7.5 7.5

0.5

室温℃

快適

全体集合を「0℃，30℃」とした「快適」の表現

(14)

ファジィ関数記述上の注意事項

（１）全体集合の変化範囲

・各状態量や評価量の変動範囲や平均値を基準

（入力データをＡ／Ｄ変換幅）

・平均値ｘ，標準偏差σを計算

定義域：（ｘー２σ，ｘ＋２σ）区間

メンバシップ関数を平均値ｘや標準偏差σで記述

・定義域を変更 → 意味合いを変更

（２）ファジィ集合の順序関係

1.0

0.0 ０１０２０３０４０

快適暑い

bs1 bs2

0.5

言葉の意味の逆転例

室温℃

(15)

ファジィ集合の例

「水温が中位」：

Ｍ＝ ∫ μM(x)/x

μM(x) ＝ π（x, 35, 45, -25, -25 )

＝｛ｘ： 0.3/0+0.5/10+0.7/20+0.9/30+1.0/40

+0.9/50+0.7/60 +0.5/70 +0.3/80 +0.1/90 +0.0/100｝

「水温が高い」：

Ｈ＝ ∫ μH(x)/x

μH(x) ＝ π（x, 80, 90, -12.5, -10 )

＝｛ｘ：0.0/0+0.0/10 +0.0/20 +0.0/30+0.0/40

+0.0/50+0.1/60 +0.6/70 +1.0/80 +1.0/90 +0.5/100｝

水温の全体集合：［水温］＝［ｘ：０，１００，１０］

μM(x)＝［水温］<0.3,0.5,0.7,0.9,1.0,0.9,0.7,0.5,0.3,0.1,0.0>

μH(x)＝［水温］<0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.1,0.6,1.0,1.0,0.5>

水温が高い水温が中位

0 1.0

0.0 20 40 60 80 100

μM(x)

(16)

ファジィ積和

ファジィ論理和・論理積

水温℃

水温が中位 and 水温が高い μM∩H(x)

0 1.0

0.0 20 40 60 80 100

μM(x) μH(x)

水温℃

μH(x) μM∪H(x)

水温が中位 or 水温が高い

0 1.0

0.0 20 40 60 80 100

μM(x)

(a) 論理和 (b) 論理積

ファジィ代数和・代数積

μM田H(x) 水温が中位 or 水温が高い

1.0

0.0

水温℃

μH(x)

0 20 40 60 80 100

μM(x)

水温が中位 and 水温が高い μM・H(x)

0 1.0

20 40

0.0 60 80 100

μM(x)

水温℃

μH(x)

(a)代数和 (b)代数積

0 1.0

0.0

20 40 60 80 100

μM(x)

水温℃

μH(x)

(a)限界和

μM H(x) 水温が中位 or 水温が高い

○

＋

1.0

0.0 0 20 40 60 80 100

μM(x)

水温℃

μH(x)

(b)限界積水温が中位 and 水温が高い

μM H(x)○・

ファジィ限界和・限界積

(17)

ファジィ補演算

水温が中位

0 1.0

0.0 20 40 60 80 100

μM(x)

水温℃

1.0-μM(x)

水温が中位でない

(18)

ファジィ修飾演算

ファジィ修飾演算（べき乗）

非常に適切やや適切

適切

0 20 40

1.0

0.0 60 80 100

μN(70)=0.5μN1/2(70)=0.71 μN2(70)=0.25 水温℃

ファジィ修飾演算（先鋭化）

ファジィ修飾演算（傾き修飾）

非常に適切

やや適切適切

0 20 40

1.0

0.0 60 80 100

|2bs|

|bs|

|bs/2|

0.5

水温℃

as 1.0

0.00 20 40 60 80 100

|bs|

|bs/2|

as-|bs/2|

適切ほぼ適切

0.5

(19)

非ファジィ化演算

非ファジィ化演算（重み付き重心法）

代表値＝48.2

0 1.0

0.0

20 40 60 80 100

水温℃

非ファジィ化演算（αカット要素平均法）

（ａ）αを１．０とした場合（ｂ）αを０．５とした場合

0 20 40

1.0

0.0

60 80 100

α＝1.0

代表値＝45.0

水温℃

代表値＝50.0

0 20 40

1.0

0.0

60 80 100

α＝0.5

水温℃

( ) ( )

i N i

N i

x x

u x

m

= å m

å ^g

(20)

exfuzmin.m

point_n=21;

min_temp = 0; max_temp = 100; % universe is [min_temp, max_temp]

% n点の等間隔ベクトルの作成

temp = linspace( min_temp, max_temp, point_n )';

% define fuzzy set

% /---k Temp_Middle

% /25 25k

% +---/ k---

% 0 35 45 100 deg as = 35; az=45; bs=-25; bz=-25;

Temp_Middle = min( min(max(0,1-(temp-as)/(2*bs)), ...

max(0,1-(az-temp)/(2*bz)) ),1);

% /---k Temp_High

% /12.5 10k

% +---/ k---

% 0 80 90 100 deg as = 80; az=90; bs=-12.5; bz=-10;

Temp_High = min( min(max(0,1-(temp-as)/(2*bs)), ...

max(0,1-(az-temp)/(2*bz)) ),1);

% define fuzzy set sigma

% c2 = 50; sigma2 = 10 ;

% Temp_M = exp(-((temp-c2)/sigma2).^2/2); % fuzzy set B

% min( Tenp_High , B )

Temp_HandM = min (Temp_High, Temp_Middle );

c_Temp_HandM= sum(temp'*Temp_HandM) / sum(Temp_HandM);

disp('代表値 ΣXi*μ(Xi)/Σμ(Xi)') c_Temp_HandM

% ploting figure(1);

plot(temp,Temp_High,'y--', ...

temp,Temp_Middle,'m:',temp,Temp_HandM,'c');

axis([-inf inf 0 1.2]); xlabel('Temp(deg)');

(21)

Matlabによる図面の作成

^{% 以下をｍファイル} ex1a.m として保存し実行。（直接実行でも良いが。）

temp=[0, 25, 50, 75, 100];

Temp_High=[ 0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 0.7];

figure(2);

plot(temp,Temp_High, 'b--');

axis([0, 100, 0, 1.2]);

xlabel('Temp(deg)');

grid;

title(' Matlab図のタイトル');

・ bitmap ファイル（ <Alt>+<PrtSc> でクリップボードへ、それを、

word ,ppt へ貼り付け <Ctrl>+c 。）

拡張メタファイル＝ EPS ファイル

・ Figure の [ 編集 ][ コピーオプション ] で情報保持とし、

・ [ 編集 ][Figure のコピー ] で , 拡張メタファイルをクリップボードへ。

・ ppt で編集 >>illustrator などへ

EPS として、 TeX 論文に使用可能。

（画面上で適度に縮尺しする。軸名称など、編集できる。）

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Matlab図のタイトル

(22)

安信誠二

知的制御システム

第２週目

安信誠二

筑波大学 大学院

システム情報工学研究科

ファジィ理論とは

「少し」とか「若い」と言った人間が扱う，言葉の意味や状態の認識・評価における主 観的な「あいまいさ」をコンピュータで取り扱う手段

ザデー（Zadeh)教授（米国カルフォルニア大）が、1965年に提唱 ファジィシステムは，「あいまいさ」を含む人間の知識を持つ

Ｆｕｚｚｙとは、「けばのような，けば立った、ぼやけた」を意味する形容詞

「ファジィ集合」を直訳すれば，「けばけばな集合」や「ぼかした集合」

従来の２値論理の集合を、クリスプ集合と呼ぶ このＦｕｚｚｙの発音の片かな記述は：

日本ファジィ学会等では、「ファジィ」

電気学会や新聞等では、「ファジー」

中国では、「曖昧模糊」から「模糊集合」と呼ぶ

ファジィ集合は、人間が主観的に捉え言葉で表現している概念をその情報量に応じ て大雑把・大局的に定量化し，コンピュータで扱おうとする概念

→ ファジィ情報処理は，人間の大局的な状況認識や，目的評価に関する知識（ファ ジィ知識）をコンピュータで実現

ファジィ理論は近似的な補間や内挿を行う近似処理技術でもある

あいまいな知識について

（１）蓋然（確率）性：起こって見るまで不確か

「今日地震が起きる．」「サイコロを振って１の目が出る．」

（２）多義性：解釈がいく通りかある不確か

「ハシをつくる．」→「箸を作る．」「橋を造る．」

（３）不正確性：雑音や誤りの混入により不確か

・道路脇や電車内での会話 ・伝送エラー

（４）不完全性：情報の欠落，不足により不確か

「１００万円を預金したら利子はいくらか？」

（５）曖昧性：言葉の意味や定義のあいまいさにより不確か

「中級向けコース」「２０才から４０才程度の方」「胡椒を少々」

「金利が低い」「体温が高い（熱がある）」 → ファジィ集合

（６）その他

・いいかげんな不確かさ：同じ状況でも答えが違う

ファジィ制御の概念

知的制御システム 課題１

（１）「水温が中位」 のファジィ集合を定義し、それを実 現する関数 tempM を作成せよ。

（２）x＝０℃、１０℃、２０℃、・・・、１００℃のメンバー シップ値を求めよ。

（３）「水温が高い」 のファジィ集合を定義し、それを実 現する関数 tempM を作成せよ。

（４）上記２つのファジィ集合の論理積

「水温が中位かつ高い」のファジィ集合を求めよ。

（５）（４）の代表値を求めよ。

（６） 62.0 ℃に対する、 「水温が中位」 、 「水温が中

位かつ高い」の度合いを求めよ。

ファジィ集合は言葉のあいまいさを定量化

ファジィ集合の記述関数

寒い 快適 暑い

（１）最大に適合する区間： １．０

（２）普通に適合する区間： ０．５

（３）少しは適合する区間： ０．２５

Ｓ型メンバシップ関数

Ｚ型メンバシップ関数

π型メンバシップ関数

列挙型・ベクトル型メンバシップ関数

x1 x2 x3 x4 x5 xM-1 xM

y1

y2

y3

y4 y5

yM-1

yM 0.0

1.0

X

0.0

1.0

X

N

x0 xN

g0

g1

g2

g3 g4

gN-1

gN

ファジィ集合のＳ,Ｚ,π関数による表現

ファジィ集合の各種表現

三角型ファジィ集合の表現

1.0

0.0

10 10

0.5

全体集合(x0,xN)に依存した「快適」の表現

筑波大学大学院

「少し」とか「若い」と言った人間が扱う，言葉の意味や状態の認識・評価における主観的な「あいまいさ」をコンピュータで取り扱う手段

ザデー（Zadeh)教授（米国カルフォルニア大）が、1965年に提唱ファジィシステムは，「あいまいさ」を含む人間の知識を持つ

従来の２値論理の集合を、クリスプ集合と呼ぶこのＦｕｚｚｙの発音の片かな記述は：

ファジィ集合は、人間が主観的に捉え言葉で表現している概念をその情報量に応じて大雑把・大局的に定量化し，コンピュータで扱おうとする概念

→ ファジィ情報処理は，人間の大局的な状況認識や，目的評価に関する知識（ファジィ知識）をコンピュータで実現

・道路脇や電車内での会話・伝送エラー

知的制御システム課題１

（１）「水温が中位」のファジィ集合を定義し、それを実現する関数 tempM を作成せよ。

（２）x＝０℃、１０℃、２０℃、・・・、１００℃のメンバーシップ値を求めよ。

（３）「水温が高い」のファジィ集合を定義し、それを実現する関数 tempM を作成せよ。

（６） 62.0 ℃に対する、「水温が中位」、「水温が中

寒い快適暑い

（１）最大に適合する区間：１．０

（２）普通に適合する区間：０．５

（３）少しは適合する区間：０．２５

å ^g

・ [ 編集 ][Figure のコピー ] で , 拡張メタファイルをクリップボードへ。

（画面上で適度に縮尺しする。軸名称など、編集できる。）