4. 相関・回帰
(correlation/regression)
• 4.0
相関関係とは？
• 4.1
相関係数
correlation coefficient• 4.2
自己相関
auto-correlation• 4.3
相互相関
cross-correlation• 4.4
相関解析の実例
applications• 4.5
相関の有意性
significance of correlation –相関係数の検定
test of correlation coefficient –等価自由度
effective degree of freedom• 4.6
回帰
regressions–
回帰係数
–
回帰係数の区間推定
• 4.7
回帰分析の実例
applications4.1 相関係数 Correlation coefficient
共分散
covariance 分散
4.1
相関関数は、 -1 ≤ r ≤ 1 の値を取る。
相関係数と散布図
x y,z
例1:
例2:
相関係数がゼロだからといって、 2 つの変数の間に何も関係 が無い訳ではない。 Æ 相関係数は 2 つの変数の間の線形関係
（ 1 次式）の強さを表している。
x と y の平均はそれぞれ 3 と 5 だから、
相関係数 r の分子は、
(2-3)(2-5)+(5-3)(5-5)+(0-3)(10-5)+(4-3)(2-5) +(1-3)(5-5)+(6-3)(10-5)+(3-3)(1-5)
= 3-15-3+15 = 0 Æ r = 0
4.2 自己相関関数 （ auto-correlation function ）
アンサンブル平均
定常確率過程では時間平均で置き換えることができて
時間平均
R(
τ
):
R(τ)= R(-τ) Æτ =
0 について左右対称|R(τ)| ≤ 1
4.2
τ： lag
Covariance function
Autocorrelation function
ラグ相関
関数
自己共分散関数
ずらす
ずらして
かけあわせる
x(t-τ)
代表的な時系列関数と自己相関関数の形
x(t)=asin(2πft+θ)+r(t)
white noise
Cf.イサカの例
自己相関関数の例：ニューヨーク州イサカの
自己相関関数の例：ニューヨーク州イサカの 1987 1987 年 年
1 1 月の日最高気温（華氏） 月の日最高気温（華氏）
自己相関関数の例：ニューヨーク州イサカの
自己相関関数の例：ニューヨーク州イサカの 1987 1987 年 年 1 1 月の日最高気温（華氏） 月の日最高気温（華氏）
（自己相関関数） = （ラグ自己共分散） / （分散）
4.3 相互相関関数 （ cross-correlation function ）
異なる変数間でのラグ相関を求める
Rxy(0)=1 にはならない。
左右対称にはならない。
4.3
相互相関関数の計算式
伊藤・見延 (2010)
図Ｃ
ダーウィンと世界各地の年平均海面 気圧偏差の相関係数(x10)。
係数が正の値のところはダーウィンの気圧が通常より高いときにその場所の気圧も通常より高い傾向にあり、係数 が負の値のところはダーウィンの気圧が通常より高いとき、逆に通常より低い傾向にある。数字の大きさがその傾 向の程度を示す。(Trenberth
and Shea,1987,Mon. Weather Rev.)4.4 相関解析の実例
季節変化は落ちている
南方振動の発見 4.4
一点相関図
タヒチ
Mawson Davis Casey Vernadsky original 0.669 0.679 0.648 0.699 high-passed 0.685 0.638 0.634 0.611 high-ln.tide 0.618 0.564 0.557 0.548
Original High-passed
相関解析の実例 南極の水位の変動
自己相関関数・相互相関関数
0 10 20 30 40 50 60
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Lag (day)
Correlation coefficient
Syowa-Syowa
Syowa-Mawson
自己相関関数・相互相関関数
-60 -40 -20 0 20 40 60
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Lag (day)
Correlation coefficient
Syowa-Syowa
Syowa-Mawson
Syowa lead Mawson lead
Long-term
相関解析の例 その２ AAOと海洋応答
Antarctic Oscillation
10-day bins
気圧のパターン AAO Index
気圧パターン変動の時係数
AAO index HIGH AAO index LOW
L L H H L H
L H
Westerly anomaly
Easterly Anomaly Northward
Ekman drift
Southward Ekman drift
