i 数 列 問 題 の 基 礎 １
数列・漸化式問題を得意分野に
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漸化式は10パターン完全解説、別解満載
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ライバルを置き去りにする１冊
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完全対策
難関大・医大の
数列・漸化式問題
の極意
第1章 数列の問題
第2章 漸化式10種パターンの完全対策
第3章 数列・漸化式の応用問題
第4章 数列・級数の極限値の問題
第5章 三角関数と微積分の漸化式
第6章 数列・漸化式の融合問題
はじめに ●本書の目的 数列と漸化式は、入試問題ではもっとも出題頻度の高い分野の1つです。ほ ぼ半数の問題には、主題または副題として登場しますが、この分野は実は「完 璧な準備」が可能です。この分野にエネルギーを集中すれば、入試における「得 意分野」ができあがります。 特に重要なのは「漸化式」（数B）です。この分野は大きく10のパターンに 分けることができ、これらは等比数列・等差数列・階差数列などに帰着できます。 多くは2項間漸化式・3項間漸化式・分数漸化式の「特性方程式」を利用します が、この方程式から得られる特性解との差が等比数列や等差数列になります。 数列は、図形と方程式や複素数平面と組み合わせた融合問題に登場するほか、 三角関数や微積分、確率などと組み合わせて出題されます。図形や確率と組み 合わされた場合には、漸化式は自分で作らなければならないことが頻繁に生じ ます。いつも誘導に頼っていては、漸化式の解法が武器にはなりません。 たとえ漸化式の問題で誘導を利用しても、その根底に横たわる理論は自分の ものにしておかないと、漸化式を自分で作って解くことはできません。本書の 中心は「漸化式の10種パターンの完全対策」です。これらを基礎にして、さま ざまなテクニックを身に着けて、数列と漸化式を得意分野にしてください。 ●本書の難易度 本書は、すべての受験生のための「中レベルの入試問題」を収録した「特訓」 が不評だったので、「難問」も収録して全体を再編集し約50頁追加して、難関大・ 医大向けの解説書「完全対策」として再度提供します。 ●本書の内容 なお本書では、数Bのみならず、数A・数Ⅱ・数Ⅲのすべての分野で登場す る数列と漸化式の問題を一括してあつかいます。 まず第1章「数列の問題」は、次章の「漸化式の10種パターンの完全対策」 の準備をかねて、数列の基礎的事項と数列単独での入試問題を紹介します。中 レベルの問題から難問までの良問を選んであります。教科書では例題が不足す る群数列も強化してあります。 第２章「漸化式10種パターンの完全対策」ではいよいよ漸化式のパターンを 解説します。この章の特長は、漸化式の10種パターンのために用意した６つの「基 本例題」です（基本例題2.1∼2.6）。これらは、係数をできるだけ簡単にした 漸化式を解いたもので、少しでもパターンが異なるものには別の例題を用意し てあり、解法の比較が容易になっています。これらの基本例題をマスターして「解 法を瞬時に見つけ出す」ことができるようになってください。 三項間漸化式の後には、その一種である「フィボナッチ数列」の問題をまと めて示しました。これは最近頻出の問題群であり、一度は解いておかないとい けない問題です。 第３章「数列・漸化式の応用問題」は、「漸化式の10種パターンの完全対策」 の最初の応用問題群です。部分和から一般項を求める問題や連立漸化式、セン ター試験の融合問題など、数列と漸化式を組み合わせた、数列以外の分野には 踏み出さない分野の入試問題群を取り上げました。これらの問題を第３章に融 合させる方法もありますが、「漸化式の10種パターン」を際立たせるために別 の章に分けました。 第４章「数列・級数の極限値の問題」は、数列の極限に関する例題や入試問 題群を取り上げました。入試問題では、数列を求めてその極限を問う応用問題 が頻繁に出題されます。これで数列・漸化式の問題の道具立てがそろいました。 区分求積法やはさみうちの原理など、難題満載です。 第５章と第６章が「漸化式の10種パターン」の本格的な応用問題です。第５ 章「三角関数と微積分の漸化式」では、三角関数や積分についてすでに確立さ れている数学に登場する数列・漸化式の問題を取り上げました。 第６章「数列・漸化式の融合問題」は、数列と漸化式を組み込んだ図形や確率 の融合問題を取り上げました。特徴は「漸化式を自分で作らなければならない」 という点です。前半の図形や複素数の問題は比較的やさしい問題なのですが、後 半の確率数列や確率漸化式の問題は、入試問題の中でも難問揃いの厄介な分野で す。東大・京大・一橋大・東工大・慶応大／医の受験生は、これらの問題を繰り 返し解いて、どんな漸化式も自分で作れるようにしておくことが必要です。 本書により、受験生諸君が1つの大きな武器を手にされることを祈願します。 2015年７月 著者
第１章 数列の問題
1.1 等差数列・等比数列の問題 2 ●数列の基本 2 ●等差数列の問題 2 《基本例題1.1》（公差と部分和を求める問題）2008年大阪工大 2 《入試問題1.1》2008年岩手大 3 ●等差数列・等比数列の入試問題 4 《基本例題1.2》（等差数列と等比数列の公式証明問題）2009年佐賀大文系 4 《基本例題1.3》（等差数列と等比数列の融合問題）2006年小樽商大 6 《入試問題1.2》2014年自治医科大 7 《入試問題1.3》2010年聖マリアンナ医大 8 ●等比数列とその極限としての無限等比級数 8 《入試問題1.4》2013年順天堂大／医 10 1.2 自然数の数列のn乗和 12 《基本例題1.4》（自然数の数列のn乗和の問題）2010年九大文系 12 《入試問題1.4》1989年東北学院大、2004年甲南大、2006年東京電機大、2011年関西学院大 14 《入試問題1.5》2015年横浜市大／医 15 《入試問題1.6》新作問題 16 《入試問題1.7》2006年佐賀大 18 1.3 格子点の数を数える問題 20 《入試問題1.8》2015年慈恵医大 20 《入試問題1.9》2014年早稲田大／商 22 《入試問題1.10》1998年東大理科 24 1.4 さまざまな数列の計算問題 26 ●分数数列の問題 26 《入試問題1.11》2002年一橋大 26 《入試問題1.12》2007年武蔵工大 27 ●三角関数数列の問題 28 《入試問題1.13》2015年一橋大 28 《入試問題1.14》2008年九大文系 29 ●ガウス記号を使う数列の問題 30 《入試問題1.15》2011年関西学院大 30 《入試問題1.16》2011年東大文科 32 1.5 群数列の問題 34 《入試問題1.17》2008年北見工大 34CONTENTS
《入試問題1.18》2012年横浜市大／医 35 《入試問題1.19》2014年慶応大／商 36 《入試問題1.20》2014年関西学院大／理工 37 《入試問題1.21》2010年センター試験数IIB 39 《入試問題2.2》2011年慶応大 42 《入試問題2.5》2007年信州大／工 48第2章 漸化式10種パターンの完全対策
2.1 漸化式の分類 42 ●10種のパターンの漸化式 42 ●その他の漸化式 42 2.2 階差数列型・２項間漸化式型の漸化式 44 ●階差数列と特性方程式型数列 44 ●基本的な漸化式の例題 44 《基本例題2.1》（等比・等差数列[1]、階差数列[2]、２項間特性方程式型[2]） 44 ●指数型・対数型漸化式は２項間特性方程式か階差数列で解く 49 《基本例題2.2》（指数型[4]・対数型[5]の漸化式） 50 ●公比型・割り算型の漸化式は等比数列の拡張パターン 52 《基本例題2.3》（公比型[6]・割り算型[7]の漸化式） 53 ●逆数型の漸化式は分数型漸化式の特殊なパターン 55 《基本例題2.4》（逆数型漸化式） 55 2.3 階差数列型・２項間漸化式型の漸化式の入試問題 58 ●階差数列をつくって解く問題 58 《入試問題2.1》2008年関西大 58 《入試問題2.2》2011年静岡大理系 59 《入試問題2.3》新作問題 60 ●２項間漸化式型の入試問題 61 《入試問題2.4》2014年自治医科大 61 《入試問題2.5》2007年信州大／工 62 《入試問題2.6》2007年北里大／医 62 ●公比型漸化式に持ち込んで解く漸化式問題 《入試問題2.7》2010年同志社大理系 63●逆数型漸化式に持ち込んで解く漸化式問題 《入試問題2.8》2013年福岡教育大 65 2.4 分数型の漸化式の問題 66 ●分数型の漸化式は３つのパターンに分かれる 66 ●分数型漸化式の解法 67 ●分数型漸化式の例題 72 《基本例題2.5》（分数型漸化式） 72 ●分数型漸化式の入試問題 67 《入試問題2.9》2008年東北大理系後期 72 《入試問題2.10》2015年東工大 73 2.7 ３項間漸化式の問題 76 ●３項間漸化式は２項間漸化式に帰着させる 76 ●３項間漸化式の解き方 76 《基本例題2.6》（３項関漸化式） 77 《入試問題2.11》2013年関西大文系 78 《入試問題2.12》2012年慶応大／医 79 《入試問題2.13》2011年関西学院大文系 80 2.8 フィボナッチ数列の問題 82 《基本例題2.7》（フィボナッチ数列の一般項） 83 《基本例題2.8》（フィボナッチ数列が満たす関係式） 84 《基本例題2.9》（フィボナッチ数列が満たす関係式） 86 《入試問題2.14》2001年横浜国大 87 《入試問題2.15》2013年京都府立医大 88 《入試問題2.16》2007年京大理系 89 《入試問題2.17》2014年北里大／医 91 2.8 漸化式と数学的帰納法から求める数列 94 《入試問題2.18》新作問題 94 《入試問題2.19》2007年群馬大／医 95 《入試問題2.20》2015年東大理科 96
第3章 数列・漸化式の応用問題
3.1 数列の部分和をあつかう問題 100 ●数列の部分和のあつかい方 100 《基本例題3.1》（部分和を含む漸化式の問題） 100 CONTENTS ●多項式の数列の問題 102 《入試問題3.1》2014年昭和大／医 102 《入試問題3.2》2014年大阪府立医大／理工 103 《入試問題3.3》2008年熊本大理系 104 《入試問題3.4》2002年京大理系 105 3.2 連立漸化式の問題 106 ●対称型連立漸化式の場合 106 ●非対称型連立漸化式の場合 106 《基本例題3.2》（連立漸化式の問題） 108 《入試問題3.5》2008年東大文理共通 110 《入試問題3.6》2002年三重大／医・理 110 3.3 数列の不等式を示す問題 112 ●分数漸化式の問題 《入試問題3.7》2013年大阪府立医大／理工 112 ●n項の相加平均≧相乗平均の問題 113 《入試問題3.8》2012年神戸大文系 113 3.4 センター試験の複合問題 116 《入試問題3.9》2012年センター試験数IIB 116 《入試問題3.10》2014年センター試験数IIB 118 《入試問題3.11》2015年センター試験数IIB 120 《入試問題3.12》2013年センター試験数IIB 122第4章 数列・級数の極限値の問題
4.1 数列・級数の極限の7つのパターン 126 ●数列・級数の極限のあつかい方 126 《基本例題4.1》（極限値計算の典型問題） 127 《入試問題4.1》2008年関西大理系 128 《入試問題4.2》2001年広島大理系 129 ●べき乗や階乗が絡んだ極限値のあつかい方 131 《入試問題4.3》2012年京大理系 133 4.2 ネピアの数eに収束する数列の問題 134 《基本例題4.2》（eに収束する極限） 135 4.3 区分求積法を利用する問題 136 《基本例題4.3》（区分求積法の問題） 136《入試問題4.4》2004年青山学院大／理工、2013年愛知教育大、2009年愛知教育大 138 《入試問題4.5》2012年阪大理系後期 140 《入試問題4.6》2012年東工大 141 《入試問題4.7》2003年京大理系後期 143 4.4 区分求積法を使う図形や確率の問題 146 ●区分求積法を使う図形の問題 146 《入試問題4.8》2009年青山大／理工 146 《入試問題4.9》2007年東北大理系後期 146 ●区分求積法を使う確率の問題 148 《入試問題4.10》2010年京大理系 148 《入試問題4.11》2010年福井大／医 148 4.5 はさみうちの原理を利用する入試問題 152 ●はさみうちの原理の使い方 152 ●はさみうちの原理を使う入試問題（区分求積法を使わない問題） 152 《入試問題4.12》1992年東京医科歯科大 152 《入試問題4.13》2013年東北大理系 154 《入試問題4.14》2014年阪大理系 155 ●区分求積法とはさみうちの原理の両方を使う入試問題 157 《入試問題4.15》2000年阪大理系 157 《入試問題4.16》2013年阪大理系挑戦枠 158
第5章 三角関数と微積分の漸化式
5.1 チェビシェフの多項式の問題 162 ●チェビシェフの多項式とは何か 163 《入試問題5.1》2008年埼玉大理系 163 《入試問題5.2》2008年慶応大／医 164 《入試問題5.3》2008年慈恵医大 167 5.2 積分漸化式の問題 170 ●積分漸化式の例題 170 《基本例題5.1》（不定積分の漸化式の問題） 170 ●積分漸化式の入試問題 172 ●三角関数の定積分の漸化式の入試問題 172 《入試問題5.4》有名問題 172 《入試問題5.5》2012年埼玉大理系 174 CONTENTS ●多項式の定積分の漸化式の入試問題 175 《入試問題5.6》2004年東京電機大 175 《入試問題5.7》2014年関西学院大 176 《入試問題5.8》2014年昭和大／医 178 ●指数関数の定積分の漸化式の入試問題 180 《入試問題5.9》2004年高知大理系 180 《入試問題5.10》2006年早稲田大／理工 182 《入試問題5.11》1997年阪大理系後期 185第6章 数列・漸化式の融合問題
6.1 図形と方程式と漸化式の問題 《入試問題6.1》2002年名大／経済 188 《入試問題6.2》2007年南山大／理系 190 《入試問題6.3》2006年和歌山大 192 《入試問題6.4》2014年東工大 193 《入試問題6.5》2013年東工大 196 6.2 複素数と漸化式の問題 198 《入試問題6.6》2005年北大理系 198 《入試問題6.7》2004年名大／経済 200 《入試問題6.8》2013年東大理科 201 6.3 確率と数列の問題 204 ●確率と数列の問題 204 《入試問題6.9》2013年大阪教育大 204 《入試問題6.10》2014年京大文系 206 《入試問題6.11》2013年昭和大／医 208 ●よく似た確率と数列の良問４題 209 《入試問題6.12》2006年東京理科大／経営 209 《入試問題6.13》2012年京大文系 212 《入試問題6.14》2011年京大文理共通 213 《入試問題6.15》2006年一橋大 214 6.4 確率漸化式の問題 218 ●単独の確率漸化式の問題 218 《入試問題6.16》2014年一橋大 218 《入試問題6.17》2013年一橋大 220第１章
数列の問題
●連立確率漸化式の問題 222 《入試問題6.18》2012年東大文理共通 220 《入試問題6.19》2011年一橋大 224 《入試問題6.20》2015年京大理系 226 ●慶応大の長い長い連立確率漸化式の問題3題 228 《入試問題6.21》2013年慶応大／医 229 《入試問題6.22》2014年慶応大／医 231 《入試問題6.23》2015年慶応大／医 235 ●連立確率漸化式の難問４題 238 《入試問題6.24》2008年東大文理共通 238 《入試問題6.25》2012年京大理系 241 《入試問題6.26》2015年東大文理共通 244 《入試問題6.27》2015年東大文理共通 2462 3 数 列 の 問 題 １ 《入試問題1.1》（難易度B） 基本例題よりは少しだけ面倒な問題です。 ある等差数列の第n項をanとするとき、 a10+a11+a12+a13+a14=365、 a15+a17+a19=-6 が成立している。このとき、次の問いに答えよ。 (1) この等差数列の初項と公差を求めよ。 (2) この等差数列の初項から第n項までの和をSnとするとき、Snの最大値を求めよ。 （2008年岩手大／教育）
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解題 (1)は２元１次方程式の問題。この等差数列は公差が負なので、(2)の最大値 は「項が正のものだけの合計」ということに気が付くかどうかが課題です。 解法1 初項と公差に関する2元1次方程式を解く (1) 前問と同様に、初項と公差に関する2元1次方程式を解きます。 ある等差数列の第n項をanとするとき、 a10+a11+a12+a13+a14=365、 a15+a17+a19=-6 が成立している。このとき、次の問いに答えよ。 (1) この等差数列の初項と公差を求めよ。 (2) この等差数列の初項から第n項までの和をSnとするとき、Snの最大値を求めよ。 （2008年岩手大／教育） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 14 14 14 13 10 10 10 9 15 17 19 1 1 5 1 5 9 13 5 5 5 55 365 2 14 16 18 3 48 6 5 55 365 11 73 5 75 15 3 48 6 16 2 2 15 16 2 n k k k k k a a n d a a k d a d k a d k a d a d a a a a d a d a d a d a d a d d d a d a d a = = = = = + -é ù = ë + - û= + - = + + ´ = + = + = + + = + + + + + = + = -ì + = ì + = ï ï ï Þï Þ = Þ = -í í ï + = - ï + = -ï ï î î = - + ´ =å
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したがって、初項は238、公差は -15とわかります。 (2) 公差が負なので、最大値は最後の正の項までの部分和です。最後の正の項を 求めます。 ある等差数列の第n項をanとするとき、 a10+a11+a12+a13+a14=365、 a15+a17+a19=-6 が成立している。このとき、次の問いに答えよ。 (1) この等差数列の初項と公差を求めよ。 (2) この等差数列の初項から第n項までの和をSnとするとき、Snの最大値を求めよ。 （2008年岩手大／教育） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 14 14 14 13 10 10 10 9 15 17 19 1 1 5 1 5 9 13 5 5 5 55 365 2 14 16 18 3 48 6 5 55 365 11 73 5 75 15 3 48 6 16 2 2 15 16 2 n k k k k k a a n d a a k d a d k a d k a d a d a a a a d a d a d a d a d a d d d a d a d a = = = = = + -é ù = ë + - û= + - = + + ´ = + = + = + + = + + + + + = + = -ì + = ì + = ï ï ï Þï Þ = Þ = -í í ï + = - ï + = -ï ï î î = - + ´ =å
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( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 16 16 16 1 16 1 2 1 2 238 15 1 2 2 491 2 15 491 15 30 491 16.4, 16 17 30 16 : 238 15 15 13 0 17 : 238 15 16 2 0 16 238 13 8 2008 2 n n k k n n k k a n d n n n S a S n n n A n or n a n a a a S a = = é + - ù´ é ´ - - ´ù ë û ë û = = = æ ö÷ ç = - + º - ççè - ÷÷ø + = = = = - ´ = > = = - ´ = - < + ´ = = = + ´ =å
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これが最後の正の項なので、第16項までの和を求めます。 ある等差数列の第n項をanとするとき、 a10+a11+a12+a13+a14=365、 a15+a17+a19=-6 が成立している。このとき、次の問いに答えよ。 (1) この等差数列の初項と公差を求めよ。 (2) この等差数列の初項から第n項までの和をSnとするとき、Snの最大値を求めよ。 （2008年岩手大／教育） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 14 14 14 13 10 10 10 9 15 17 19 1 1 5 1 5 9 13 5 5 5 55 365 2 14 16 18 3 48 6 5 55 365 11 73 5 75 15 3 48 6 16 2 2 15 16 2 n k k k k k a a n d a a k d a d k a d k a d a d a a a a d a d a d a d a d a d d d a d a d a = = = = = + -é ù = ë + - û= + - = + + ´ = + = + = + + = + + + + + = + = -ì + = ì + = ï ï ï Þï Þ = Þ = -í í ï + = - ï + = -ï ï î î = - + ´ =å
å
å
å
38 ( ) ( ) ( ) ( ) 16 16 1 16 1 1 238 15 1 0 238 1 16.9 16 15 238 15 15 13 16 238 13 8 2008 2 n k k a a n d n n n a a a a = = + - = - - > < + = Þ £ = - ´ = + ´ = = + ´ =å
( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 16 16 16 1 16 1 2 1 2 238 15 1 2 2 491 2 15 491 15 30 491 16.4, 16 17 30 16 : 238 15 15 13 0 17 : 238 15 16 2 0 16 238 13 8 2008 2 n n k k n n k k a n d n n n S a S n n n A n or n a n a a a S a = = é + - ù´ é ´ - - ´ù ë û ë û = = = æ ö÷ ç = - + º - ççè - ÷÷ø + = = = = - ´ = > = = - ´ = - < + ´ = = = + ´ =å
å
解は出題年度になっています。1.1 等差数列・等比数列の問題
●数列の基本 数列の基本は、等差数列とその一種である自然数列、それに等比数列です。 自然数列は、初項と公差が１の等差数列です。なお、センター試験では問題を 初項、公差、公比で語ることが多いので、これらの表現には習熟しておく必要 があります。 また、数列問題の多くは、基本がわかっていれば解ける、Bレベルの問題ですが、 だからこそ、解法を一瞬で見抜いて最短時間で解き、他の問題に時間を割り振 ることが必要です。 ●等差数列の問題 《基本例題1.1》（公差と部分和を求める問題） a4＝174、a9＝419である等差数列 {an} の公差と、 を求めよ。 （2008年大阪工大、改題）(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
(
)
4 9 1 1 1 1 9 1 1 3 174 5 419 174 245 49 8 419 174 3 27 1 1 1 1 2 2 2 2 1 49 9 27 9 8 243 49 36 2007 2 n n n n n n n n n n n n a a n d a a d d d a a d a d a a n d a d n n n d na d n na n n n na dn n a = = = = = = + -ì = + = ïï Þ = - = Þ = íï = + = ïî = - = é ù = ë + - û= + -æ + ö÷ ç ÷ = + çç - =÷÷ + + -çè ø = + -= × + × = + × =å
å
å
å
å
9 1 n n a =å
解題 小問として頻出のやさしい問題です。初項と公差に関する2元1次方程式を 解くだけです。 解法 初項と公差に関する2元1次方程式を解く どんな問題でも、その基本は多元方程式であり、初項と公差を使った一般項 の表現さえわかっていれば解ける問題です。 a4＝174、a9＝419である等差数列 {an} の公差と、 を求めよ。 （2008年大阪工大、改題） ( ) ( ) ( ) ( )(
( ))
( ) 4 9 1 1 1 1 9 1 1 3 174 5 419 174 245 49 8 419 174 3 27 1 1 1 1 2 2 2 2 1 49 9 27 9 8 243 49 36 2007 2 n n n n n n n n n n n n a a n d a a d d d a a d a d a a n d a d n n n d na d n na n n n na dn n a = = = = = = + -ì = + = ïï Þ = - = Þ = íï = + = ïî = - = é ù = ë + - û= + -æ + ö÷ ç ÷ = + çç - =÷÷ + + -çè ø = + -= × + × = + × =å
å
å
å
å
9 1 n n a =å
4 5 数 列 の 問 題 １ 解題 等差数列と等比数列の和を求める公式を証明する問題であり、数列の分野で はもっとも基本となる公式です。等差数列では各項を初項と交差に分解してひっ くりがえして合計して２で割ります。この各項を自然数とした場合が次の問題 です。等比数列では「1つずらして合計」しますが、この問題ではその「ずらし た成果」を表す数式を(2)で証明させています。 理系での出題は考えられませんが、文系での出題は今後も十分考えられます。 解法 等差中項・等比中項を利用する (1) 等差数列の一般項を記述し、総和記号を使って合計します。 ( ) ( )
(
( ))
( ) 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 n n n n S n a a n a n d n n S a a a n d a = + é + - ù ë û \ = + = + - + = ( )(
)
( ) ( )(
)
( ) ( )(
)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x -+ + - + + + + -= - + + + = - + - = -\ - = - + + + 以下の問いに答えよ． (1) 初項a、公差dの等差数列 {an} (n=1,2,3,…) において、 となることを証明せよ。 (2)(i) nは自然数とする。このとき、 が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ。 (ii) 初項a、公比rの等比数列 {an} (n=1,2,3,…) において、 （r=1のとき） （r≠1のとき） となることを証明せよ。 （2009年佐賀大文系） ( ){
}
1 2 2 1 2 n n a n d a +a + + a = + -( )(
1)
1-xn= -1 x 1+ + +x xn-(
)
1 2 1 1 n n na a a a a r r ìïï ïï + + + = í -ïï ï -ïî ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 n n n k n n k n n n n n k k k k n a a n d S a S a a a a a a a a a a a a n d a n d a a n d a n d a a n a a d a d a d d a a n -= = + ì = + -ïï ïï íï = ïïïî = = + + + + = + + é ù = + + +ë û é ù = + + +ë + + + ì é ù ï + = + - = + -ï ë û ïï ï + - = + -ïí ïï ïï + - = + -ïïî ûå
å
( )(
)
( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1: 1 1: 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n k n k n n n n n n k k n n a ar S a a r r S na r r r S S r na r S r r r r r r r = -= + -- = ìï = ï - + + ïï í + = -ï = = ïïïî = = -¹ Þ = -ì = ïï ïï \ = í -ï ¹ ïï -ïîå
å
(
1) (
2)
1 1 1 1 n n n n r rn r r n n r S rS r r S r -+ -+ -+ - + + -- = + = - Þ = - ２つのSnを逆向きに並べて加えると、 ( ) ( )(
( ))
( ) 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 n n n n S n a a n a n d n n S a a a n d a = + é + - ù ë û \ = + = + - + = ( )(
)
( ) ( )(
)
( ) ( )(
)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x -+ + - + + + + -= - + + + = - + - = -\ - = - + + + 以下の問いに答えよ． (1) 初項a、公差dの等差数列 {an} (n=1,2,3,…) において、 となることを証明せよ。 (2)(i) nは自然数とする。このとき、 が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ。 (ii) 初項a、公比rの等比数列 {an} (n=1,2,3,…) において、 （r=1のとき） （r≠1のとき） となることを証明せよ。 （2009年佐賀大文系） ( ){
}
1 2 2 1 2 n n a n d a +a + + a = + -( )(
1)
1-xn= -1 x 1+ + +x xn-(
)
1 2 1 1 n n na a a a a r r ìïï ïï + + + = í -ïï ï -ïî ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 n n n k n n k n n n n n k k k k n a a n d S a S a a a a a a a a a a a a n d a n d a a n d a n d a a n a a d a d a d d a a n -= = + ì = + -ïï ïï íï = ïïïî = = + + + + = + + é ù = + + +ë û é ù = + + +ë + + + ì é ù ï + = + - = + -ï ë û ïï ï + - = + -ïí ïï ïï + - = + -ïïî ûå
å
( )(
)
( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1: 1 1: 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n k n k n n n n n n k k n n a ar S a a r r S na r r r S S r na r S r r r r r r r = -= + -- = ìï = ï - + + ïï í + = -ï = = ïïïî = = -¹ Þ = -ì = ïï ïï \ = í -ï ¹ ïï -ïîå
å
(
1) (
2)
1 1 1 1 n n n n r rn r r n n r S rS r r S r -+ -+ -+ - + + -- = + = - Þ = - というように、すべての組み合わせで合計が同じになり、2で割ると総和が得 られます。 ( ) ( )(
( ))
( ) 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 n n n n S n a a n a n d n n S a a a n d a = + é + - ù ë û \ = + = + - + = ( )(
)
( ) ( )(
)
( ) ( )(
)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x -+ + - + + + + -= - + + + = - + - = -\ - = - + + + 以下の問いに答えよ． (1) 初項a、公差dの等差数列 {an} (n=1,2,3,…) において、 となることを証明せよ。 (2)(i) nは自然数とする。このとき、 が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ。 (ii) 初項a、公比rの等比数列 {an} (n=1,2,3,…) において、 （r=1のとき） （r≠1のとき） となることを証明せよ。 （2009年佐賀大文系） ( ){
}
1 2 2 1 2 n n a n d a +a + + a = + -( )(
1)
1-xn= -1 x 1+ + +x xn -(
)
1 2 1 1 n n na a a a a r r ìïï ïï + + + = í -ïï ï -ïî ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 n n n k n n k n n n n n k k k k n a a n d S a S a a a a a a a a a a a a n d a n d a a n d a n d a a n a a d a d a d d a a n -= = + ì = + -ïï ïï íï = ïïïî = = + + + + = + + é ù = + + +ë û é ù = + + +ë + + + ì é ù ï + = + - = + -ï ë û ïï ï + - = + -ïí ïï ïï + - = + -ïïî ûå
å
( )(
)
( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1: 1 1: 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n k n k n n n n n n k k n n a ar S a a r r S na r r r S S r na r S r r r r r r r = -= + -- = ìï = ï - + + ïï í + = -ï = = ïïïî = = -¹ Þ = -ì = ïï ïï \ = í -ï ¹ ïï -ïîå
å
(
1) (
2)
1 1 1 1 n n n n r rn r r n n r S rS r r S r -+ -+ -+ - + + -- = + = - Þ = - (2)(i) 教科書では、x倍したものとの差を取って計算しますが、本問では数学的 帰納法を利用します。まずn=1の場合は両辺が1-xとなって成立。次にnの場合 を仮定してn+1の場合の成立を証明します。右辺の多項式にxnを加えるには、両 辺に(1-x)xnを加えます。 ( ) ( )(
( ))
( ) 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 n n n n S n a a n a n d n n S a a a n d a = + é + - ù ë û \ = + = + - + = ( )(
)
( ) ( )(
)
( ) ( )(
)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x -+ + - + + + + -= - + + + = - + - = -\ - = - + + + 以下の問いに答えよ． (1) 初項a、公差dの等差数列 {an} (n=1,2,3,…) において、 となることを証明せよ。 (2)(i) nは自然数とする。このとき、 が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ。 (ii) 初項a、公比rの等比数列 {an} (n=1,2,3,…) において、 （r=1のとき） （r≠1のとき） となることを証明せよ。 （2009年佐賀大文系） ( ){
}
1 2 2 1 2 n n a n d a +a + + a = + -( )(
1)
1-xn= -1 x 1+ + +x xn -(
)
1 2 1 1 n n na a a a a r r ìïï ïï + + + = í -ïï ï -ïî ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 n n n k n n k n n n n n k k k k n a a n d S a S a a a a a a a a a a a a n d a n d a a n d a n d a a n a a d a d a d d a a n -= = + ì = + -ïï ïï íï = ïïïî = = + + + + = + + é ù = + + +ë û é ù = + + +ë + + + ì é ù ï + = + - = + -ï ë û ïï ï + - = + -ïí ïï ïï + - = + -ïïî ûå
å
( )(
)
( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1: 1 1: 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n k n k n n n n n n k k n n a ar S a a r r S na r r r S S r na r S r r r r r r r = -= + -- = ìï = ï - + + ïï í + = -ï = = ïïïî = = -¹ Þ = -ì = ïï ïï \ = í -ï ¹ ïï -ïîå
å
(
1) (
2)
1 1 1 1 n n n n r rn r r n n r S rS r r S r -+ -+ -+ - + + -- = + = - Þ = - したがって与式が成立します。 解法2 総和を平方完成する 総和をnに関する２次式と見てその最大値を実現するnを探しても解くこと ができます。 ある等差数列の第n項をanとするとき、 a10+a11+a12+a13+a14=365、 a15+a17+a19=-6 が成立している。このとき、次の問いに答えよ。 (1) この等差数列の初項と公差を求めよ。 (2) この等差数列の初項から第n項までの和をSnとするとき、Snの最大値を求めよ。 （2008年岩手大／教育） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 14 14 14 13 10 10 10 9 15 17 19 1 1 5 1 5 9 13 5 5 5 55 365 2 14 16 18 3 48 6 5 55 365 11 73 5 75 15 3 48 6 16 2 2 15 16 2 n k k k k k a a n d a a k d a d k a d k a d a d a a a a d a d a d a d a d a d d d a d a d a = = = = = + -é ù = ë + - û= + - = + + ´ = + = + = + + = + + + + + = + = -ì + = ì + = ï ï ï Þï Þ = Þ = -í í ï + = - ï + = -ï ï î î = - + ´ =å
å
å
å
38 ( ) ( ) ( ) ( ) 16 16 1 16 1 1 238 15 1 0 238 1 16.9 16 15 238 15 15 13 16 238 13 8 2008 2 n k k a a n d n n n a a a a = = + - = - - > < + = Þ £ = - ´ = + ´ = = + ´ =å
( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 16 16 16 1 16 1 2 1 2 238 15 1 2 2 491 2 15 491 15 30 491 16.4, 16 17 30 16 : 238 15 15 13 0 17 : 238 15 16 2 0 16 238 13 8 2008 2 n n k k n n k k a n d n n n S a S n n n A n or n a n a a a S a = = é + - ù´ é ´ - - ´ù ë û ë û = = = æ ö÷ ç = - + º - ççè - ÷÷ø + = = = = - ´ = > = = - ´ = - < + ´ = = = + ´ =å
å
nは整数なので、n=16、17のどちらかで最大値が得られます。 ある等差数列の第n項をanとするとき、 a10+a11+a12+a13+a14=365、 a15+a17+a19=-6 が成立している。このとき、次の問いに答えよ。 (1) この等差数列の初項と公差を求めよ。 (2) この等差数列の初項から第n項までの和をSnとするとき、Snの最大値を求めよ。 （2008年岩手大／教育） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 14 14 14 13 10 10 10 9 15 17 19 1 1 5 1 5 9 13 5 5 5 55 365 2 14 16 18 3 48 6 5 55 365 11 73 5 75 15 3 48 6 16 2 2 15 16 2 n k k k k k a a n d a a k d a d k a d k a d a d a a a a d a d a d a d a d a d d d a d a d a = = = = = + -é ù = ë + - û= + - = + + ´ = + = + = + + = + + + + + = + = -ì + = ì + = ï ï ï Þï Þ = Þ = -í í ï + = - ï + = -ï ï î î = - + ´ =å
å
å
å
38 ( ) ( ) ( ) ( ) 16 16 1 16 1 1 238 15 1 0 238 1 16.9 16 15 238 15 15 13 16 238 13 8 2008 2 n k k a a n d n n n a a a a = = + - = - - > < + = Þ £ = - ´ = + ´ = = + ´ =å
( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 16 16 16 1 16 1 2 1 2 238 15 1 2 2 491 2 15 491 15 30 491 16.4, 16 17 30 16 : 238 15 15 13 0 17 : 238 15 16 2 0 16 238 13 8 2008 2 n n k k n n k k a n d n n n S a S n n n A n or n a n a a a S a = = é + - ù´ é ´ - - ´ù ë û ë û = = = æ ö÷ ç = - + º - ççè - ÷÷ø + = = = = - ´ = > = = - ´ = - < + ´ = = = + ´ =å
å
負の項が入れば総和は減少を始めるので、第16項までの和が最大値です。 ある等差数列の第n項をanとするとき、 a10+a11+a12+a13+a14=365、 a15+a17+a19=-6 が成立している。このとき、次の問いに答えよ。 (1) この等差数列の初項と公差を求めよ。 (2) この等差数列の初項から第n項までの和をSnとするとき、Snの最大値を求めよ。 （2008年岩手大／教育） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 14 14 14 13 10 10 10 9 15 17 19 1 1 5 1 5 9 13 5 5 5 55 365 2 14 16 18 3 48 6 5 55 365 11 73 5 75 15 3 48 6 16 2 2 15 16 2 n k k k k k a a n d a a k d a d k a d k a d a d a a a a d a d a d a d a d a d d d a d a d a = = = = = + -é ù = ë + - û= + - = + + ´ = + = + = + + = + + + + + = + = -ì + = ì + = ï ï ï Þï Þ = Þ = -í í ï + = - ï + = -ï ï î î = - + ´ =å
å
å
å
38 ( ) ( ) ( ) ( ) 16 16 1 16 1 1 238 15 1 0 238 1 16.9 16 15 238 15 15 13 16 238 13 8 2008 2 n k k a a n d n n n a a a a = = + - = - - > < + = Þ £ = - ´ = + ´ = = + ´ =å
( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 16 16 16 1 16 1 2 1 2 238 15 1 2 2 491 2 15 491 15 30 491 16.4, 16 17 30 16 : 238 15 15 13 0 17 : 238 15 16 2 0 16 238 13 8 2008 2 n n k k n n k k a n d n n n S a S n n n A n or n a n a a a S a = = é + - ù´ é ´ - - ´ù ë û ë û = = = æ ö÷ ç = - + º - ççè - ÷÷ø + = = = = - ´ = > = = - ´ = - < + ´ = = = + ´ =å
å
●等差数列・等比数列の入試問題 《基本例題1.2》（等差数列と等比数列の公式証明問題） それぞれの計算公式を証明する問題が、公式証明問題の出題で名を知られて いる佐賀大で出題されています。こんな基本的なことも入試問題になります。(
)
(
)
(
(
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)
(
)
1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 n n n n S n a a n a n d n n S a a a n d a = + é + - ù ë û \ = + = + - + =(
)
(
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(
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(
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(
)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x -+ + - + + + + -= - + + + = - + - = -\ - = - + + + 以下の問いに答えよ． (1) 初項a、公差dの等差数列 {an} (n=1,2,3,…) において、 となることを証明せよ。 (2)(i) nは自然数とする。このとき、 が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ。 (ii) 初項a、公比rの等比数列 {an} (n=1,2,3,…) において、 （r=1のとき） （r≠1のとき） となることを証明せよ。 （2009年佐賀大文系）(
)
{
}
1 2 2 1 2 n n a n d a +a + + a = +-(
)
(
1)
1-xn= -1 x 1+ + +x xn -(
)
1 2 1 1 n n na a a a a r r ìïï ïï + + + = í -ïï ï -ïî (
)
(
) (
)
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 n n n k n n k n n n n n k k k k n a a n d S a S a a a a a a a a a a a a n d a n d a a n d a n d a a n a a d a d a d d a a n -= = + ì = + -ïï ïï íï = ïïïî = = + + + + = + + é ù = + + +ë û é ù = + + +ë + + + ì é ù ï + = + - = + -ï ë û ïï ï + - = + -ïí ïï ïï + - = + -ïïî ûå
å
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1 1 1 1 1: 1 1: 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n k n k n n n n n n k k n n a ar S a a r r S na r r r S S r na r S r r r r r r r = -= + -- = ìï = ï - + + ïï í + = -ï = = ïïïî = = -¹ Þ = -ì = ïï ïï \ = í -ï ¹ ïï -ïîå
å
(
1) (
2)
1 1 1 1 n n n n r rn r r n n r S rS r r S r -+ -+ -+ - + + -- = + = - Þ = - 6 7 数 列 の 問 題 １ 本問では数相互の大小関係は不明なので、考え方としては、等差数列の場合 の３つの場合と、等比数列の場合の３つの場合を組み合わせて９通りの場合を 調べてもよいのですが、どちらかの条件を仮定して他方の条件を適用した方が 簡単です。こういう細かいテクニックは入試では必須です。 解法 等差中項・等比中項を利用する ３つの数が等比数列をなすことから、これらの数を a、ar、ar2とおくと、ど れかの数は４なので、a≠0とr≠1がわかります。次にこれらが等差数列をなす ので、等差中項の満たすべき性質を３通り記述します。 (1) a、ar、ar2 →2ar=a+ar2→r2-2r+1=(r-1)2=0→r=1 (2) ar、a、ar2→2a=ar+ar2→r2+r-2=(r-1)(r+2)=0→r=1,-2
(3) a、ar2、ar→2ar2=a+ar→2r2-r-1=(2r+1)(r-1)=0→r=1,-1/2
r≠1なので、(2)のr=-2か(3)のr=-1/2が正しいのですが、実はこれらは 項の順番を取り換えれば同じことです。(2)のr=-2の場合、３つの数は「-2a、 a、4a」となり、これらのうちの１つの数が４です。 (1) -2a=4→a=-2→ar、a、ar2= 4, -2, -8→p=-8, q=-2 (2) a=4→ar、a、ar2= -8, 4, 16→p=-8, q=-2→p=-8, q=16 (3) 4a=4→a=1→ar、a、ar2= -2, 1, 4→p=-2, q=1 したがって、(p, q)= (-8,-2), (-8,16), (-2,1)となります。 《入試問題1.2》（難易度B） 基本例題とは少し異なり、大小の順番は決まっていますが、a、b、cの値が確 定しない分、面倒な問題です。 正の実数 a、b、c（a≠b、b≠c、c≠a）について考える。1/a、2/b、1/c が この順で等比数列であり、a、b、3c がこの順で等差数列となるとき、a/cの値 を求めよ。 （2014年自治医科大116、改題）
