著者太田光雄, 小泉卓也, 真下亨

(1)

相関ある任意Step数のニ変量N次元酔歩過程と

‑Iankel変換形結合特性関数法

著者太田光雄, 小泉卓也, 真下亨

雑誌名福井大学工学部研究報告

巻 15

号 2

ページ 271‑282

発行年 1967‑09

URL http://hdl.handle.net/10098/4916

(2)

相関ある任意 S : i ep 数のニ変量 N 次元酔歩過程と

I ‑ ‑ I a n k e l 変換形結合特性関数法

持普骨普骨

太田光雄・小泉卓也・真下亭

Two C o r r e l a t i v e S e r i e s of N ‑ d imensional Ra ndom Walks with Ar b i 廿 ary Number of Steps and the Method using a Joint C h a r a c t e r i s t i c Function in the Form of Hankel Transform.

Mitsuo OHTA ， Takuya KOIZUMI ， Tooru MASHIMO

( R e c e i v e d March

27， 1967)

The f o c u s o f t h i s paper i s t o f i n d o u t t h e o r e t i c a l l y t h e g e n e r a l s o l u t i o n t o t h e problem o f two c o r r e l a t i v e s e r i e s o f N ‑ d i m e n s i o n a l random walks w i t h a r b i t r a r y number o f s t e p s .

I n t h i s problem ， two p a r t i c l e s undergo two c o r r e l a t i v e s e r i e s o f N‑dimens‑

i o n a l random d i s p l a c e m e n t I r

h h

I r

h2'

…………Ir

hs

( w i t h a c o n s t a n t c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t o f I I r

1t

I and 1 l I . ' μ 1 ) ， t h e magnitude and d i r e c t i o n o f each d i s p l a ‑ cement i n t h e hth s e r i e s

(h =

1 ， 2 ) b e i n g independent o f a l l t h e p r e c e d i n g o n e s . But t h e j o i n t probab i 1 i t y t h a t a p a i r o f t h e d i s p l a c e m e n t s I r l i ， I r 2 i l i e s i n t h e i n t e r v a l s ( J r

1

i . J r

1 i十

d I l ¥ i ) ， ( J r 2 i ， I r 2 i

十

d I r

2i)

i s governed by a j o i n t d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n a s s i g n e d a p r i o r i . We a s k ; What i s t h e j o i n t probab i 1 i t y P ( R

h

R2 ) dR

₁

dR 2 t h a t a f t e r s d i s p l a c e m e n t s t h e c o o r d i n a t e s o f two p a r t i c 1 e s l i e i n t h e i n t e r v a l s ( I R l o l R l + d I R l ) ， ( I R 2 ' l R 2

十

d I R 2 ) ?I t i s seen t h a t i n t h i s problem t h e p o s i t i o n l R

h

o f t h e p a r t i c l e i n t h e h t h s e r i e s i s t h e r e s u l t a n t o f s v e c t o r s ，

I r

hi (i=1， 2，……s;

h

= 1， 2).

F i r s t ， we c a l c u l a t e t h e j o i n t probab i 1 i t y d i s t r i b u t i o n d e n s i t y f u n c t i o n P (R

_b

R2 ) i n t h e form o f t h e g e n e r a l s e r i e s expansion by u s i n g a j o i n t c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f t h e Hankel t y p e . And t h e s e r i e s expansion e x p r e s s i o n g i ves t h e g e n e r a l c o r r e l a t i o n s ， o f which t h e u s u a l l i n e a r c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t P

E

o f R2

1

and R22 i s a f i r s t o r d e r approximation o f c o r r e l a t i o n .

i t i s seen t h a t our e x p r e s s i o n a g r e e s with t h e s o l u t i o n d e r i v e d a l r e a d y from another p o i n t o f view f o r l a r g e v a l u e s o f s .

271

1

緒言

Random

な歩みの

V e c t o r

和に関する確率問題は，

すでに発表したごとし一般に酔歩問題1)として定式化されている口たとえば，各要素的

V e c t o r

が岨素平

面内での波動

V e c t o r

や物理的な

B r o w n i o n

粒子の位置

V e c t o r

，運動

V e c t o r

に採られたり，または

S h a n n o n

の標本空間

2 )

における信号

V e c t o r

に採られる時は，

それぞれ2次元. 3次元，または2TW次元2)8> (即ち， N次元〉空間における酔歩問題に対応する。

署教控蝉助手柑普大学院学生

(3)

S. O. Ri田の Fourier展開形雑音表示Dによれば White Noiseはすでに知られているごとく 2次元の複素平面内における正弦波Vectorの控動合成として model化することが出来る。さらにこのmodel化の精神を拡張すれば，任意の不規則現象に対して，その担い手がL、かなる粒子であるか，またはその粒子のしたがう個々の因果的法則性がどのようなものであるかといった点よりも，むしろ結果的な記述での多元的な振舞そのものにより多く注目して，これをN次元関数空間内での random proc回Sだとみなすことができ例えば正規直交関数群をその座標軸に選ぶことも可能なのである心。

このように， random現象の多様な振舞自体を解析する場合，その解析の場である確率空間の次元数にとって，第一義的に重要なのは，担い手である個々の粒子の実在する空間であるよりは，むしろこれら各粒子の振舞を構成する要素的分布の形状，その独立性の個数，あるいは機能的な構成様式そのものなのであるo すなわち，不規則さの多様性を縮退なしに，少しでも多く盛ることのできる可変な多次元的考察を必要とす

る。￨

( 1 ¥ 2cm‑1) (R₁R₂)m

r

^国

f

∞

P(R，tR2) =

¥τ)7zwz 叫

272

F(m)r(m)]m̲l(R1).1)]隅ー1(R2A2) F(ん， À2)= く一 /).J?':'\~"-;{-~2}~; "\~~~-，，..，，/

>

¥ 2 / ¥ 2 /

一般に，正規直交関数展開した Parsevalの完全関係から強度変動量が球形和の距離の問題として処理できることから，検漉・平滑・予測等各種信号変換における具体例を個々にあげるまでもなく，題意における N次元酔歩問題が不規則信号解析へ応用できることは明白である口

本報告では，特に互いに相異なる2時点での不規則信号波の相関効果に考察の焦点をおいてこれをmodel 化L. N次元空間内における相関ある2変量の酔歩問題として理論的に考察しており，物理的な具体例との関連にも言及しているo

2 一般的毒事

2 ‑ '

^相関ある^N^{次元酔揖問題と高次}Ê^副â^kê^l^{変換}

形結合特性関数法の導入

正の領域内でのみrandom~.こ揺動する 2 個の物理変量:Rlo R2に対して，その結合確率密度関数P(R1.R2) 高次Hankel変換形結合特性関数法を用いて，次のご

とく積分表示されることがすでに知られているD4)sm

( m = i ‑

^〉

日

2

( (

ここにく〉は Rh んの長さのみに関する平均記号を意味する。題意、のN次元酔歩問題に対しては. N次元空間内で，

s s

IR1 = ~ ll.'li

，

IR2 = ~

I r

2i ‑……… .(3) なる各酔歩ll'h.i(h = 1. 2)に関するs

1

固(sはstep数である〉の Vector和田10 IRzを考えることに対応する。ただし， model化に伴う特性として， ll' liとll'2iとの間には一定の相関を許すが，各酔歩ll'liとll"li， ll' ziとll'2i， II' liとIf2i(iキj)とは統計的に独立だとする。すなわち.

J I

"tiと

I r

2iとの聞のみに相聞を考えるでのあるから，

高次Hankel変換形特性関数F(A1，A2)は次のように書きあらためられる口 s

F (九ん)= JJ Fi().l， ).2) ただし

TCm)T(m)]恥 l().山i)]m̲1 (..i2r2i) Fi(

ん

，A2)

=

く一

‑ 1 ; : ; 日

m‑l

ー

^A²^r²^i¥m‑l

¥ 2 / ¥ 2 /

‑ー・ー・・・・・ー・・(4)

)

VU

さらに，どの酔歩にも平等な重みをもたせて考察することから，互に対になった各酔歩IfliとII'2i(i= 1，2，……s) が同一分布にしたがう場合には，Fi (Al，A2)はすべて等しくなれ結局F (九ん〕は，

F(m)T(m)] m̲1 ().lrl)] m‑l (AZr2) ̲̲̲ s F(A1.A2)=く _{ A~:;-:-丁目一一寸一一〉_1"1¥机一1f A2 r2 ¥一一

¥ 2 / ¥ 2 /

. ~ . . . . . . . .・・(6)

(4)

のごとく陽表示されるD

2

・

2Hankel変換影結合特性閑散の級数展開表示

273

を，

次にP(R1 • R2)を相関の深さによる級数展開の形で導出すべく.Levyの連続定理に照Lて，この特性関数

F(A1.A2) ::::: FO((Al.A2)g(Al.A2) g(..l.lo A2) ::::: 1 十 ~BijÀ12iÀ22j

‑・・・(7) ...・・(8) のごとく展開表示し，相関が全くない場合の各酔歩過程における既発表8)の結果と独立性の積表示を用いて特に FO()'l. A2)を

r ̲

fs (r12) ， <) ， s (r22)， <)

1 i

FO(Al

，ん): : : : : e x p L ‑ r ， i ' ' ; ' /

AJ2+ ~ 4~~

/

^A^z²

t J

^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^・^・⁽⁹⁾

のごとく採れば，結合確率密度分布P(R1 • R2)の初項は，各々 Rl> R2に関する{阿々の独立な周辺分布P (Ri) (i::::: 1.2)の積表示として算出することになる口 L、L、かえれば.g(À_{J •}A2)の第2項以下に RlとR2との聞における独立性からのずれを反映するのである口

すなわち，

fsくr12)，<) • S (r22)， Q

1 / '

r(m)r(m)J明 1(A1rl) ] m‑l (A2r2)

旦

g(A1

，

A2) =

e x p f 4

示...!..A12

+ 4

函...!..A22

J

く

I 五万 1Jf7li‑rF

「一〉

¥ 2 / ¥ 2 I のごとく書き改めることができ，これを級数展開表示に直す。

く r(m)r(m叫)J抗札山一‑l(はAlν川lrr

一一

_(与~)_m_‑_l

( 与 ι)

11<‑1 .‑‑r

= く三 km~( 二丘 h124.2 F(m~( ゴより22jf

i~ i!r(m十i) ¥ 4 J " 1 j

7 o

j!r(m+j) ¥ 4 J

= 崎 { 2 完

^t

! J

^刀

J d 点 ! f j J R j Z ぷぶ〕 ; i 詰 3 ^矢 ^均 ^: ^な ^: ^弘 L j ^刀 ⁾ く < ( 千穴 ) ( i ~与子 ) i い > ( ^一

¹^叩⁾^ド^t什川川 + 吋吋+J札川』んげA1122

=

f Eω

¹²ⁱ A22j } S

ただし，

aii r(m)r(m)(ー 1)廿J(r12ir_，

i

^j) ij = i!j! r(m十i)r(

示可証

t丙「である。また，

Do = aoo

+

a01A22

+

a02Ae

+ ・ . . . . . . . .

Dl = al0 +allA22十a12A24+

ー . . . . . . . .

十︐a言︒晶︑aaHぬ語a

+

06

9 h'

噌 ︐

A‑唱曲

a +

h o

‑ ‑ ι v

a . 一一・

・噌砂D

で与えられた記号Di(i=0， 1 ，2.....・H・.)を導入して， (11)は

{ L :

aijAI2iA22j}S= (Do+D山2+D2A14+....・H・.)S i，j

となり，罵級数の累乗に関する恒等式:

{Do+D1X2十D2X2十

} S : : : : : 呈ち

1

似Jj~DotDluD2V...Xl

l=O t+u+v+... =$

u+2v+3w+日…・=1 を利用する。このとき，。必は次の展開表示にまとめられる。ここに，

{ H ^，

â^l^l^'Â¹²^lÂ2²^l^'

r =~ ~t\

₁₌₀₁_'₌₀₁

^>

₀₊_/₁_十_・_・_・_・_・_{・ =1'}^，^，^:

L"，，~-__-，-_.----.j以~}

~t+u+v+ ・… ..=s

u+2v十3w+...=1

.......(10)

︑ ︑ 白白

' Z

a '

4a 且(

• •

•

)

nL

I l

‑‑

•

'

•

• . . . . . . ・

0司

‑・・・・・(14)

) F円U

h u

‑‑

•

'

•

・

(5)

× ( 〉 17IArab _{ali み} _H~1MJ!41 砕 api

lt1十t2十・…..=t ^{円 '~2"}³^'^~ I lU 1 ト‑U2+...=U ^岬¹帥・Z'

t2+2t3+・・・・・・=/0 u2+2u8十日….=/1 274

....U6l

{~

^司_，ー_1.1-1士二

! f

--:-a~OI^{制山嗣}a

幻

²^a^;^l^.^.^.^.^.^.^f^l

…

^'^，⁽¹²^L⁽^，²²^L^'⁼^~A_，^ll''(仰^z^町

VI十円+・・・・・・=v ^V^l'^v~. /，t' V2+2va十・・・=ん

×

All'ニ > ~ ^~ラ司_t.~

，

_t_!_u_!

~f!~

_v_!_'_"

J 1 . " > ‑ ， ‑ . ̲ ̲ ̲ ，

^‑‑‑1^司

_記示二二

^t!t1tziâôôâôⁱ

… _j

10十/1 十一^•=1' 't十u+v+・・・・・・ =s .;...;v， ^~‑^~J 't ₁

+

^t²^十^・^…^・^・^=t ^.¹^"²^'^‑^‑^‑^‑^‑^‑

u+2v+3w十・・・ー・・=/ t2+2t3+3t4十・・・ー・・=/0 ただし，

︑BEt‑'J

向日

a

u

m

a u ‑ ‑

w

一

. w

x~ ^予

見UI+U2十..…・=u u2+2u8+3u4十・…日=/1

t ~ • ~ • • • • • ・・(.1'7)

ち

であり，t+U+V+…=s はt+u+v+…=s，u+2v+3卸+…=/をt，u， v， W， s， 1が満足するあらゆる正整数 u+2v+3w十・^H ^ニf

値の組合せについて和を取ることを意味する口

ちなみに，上の結果で./ ， I'.S.t...の各組合わせを考えて '/.1':が小なる場合のAu'の具件釣な表示を求めると次のようになる口

¥︾/'‑

︒ 町一

m

/ ¥一・凋斗

A

e u一

A 一一

(722)

Aoo^戸 1

，

_AO1=‑1V'

‑・・佃) An'ω 2.> 一= ~^{(s ー}

・

¹⁴²⁾⁽⁷²²^m2^{) 2 + s}^‑^‑^'²

・

⁴²^m⁽⁷²⁴⁾叱m十1)

A"'Wn ‑ ⁼^S⁽^S2^ー

・

¹⁴²^〈^〉^m2^Y12^〉^{2 + s(71}^‑^‑^'²

・

⁴²^m2^(m⁴⁾^十 ¹⁾

s(s‑1 )(s‑2)(1'12)(722)2 S(s ‑ 1 )(7₁2)(1'24)

2

・

⁴^3m^B

^一一一

²

・

⁴⁸^m2(m^十¹⁾

A ^S(s‑1〕〈

r J

〉〈^η2〉_{+ s}く712722) 一一一一一一一ー一一一」戸一一一 11 ‑ 42m2 ‑‑‑. 42m2

A'9 12一

り干

bw

pr一

oh

JO

一ms

一が

﹁9耐

s(s‑1)(722)(1'12₁_'22) 48m8

A9211 一一-~^(s- ¹^)(s‑2)(7222

・

⁴^3m3 ^)(712)2

一一一一一一一

^s(s‑²

・

⁴^3m2(m+1)¹⁾^(7l)(71⁴⁾

s(s ‑1 )(1'12)(7121'22)2 s(rI⁴1'22) 48m3 ‑2

・

^4B^m2^(m+¹⁾

すなわち，独立性からのずれを反映した因子は

r

且「向

^s(^ケ⁷¹

の

²^り). ^Q ^，^s⁽ケ722り

Ll

^μ2

l

g瓦(，(ん1>

ω

A

z ρ )

₌₌~AんU'寸À 1♂円z

1^，1'νr‑^oo^~1

̲ . . Y

_l₄m " 1 4 m ‑J (s (712)¥i(s (722)¥J

= 呂

^A^{川町}²²

守 ¥

^~^4'~

) ' _l

^~_4'~^I) 刷 z

勺写「

品切

白川HV

7545 ^卜 ⁽ ^三 ^宇 y ( _ラ _ヂ ⁾ ^j

^，⁽¹^{山 )}^A²²^(j+t^η

となり，ここで.l+i=ρ， l'ートj=qとおくと，

!

，

_~^Ap̲i，q̲J (s (712)¥i(s (722)¥j

g(At.A2)

= 日系

^..1'

ⁱ ⁱ ^j ^J

^{‑ J}^¥^v

⁴ ^' ^' ^; ^'

^I) " ¥

v

4 ' ; '

^I

r

^A1²^P^A22^q

^二 ^五 ^M

^附 ^・^・^‑

⁸

^曲

T

こだ

L .

)

唱E E_品

川MW

のごとくまとめられる口結局，高次 Hankel変換形結合特性関数は次のような展開形で陽表示される。

B

問=結竺 F( 呼 Y U ‑ ゑ竺 y

(6)

275

F(~1.~2) =FO(~1> ~2) ・ g(À.h À.Z⁾

r

^f^s⁽^r¹²⁾^.^Q^，^S⁽^r²²⁾^.⁰

¹ ¹

"，...，... . 0 ̲ . 9

=

exp

ト r ' 4 す

A12+IJ』州

今，ずれの評価に寄与する g(.tl>A₂)の各展関係数 B聞を.P. qの値の小なる場合について求めておこうO

Boo = 1. B01 =B10= 0 B

札11

訪

4

ネ

2

キ主一 { ( 仇

2)

一

(r町吋山♂1z

B .

， == ~くr1^Z){くr什22) 一 (r1♂2)くr2♂2)}

2

剖1

一

4⁸m3

B'_I宮9 =

‑

s(rz2){ (rI2r₄₃l')ー(rI2)(r22)}

m³

B‑fizz!21.s

(rI⁴)

m

一一

2

・

42m2'2

・

42m(m+1) B

一一区空位ご，+、

s (r2⁴)

02 ‑ 2

・

42m2'2

・

42m(m十1)

‑・・・..ー・..(22)

...岡

¥ / 一

ケ一日

め一十

一 r

一m︿一

rk

ト一ぽ

げ一

4

J m

52 一

︑ も

EJ一

︑ ︑ 〆〆一円

ノー ︑ 一一﹀

14

の一 +

込ト一用ザ一耐

4

h一2

/ピ

¥一

FJ3h‑

e u一

相関ある

N > > < :

元酔歩問題と結合確率密度関散の級数展開表示

次に，ここで算出した F(.i!I，A._Z)から，結合確率密度分布 P(Rl>R2)は，倒を(1)に代入して (R₁R心情

f

^∞

f

^国

P(Rl，Rz)

= 子干

1

町

m川 m〉

JJ

^{( 』附]}^rⁿ^‑¹⁽^A^.¹^R1^)J^{叫ん}^R2^)F⁽^.ⁱ^!¹^.^.^A^z⁾^d^刷 ²

2

・

⁵

̲ S (r12)1.2 4 m 1 「

dA1

I

r R1rn

r

∞

= E B p q ・ 1 2 ^m ^{干扇子} _j

^A^門

I

^恥 1(R₁A₁)

ーl

ld ' aa H

︐

a

3A ︑_{p '}一

ケ一制

︒ ︒

一

「 R2

鴨「閣

x I

2^炉2r¹n‑⁷且tド一ザ(m〉

J

^Ah^宮叩^リ^q^I^{宵隅払山~-川}^-1^(R

^ω

ê ^，Î •^~Î^ー^・^・^・^・^・^・^駒

のごとく， P1 • R₂の分離した各因子の積で表示で、きる。ここで，積分公式⁽⁶⁾

r ( ^μ+ν'¥

(~)νa:

、

J

_t^tp^p.‑^.^‑1¹e^e‑^‑p^pz^zt2Jy(at)dt= ^t²^J^y⁽^a^t⁾^d^t⁼^r~~-^{¥ 2 / ¥}r(y+ ~，.~、ノ

²

^，

‑<一一一

1 )2

・

^2P^p^体^{/ 4 f}e

111‑F

F

f v ‑ μ a

^¥^十

^ν+

^1 ;^/4p2)

) }

...・・₍₂_日において，

R，^Z

p 一一一一一一一ーー ‑←ーニ一一一 '02

、、

f

m B [ E E

^{m +}^ρ^)(Rd

〆吋金四千

_e 昨川町_F1

(

ー^ρ;m;

ー ^~\/m ^)l ^l

β ^問 12m{F(m

〉

^}2(

〆 ^s( 付 ^{)/4m)2p ー\}

^m;sく ~2>lm)

J l

^例

i

^削

...~~

ρ2

=五

_4mⁿ²⁾

ν=m‑1

，

a==Ri (i=l

，

2) と変数変換した結果を用いれば，

P(R1

，

Rz)

μ=m+2P十1

，

t=.Aら

R22

xr~ _L

₂_;²_;^rnr_f_r₍

_， _"

^(m

_'

₎^+q)₁₂_‑_{_，₎^(R:>~_2\ìA欄²^/^干^/s^くが^)Im^)2q+悦

^〉竺

~'"ι1\"'

L

e

‑ 3 Z F ; E 5 7

^函

_J1f‑

q;m‑‑E^，....s(，._;2)/mJJ

乙 J 1

の展開表示が導出される口さらに， Laguerre倍多項式と合流形超幾何級数との関数関係耐:

..(2!J を師に用いて，結局，題意の相関ある2個のN次元酷歩問題に対する結合確率問題としての解は，次のように級数展開の形で陽表示される。

m!r(n) _T^(叫ー1) lF1( ‑m;n; z)

= ‑ r ^窃芋あ

^Lm ^(z^〉

(7)

276

R12 RZ2

…

〕 ^{= d Z} ^房

^)m^e

^初 77kdb7V‑G37 玩

x _t

L:; B

_t

ρ!q! ・ L~m- J)⁽~

i

L:m‑り

R l

^，

i

町

sく_r1²)/4m)p(Sくすず)/4m)q. ""'p ¥s(r

の

1m)""'q ¥.s(rz2)/m}

̲ (m‑l)( R司 (m‑l) R9.2 ¥l

=P(R1〕P(Rz)il+ECmLp

i 日方以

L7

¥ s z お /m ) J ‑ … … . M

Tこだし，

Ri²

4

2 m 1

e‑s

存再 7 五

P(Ri)

一

_‑r(m)(s_く

_n

₂_)lm)m cpq= B

向型

!q!

ヨ (sくY12)/4m)P(S(Y22)/4m)Q

であり，各展開係数C珂はRl'R2聞の相関効果を反映し，初項の独立性からのずれを逐次階級別に与えるもので (i

=

1. 2)

‑・・・・・・・・ー・・胸

ある。

3

Step教が十分大なる場合の結合確率密度分布表示

前節での考察は.Step数sに関係なく成立する一般的な場合での結果であるが.Step数が十分大なる特別な場合については，すでに筆者の一人により次の結果を得ている白川)7)すなわち.Rlf R2の結合確率密度関数P(Rl， R2)は，

4(R1R2)m

p

⁽^Y^J²⁾^S⁽^Y²

企

l‑m

n m P(RJ.R2)一一_{‑ r(m)(s}くYJ2)/m)(一一一一←s(r2Z)/m) (1 ‑ρ' E)ρEm‑J

r ‑

1 (R12 R22 ¥ 1 T I 2v

長・

RIRZ ¥

× 叫

¥ 1 τ五;‑，可再 7 函+宗万羽 J t 1 m ¥

{l‑PE)下/(s(r₁²)lm) (

雨 z "

')1

副

... ....(31)

I

国 ( m ‑j) ( R12 ¥ 〈机ー1)( Rzz

¥ 1

= PCR1)PCR2) ~ 1 十~nPEnB(n. m) L.... ‑(一一一一一)L....‑{一一一一

l f

l‑ . ~l 叫\ s<rJ2)/ml‑n ¥s(y.})/mIJ (RloR2> 0).

P(RloR2) = 0 CRJoR2く0).

ただし，

Ri² P(RO= ^2Ri^2m‑^l ‑e

一文両耳 7

^函

r(m)(sくn²^)/m)m であり .PEはR12とR₂²との相関系数:

PE=

一ーゴ旦空位二

(R12)<Rz2)

V(CR

₁²ー(R12)

ア

^)((R22

一

^(R^♂⁾⁾²⁾

....(3₂₎ (i=1.2)

側

で与えられる。また，このP(Rl，R2)に対する高次Hankel変換形結合特性関数は，次式で与えられている。⁴⁾⁵⁾^'¹^】 1 fsくYJZ)• ^，^.^，^s^く^Y²²⁾• ，.l 1

r

円^(m刷)4^伊抗^m‑lω(AIAω2ρ^)l‑m^机 ^一

1

^一^寸

i

^{一瓦一』ん}¹²⁺^一函一^A²^♂²^z

F(Aん1.A

2

ρ ) :

=一一一一一一一一一一一 e ^'ⁱ^c {

下/ρE(S(Y12)/m)(S(YZ2)/m)}^{飢ー}¹ Xん l(

〆

^ρE^同 ^Z〉/?〕⁽^s付)/耐え

1A2) 倒

前に得Tこ一般的結果伽，制は.Step数 sを十分大にとった場合，各々捌，聞に漸近しなければならないし，

この Special団関は工学的にも重要であることから，次にこの漸近特性を考察する。

まず，特性関数(6)式を次のように変形するD

r(m)r(m)]m‑l ().lYJ)]m‑l(A₂r2)̲̲̲ s

F01 • À~)

= _{く‑(瓦瓦}

_/₂₎_m_‑_l₍_A

2Yz/2)mー「一一

>={fO

t.A^2)}S

師

ここで)

G02•ん)

=ー

lOg!Ol'ん〉 ....・・ー(描)

(8)

277

とおけば，

F().lo i..2) exp{ ‑sG(;..，ん)}J

となり，また解析の出発点である R₁とR2の結合確率密度分布に関する積分表示式(1)において，

U(;..I. ..iZ) (i..1^.^.ⁱ2)悦]m‑l(i..1R1)]m‑l(i..2Rz) とおけば.RJ> R2の結合確率密度分布P(RloR2)は，

(RIRz)m

r

^国

^f

^∞

P(R1.R2) 4m‑.__~~~.nZ~~~" 1r(m)r(m) ~ ~

I

exp{ ‑SG(;..I. ì..2^)}U(ì..1^{• ん)dì..}1^dì..2

間

‑・・・・・・・(甜)

. t . . . . . . . .

・・(39)

の形にまとめられる。

地方，鞍部点法ω8)によれば.s→∞のときはG(;..I.i..2)の極小値付近のみが(拍)の積分に支配的な寄与を与え，この近辺のみを次のように採り上げるものとする。すなわち， G (;..1> i..2)の極小値i..1> i..2は，

。G 8f(ん，ん)/iiA1 8G 8f(;..1.i..2)/ai..2

oi..1 f(i..1， A2) oん 1(;..1.ん〕 L 、L、かえれば.A₁に対Lて，

笠臼

^I^，^A^Z⁾-./f_~(_~(m)]札 1(;..山〕日 r(m)Jm‑l (;..2¹^"2〕 ¥‑ 1 ¥

。i..₁ ー ¥

l

o..i1¥ (;..11"1/2)^{四一} ^J

J ‑

(;..2rz/2)m‑l ./ ‑v

の解として求まるO ここで.

Be

ssel関数に関する関係式的:

詰 j ?

{怜門fげ門一ザνワ

I

ム仰小似νバω山(岬az吋z を用いれば，幽は，

O ̲ f

Eim)]m-li~~ù_l ̲ rr~\...m-I_. -.lm(;..l^rl) ー一十一一一_。_i_._. 一一一}= ‑r(m)2^叫

1

(;..lrl^{/2) 前 ~l--}^J^= ‑¹^I^.^.^.^m)2'"^'¹^"1

・

(;..lr

a

^m‑¹

...・^H・...品目，品目

...(42)

. . ..(43)

r(m)(;..戸

1 /

2)

郁三

(;..lrl/2)2i

= 1"1 ‑(i.._jrJ2)m‑=1‑

布

irr

扇子

i)

二千{

¹

十よ(竿 y + . . . . . . . . . }

^ニ^O ^‑^・^・^・^・^・^・^・^・⁽^叫

の関係に帰着する口百五

。

f()'J，i..2)についても同様の手続を取ることにより，結局，s →∞のとき，悶)式の積分評価には， A1= ..I2=Oの近傍のみを考えれば十分であることが分かる口

この結果から .F(..i.loAZ)をA1=

i . . z =

0の近傍で展開しようo(1.61の結果によれば，

F(..i.loA2)

: E

Art'AI2tA22t' 1 +AIOAI2^十A01A22+All..i12Az2 + A20A14_十A02AZ4+

… . . .

^・

^• ^•

^'^•^•^•^•^•^•^•^•⁽^{a n}^望^F^d^同

ⁱ

と展開でき，また，各系数All^，はsが十分大なる時.sの項に比例してS2の項が大きく寄与することから，

A，，~ ₂₀_‑一一一一、ー^= s⁽^s

‑ =

₂

・

1.~(~12)2 +~くr企一一42m2 2

・

42m(m+l)

← 一一 ‑

^r争点2

・

1⁴²"12^m2)2̲ 1 ² ^・^.^.んⁿ^.¹⁰ A^I^¥⁹= S(S=‑1 ~くが〉Z

+

sくre) ^← S2くが)2 1

02 = 2 弓偏----r ~42m(ゐIT〉-YIE示 2 ^・.tl^Ol

のごとく近似表示できる。また， ~ 4に証明するように，s→∞で、は，

す{

^(1"12¹^"22) ーく町げ山2²吟吹州)〈(ケ刷

d

均^f1"2め川22勺叫〉リト}ト←一'叫叩ψρh附2!J s(rI2) s(r2♂²⁾ ただし!Jt' _m !1

l =

^一一一一_m

...・・14聞 ...・・間

‑・・(拙

の性質も導かれる。以上の諸性質を考慮してs→∞なるとき，

sZ‑くr12)く1"22) . S {く¹^"121"22)ーくrI2i(r22)) ρ，，!J/!J

l

'-42~~ ^~， + 4²m² ^ー ^‑^JôÂ1⁰Âo¹^十 42福一 ...・・₍₄司を得る。すなわち，特性関数はs→∞のとき，

F(i..J， i..2) = 1 + AOl'h2

十

_AIOAI2+A_i_O_AO

山 ♂ 十字山今

^j^A²⁴⁺

古(ピ琴亙

⁾²^.ⁱ^.12)..22

十

キ(1 +AIOAI2

十字

^A^I⁴⁺^.^.^.^.^.^.⁾⁽¹+ A10A22

+ ヂ仙

(9)

. . . ~ . . ~ ~ . . . .岡) 278

ロ吋

^A10

川

Aんげ12+A斗2叫A

ん

0

叫川

1

川

A のごとくまとめられるo

一方，変形 Bessel関数の級数展開による定義式において，変数xが十分小さい (X<:1)とすれば，

. • • ~ . ~ . . . ・・.(51)

回

Im‑1(%) =

(+)悦呂ぷ公)寺市 τ ( + ) m ‑ l { l + + _(-~ f }

であることから，近似関係として次式を得る。

I X '¥2 / X ¥1‑悦

1十五ート亙‑}~rCm)t 一言-

) I m ‑ l C % )

これを岡)に用いれば，特性関数は，

F0

₁

，

A2)

=

叫 {AI₁₀OA1¥1C T3+A.on.IOlA21¥2 3}J L ¥ 2 ‑rr(m)

(よ.〆石市

2

γm

/\2--~-

んJ' L 口町内

1¥11¥2

1 )

J J

‑ 刷

( 〆

^P

4rl(ffm

^E^!^J

^l

^!^J^;^t^)m‑l 叫^{C A}^J^:^I{

^l

‑+CJJ/A1

^‑

^4'~~1Al- -r ~~2 "2‑) 2+JJlA22)1J

川〆両亙

.I.

m ‑ l ¥

A1A2

の表示で結果される。結局， ~2 ・ 2 で一般的に算出した高次 Hankel 変換形特性関数間は， Step数sが十分大になるにつれて(却の表示に漸近することが分り，これはまた，

Le

vyの連続定理や反転公式の精神にしたがって，ー舷的な結合確率密度分布表示叫がs十分大なると共に聞の表示に漸近してゆくことに対応しているD

‑・・(日)

統計力掌との関連性9)10)

今までは，不規則信号問題との関連性から，相関あるN次元酷歩過程には何等物理系との関連性を考慮せず，

合成Vectorに対する厳密な確率密度分布表示を具体的に導出することに考察の焦点をおいてきた。しかし，物理系においては，このような新しい量的分布表示の各母数に，温度・拡散係数・質量…・ーといった質的反映を与えねばならなL、口すなわち，われわれの酔歩過程は温度Tの熱裕下にあるものとして考察をするのである

J

〉10}

今，相関ある酷歩過程のenergyを問題として RI2=E^l^I R22=E2

4

...・・(叫のごとき確率変量をとれば，通常 1自由度あたりの平均energyが環境因子により定まることから，母数!J

l

，

!J

l

は

‑・・(日)

&

L

邑山

wn

o

p iw

︑

一一

﹀/

町一一

2

/ ¥一eu

一

一一

千一一

s

‑・・・・・・・国)

4L

s n o c

︑

一一

︾/

円一一

2

/ ¥一

S一

畳一一一一間

︒

なる特性をもち合わすことになるo

2

次元槙犠における Brownian粒子の拡散距離に関する分布則との関連性

平面内における randommotionの具体例として，まず，顕徴鏡下にみられる Brownian粒子の拡散現象を取り上げることができる。すなわち，粒子の位置 Vector1Rを座標成分 %1' %2に分ければ，

4.1

くR2>= く%1²>+ く%2²> ・ H ・.~開

となるD また，すべての粒子にわたって並列的に考察した %1>Xzの分散白人 f1X22は，中央極限定理から%1>%2

が個々に独立にGauss分布を形成し，くX1> =く% 2 > =0から次の関保を得る。

f1X¥2=く吋〉ーく%1>2ニく%12

>

f1X22 =く%22>ーく均> 2 =く%22

>

‑・・・・・・・・・・(悶これを物理系としてみるとき.Einsteinの関係から各分散は粒子の到達時間tと拡散定数Dにより，

:;:三;:三;;;)

^.^.^.^.^.^.^.⁽⁵⁹⁾

. . . . . . . . 側

の関係で結ぼれている。結局，合成 VectorIRの2乗平均値は次の値をとる口

く

R2>=4Dt

(10)

279

今，相関ある2種Brownian粒子の各位置Vector

1 R

b IRzを考察対象にとるならば 1自由度あたりの平均 energyが一定となる倒，側の特性は，今の場合具体的に，

!J，' = (R12)

証一=4D1t のezEA

i

‑h u

‑

•

• ︑

BEa︐ ︾

a‑‑EE

︐ ︐

!J/ _勇一一，= (R_"_'_‑2₂2_ー

¥ 9

_=4D?t m

となるo

I . I i ¥ .

IR2に何等相聞がないときは，酬の初項に対応して，

Ri² Ri²

~ 2Ri ‑

fN ̲ A

Ri 証

D

長 P(Rt，Rz) =

n

一一一一

=n

一一一e

ド

t r ( l ) .Q{

e

= : ! t 2Dd . . . . . . . . . . ・・ ( 閲

なる結合確率密度分布表示となり.Rt. R2が個々にしたがう分布はRayleigh分布と全く一致している0

4

・

2 3次元空間における Brownian粒子に関する速度分布則との関連性

3次元空間内における randomprocessの具体例として，次に自由気体分子の運動を採ることができる。今，

Eとして，各分子の運動量

E

に着目すれば.energy等配則より，よく知られた次の関保が導カ通れる。

く E>= く去 > = 3 ^・ ÷KT

^闘

ただし.moは分子の質量

.K

はBo1tzmann定数，

T

は絶対温度である。すなわち，

く

^p2

>=3

moKT

なる関係を日¹⁾，闘に代入して，相関ある2種の Brownian粒子を考察する場合，

. . . . . . . . . . . ・・

₍₆₄₎

(Pi2) 3moKT

一一一一一一一一一ニ3/2 2moKT ・・^H・^H ・‑…嗣なる母数を得ることになるO すなわち，

I l i ¥ .

IR2間に何等相闘がない時は，酬の初項に対応して，

Pt² Pi²

P(PIP2〕

=d ‑

2

・

Pi，2 ̲ ̲ ̲ e

一三両

oKT

= I I ‑ . ‑ . 1 立と

=‑‑e

一三両孟 7

・....・H・...側

i=l r(f)(2問。KT)3!2 i‑";‑t

( 〆

2汀moKT)8

の結合確率密度分布表示が導出され.P_1tP2個々の分布はL、うまでもなく Maxwell‑Boltzmannの速度分布と全く一致しているo

4 ・ 3

組立性からのずれを示す展開悟散の物理的意味

題意、の相関ある21固のN次元酷1歩問題に対しての一般解である倒，側.(31)式によれば，展開係数Cpqは C 四 ^B^p^q^t^!^q^! ^4(p+q}B^四^t^!^q^!

(S(YI2)/4m)p(

長示刃五五)Q ‑ ‑ ‑ V ; P ! I

ⁱ

; ， q ‑ ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^・ ^・ ⁽ ^開

P .

^q 0. 1， 2，・・・

で与えられ，ぁ ^qが0なる値をとらぬ場合には，独立性からのずれを反映しているo

次に，

P .

^qの小さな値に対するC珂を舗の性質を基礎にして具体的に算出しておこうo

Coo 1. COt C10 0 Cl1 = ^S{(rt^ZY22)一(Yt2)(Y，22)

1

11 ‑ m²!J{!J

l

C?1 _~t

=~

_‑ ^{(r^ケ²²⁾^ーく^r¹²^)<r^企L

̲ ̲

^S

{ < t : .

l

勺

^;²⁾^一<rのくり笠

L

^・^H^・‑…側

m252 {52' 2 ~mZ(m十1⁾^!^J^{2^!^J^'^Z

C1?=~

12一一^くrlY2²^{) 一}^(Y1²⁾^くY2²^} ^S^{⁽^Y¹²^Y²⁴⁾^一⁽^r^t²^)(r²^4)}

m

福高 J

^{一一一} 2

嗣五日

1)52

品

¹²

結果的な合成 VectorIRt. IR2に対する(2)式の F (

ん.

^A2)が，個々の酔歩に対する内部構成を反映した(6)式の F(AlJA2)と全く一致せねばならぬ点に着目して， IRl，IR2に関する統計的諸性質を要素的各酔歩

l I

¥iとIrziとの関連において導出することが可能である口

すなわち，

く血税jj 作令 ZJfz ^ょ ^lid~> ^: ^: ^: ^く r ( m i i m 2 4 2 ) ^会話担 ^L 三

^・

^• ^• ^• ^• ^• ^• ^• ^• ^• ^•

^‑^‑ⁿ^民^HÛⁿûû⁾

著者 太田 光雄, 小泉 卓也, 真下 亨

相関ある任意Step数のニ変量N次元酔歩過程と

‑Iankel変換形結合特性関数法