<研究ノート>ブラック=ショールズオプション価格モデルに関するノート

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(1)く研究ノートノ. ブラック : ショールズオプション価十各. モデルに関するノート羊. 森田. じ 1 次元ブラウン運動過程で局所的リスクが表現され. イントロダクション. Ⅰ. 派生証券の理論価格の導出は急、速な発展をしている・. ていることがわかり，二つの証券の価格変化に関する従って局所的リスクは完全に相関しているといえる・証券の期待収益率を縦軸，収益率の標準偏差を横軸に. その理論的骨格を彼らのモデルで説明するとおよそ次. とった図に株式，. のようになる．. 収益率の標準偏差をプロットすると. Black and Sholes (1973) 以来，オプションなどの. いまオプションの対象となっている株式が配当支払いがなく，. その価格の確率過程掛川が. 大のような. リ. ・別り. ・. 凄十 0. ふ力・. メ. tW. 囲. ……・. 1). ，. もし市場で，の. 複利金利で安全資産が運用可能ならば図 1 のように 2 屯は (0 ，. r) を通る直線上に並ばなくてはいけないは. ずである．なぜならば・. 確率微分方程式で与えられるとする． dⅢ 回 =. オプシ，ン二つの証券の期待収益率. もしそうでないとこっの証券. を利用して裁定が吋能となるからである・つまり二つ. 但しげ， 0 は定数でみⅣ けは Ⅰ次元標準ブラウン運動. の証券のリターンは完全に相関していることから適当. 過程 @ⅣⅢ @ の確率微分表現である・右辺の第 1 項は. なポートフォリオを組むことによりリスクのないⅠ. 微小時間における期待収益をあられすドリフト項であ. は異なるり x 猛卒で資産を運用することが口 J 能となるの. り，第2 項はリスクを表す項で 0. 団 t) は微小時間に. もしそれが「. と. り高ければ「の市場利子率で資金. よ. おける標準偏差となっている．このとき株式の価格は. を借り入れてその資金をいまのポートフォリオで運用. 対数正規分布に従い，このときの株式価格の確率過程. し「より低ければ逆のポ、ジションをとることにより. を幾何ブラウン連動過程とよぶ．。1 式は，. 資金コスト 0 にして確実に正のⅡ又益が得られることに. メS(t)/S(f)= 「. 肛荻十. 0.. み. WLr). なってしまうのである. 各証券の期待収益率は確率微分方程式では. と書き換えることができるが，株式の収益率を表す式. 仇にか. としてこの表現で記されることが多い．げは微小時間. かる項，収益率の標準偏差はみⅣ㈲にかかる項で表. における局所的期待収益率， 0 は収益率の局所的標準. 現されるから，いま述べた裁定条件は，. 偏差をあられすことになる．この株式のヨーロピアンオプションが満期 T. 行使価格 K で市場に出ているとする．仮に価格が株式価格，時間の関数 (rは㈲，めとして表現可能であり，前者に関しては 2 階微分可能，後者に関しては 1 階微分可能であるとすると、・，その確率微分方程式は伊藤の補題ゴ. G=l%, ぬ士. 0.. よ. り・. S Ⅲ・ G, 十 1/2が・ギ㈹・ばss十 GZt S ㈲・ G 、ガW( Ⅰ) ………………… 2 @2 ・. G,,, G, は各々 G の凡 Ⅰに関 2@ より両方の証券とも同する偏微係数である．Ⅲ、と. 表される．但し G,. @げ S ㈹・ G, 十 (1/2) ぴ・. o .. ・. ダ (り. ・. G" 十 G,l/G 一. Ⅰ. S け) . だ，/ だ. リーグ. と. 表される．この式を整理すると偏微分方程式，は /2) が・ダ. ・. G" 十 G, 十 r. G,. 一 r. S 二 0 …。 3). が得られる． T 期のオフ、ンコンの理論価格は，. オプ. 、ンコンより得られるぺイオフそのものであるから， G(. 刮. T). 三%. は. % [別月一. K.. ㎝. (4. となる．従って数学的には。4)を境界条件とする偏微分.

(2) 42 (322). 横浜経営研究. 第㎜巻. 第 4 号 (1992). 八. 率益収. 待期. O. ︶. グ｜. い. ︵. j. Ⅲ. ((. ぃ. ・. S.G, +. ( エ /2)02.S2.0. 色. s. + Gt). アノノ. G. o.S.GS/G). 収益率の標準偏差図 1 方程式問題が与えられたことになり，この問題を解け. 立化法といわれているが，投資家のリスク選好を変更. ばオプションの理論価格が求まることとなる. しても同じ理論価格が得られるという事実も経済学か. ところでこの結果は経済学的にいくつかの興味深い. らすると奇妙に感じられる．. ，性質を持っている．まず第 1 にオプションの理論価格. と. が株式と安全資産の二つの証券から一意的に与えられる. ぅ. ことである．このモデルでは不確実性の構造. また伊藤の補題が適用可能となるためにオプション価格を表す関数が綴っかの規則性を満たすことを仮定. して偏微分方程式を導出したが，これは内生. 由. りに導出. がブラウン運動過程で与えられている．従って状態空. されるべき均衡価格に最初から一定の仮定を与えた格. 間の濃度は実数空間と同じ連続伸濃度だけ存在してい. 好. るが，これに対して経済で利用可能な証券はオプシ. ，. もしこの分析が妥当なものならば予. となっている・. め与えたこの仮定が本来は仮定ではなく，均衡価格の. ン 0 対象である株式と安全資産の 2 種類しかない．従. 性質として必然的に成り立つものであることが示され. ってこのオプション価格理論の結果は，状態の数以上. るべきであ. の証券が市場に存在して，証券のぺイオフが確率変数. る・. Harrison&Kreps. (1979)はある側面からこのモデ. の空間の基底を構成すればそのときのみ他の任意の証. 上に接近し. 券の理論価格を一意的に与えることが可能である，. えることに成功している．. と. いう静学的資産市場理論の結果からすると奇妙にうつるはずである第 2 にこのモデルの証券の期待収益率をげから. ，に. る．このモデルの変更は株式の期待. このノートは Harrison&. K,eps (1979) の内容をより直観に訴える形で提供することを目的としている．彼らの論文では大きな柱として定理u1,. 2,. 得られることであ変更し偏微分方程式を導いても (3式と全く同じものが. これらの疑問点に対して明確な解答を与. 3 の 3 つの定理があるが，本稿ではそ. のうち最初と最後の定理を証明の内容をかえて提示することにしている．まず証券の理論白 9 価格付けを行. う. 収益率が安全資産の収益率と同じであるとすることか. ときにその数学的条件として市場の投資家の選好を用. ら，市場の投資家の選好を危険中立的としたことにな. い，モデルの viab Ⅲ ty という概念を定義している. ることを意味する．このようにして投資家を危険中立. ここでは. 的としてオフンョンの理論価格を求める方法は危険中. 的として市場の投資家の選好を全く引合いに出さず無. ・. よ. り直接的に証券の価格付けを行. う. ことを目.

(3) ブラックニーンョ. 一ルズオプション価 fをモデルに関するノート. 危険裁定機会という概念を登場させて分析を行う．定 Kreps. かなり狭めるが・. (1979) ょり拡散過程のクラスを. 洋). (323) 43. S2 れ。り三上2(⑨，F, 月 (L2(⑨，F, 月は 2 束可積分な確率変数の空間で. 理 3 についてはブラック・ショールズモデルをとりあげ Harrison&. (森田. ある．). 若干の数学的条件を付加することで，. 取引時間の集合が閉区間であることは取引が連続的. 簡潔な証明を与えそのエッセンスを示すことに心がけ. は行われる連続時間モデルであ. た．更に彼らの論文では触れられていない前述の偏微. る．㏄ field は各時点で起き得る識別可能な事象の族. 分方程式と定理 3 の関係も明示的に説明した．. を表し経済で利用可能な情報を記述すると考える. このノートの構成は Harrjsonand. ることを示してぃ. Kreps (1979) と. その増大系ということは利用可能な情報が時間ととも. ほぼ同じ構成で次のようになっている．まず第 2 節で. に増えていくことを記述するものである．証券価格べ. はモデル及び重要な役割を果たす基本的概念の説明を. クトルの第 1 要素はいかなる基本事象においても常に. する．第 3 節では定理 1 , 定理 2 の証明を与える．第 4 節ではモデルをブラック・、ンコールズモ -デルに限定. 一定の価格をとるもので安全資産を意味する．第2 要. してオプションの理論価格が一意的に与えられることを Kunita and Watanabe. (1967) の証明した 2 乗打積. 素は株式，債券などの証券を具体的何として持っよ. う. なリスクの存在する証券である．証券価格の2 束可積分性は後の数学的議論で厳密な結論を与えるための条. 分マルチンゲールの表現定．理を鍵として Harrison. 件である．以下では表記を簡単にするために場合に応、. andKreps. じて証券価格を中の変数を省略して表すことにするの. (1979 Ⅰとは異なる形で証明を与える・. 節では拡散過程においての定理から，. 第5. 重要な意味を持て、 > 色 rsanov. ブラック・、ンコールズモデルにおいて危. で注意されたい. b. 投資戦略. 険中立化法が正当とされる理由が説明される．第6 節では前述の偏微分方程式が拡散過程に従. う. 確率変数の. 投資家の投資行動を各証券の保有枚数も几Ⅸ 蛇 +R り二 1 。 2) で表し二つをまとめてべクトル確率過程. 関数値の期待値の満たすいわゆるコルモゴロフの後向. 6(. き方程式として与えられていることを説明して本稿を. ことにする．以下では表記を簡単にするため証券価格. 終える．. と. 2. ・. ，. ・Ⅰ. =(0i(. 6。 (. として表現する. 同様，場合に応、じて中の変数を省略して表すことに. するので注意されたい，. モデル. )). この投資家のとる投資行動は. 幾つかの条件を満たさなくてはいけない，以下での条. この節では Ha,,ison and Kreps. (1979) にならって. 証券市場を記述する簡単なモデルを与える．まず分析. f牛を言克明していこ. う. まず情報構造から整合性についてである．のは予め. の基本的枠組みである証券市場モデルという経済の構. 与えられた情報構造であ. 成要素を紹介し. はいけない・これより時間Ⅰを固定したときの. 次に市場の投資家のとる投資戦略を. る研 fipld と整合的でなくて. 6, 0. 数学的に定義する．そして最後にモデルが均衡モデル. け，. として整合的か否かを決める判断基準として利用され. 的に明確な結論を与えるために弓 - 町 mRU, 性より更に強. る無危険裁定機会を定義する． a. 証券市場モデル. い 2 束可積分性を 0一に要求し，この 6 を投資戦略とよぶことにする．上で定義した投資戦略は連続目りに各. 我々は次のような 4 つの構成要素からなるものを証. 券市場モデルとよぶこととする・・. ・. 「. o,T]. 博， :fEr ㏄ field. ここでは数学. 証券への投資額を変更することが許されているが，以. 略のクラスの中でのみ議論をすることで十分であ. …取引時間の集合. (品 F. ) は月- 可測でなくてはいけない・. 下の分析においては有限回数の取引しかしない投資戦. 叩田 p) …確率空間. ・Ⅰ 二. ・. る・. そこでこのような投資戦略を次のように定義する．す. ゆ，叫 F7.:二 F, 思三円わニカ. の増大系. なわちある T の分割肱，軋 -, zⅠ l,f")(め二 0 ，㌦二アむく f,+. 。. i二 0 ， 1, 2,. れ. -1) が存在して 6(t, . ) は. kz,。，，Ⅱ ] の上でのこ註に依存した一定値をとる， (j，・ ) 廿. 二二二. (5,k「，・Ⅰ，あ (f,. )) は F,-町濃. Ⅱ. 証券価格ベクトルの確率過程但し品わ，の) 三 % (0. ，・. ，. )V te T, のこ③，. いう条件である．従って引. ・. ，. ・. と. ) の標本経路は時間. 軸上に沿って階段型となるいわゆる単関数の形状を持つ．. そこでこのような投資戦略を単投資戦略とよぶこ.

(4) 44 (324). 横浜経営研究. 第 4 号 (1992). 第㎜巻. 投資機会の存在を意味する．②は逆に将来 T 期に収. ととする. また投資家は資金を皿尽蔵に保有しているわけでは. 益が全くないが現在負の資金コスト，すなわち正の収. ないから一定の予算制約を満す必要がある．ここでは. 議論を簡単にするために賃金など資産市場以覚での投. 益をあげることの可能な投資機会の存在を意味する． ③での投資機会は現在も将来も正の収益を確実に得る. 貸家の資金の出入りはないことにする．この簡単化の. ことのできるものである．以上の3 つの投資機会は次. 仮定のもとでは先に定義した単投資戦略は次のような. のようなまとめた形でも表現可能である．. WO)7.. 団 0 片 0 ， WT)7.. ， l生質を持つこととなる. 6 (ら. l)T. 0 (t,)T . S (f,) V. S(t,)=. .. ,二 1,2. ,. ‥. れ. 「. この式は整理することにょ 0 次のように表現することも. 叫 0) /. 5(0). 二 0,. 8(T). 鰍 T) eX かつ T. 引 T). 二 0(P. 一 a.s) 」が. 成立しない．但しⅩ，モ巨eL2( 経。 F. P): パ. @. ぼ. (の) 垂 0t) 二 1t である．すなわち 0 期において正の収. 可能である. 益， T 期においても確実に正の lRX益が得られるといすなわち時点なにおいて投資家は各証券の枚数を引 z,. う表現である．「・」のような投資戦略を除く理由は. 目 ) から去り ) に変更するが証券価格を乗ずることに. そのような投資戦略は裁定機会を意味しないことから. より得られるそのときの資金の出入りは 0 であること. 明らかであろう．. をこの式は表している．この. うな予算制約を満たす. ょ. 単投資戦略を自己充足的単投資戦略とまたこの自己充足的投資戦略の. れば市場の投資家は資金コストを全くかけずに投資規. 集合を 0 で表すこと. 模をいくらでも拡大して確実かっ莫大な収益をあげることが可能になる．このため各投資家から莫大な一方. にする無危険裁定機会. 。．. もしこのょうな投資機会のいずれかが存在するとす. ぶことにする. よ. 向の証券の需給が市場にだされ需給が一致せず取引が. 証券市場モデルが均衡モデルとして整合的であるな. 正の収益を得ることのできるような. 自己充足日り単投資. 実現しなくなってしまう．従って瞬時に市場均衡を達成することの可能な合理的な証券市場においてはこのような裁定機会はすぐに解消されるはずである．そこ. 戦略が存在してはいけないはずであ. る．一般にこのょ. で我々は証券市場モデルにこのような. らば，その必要条件として資金コスト 0 にして確実に. 合理性を要求し. うな投資機会は裁定機会といわれている．我々の以下. この無危険裁定機会の存在しないモデルの数学的性質. 0 分析はこの必要条件を満たすような証券市場モデルの性質を探ることである．そこで次にこの裁定機会を. を導出しその，性質を利用してオプションなどの派生証券の理論価格付けを説明していこうとするわけであ. 定義しよう. る． 3. 定義. : 証券市場モデルが与えられたとき，ある自己充足的単投資戦略， e<-0 が存在して次の① ， ② ， ③. 合理的証券市場の理論価格の特徴付け. 1. のいずれかの条件を満たすときその証券市場モデルに無危険裁定機会が存在するという． ① 0(0)T. S(0) 二 0 ， WT)T. S(T) 三 X++ 但し x+.:. 実は前節で定義した無危険裁定機会が証券市場モデ. ルにおいて存在しない必要かつ十分な条件は一定の，性質を満たしそのもとでは証券価格の期待値がマルチンゲールに従う確率測度の存在することである．この説明は二つのステップを要する．最初のステップは証. 券市場モデルに無危険裁定機会が存在しないことの必. = @ ミビ (幻ぷ期 H 匝 -r(卸ニ 0t) 二 1,. 要かつ十分な条件は T 期の証券価格を表す過靴変数. P(i(y:, パ回ノ 0t)ノ 0t であり，記号，から 0 期の証券価格に写す一定のよい性質を持ブ汎関「. "/" 」はべクトルの転置を表すためのものである， ② 卸 0)T. 団 0) く O, WT)y.. 鱗 T). 二 0(P. 数が存在することを示すことである．第 2 のステップ. 一 a.s). はその汎関数の存在と上述の確率測度の存在が同値な. なう. くな. ころ. とよ. なと. るきけでカカ. コげ. トこスる. 姿を. 金あ. く益全収. 確実. に. T. てのい正おに. O. の. は期. 期に. とを示すことであ定理. 1. がこの第. 1. る・. Harrison 8 Kreps. ステップ，定理. 2. が第. 2. (1979) ののステップ. である．最初のステップは一般的な枠組みで証明可能であるが，ょり直観的な理解を目的とし. 限定された.

(5) ブラックニシ. 一ルズオプション価格モデルに関するノート (森田. ョ. クラスの証券市場モデルの上で説明していく．我々は. である. 証券市場に次のような仮定を要求する. あ. 洋). (325. Ⅰ. 45. る々次元実ベクトル e<- がが存在して次のいずれかを満たす. 仮定 1 : 証券市場モデルの状態空間，確率測度，取引 ② S,r.0 一一一二 0 ，かっ一品. 時間の集合は次のような条件を満たす・. つ = @ 叫，. の川 }. P(¥Wk¥)>0@. k=l. ，. ・. 一一 6 :0 く. 但し不等号ノは全ての要素は左辺のほうが大きく少なくとも - つの要素は厳密に大きいことを意味する不等. アヮア Ⅰ. ・Ⅰ 二 {0 ， T t. 号であるこのとき次の定理が成立する. 補題 2: 仮定 1 のもとでは定理の汎関数の存在は次の定理 1 : 一定の証券市場モデルのもとで. ような川次元実ベクトル， qi=R". 次の二つは同. 値である. る. ①. ① 無危険裁定機会が存在しない ②ある汎関数牡ビ (孔， F.P). テ. 尺が存在しで，次の3. Ⅰ. vxex 、. ・. ))0. のが右辺のもの. 。 " 線形，かっ連続. (b,V(.r)ノ 0. ヴ. ② (5. 一、)T. 一一 g 二 S, 但し不等号》はべクトルの各要素とも厳密に左辺のも. つめ条件を満たす. (c@WT. の存在と同値であ. り大きいことを意味する不等号であ. る. 。+. S T))=6(0)T. よ. ・. 30)@. VCeQ 補題 2 に関して完結した証明は与えないがその概略を. 証明は以下で定理の① ， ②の条件を書き直して与える. 簡単に記すと次のようになる・. 仮定 1 のもとでは証券市場モデルにおける. する部分は汎関数Ⅵから実際に次のように構成すれ. :こつの証券. の確率過程は次のような行列，有限次元ベクトルとし. まず. ヴ. の存在を証明. ばよい. て表現可能である. Ⅵ (1 { の1l@. S) 一. ‥・. 0期の証券価格. ワ. ・. 一" 一. W (l{ のll) Ⅰ. 品 ( 1) エて肌. S. あ (①]). T 一一. ‥・. 但しⅢ E) (Ee 月は可測集合 E の特性関数である．. T 期の証券価格. た逆の証明はべクトル. ヮ. ま. から汎関数甲を次のように. 構成すればよい．. 5i(<oJ@ 52(coJ. りは ) モメ㌃ 1. %.. Ⅹ @ 。) ェ. E. ビ (n,F,P). 我々はモデルを仮定 1 を満たすクラスに限定し汎関このとき線形代数の超平面分離定理を用いて先の定理. 敷砂を経済の Jk 態の数の次元の有限次元ベクトルで. を証明することが可能となる．. 特徴付けたが。 ②からみて明らかなとおりこのべクト. これを次に説明してぃ. こう．そこで定理 1 の二つの命題をこれらのべクトル. ，. ルはある基本事象が生起したときにのみ 1 単位の金銭. 行列を用いて書き換える．これを補題の形・で証明なし. を支払う状態請求権. で与えよう. ループライスベクトルに対応する．従ってこの汎関数. の価格，いわめるアロー・デブ. の存在はこの状態請求権の価格の存在を意味すると解補題 1 : 仮定 1 のもとでは無危険裁定機会は次の同値. 釈することができる. つまりこの定理はアロー・デブ.

(6) 横浜経営研究. 46 (326). 第㎜巻. 第. 4 号 (1992). ループライスの存在が無危険裁定機会が存在しないことの必要かつ十分な条件であるという意味を持つので. 呈. 0，. ある．以上より定理 1 は次のように書き直すことができる定理 1, : 次の二つは同値であ. (") 次のいずれかを満たす. 次元実ベクトル，. A. 一. 見一. 6 一二0. ;;. ・. 入人. 一窩ノ-0 ，かっ一品. A. ・. 拝R。. ;. が存在しない. ①@ 一S ァ. 二 1. そこで次のような集合 A を定義する. る・ん. XO + lTy. ところでが >0 より (、Ⅰの①の場合の不等式は両立しなぃ・というのは互T. 里ノロのとき且 T. ヨクノ 0 とな・. るの刊 1@. ょ. り. R. .(5) (5). 二品 T.6. 0 ノ一一. 窩. 一. T.S,r.. 0. 丑. I. と，. 一. ・. 1. (5 力，・コ二品を転置して画辺の右側から任意のた次元実ベクトルり三がをかけるう. Ty 一. Yo. ま刊 b)から (a)を示そ. 十. の 0@)0一 ②@ (s力 T. 五二品 (証明 ). 0 一. qU 一. 条件を満たす．. 脆ヱ. 一一けく 0. Ⅰゆ. ・. 沌ヱ. ③ 一5 ァ・一一 6 ノ 0 ，かっ一品. (b) ある川次元実ベクトル，戸 R" が存在して次の. この集合 A は明らかに閉集合で凸集合である・しかも定理ドの㈲はこの集合がゐ十 1 次元実数空間の原点のみの集合 @0@ との共通部分が空集合となることを意味する．後者の集合も当然閉，かつ凸集合なので有限次元のべクトル空間における超平面分離定理が適用可能で，ある k+l 次元ベクトルレ0，，ゴ Ⅰが存在して，. Sn7 、 6 ノ 0 となるからである・② ，・. ③の場合についても同様に示すことができる，. 次に (a)から (b)を示そ. う. ． (a)の① ， ② ， ③はきとめる. と，. sT.. 6 ノ 0 かつ一品・リノ 0. これを行列で表現すると，となる．行列演算を書き換えると，. ・. 9 ノ 0. 垂. 90，Ⅱ十ダ，T 十け0,亜，一ダ笹 T). 旦ノ 0 V. 一. 0，. となる，この不等式を満たすべクトルけが存在しな. Yo +. lTy. 旦. ER 。. ll. 二. エ Ⅰ. @(6). いということは次の一連の不等式，等式を満たすべクトル 6 が存在しないことと同値である・. となる．そこでまずけ二 0 としてみよう・このとき，. <70,. 托十オ. ド iこ. 。，二Ⅰ ，、"""" 。。。。. Ⅰ. となるがム度は. (7@ に化人するとィ. 。ノ0 且 "))黛ヮ. コン 0 [Ⅱ. Y Ⅱを単位ベクトルとして.

(7) ブラック，ショールズオプション価格モデルに関するノート. ダ Ⅰヱノげ. Ⅰ. (327) 47. 洋). た対応，. 得られる． (6 武を整理するケ @. q00 ，・ぬ +. (森田. 互T 一 Q0,. 由っ・. 旦. Ⅵ (ェ ):二 E . [ご ]. V 三こ R 。. で定義される汎関数が。 a@ 形，かっ連続. してこの不等式が成立する必要条件は明らかに，. 。 b.) Ⅶ m) コ@ ・. いることから，すべてのん次元実ベクトル 0 芭がに対. である．これを整理することに. よ. り. Ⅴヱ百Ⅹ. c@@(T)T. P* @):. ね一 "","/go").ST= 一品". +. S(T Ⅱ二町 0)7 、，鰍 0) V 0EO. ,. という，性質を満たし. ，. 十. また逆に，. @(I(5))@. BeF. で定義される確率測度が。quiv"l 。nt m 、，tineale m 。".. すなわち，. su,e となっていることを示せば十分である. ST.' 一 (ユ "/go") 二 S, 一. で. まず上のように期待値オペレーターとして定義された. を得る，そこで，. 汎関数が引，。 h. ・。，の性質を満たすことを証明する. し. 月一ろで期待値オペレータ一の線 % 安，性よ Ⅲ卸の性質は. とすると， o))0 ，かっ 5,r7円二品. 明らかである．また xEX,.. なる確率変数の期待値が厳密に正であることも明らかである・従って後け c. の性質を証明すればよい． 6e0 よ。), 6 は自己充足. を得る. Harrison & Kreps (1979) は次にこの汎関数砂が eqiW氏 alentma ㎡ ngaIe measure という次に定義する確. 的であることから，. 率測度と対応、し 0 期の証券の理論価格はこの確率測. 二 6(. 度のもとでの T 期の価格の期待値として与えられる. を満たす．従って. ことを示した．この確率測度の厳密な定義，およびそ. とると，. の定理を与えよう. E, [6({f, げ '.S(f,) l Ⅱ 二 E* 凹一 Ⅱ fツァ一 Sir 。 F" 一刀. 6(f,一 l)7.S は， Ⅰ. ， ⅠⅠ. Ⅰ. S{f,@. V@. 二 1,. 2,. 3,. Z,目期における条件付き期待値を. F,,. ソ. ・. 定義 2: 次の条件を満たす確率測度. p,: 卸． F)+. 1] を. とよぶ. eq. そ. ㎡ va にnlmart. 市e 引 e measure. [0，. V. 7二. 1,2,3. ,-. (9). ,n. 一方， S(t) の各要素㌫㈲， & ㈲はダのもとでマルチンゲールに従うので，. ① P に関して絶対連続である. ② (S(t),の任 7、はこの P" に関して 2 束可積分マルチンゲールである. E " [0(@t,。 77".S (tソ l F,, 一 Ⅱ [5(f,) 一。践，一 Ⅱ 二日 (f,l)7..S け， l) 二一e れ，一リア E* ・. SESI@ 2@ (Harrison@ and@ Kreps)@:@equivalent@ martingale measure の集合と汎関数砂の集合には次のような l. V. 二 WU7(B}). Ⅴは ) 二 E". [, Ⅱ. ・. 但し E" は P" に関する期待値. ). [一り. ((f,)7 、 S一 (t,@@ 月， l] 二 0 @t, 一パ "7". 一 S (t, 一一. ・. Vf=l,. 2.. 3.. .. 団 0) 二田村 7 . 鱗㈲二E * 二E. この定理の証明は一般的な形で与えることが可能であ㏄の場合. (品二 l の，. のml. [0 一 (巧 )T .@ 一 @ ， 7 l p@]. * [戸 [り (z2)T. るが，その本質をできる限り簡単に示すためここでは ③ lく. 一. , n. となる．これより。㎝ 0)7. オペレータ一である. 田. .. は. E*. B こF. 1.2,3. となる．・ 9), 0@ より，. 対 1 対応関係が存在する. P,(E). z二. l 二 E". としよう・ ) につ. S(k)@I@F@,]. ㌔]. 引り T. 鰍 fe) l E Ⅵ. いてのみ証明を与えよう " 二ダリ ( 刀 T. 田刀 l F め ] ( l 品 l くのの場合の証. 呵定理の集合間の一対一対応、を示すにはそこで与えられ. 二ピ凹一 ( 刀，・引力一 ] すなわち，. が.

(8) 48 (328). 横浜経営研究. 第 4 号 (1992). 第㎜巻. 個の時点からなる集合㍗えで (あ㈲。F,),ET. モ体 0%. Ⅰ. 拝 T, だ Ⅳ } の. がマルチンゲールに従. こと. がいえた．以上で確率測度 P* から定義された汎関数. う. が一連の，性質を満たすことが示された．. が証明された．㍗の選び方は任意であるから以上 2. 次に P*(E) コリ (/CB)) BEF としょう・まず f({ 礼 t) EX 。十㎏ =1,-, 材であることより， P*({ れ t) 二 % 川叫 @) (k二 1,2.3,".,m), また f(叫が安全資産を意味することから P*( 功二リけぽ )) 二 1 となり P* が確率測度であるがいえる．次に， P(<@.)二 0 のとき無危険裁定機会が存在しないことから叫 J(i %@) 二 0 が成立しア *(l 叫 }) 二 0 ，同様にP( れ ) ノ 0 のとき It の。}) EX+ 干より P*(@ 。 @) ノ 0 がいえ， p, の絶対連続性が成立する．次にこの確率測度のもとで (あ (め， F,)r T がマルチンゲールに従うことを. 0. 用している拡散過程，幾何ブラウン運動過程のクラスの上で前節で定義した確率測度 P, が存在しかつ一意りに存在することを示す．ブラック・ショールズモ. 示そ. デルに対応する証券市場モデルを記述しよう．. /. プシ. オ. る 4ノ. デ. お一 Ⅰ レ lノ l. に解答を与えるためブラック・シ，一ルズモデルで採. 由. ・. ・. (佗， F,P) …確率空間 T 二 [0 ， Ⅱ…取引時間の伍，ゴ E%. 集合. 1 次元ブラウン運動 @W ㈹ :だ T. …これは. t から生成される事象の族である．す. なわち， @:W 伍 ) EBI,",W(. を 1 枚購入する．. ・投資戦略 B …事象 B, が生起したとき u 期 ("ノめで安全資産を空売りして. モズル. B, が生起したときこの時点で安全資産を空売りして危険資産. シ性. この節ではイントロダクションで提示した問題意識. ・. ・投資戦略 A …Ⅰ期に事象. ッの. 戦略を考えよう．. ク・一意. 象に依存させる以下のような二つの自己充足的単投資. ラ格. この事. た. プ価. ・そこで月 - 可測な事象 B, を取り出し. (& ㈲，り， ET がマンチンゲールに従うことがいえ. 4. う. う. 危険資産を 1. め石 B 。 O 三商. く …くねニ f, ゐは任意の自然数，. B,(i 二 1,. 枚購入する．. ",. 用はボレル巣引. いずれの投資戦略も 0 期の資金コストは 0 である．投. という事象の族を含む最小の傍 fieldで. 資戦略 A に従ったとき T 期の投資家の資産は空売りのポジションと危険資産投資のポジションを合わせて. ある．. (一 &( め十協 ( 刀 ). .. ・. iS(t, . Y.te 卸 …第 1 要素はさきに定義したものと. IWBJ となるので，汎関数砂の 3. 番目の，性質，叫 0( 乃 7.,鰍刀 ) 二 6(0 Ⅰ・ S(0). 同じ．第 2 要素は次のような確率過程を持っ．. Veeo. より，. logQ( 明二 l0RQ(0)). 十八は一 1/2 が ) ゐ +/,OodW. ㈹……・㈹. 叫 Ⅰ 品㈲十鰯 ( の ) , 皿 B 月三 0. この確率過程は幾何ブラウン運動過程であ㈲が対数となる・これを equivalentma ㎡ ngaIe mea 田 re を用い正規分布に従う，すなわち対数値 loR(鰯㈹ ) が平均て表現すると，は一 1/2 が ) . t, 分散が・ f の正規分布に従う確率過 E * [ ト鰯㈲十あ (T)) . 皿 B,)] 二 0 …………・ @1l@ (11) 程である．伊藤の補題を適用すると，を得る． B 戦略についても同様の手続きより dS2 ㈲二の・あ㈲ ) 蒸十 (0. あ (f))メW ㈲ E * [(-& (u)+ あ (T)) . f( 且 )] = 0 @(12) という確率微分方程式が容易に得られる③．さてこのが得られる・ (11),(1の式より，証券市場モデルのもとでは実は equivalentmartingale m 。a,u,e はただ一つ存在することがいえる． H 、，，i,on E* [(一あ (め十あ (T)) . /(B,)] andK, 。p, (1979)は一定の数学的条件をおいて証券価二 E* [(一あ (切 + あ (T)) . f(B,)] 格がかなり広いクラスの拡散過程に従う証券市場モデとなるが，更に整理すると，ル上でこの定理を証明している．本稿では証券の確率 E* [(&( 「， KB,)] 二 E. [&(u) . f(B,)] となる．だがこれはあ㈲が &(u) のⅠ期における条過程を幾何ブラウン運動過程に限定しある数学的条件付き期待値であることを表す定義太そのものである時点 /,u の選択は任意であるから以上 2 0 任意の可算. 件のもとで彼らとは異なる証明を与えよう．まず定理を証明するための幾っかの準備命題を与える．.

(9) ブラック. :. ショールズオプション価格モデルに関するノート. 補題 3 (Kunita 8 Watanabe) : 確率空間偉，月，㏄fjeld の増大系伊が. 月. (森田. 二 E ㎡ ] くの. f. 笘が前述のように与え. となり， 2 乗可積分性は確認される．. られるとき， (C(め， F 力 ",. が 2 束可積分マルチン. ゲール性も条件付き期待値の公式より，. ゲールに従うならば，必ず次のような条件，. E [/o@ Y. (329) 49. 洋). またマルチン. E [gね ) l F,,]二 E に㎞。几] , F,]. は) l 2%. くのを満たす確率過程 @y f):te 叫が存在して・ C ㈹は y ㈲を被積分関数とする伊藤積分で以下のように一意. 二 E ¥引 F,] 二 9( と. Ⅰ. ). 確認、される，引刀 = りは. 的に表現される．. E [lll F7、 ] 二 E ㎞ l 円. 到り二 C(0)+ 八 Y ㈹. メ. m(5). 一一り. り得られる，. よ. この補題は 2 束可積分マルチンゲールの表現定理の 1 次元ブラウン運動過程版であり，より - 般的な定理も. 以上の準備のもとに次の仮定のもとで定理を証明する. 今日動学的資産市場均衡理論を議論する上では重要なものとなってくる．この仁㈲は初期値を 1 とするとき伊藤の補題. よ. り次のように表現可能であることが容易. に確認できる．. 仮定 2:equ Ⅳ alentmaringalemeasure. が存在すると. P に関するラドン二コデイム導関数の 4 次のモー. き. メントが存在する．. 引メ) 二 exp(/6( 一 1/2) が㈹払十月ゆ㈹. み. W. ㈲). 但し引 s)コ y(,)/: ㈹である．. 定理 3: 仮定 2 のもとではブラック・ショールズモデルに対応、する証券市場モデルにおいては equ 血 alent. 次の補題は Girsanov. (1960)に. よ. るもので Girsanov. の定理と呼ばれているがこれも重要である．補題 4 (Gi,,、nov):@W( 、 f):fETt. が標準ブラウン連動. 過程のとき次の条件を満たす確率過程 @ 列小 feT},. martingaIe measure P* が一意的に存在する． (equivalentmartingaltemeasure の存在証明 ) equ 血、l。 ntm",ting"I 。 m 。、， u,e を実際に構成すればい. ・. E ¥ ㌃ゆ㈹ l , 囲く㏄. ユ T ) を次のように定義する．引 T ) 二。xp (7% 一 1/2) ト仏ル )' 仏. を用いて，. W" と. ㈲. :二. W. ㈲一 Ⅰ @ ゆ G). 十 Ⅰ八一Ⅳ 回み W(s}) 榛. 定義される確率過程 {W" ㈲ :t<=叫は次に定義する. 確率測度 P" のもとで標準ブラウン運動過程に従. 可岡 f :=. Ⅰ. う. ．. これは補題 4 における㌢を中㈹ニーリのとしたときのものに対応することに注意したい．このとき，引 T) 二 exp(( 一 1 月 )( Ⅳの， T. " ㌢ (co P( 血り. +(. 但し孔 =exp(j ㍗一 1/2) 佗2(め地士Ⅰ ご卸カメ W( ある．. 力. )で. 乃一 W(0)). Ⅰ. あるいは，. log 口 T). かる. りが 2 乗可積分な確率変数のとき. 確率過程 l. 列 fY,fE召を，這け):二 E [り， F 口. 二. (-1/,)(げ / 珂，ア. ・. 従って，. E. [引乃 ]. 二. Ⅰかつ E. [(E( 刀 ) 句. くのとなることがいえる．さらに指数関数の性質から :( 乃ノ O(P-a.s) が成立するので，口乃を用いて. 定義される確率測度，. と定義するとに㈲， F 力ゲールで，かっ引 T). 一 rz/o)(W(. +@u/o)) (W{ 月一 W(O))) となり引乃は平均 1 の対数正規分布に従うことがわ. 最後に次の補題を証明する. 補題 5. よ. ，，7 、. は 2 乗可積分マルチン. 二りである. P*( 刑テん引 T) 八 %). BEF. は P に関して絶対連続な確率測度となる. そして補. 題 4 よりこの確率測度のもとでは，. (証明 )Jensen の不等式と条 fT 付き期待値の公式ょ @) E は' ㈲ ] 二 E [(E ㎞ l E,]) 臼垂E. [E ㎡. l F,]]. w". ㈲ :二 W ㈹一円申㈹払. = Ⅳ㈹十八 (が / 。))称で定義される確率過程 @W. ㈲ :だ Tt は標準ブラウン.

(10) 50 330). 横浜経営研究. て. 運動過程に従うこととなる．この W* ㈲を (13式に代人すると，. と. ㎏ (0))+/6 は一工 /2 が ) ゐ十の/O メW ㈹. 二 loR ㎏ (0))+ 几は一 1/2 が ) 汰十の/n メtw* ㈲. 一八円地二 109(@0))+/6(. 定義すると Jensen の不等式，コーシー・シュワル. ツの不等式より，. loe(あ㈲ ) 二 loR. 第 4 号 (1992). 第㎜巻. 一 ¥/2 が ) ゐ十八メW" ㈹. を得る・従ってこの確率過程を確率測度. p. な. で期待値. をとると，. E [(E い & ( 刀 / あ (0) l FJ])2] 圭 E [E ( い凡 ( 刀 / あ (0))2 l F,]] = E [(P& ( 刀 /& (0))2] 二 E ¥(Pあ ( 刀 )2] /(協 (0))2 % E [(P)4]'/ZE [(あ ( 月 )4] '/2/( あ (0))2 となる・ E [(P)。] は仮定 2 より有限・ E [(& ( 月 ) 。] はあ ( のが対数正規分布に従. E " 協㈲ ] 二 E . [ 2(0)exp(/6(一 1/2 が ) ゐ +/Oa ガW" ㈹ )] 二 & (0) , E " [exp(/ 無一 1/2 が ) ゐ. う. ことから有限の値をと. るので結局 E [(pあ ( 刀 / あ (0))2] は有限であり，石 2 ㈲は 2 乗打積分であることがいえる・また equiva]entmartjngalemeasure. 92(0)=E. +/@ のみ W"(5))]. の定義より初期値は，. [Pあ ( 刀 / あ (0)] は，. = ず [&( 乃 / あ (0)]. となり，右辺の期待値 W* ㈹は標準ブラウン運動過程に従うことから標準対数正規分布の期待値Ⅰである. 二ダ芯 ( 乃 ] / あ (0) 二品 (0)Aあ (0). ことがわかる・. 一1. 従って，. E* 偲㈹ ] 二あ (0). となり 1 である・従ってこの確率過程に対しても. が成立し確率測度 P* に関して (あ㈲，F,) 斥，はて. Kunita&Watanab. ルチンゲールに従うことがいえた．. E [/引 v2 ㈲ l 2羽くのを満たすある確率過程 {v2 ㈲ :tET@ により一意的に /2㈲二 eXp( 几 (一 1/2(v,㈹ )2)仏土ハ v2(sル W ㈹ ) と表現可能である．そこで E2( 刀 =P あ ( 刀 / あ (0)で. (equivalentmartinealemeasure の一意，性の証明 ) equivaIentmartineaIemeasure ラドン二コデイム導関数をテ p と吊. が存在したとしてその p. とするとき補題 5 をり. =PS2( 乃 / あ (0)の二つのケースについて適. El(f)二 E [P l F,] と定義するとに，㈲， F,)fET は明らかに初期値 1 の 2 従って Kunita&Watanabe. ㈲は， E U/T l vl ㈹. =. 這. ]. と. 二 exp(/6(-1/2(v. ㈹. 乙. )2)ゐ + 八 v, ㈹みw ㈲ ). Ⅰ 1/2(Vl(d)2)ゐ十 Ⅰ 汗 Vll㈲刀Ⅴ㈹ ). これより eqUiValent martingalemeaSUre. もとで条件付き確率のラドン. ニコ. の. デイム導関数を p,. 表すと 4,, それは， p, 二 exp(/; ( 一 1/2(vl(.))2) 払可㌃Ⅱ D ガw(s)) Ⅴだ T 表される．次に，ま. / 和メ W(5)).. Ⅱ Ⅱ. 06. Ⅰ expU/. 利一 1/2(v, ㈹ )2 一け+ け 2 が ) ゐ. + 億 (v,㈹一 00}みW ㈲ ) が得られる・㎝式と同様，条件付き確率のラドンニコデイム導関数は，. P 亡 exP(/. と. が ) ゐ+. 与えられるので，㈹式を㈹式に代人するとラドンニ P. 意すると。. と. ゆ一 1/2. コデイム導関数，. くの. 表現可能である．そこで這 1( 乃二 p であることに注. を得る・. 二 exp(/6 と. l 2%. (l%. あ ( 刀 / あ (0). を満たすある確率過程 i vl ㈲ :だ T t により一意的に. 9,㈲. あることに注意すると，. となる．. の補題 3 が適用可能で. の補題 3 が適用可能で 92(z) は，. PS2( 刀 /& (0) exp(/ 利一 1/2(v, ㈹ )2)ゐ十 Ⅰ 乙り㈹みW ㈹ ) を得る・ところであ ( 乃 / 鰯 (0)は(1り式 2 0 ，. 用する．. 乗可積分マルチンゲールに従い，目 ( 乃 =P. 。. 2(か二 E [<9 あ ( 刀 / あ (0) l F,,]. p,=exp(/@ ト 1/2(v2(S))2一が +1/2 が ) 払十 Ⅰ 月 v, ㈹一のメW ㈹ ) VzE T ……………………………………………Ⅱのとなるので㎝， (1のより，. / ㍗ -1/2(v,(5))2 一け+ 1/2 が + 1/2(v1(5))2) ゐ (I 叫. 十/ ㍗り㈹. 一o. 二0. T. を得る・. V ze. これより，. 一 vl ㈹り W(s)). (l の.

(11) ブラック，ショールズオプション価格モデルに関するノート一 1/2(v1(5)「，ニー1/2( り㈲ v。. ㈲. 二 v,. )2一が+1/2 が. equivalentma. という v, ㈹， v2 ㈹に関する連立方程式を得る. これ. を v 、 (5)について解けば，. となり， equivalentma ㎡ ngalemea,u,e. が存在すれば，. P=eXp げ利一け 2 トメバ 2)仏トリのメW ㈹ ) ………………………………‥. 田 re. による価格付けから説の定. としてこの Girsanov の定理から次のような命題を証. (18) 補題 6: 次の二つの幾何ブラウン運動過程に従う確率. @18@. これは存在証明で与ぇ- たラドン. 過程があったとする．メあ㈲二げあ㈲あ + 0. ニコデイム導関数にほかならない. ・. メ. この定理よりオプションの理論価格は. ビ. quivalent. ル. 二. あⅢ. (u+6 片 &* ㈲力 +. み. W ㈲. ヮ. ・あな㈲. み. W ㈹. P*(B) 二れこ (の)P{d の) (㌢戸 eXp けれ一 1/2) のたドわ ) 払十 Ⅰ 卸 6 メリノ W ㈹ ). を用いて次のように与えられるこ. T 期の価格，ペイオフ・スケデュー. ㍉* ㈲. ・. あ (0)= あな (0)ならば確率測度 P* を，. ととなる．すなわち，満期 T 期，行使価格たのオフ、ンョンの. ㎡ nealemea. 呪することである．このたぶんにトリッキ一な性質を. 明する．. 土 /8.. ma ㎡ ngalemeasure. Ⅰ. 理が重要な役割を果たしているのである．そこで準備. 必ずそのラドン二コディム導関数は一意的に，. となることがいえた．. (331 51. もたらす理由には先に述べた補題 4 の街 rsanov. V.sE T. v, ㈹三一Ⅳ o. 洋). 理論価格を得ることが可能であるという性質を. Ⅴ亜 T. ㈲ @ 7. (森田. である．Ⅰ. は maX. 岐 ( 刀一 K, 0] であるからオプションのⅠ期の価格. と定義すると協 ( 刀の P* に関する分布関数. を G@. あ *( 刀の P に関する分布関数思，は一致する，すな. ㈲・めと表すこととすると，その0 期での均. 衡価格 G は，(0), 0) は. 佃 G( あ ( 刀 )). F* と. わち，. 二 E*. (G( あ ( 月 ) モ max. .(19) (19). [G( あ ( 刀 Ⅵ. 頂 ( 月一 K,0]). F*, け)= 月 *( 』 ). Ⅴ ソこ R. が成立する. で与えられる．この定理の結果によると結局，証券の現在価格を与. (証明 ) 確率過程 lW* ㈲ :だ T@ を，. W" ㈲モ Ⅳ㈲一八 (ひの払. える汎関数はブラック・ショールズモデルにおいては一意的であることになる．この汎関数はいわゆるア. と. 鰯㈲二月ゆ十㈲・あ (s)ゐ +f,oa. あ㈲・. ロー・デブループライスに対応する概念であるから，いわば経済は本質的に完備市場となっていることを意. 定義すると，メ. Ⅳ* ㈹. となる・従って二つの確率過程の確率微分方程式は，. 味するわけである．それ故にイントロダクジョンで説. dS ㈲ニは + 珂. 明したようにブラック・ショールズモデルにおいては. み均* ㈲二は + ㈲・あな㈲凄 + c. あな㈲ィⅣ㈲. ・. あ㈹捷 +0,. 凡㈲メⅣ・㈹. 対象としている証券と安全資産の二つから無危険裁定. となる．補題 4 より tW* ㈲ゴこ Tt は P* に関して標. ンコンの理論価格が一意的に求機会を許さないオフ、. 準ブラウン運動過程に従うのでこれより補題が成立す. ま. るのは明らかである．. るのである " 一し. つ. 法. @ @. TⅣ．. 中険危. レ. と. Jノ J 一ナ. Jノ. レ. モズ. /. ク. ラ. フい. 5. て. この準備命題を利用して危険中立化法と equiValent ㎡ ngaalemeasure のもとでの理論価格の導出が同値であることを証明する．. ma. イントロダクションにおいてブラック・ショールズモデルはオプションの理論価格を投資家の選好を危険. 中立的として求めること，すなわち危険中立化法が可. 命題 : ブラック・ショールズモデルにおいて. 能であることにふれた．. 立化法によって得られるヨーロ，ピアンオプションの. 我々のブラック・ショールズ. モデルでは安全資産の利子率が常時 0 であるからこの. 理論価格と equivalentmartingaIemeasure. 危険中立化法のもとでは危険資産の期待収益率が 0 の. 得られる理論価格は一致する．. ，危険中によって. ときのオプションの理論価格を求めることに対応する. 本節の目的はこの危険中立化法のもとでオプションの. (証明 ) ヨーロッピアンオプションの. 満期 T 期の投資.

(12) 52 (332). 横浜経営研究. 第㎜巻. 象のぺイオフスケデュールを表す関数 G( あ ( 刀二 maX. 芯 ( 月一 K, 0]. は明らかに連続関数である，従. って変数変換により，. E*. [C( あ ( 乃 ] コム G( あ (T, 卸 )P*(d の) 二 /RG( あ ( 月 ) が・ (あ ( 乃 ) @20. と書き換えることができる．ここで仮に市場の投資家. が危険中立的である経済を想定してその経済における. 第 4 号 (1992) ンで導出した偏微分方程式を満たすことを示そう・前節の結果から汎関数 W,. あるいは equivalent. martingalemeasure のもとで得られるオプションの理論価格について次のような式が成立する．すなわちご期における証券の価格を同じ値に設定すると危険中立化法によりオプションの理論価格は，. G( あ (め ) 二 E* [G( あ ( 月 ) l F =E [G(&*( 刀 ) l F,] コ. 証券を初期値を実際の証券価格と同じ値に設定しその均衡確率過程 @* ㈲ :f<= T@ を確率微分方程式で表. となる．条件付き期待値の公式を適用し S2*( 力が P. すことにすると，安全資産の収益率は 0 であるから，. に関してマルチンゲールであることを利用すると，二 E に [G( あな ( 刀 ) l %A). 証券の期待Ⅱ X 益事も 0 であり，. d%* ㈲. 二 0.. 二E. あ・㈲メW ㈲. となるはずである．これは補題 6 における 6 を. 一げに. 設定した確率過程に対応する．この確率過程に対しても. 変数変換が可能で. となる．従って右辺と左辺から，. E [G にハけ十ム ), f+A) 一 G( あな (め，め l ぬ二 0 を得る．両辺を乙で割って. ，. E [G ⑤ *( 刀 ] 二 /RG( あな ( 月 ) が (あ *( 月 ) となる．そして補題 6 よ. り. .(21). ，. l 円]. [G( 凡 *(z十ム). z十八) l 用. hm A@0. ムを 0 に近づけると. (1/4)E [G (%* (f十八八 f千ム) 一 G( あな㈲．力 l 功二 0. (2%. /,G( あ ( 刀 ) み Ⅰ*( あ ( 乃 ) 二 /RG(. あな (月. )dF(. 協 *(. 刀). 佗②. となるから (20),@21),@2ヵより，. となる．が，左辺は関数 G( あ㈲，. めの確率微分方程. 式におけるドリフト項の定義式にほかならない．イン. Ⅶ GQ( 刀 )) 二 E ¥G( あな ( 乃 )] を得る．ところでこの式の右辺は証券の期待収益率が安全資産と同じ 0 の仮想的な経済のもとでの 0 期のオプション価格である．従ってこれが危険中立白りな投資家で構成される経済で成立する理論価格にほかならない．よって命題は証明された．. トロダクションで説明したとおりオプションの理論価. 格が対象とする証券価格，時間の関数であり，規則性の条件を満たすとして伊藤の補題を適用するとこの項は (1/2)が・ダ G" 十 G, で与えられる・従ってこれを (2%式にあてはめると (1/2)㎡・ザ C"+G, 二 0 ・. ・. となるが，これはイントロダクシコシで導いた偏微分このように証券価格が幾何ブラウン運動過程に従. き市場の投資家のリスクに対する選好を. うと. 危険中立白りと. 方程式 (1/2)が・ザ. ・. G,,+G,+r.. G,. ぢ一r.S 二 0. してオプションの理論価格を計算しても同じものが得. でⅠ 二 0 としたものにほかならない．. このことから汎. られることになるのである，この危険中立化法はより. 関数で与えられるオフ、ンョンの理論価格は偏微分方程. 一般的な拡散過程の証券市場モデルに対しても適用可. 式を解くという作業によって実際に求められることが. 能である，ただこの方法が妥当性を持つためには少な. わかる．. くともこの証明をみる限り Girsanov の定理が重要な. 実はこの偏微分方程式は確率過程論においてコルモ. 役割を持っていて，この定理が拡散過程固有なもので. ゴロフの後向き方程式といわれるもので拡散過程のも. あることからかんがみると如何なる確率過程の証券市. とでの関数の期待値は必ず規則性の条件を満たし. 場モデルにも危険中立化法が適用できるとは限らない. の偏微分方程式の解となっていることが知られている. ことには注意しなくてはいけないといえる．. イントロダクションではオプション価格の規則性を仮定したが，オプションの理論価格を求めるという作業. 6. ブラック・ショールスモデルにおけるオプション価格関数の満たす偏微分方程式について. 最後に前節で正当化された危険中立化法を所与として得られるオプションの理論価格がイントロダクショ. こ. は equivalentmartingalemeasure のもとで将来のぺイオフの期待値を求めることなので，株式価格の関数. としての規則，性は自動的に満たされることになるのである．そしてオプション価格が偏微分方程式を解くこ.

(13) ブラックニショールズオプション価格モデルに関するノート. とにより得られることは，拡散過程に従う確率変数の. 3). 期待値はコルモゴロフの後向き方程式という偏微分方. (森田. (333) 53. 洋). 実際にはブラック・ショールズモデルでは安全資産の利子率は一定の定数，で与えられている．. すなわち。彼らのモデルで実際に登場してくる証. 程式を解くことから求まる，という数学的事実からしてしごく当り前のことなのである．. 券を臥・。、&, と表すと， loe(5 。 " Ⅲ ) 二 lo9( 品 "(0)+/0. 7. loR(S2"(4)) 二 log(S2"(0)+/6(@ml/2(c7)2) 払 +/@ ひメW/ ㈲. おわりに. このノートでは Harrisonand. S, ㈹戸 S,"(z)/exp(r「i=S/"(0). 凡 (「i:=S2"(f)/exI)(rt). 同じ構成ではあるものの，モデルに簡単化の仮定を付ラック・ショールズモデル特徴を説明してきた．第 3 筋で均衡モデルの数学的条件として equ ⅣalentmartingaIemeasure の存在が証明されたのち，第4 節でブラック・ショールズモデルにおいては。(lu 血 alent ma. ㎡ ngalemeasure. が一意的に存在するこどから。オ. プションの理論価格が一意的に与えられることが示された．そこでは Kunita and Walanane. の 2 乗打積分. マルチンゲールの表現定理が鍵となっていることが証明の過程で示された， Harrison and Kreps (1979) では包 rsanov. の定理を定理 3 の証明においで利用して. とすれば曲二㎡一 Ⅰと定義することにょナ 12@式が得られる・本来ならばこのように指数関数 exp (rt)で割り引いてモデルを変換しても前節の諸定理が成立することを確認する必要があるが，それは先の証明を拡張することで容易に示すことが吋能なのでここでは省略し変換後のものをブラック，ショールズモデルとして議論を進めることにしたい． 4) 実際は条件付き確率についてはラドン・ニコデイム導関数という呼び方はしないがその意味は十. シ 5. 分伝わると考え，ここでは p, を「条件付き確率のラドン・ニコデイム導関数」と呼んだ．イダクンにおいて静学的資産市場理論ト. ー. ョ. において市場で利用可能な証券のぺイオフが. いるが我々の証明では全く用いていない．従って定理. と述べた．この理論的結呆は動学的資産市場モデルにおいてはラフな説明をすると「市場の証券価格の確率過程が eqluivalentmartingalemeasure のもとでマルチンゲールの空間の基底になっている. るといえよう．第 5 節では Girsannv の定理が鍵とな. って拡散過程モデルでは危険中立化法が正当化される. とき市場は本質的に完備市場となる」という命題. そして第 6 節でオプション価格を与. この論点については Du Ⅲ e and. に変更される．. える偏微分方程式は数学的にはコルモゴロフの後向き. Huang. 方程式そのものであり，その意味でこの偏微分方程式. 口 985) を参照せよ・. 参考文献. が均衡条件として得られるのはしごく当然であることが説明された．. このように裁定という経済学原理を背. 後に持ちながらもフラック・ショールズモデルは. 拡散. 過程に関する多くの数学白 9 性質に強く依存したものと. B. Ⅰ. ck ， F ． and@ M ， Sho tionS and. CO. 「. ， D and@ Arrow-Debrew@. 数学的条件のもとで一般的に成立するが，その厳密な. Of Few. Kreps (1979) を参照さ. ねたい. po. 「. s. Ⅰ. ale. ・. (1973)， "The@Pri i g@of@op-. LIablltleS". ノりひ Ⅰんり. Duffie. ・. C. ・. Eq. LoI]g-LiVed. GirsanoV,. Huang Ⅱ. 1985 ，. ，. *@Imp. Ⅰ. menLng. SGcur. 而 ics",A. I.ト，・ 196(), "On. Ⅰ. 0 ん 0 仰がⅠ zr 携. g. 53. TFansf.()rnhng a Certain. Clas5 ()f St()chasUc Processcs by Absolutely COn・. われヒ. れりれば. Ⅰ. z¥. A クタわ Ⅰ 傍れ 0 れ @ 5. 脚ぅ主. ， J ，M and@ D ， M ， Kreps 1979 ， "Martingales and@Arbitrage@in@ Multiperiod@Securities@Markets" ，. Harrison. 1). この理由は定理， 2 の証明の過程で明らかになる. 2). 状態空間が可算無限以上 - の濃度の場合について. 照せよ. Ⅰ. li r@@ by@ Conti uous@ Tradi. tinuous Substi[ution", T 力グ 0 り 0/ ゲr.0みは. はリースの表現定理が重要となる．これについては Harrison and Kreps. げ Pohz れ Ⅰcぱ. Economy@81. いえる．本稿で説明した定理 1 , .2, 3 はいくっかの. 証明については Harrisonand. 確率. 変数の空間の基底を構成すれば市場が完備になる，. 3 の本質は 2 乗打積分マルチンゲールの表現定理であ. ことが示された．. 榛. となる．そこで新しく，. Kreps (1979) とほぼ. 加してモデルのクラスを限定しより直観的な形でブ. 「. ・. 79 ひんひ oⅠE o れ 0 肝ⅡⅠ T ん 80 ン 20 Kun [a, K. and S. Vatanabe. 1967, "On Square In[egrable N4a tingales"。，h 0ツク Aクはんりれ 70 ひァんり Ⅰ. Ⅰ. Ⅰ. ア. ヤ. 」. ( 979) を参. ・. ア. りしま. Ⅰ. Ⅰ. ㌧ぬ. ⅠⅠⅠ. Ⅰ. ニ. 30. ( もりたひろし. 横浜国立大学経営学部講卸.

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