JapaneseJournalofPsychologyinTeachingandLearning,2016,12,1-9 1 原著論文 割合概念の学習における認知的障害 等全体のインフォーマルな知識に着目して 栗山和広 ( 愛知教育大学 ) 吉田 ( 立命館大学 ) 甫 本研究の目的は, 全体の大き

Japanese JournalofPsychology in Teaching and Learning,2016,12,1-9

問題と目的

原著論文

割合概念の学習における認知的障害

―等全体のインフォーマルな知識に着目して―

栗山　和広　　kur[email protected]

栗　山　和　広

（愛知教育大学）

吉　田　　　甫

どもが割合を新しく学習するさいに何が子どもにとっ て実際に困難な内容（認知的障害）になるかを具体的に明 らかにしていることである。そうした認知的障害の例 としては，第１に，割合の構成要素である，基準量， 比較量，割合の同定の困難さ，第２に基準量，比較量 といった用語と全体と部分という子どもの既有知識と の不一致が指摘されている（栗山，２００７；吉田・河野，１９９９）。 　本研究では，子どもの視点から，割合の認知的障害 について，今まで全く明らかにされてこなかった点に ついてさらに検討する。割合の認知的障害としては， 構成要素の同定の困難さが大きなバリアとなっている ことが明らかにされている（吉田・河野，１９９９；吉田・河 野・横田，２０００；栗山，２０１１）。認知的障害については，分 数に関する研究からきわめて示唆的な研究結果が報告 されている。Yoshida& Sawano（２００２）は，分数概念の 獲得を妨害している認知的障害としての等全体の存在 を指摘している。分数の等全体とは，２つ以上の分数 の大きさを比較するさいに，全体としての分数の大き さは同一であるという概念である。さらに，この等全 体の概念を獲得することにより，通常は通分という手 続きを獲得することで始めて大きさの比較が可能とな る異分母の分数の大きさを，理解できることが明らか にされている。割合と分数は有理数の下位概念であ り，広義の概念としては，２つの量から１つの概念を 引き出すという関係性を持つ類似した概念である （Kieren,1988）。割合における等全体とは，２つ以上の 割合の大きさを比較する際に，比較するそれぞれの割 合の全体の大きさは同一であるという概念，つまり比 較すべき割合の全体は１（百分率では１００％）である。こ れを等全体と定義する。割合の大きさを比較する際 に，基準量が同じ場合と異なる場合がある。いずれに しても，全体は１または１００％とみなすので割合の大 きさを比較することができる。 　このように割合と分数を考察すると，分数概念で見 出された等全体という認知的障害が，割合概念におい ても同様に認知的障害になっているのではないかと予 想される。この予想は，全国学力調査（２００９）の６年生 の算数Ｂにおける割合に関する問題（３つの変数の全体量 は異なるが比較量は同じで，その割合を問う問題）の正答率 は，わずか１８％であるという結果からも示唆される。 基準量が異なる問題であるが，比較量が同一なので等 全体という概念を獲得していれば容易に答えることの できる問題であるが，等全体が獲得されていないと極 めて困難な問題になると予想され，実際にきわめて正 答率は低くなっている。　　 　さて，子どもは割合に関して豊かなインフォーマル な知識を獲得していることは既に指摘したが，等全体 に関わるインフォーマルな知識は全く獲得されていな いのであろうか。等全体の背景にある基本的な概念 は，計数の５つの原理（Gelman & Gallistel,1978）で指摘さ れている抽象性の概念と類似している。抽象性の原理 とは，１つの全体は形や大きさがどんなに変化しても 「１」という抽象性が引き出される原理を示す。等全体 の概念は，基本的には，この原理が割合という概念に お い て 形 を 変 え た も の で あ る と 考 え ら れ る。イ ン フォーマルに獲得しているかもしれないという証拠 は，すでに報告されている。栗山（２０１１）は，大きさの 異なるカップに入れる１００％の水の量について，割合 を学習する前の子どもに尋ねたところ，４年生でも７ 割の子どもが正答することを見出した。この問題は， 等全体の概念を反映した問題であるが，割合を学習す る２年前の子どもがこの種の問題を充分に理解できて いたのである。こうして，等全体の概念については， 割合を学習する以前の子どもも，インフォーマルにあ る程度獲得していることが予想される。 　そこで，本研究では主に２つの目的を検討する。第 １に，割合を学習する以前の子どもがインフォーマル に割合の等全体をどの程度理解しているか，また等全 体の中でもどのような等全体に困難性をもっているか を検討する。そのために，割合概念を学習する前の４ 年生と５年生，割合を学習後の６年生を対象にしてこ の目的を検討する。この目的を検討するために，２つ もしくは３つの全体を比較するさいに基準量が同じ問 題と基準量が異なる問題を設定し，比較量や割合の大 小の判断を求める課題として提示する。基準量が同じ 問題であれば，子どもは比較量を求める第２用法をイ ンフォーマルに解決できることが既に明らかにされて いるので（栗山，２０１１；吉田・河野，１９９９），インフォーマ ルに解決することができるという仮説が引き出され る。しかし，基準量が異なる問題であれば，割合の量 の大小の判断を求める問題は，割合の第１用法と同じ 思考が要求されるので，インフォーマルに解決するこ とは難しいことが予想される。 　第２に，割合を学習した後の６年生に，等全体の概 念の獲得と，割合の公式の理解や構成要素の同定には どのような関連があるかについて検討する。ここで は，割合を学習後に，等全体の概念を獲得している子 どもは，割合概念の理解が深化しており，公式の選択 や割合の構成要素の同定の理解が容易であろうと予想 される。 教授学習心理学研究　第１２巻　第１号 ２

方法

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２０１３年には全部で６，９００さつでした。そのうち物 語の本の数は，２０１０年と２０１３年で同じでした。で は，図書館にしめる物語の本の％についていえる のは，次のうちどれでしょう。（あ）２０１０年の方が 大きい　（い）２０１３年の方が大きい　（う）２０１０年 と２０１３年が同じである。 【７】３用法において使用する式の選択問題３問。第１ 用法，第２用法，第３用法の問題で適切な式の選 択を求める問題（例：７５個のあめ玉のうち，４０％がいち ご味です。いちご味のあめ玉は何個ですか。答えを求める 式を次の中から選びましょう。）。 【８】３用法の要素の同定問題３問。第１用法，第２用 法，第３用法の文章題について各要素をそれぞれ 同定できるかを調べる問題（例：次の問題中の（ア） ～（ウ）は，基にする量，比べる量，割合のどれを表してい ますか。コスモスが４２０本（ア）さいています。そのうち６０ 本（イ）が赤色です。　赤色のコスモスは全体の何％でしょ う。この問題は（ウ）を求める問題です。）。 ３．手続き 　問題は一斉形式で実施した。テストではなく調査な ので，緊張しないで全ての問題に答えるように教示し た。調査者と学級担任が二人で調査を実施した。解答 時間は問題【１】～【６】に解答した４年生と５年生 は２０分，問題【１】～【８】に解答した６年生は２５分 であった。４年生と５年生については，「割合」「もと にした」という言葉の概念に質問があった場合，それ ぞれ「％」，「全体のうち」という言葉であることを説 明した。　

結果と考察

表す理解―問題【３】への反応 　正答率をFigure 4に示した。全体を１００％として， 部分―全体の関係として占める値を％で表せるかにつ いての問題である。割合を未学習の４年生や５年生に おいても，全ての問題で５割以上の正答率であること から，インフォーマルに割合の量的知識を獲得してい ることが考えられる。これらのことから，子どもは， 割合の意味，割合の大きさについての量的理解，基準 量が変われば割合の示す量も変わる，ということをイ ンフォーマルに獲得していることが示された。　 ２．等全体概念への反応 　２つの基準量が異なっている場合に等全体の概念を 反映させての比較量の大小判断―問題【４】への反応 　正答率をFigure 5に示した。小問①については，学 年間の差について検定したところ有意差は見られな かった（χ_{（２）＝０．}2 _{８４，n.s.）。小問②については，学年間} の差について検定したところ有意差がみられた（χ（２）2 ＝１３．２９，p＜．０１）。小問③については，学年間の差につ いて検定したところ有意差は見られなかった（χ_（２）＝2 １．９４，n.s.）。基準量が異なり，割合が同じ時の比較量の 大きさの大小判断については，子どもはインフォーマ ルに理解していることが示された。　 　基準量は同じ場合の比較量の理解―問題【５】の反 応 　４年生７４．１％，５年生７５．４％，６年生７５．４％であっ た。学年間の差について検定したところ有意差は見ら れなかった（χ_{（２）＝　０．}2 _{０３，n.s.）。基準量が同じであり，} 比較量の判断についての問題では，どの学年とも７割 以上の高い正答率を示したことから，基準量が同じ場 合において等全体の概念は理解できると考えられる。 　基準量が異なる場合で，等全体の概念を反映させて の割合の大小判断―問題【６】への反応 　４年生１．７％，５年生７％，６年生１８．８％であった。 割合の量についての問題の正答率はかなり低い。学年 間の差について検定したところ有意差が見られた（χ2 （２）＝１８．０，p＜．０１）。割合を学習した６年生においても， １８．８％と低い正答率であった。基準量が異なる問題の 解決はかなり困難であることが示された。 　３用法において使用する式の選択―問題【７】への 反応 　各 用 法 の 公 式 の 選 択 の 正 答 率 は，第 １ 用 法 が ５２．２％，第２用法が４７．８％，第３用法が３４．８％であっ た。用法ごとの差について検定したところ有意差は見 られなかった（χ（２）＝４．2 ５６，n.s.）。　 　３用法の要素の同定の理解―問題【８】への反応 　割合の構成要素の同定の正答率について，ア，イ， ウのそれぞれの完全正答のみを正答として分析した。 第 １ 用 法 の 正 答 率 は５６．５％，第 ２ 用 法 の 正 答 率 は ４３．５％，第３用法の正答率は３０．４５％であった。用法 ごとの差について検定したところ有意差がみられた （χ_{（２）＝９．}2 _{５５，p＜．０１）。} ３．等全体概念における関連　 　ここでは，等全体の理解と割合の公式や構成要素の 同定とは，どのような関連があるかについて検討した。 a．等全体概念の問題における各学年の反応 　等全体概念の問題【４】③，【５】，【６】それぞれ の問題の反応について，４年生，５年生，６年生の反 応を正誤というパターンから分析したところ，６つの パターンが見られた。Table 1に６つのパターンの学 年間の違いを示した。正答は○，誤りは×で示してあ る。　例えば，パターン１は，問題【４】③，【５】， 【６】に対して，正，正，正と反応した子どもである。 Table 1を見ると，パターン２が各学年とも多い。こ れは，問題【４】③，【５】の理解は容易であるが， 【６】の理解が困難であることを示している。各学年と も，基準量が同じか異なるかに関わらず，比較量につ ５ 割合概念の学習における認知的障害 ―等全体のインフォーマルな知識に着目して― 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 ձ ղ ճ ṇ ⟅ ⋡ 㸣 㸲ᖺ⏕ 㸳ᖺ⏕ 㸴ᖺ⏕ Figure 5　全体が異なっているときの比較量の判断問題 Table 1　各学年ごとのパターンの人数：（　）は割合 ６年生 ５年生 ４年生 １２（０．１７） ２（０．０３） ０（０．００） パターン１ ○・○・○ ２４（０．３４） ２４（０．４３） ２９（０．５０） パターン２ ○・○・× ８（０．１１） ５（０．０９） １０（０．１７） パターン３ ○・×・× １（０．０１） ２（０．０３） １（０．０１） パターン４ ×・○・○ １４（０．２０） １５（０．２６） １４（０．２４） パターン５ ×・○・× １０（０．１４） ９（０．１６） ４（０．０７） パターン６ ×・×・×

いての判断に比べて，割合の量の判断は困難であるこ とを示している。次に，パターン５が各学年とも多く 見られるが，これは基準量が同じ場合において比較量 の理解は容易であることを示唆している。パターン６ をみると，各学年とも２割以下である。等全体の概念 についてのインフォーマルな知識を全く獲得していな い子どもは少ないことが示唆される。 b．等全体概念と割合の式の選択の関連 　最初に，基準量が異なる問題【４】③と【７】との 関連を調べた。問題【４】③で正解の子どもを正解群， 不正解の子どもを不正解群とした。正解群の【７】の 得点は１．５点（SD＝１．０９），不正解群は１．０点（SD＝．７６） であった。正解群の得点が不正解群より有意に高い傾 向があった（t（６７）＝１．９６，p＜．１０）。次に，基準量が同じ 問題【５】と【７】との関連を調べた。正解群の【７】 の得点は１．５点（SD＝．９４），不正解群は１．０点（SD＝１．０６） であり，正解群と不正解群の２群の得点において有意 差は見られなかった（t（６７）＝１．１０，n.s.）。次に，基準量が 異なる問題【６】と【７】との関連を調べた。正解群 の【７】の得点は２．２点（SD＝１．１６），不正解群は１．１点 （SD＝．９０）であり，正解群の得点が有意に高かった（t（６７） ＝３．７０，p＜．００１）。割合概念における等全体の概念と公 式選択問題において関連のあることが示唆された。　 ｃ．等全体概念と構成要素の同定の関連　 　等全体概念の問題【４】③，問題【５】，問題【６】 と，３用法の構成要素の問題【８】との関連について 検討した。基準量が異なる問題【４】③において，正 答した子どもを正解群，不正解の子どもを不正解群に 分類した。正解群と不正解群について，３用法の問題 【８】のア，イ，ウそれぞれにおいて，基にする量， 比べる量，割合の３つとも正答した場合に１点とし た。各問の総合合計点を人数で割った値を求めたとこ ろ，正解群の平均値は１．５点（SD＝１．１４），不正解群の平 均値は１．０点（SD＝．８２）であった。２群の平均値の差を 検定したところ正解群が有意に高かった（t（６７）＝２．１４， p＜．０５）。次に，基準量が同じ問題【５】において，３ 用法の構成要素の問題【８】との関連について検討し た。正解群の平均値は１．５点（SD＝１．０２），不正解群の平 均値は０．８点（SD＝１．０７）で，正解群が不正解群より有 意に高かった（t（６７）＝２．２１，p＜．０５）。基準量が異なる問 題【６】において，３用法の構成要素の問題【８】と の関連について検討した。正解群の平均値は２．２点（SD ＝．８０），不正解群の平均値は１．１点（SD＝１．０２）で，正解 群が不正解群より有意に高かった（t（６７）＝３．４５，p＜． ００１）。 　こうして，等全体概念の問題【４】③，問題【５】， 問題【６】の問題で正答した子どもは，３用法の構成 要素の正答率が高いことから，等全体概念の獲得と構 成要素の同定に関連のあることが示唆された。

総合考察

とは難しいということとも一致しており，Table 1の パターン２からも示唆される。これらのことから，基 準量が異なるときに割合を理解することは，割合の学 習を終えている６年生でさえも著しく困難であること は明らかである。この問題は，基準量は異なるが比較 量が同一であり，等全体の概念を獲得している子ども であれば，このタイプの問題はきわめて容易な問題で あると予想されるが，そうでない子どもにとってはき わめて困難な問題となることが明らかにされた。尚， ６年生は公的に割合を学習しており，フォーマルに割 合を解決すると考えられるが，吉田・河野・横田（２０００） では，割合の学習後も２割程度の子どもはインフォー マルに解決していることが見られたことから，６年生 でも少数ではあるがインフォーマルな方略を用いて解 決した子どもがいると考えられる。本研究では，割合 概念の認知的障害について検討することが目的の一つ であったが，基準量が異なるときの等全体が子どもの 認知的障害であることが明確になった。 　また，割合を学習した６年生に，等全体概念と公式 の選択問題や割合の３用法の構成要素の同定の正答率 についての関連を検討した。基準量が異なる問題【６】 と公式の選択問題【７】の関連や，問題【６】と３用 法の問題【８】の関連がみられることから，基準量が 異なる場合についての等全体の理解と，公式の選択や ３用法の構成要素の正しい理解との関連性が示され た。このことから，等全体における基準量が異なる場 合について理解できるかどうかが，公式の選択や３用 法の構成要素の同定への理解，ひいては割合の概念的 理解と関連のあることが示唆された。 　現行の算数のカリキュラムでは，この等全体という 概念は，学習目標としては設定されていない（啓林館， ２０１４）。実践現場では，このことに少し触れる教師もい るが，学習目標となっていないために，深く学習する 機会はないと言える。つまり，子どもが等全体という 概念を獲得する機会そのものが少ない。そのことが， 割合を学習した６年生において，基準量が異なる問題 における割合の量の判断の理解の困難さをもたらして いると考えられる。また，３用法の構成要素の同定と 等全体の概念との間に強い関連があるという結果から も，割合の概念的理解を深化させるには，等全体の概 念を組み込んだ指導が重要であると考えられる。 　今後の課題として，本研究では，等全体について， グラフ形式の問題を用いて検討しているが，その他の 言語形式や表形式でも検討することが必要であろう。 さらに，従来から行われてきた数学の論理体系を容易 な内容から難しい内容へと構成するカリキュラムとは 異なる，子どものインフォーマルな知識や等全体の認 知的障害を取り入れた新しいカリキュラム構成を用い た授業実践の検討が必要である。Yoshida& Sawano (2002)は，分数について，教科書のカリキュラムに基 づいて指導した子どもより，認知的障害への対応を組 み込んだ新しいカリキュラムに基づいて指導した子ど もの方が，分数の概念的理解の成績は２倍以上も高い こ と を 示 し て い る。　割 合 概 念 に 関 し て も，イ ン フォーマルな知識である量からの指導を中心にするこ とや，等全体の認知的障害である割合の構成要素を線 分図からではなく量的な図から指導すること，基準量 が異なる等全体の指導，を取り入れた新しいカリキュ ラム構成による授業開発は，我が国だけでなく海外で も全く実践されていない。これからの２１世紀型学習ス キルでは，既存のカリキュラムとは異なる子どもの思 考や発見能力を取り入れた新しいカリキュラム構成が 重要な課題の一つとなっており，今後検討されるべき 重要なことであると考えられる。

引用文献

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(

1993)

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,

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(

1978)

.

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(

1988)

.

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(

pp.

198-

219)

.

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.

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,

K.

(

2008)

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,

153-

163.

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,

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,

Sood,

S.

,

Ca

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,

G.

,

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,

C.

,

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T.

(

2009)

.

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,

,

250-

264.

７ 割合概念の学習における認知的障害

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,

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.

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.

(

2011)

.

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,

731-745.

Ki

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E.

(

1983)

.

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on

(

pp.

506-

508)

.

Bos

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on:

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E.

(

1988)

.

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(

pp.

162-

181)

.

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(

1993)

.

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s

:

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c

h (

pp.

49-

84)

.

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,

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,

K.

(

2007)

.

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,

9-

14.

)

栗山和広　（２０１２）．割合の学習以前に子どもがもつイ ンフォーマルな知識　愛知教育大学研究報告， ６１，８３－８８．

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629-

667)

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中村亨史　（２００８）．割合概念の理解における児童の思 考の様相：ノート記述の分析をとおして　日本数 学教育学会誌，９０（４），２－１０．

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(

1980)

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,

,

187-

192.

渡辺敏　（２０１１）．児童が潜在的に持っている割合の見 方を生かした導入についての研究　日本数学教育 学会誌，９３（２），１１－２１．

吉田甫・河野康男　（１９９９）．割合における構成要素の 同定の困難性と問題解決　宮崎大学教育文化学部 紀要　教育科学，１，１－９．

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1999)

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1-9.

)

吉田甫・河野康男・横田浩　（２０００）．割合概念の解決 におけるインフォーマルな知識の利用と解決方略 の分析　宮崎大学教育文化学部紀要　教育科学 ２，１２３－１３３．

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2000)

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2002)

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183-

195.

付　記

９ 割合概念の学習における認知的障害

―等全体のインフォーマルな知識に着目して―

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　Thepurposeofthepresentstudy wasto clarify informalknowledgeon equal-wholewhich magnitudeofwholeswasthe samesizeforallratios.Participantsin thisstudy were58 studentsin the4th gradesand 57 studentsin the5th gradeswho had notstadied ratiosyet,and 69 studentsin the6th gradewho had learned ratiosalready.Thereweretwo kindsof problemsin Equal-whole,theproblemsin which thebasequantitieswerethesame,and thosewhich thebasequantities weredifferent.Thechildren wereasked to comparethemagnitudesofthecomparison quantity and theratiosin the problemswith sameand differentofbaseamounts.Theresultsshowed thatthejudgmentofmagnitudesofcomparison quantity showed superiorperformanceirrespectiveofthetypeofproblem,whereastheproblemsforthejudgmentofratios showed low performancein theproblemswith differentbasequantities.Itwassuggested thatchildren acquired informal knowledgeofcomparison quantity in theequal-wholethrough experienceofeveryday life.