旋回式クレーンの吊り荷振れ止め制御に関する研究

参 考 論 文 主 論 文 (1)旋回式クレーンの吊り荷振れ止め制御に関する研究(吊り荷振れ角センサの開発と縮小モデルで の旋回振れ止め制御)，多田博夫，井上喜雄.大嶋真人.芳村敏夫.日本機械学会論文集， 63・605 C(1997)， pp47 -54 (2)旋 回 式 ク レ ー ン の 吊 り 荷 振 れ 止 め 制 御 に 関 す る 研 究 ( 縮 小 モ デ ル に よ る ブ ー ム 起 伏 作 業 時 の 振 れ 止め制御)，多田博夫.井上喜雄.大嶋真人.芳村敏夫.日本機械学会論文集， 63・605，C( 1997) pp55・62 (3)旋 回 式 ク レ ー ン の 吊 り 荷 振 れ 止 め 制 御 に 関 す る 研 究 ( フ ァ ジ ィ 理 論 に よ る 旋 回 娠 れ 止 め 制 御)， 多国博夫芳村敏夫.大谷良治，井上喜雄，日本機械学会論文集， 65・634，C( 1999)， pp2352-2359 (4)旋 回 式 ク レ ー ン の 吊 り 荷 振 れ 止 め 制 御 に 関 す る 研 究 ( フ ァ ジ ィ 理 論 に よ る ブ ー ム 起 伏 作 業 時 の 振 れ止め制御)，多国博夫.芳村敏夫，大谷良治，井上喜雄.日本機械学 会 論 文 集 .65・638，C(1999) pp4141-4148 大 谷 良 治 . 福 田 耕 治 ， 芳 村 敏 副 論 文 (1)箱 形 ジ プ を 装 備 し た ト ラ ッ ク ク レ ー ン の 動 特 性 に 関 す る 研 究 ( 第 l報.つり荷巻上げ. ブ起伏運動の場合). 伊 藤 広 . 長 谷 川 光 彦 . 多 田 博夫. 日本機械学会論文集， 52・475， pp885・893 (2)縮 小 模 型 に よ る 旋 回 式 ク レ ー ン の 吊 り 荷 振 れ 止 め 制 御， 多 国 博 失. 夫 . 阿 南 工 業 高 等 専 門 学 校 研 究 紀 要 . 第 34号， (1998). pp1・6

(3) Pneumatic Active Suspension of a Quarter Car Model Using theFuzzy Logic Contro.lToshio Yoshimura Yuji Okamoto. Masao Kurimoto. Tutomu Morimoto， Su Chuanxin， Hiroo Tada， The Fifth Intemational Conference on Control， Automation， Roboticsand Vision(ICARCV '98)， (1998)， pp371-375

(4)旋回式クレーンの吊り荷振れ止め制御，多国博夫，社団法人日本クレーン協会月刊誌「クレーン」 第 37号 1999/No.7. pp2・7 およびジ C(l986) 日本語の順に列記す 夫 博 論 文 題 目 著 者 名 . 公 刊 の 方 法 及 び 時 期 を1I頂に明記すること。 博士論文の場合に記載のこと。 外国語. 旋回式クレーンの吊り荷振れ止め制御に関する研究 回 諸言 吊り荷振れ角センサ モデル実験装置および解析モデル 最適レギュレータ理論による旋回振れ止め制御 ファジィ理論による旋回振れ止め制御 最適レギュレータ理論によるブーム起伏作業時の振れ止め制御 ファジィ理論によるによるブーム起伏作業時の振れ止め制御 ー 一 小 口 口

多

用 語 が 英 語 以 外 の 外 国 語 の 時 は日 本 語 訳 を つ け て 録 名 目 氏 文 Eコ ?

54

論 第 甲 工 ￨乙 工￨ 工 修 備 考 1 論文の題目は. ること。 2 参考論文は. 3 参考論文は， 学 位 論 文 題 目 報 告 番 号 論 文 の 目 次 第l章 第2章 第3章 第4章 第5章 第6章 第7章 第8章 回

-1

5

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...1.

7 ・ ーー ヒコ 日 要 円h 廿 内 文 論 ひ ろ お 博 夫 田 た 多 甲 工

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二

工

l

工 修 名 氏 号

54

第 報 告 番 号 旋回式クレーンの吊り荷振れ止め制御に関する研究 内容要旨 本論文において.旋回式クレーンの吊り荷振れ止め制御について研究報告した。 旋回式クレーンは機動力の高さから多岐に渡る荷役作業が実施可能であるが. これには運転操作に熟練 を 要 す る 。 ま た 熟 練 操 縦 者 不 足 や ク レ ー ン 事 故 対 策 な ど か ら.吊り荷の振れを低減させる制御システム の実用化が望まれている。 第2章では.振れ止め制御に必要な吊り荷振れ角センサについて検討した。吊り荷の動揺によりブーム に加わる曲げモーメン卜が変動する。これをひずみゲージで測定後.FIRフィルタを用いて吊り荷振れ角 成分を抽出し.換算式により吊り荷振れ角を算出した。本章では.旋回作業時に発生する旋回方向の吊り 荷振れ角，およびブーム起伏作業時に発生する半径方向の吊り荷振れ角を計測する振れ角センサを提案し 実機クレーンを用いて検証した。この結果.センサ出力は吊り荷動揺量と良く一致したが.FIRフィルタ による時間遅れが生じた。このため.振れ止め制御システムにおいてセンサ出力の時間遅れを補正する必 要があることがわかった。 第3章では.実機を縮小したモデル実験装置と.クレーン機体および吊り荷挙動をシミュレーションす るための解析モデルを提案した。実験装置は，実機クレーンの性能を類推できる大きさと構造を持ち. 般的作業である旋回.ブーム起伏，吊りロープ巻上げ動作を実機と同様に操作レバーを用いて操縦でき， 振れ止め制御成績と操縦者の操作フィーリングの検証を可能とした。また解析モデルにより.実機およ びモデル実験装置の吊り荷およひ宇機体挙動のシミュレーションを可能とした。 第4章では.最適レギュレータ理論を用いた状態フィードバック制御による旋回作業時の振れ止め制御 ￨ 手法と.振れ角センサ出力の時間遅れ補正法を提案し.モデル実験装置および解析モデルを用いて.振れ 止め制御成績と操作フィーリングを調査した。目標速度に追従して旋回させる条件において，通常の旋回 ! 操作では加速および減速直後に荷揺れが生じ.その後も持続しているが.振れ止め制御を行った場合には l 良好な振れ止め制御成績が得られた。操作レバーで旋回動作を行う条件において.通常の旋回操作では細 ￨ かく操作レバーを動かし 振 れ 止 め 操 作 と 吊 り 荷 の 位 置 決 め 操 作 を 行 う 必 要 が あ っ た が.振れ止め制御を ￨ 行った場合には. 自動的に荷揺れが減少するため，容易に吊り荷を目標位置に静止させることが可能であ り.操作レバーへの追従性も良好であった。 I 第5章では.ファジィ理論を用いた旋回振れ止め制御手法と.振れ角センサ出力の時間遅れをファジィ

i

jレールで補正する方法を提案した。実験および解析結果より. レギュレータ制御に比べ良好な制御成績と 操作フィーリングが得られた。またI 2個のスケーリングファクタを調整することにより.操作レバーへ の追従性と振れ止め成績を容易に変更することが可能となり.作業条件の変化へも容易に対応できた。 第6章では，ブーム起伏作業時の振れ止め制御について.最適レギュレータ理論を用いた状態フィード バック制御による振れ止め制御手法と，振れ角センサ出力の時間遅れ補正法を提案した。実験および解析 結果より.旋 回 振 れ 止 め 制 御 と 同 様 に 良 好 な 吊 り 荷 振 れ 止 め 成 績 と レ バ ー 追 従 性 が 得 ら れ た 。 し か し ブ ーム起伏作業は吊り荷の地上高さが変動するため.ブームの固有振動が増加する傾向となり目制御が不安 定になることがあった。この対策として.吊りロープ巻上げ操作をブーム起伏角度に連動させることによ り，制御系が安定する事が得られた。 第7章では，ファジィ理論を用いたブーム起伏作業時の振れ止め制御手法と.振れ角センサ出力の時間 遅れをファジィルールで補正する方法を提案した。実験および解析結果より，レギュレータ制御に比べ良 好な制御 成績と操作フィーリン グ が 得 ら れ た 。 ま た 容 易 に 操 作 レ バ ー へ の 追 従 性 ， 吊 り 荷 振 れ 止 め 成 績 を調整することが可能であった。 以上の研究により.旋回式クレーンに適用可能な吊り荷振れ止め制御システムが構築でき. 業の安全性および作業性の向上に貢献できると考える。 学 位 論 文 題 目 クレーン作

「一一一一一一一一一一一一一ー一一一一一一一一二二一一一一一一一一一一一一一一一一一:

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旋回式クレーンの

吊り荷振れ止め制御に関する研究

1999年

1

1

月

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目 次

第

l

章

緒

言

第 l章の 参 考 文 献 6

第

2

章

吊 り 荷 振 れ 角 セ ン サ

2.1 概 要 2.2 吊 り 荷 振 れ 角 の 検 出 方法 2.2.1 旋 回 方 向 成 分 の 検 出 2.2.2 半 径 方 向 成 分 の 検 出 2.3 実 験 結 果 2.3.1 実 機 ク レ ー ン に よ る 旋回方 向 成 分 の 検 出 2.3.2 モ デ ル 実 験 装 置 に よ る半径 方 向 成 分 の 検 出 2.4 結言 第

2

章の 参 考 文 献 8 8 9 9 0 1 1 7 8 0 可₁ 1 i 可_i 可₁ 1 i 9 u

第

3

章

モ デ ル 実 験 装 置 お よ び 解 析 モ デ ル

3.1 概 要 3.2 モ デ ル 実 験 装 置 3.2.1 基 本 構 成 3.2.2 モ ー タ ー 駆 動 装 置 3.3 解 析 モ デ ル 3.3.1 旋 回 操 作 時 の 解 析 モ デ ル 3.3.2 ブ ー ム 起 伏 操 作 時 の 解 析 モ デ ル 第

3

章 の 参 考 文 献 1 i T i -1 i A 吐 P O P O A U q O 9 “ 9 臼 ヮ “ ヮ 臼 9 u -9 “ 9 -q d q d

第

6

章

最適レギ

、

ュレータ周論によるブーム起伏作業

1[

与の似れ

1

1

-

.

め

制

御

G6 6.1 緒~ 66 6.2 振れ止 め制御 シ ス テ ム 67 6.2.1振れ止 め 制 御 シ ス テ ム 構成 67 6.2.3 吊り何 振 れ 角 デ ータの 補 正 68 6.3 ブーム 起 伏 作業 時の 振 れ 11-.め制御試験 71 6.3.1 試験 条 件 71 6.3.3 外 乱 に 対 す る 応答 71 6.3. 4 軌 道 追 従 試 験 74 6.4 ブ ー ム 起 伏 . 吊り何巻 上げ 複 合 作業 時の振れ 止 め 制 御試験 76 6.4.1 概 要 76 6.4.2 外 乱 に 対 す る 応 答 77

m

4

E~l':

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之適レギュレータ理論による此[

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振れ

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4k t d_I WD F O ハ b Q U Q U Q U Q d q ο F O p o q J リ qJ q d q d q d q J q d q 、 u q d A ι I A は I A は I l.1 桁

l

?

1.2 振 れ l上 め 制 御 シ ス テ ム 1.2.1 振 れ 止 め 制 御 シ ス テ ム 構 成 ".2.2

h

1

り 仰 振 れ 角 デ ー タ の 補

l

E

，1. :~ モ デ ル 実 験 と 用 論 解 析 < 1.;3.1試 験 条 件 l.:3.2 外，~L に対する応符試験 1.:3. :3軌 道 追 従 試 験 11.:3.11 レ バ ー 旋 回 試 験 l.4 結言 第

4

~その参考文献

第

5

章

ファジ

ィ 理 論 に よ る 旋 回 振 れ 止 め 制 御

5.1 緒 言 5.2 振 れ 止 め 制 御 シ ス テ ム 5.2.1 振 れ止め 制 御シス テ ム 構 成 5.2.2 フ ァ ジ ィ制御員Ijの設 定 ① 5.2.3 ファジ ィ 制 御 則 の設 定 ② 5.3 モ デ ル実験 と 理 論 解 析 5.3.1 試験 条 件 5.3.2外 乱 に 対 す る 応 答 試 験 5.3.3軌 道 追 従 試 験 5.3.4 レ バ ー 旋 回 試 験 5.3.5 ス ケ ー リ ン グ フ ァ ク タ の 影 響 5.3.6 作 業 条 件 の 変 化 に よ る 影 響 5.4 結 言 第

5

章の 参 考 文 献 6.4.3 軌 道 追 従 試 験 6.4.4 レ バ ー 操 作 試 験 6.5 結舌 第 6章の 参 考 文 献 8 8 9 9 0 1 4 4 4 5 8 9 2 3 5 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6

第

7

章

ファジィ理論によるブーム起伏作業時の仮れ止め制御

7.1 緒言 7.2 振 れ 止 め 制 御 シ ス テ ム 7.2.1 制 御 シ ス テ ム 構 成 7.2.2 フ ァ ジ ィ 制 御 則 の 設 定① 7.2.3 フ ァ ジ ィ 制 御 則 の 設 定 ② 7.3 モ デ ル実験 と 理 論 解 析 7.3.1 試 験 条 件 7.3.2 ブ ー ム 起 伏 単 独 作 業 時 の 軌 道 追 従 試 験 7.3.3 複 合 作 業 時 の 軌 道 追 従 試 験 8 1 3 4 ウ 4 Q U n H U Q O 6 6 7 7 8 8 2 2 2 3 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9

7.~.4 後合作業時のレバー操作試験 7.~.5 スケーリングファクタの影響調査 7.11 結

J

第

7

章 の 参 考 文 献

第

8

草 結

1

.

論 文 記 録 97 98 101 102 103 107

第

1

章

緒 言

物 を 運 搬 す る 作 業 は 人 類 歴 史 の 起 源 か ら 始 ま り ， 運 搬 方 法 も 産 業 の 進 歩 と 共 に 急 速 に 発 展 し た 。 特 に ， 交 通手 段 の 整 備 と 共 に 各 地 に 人

:

T

業 が起こ る に 及 び ， 大 量 か っ 大 重 量 の 荷 物 が 取 り 扱 わ れ る よ う に な り ， ィ 苛 役 機 械 の 性 能 は 飛 躍 的 に 進 歩 改 良 さ れ た 。 今 日 の 生 産 お よ び 流 通 機 構 と し て ， ク レ ー ン な ど の 運 搬 機 械 が 必 要 欠 く べ か ら ず も の と な っ て お り ， 荷 役 機 械 の 作 業 性 能 が 生 産 お よ び 流 通 コ ス ト に 大 き く 影 響 し て い る 。 荷 物 を 吊 り 下 げ て 運 搬 す る ク レ ー ン は ， 運 搬 能 力 の 高 さ な ど の 理 由 か ら 多 く の 場 面 で 利 用 さ れ る よ う に な る と 共 に ， 作 業 内 容 に あ わ せ た 形 状 が 採 用 さ れ る よ う に な っ た 。 工場 内 で 主 に 利 用 さ れ る 天 井 走 行 ク レ ー ン ， 港 湾 や 原 料 ヤ ー ド な ど で 利 用 さ れ る 橋 形 ク レ ー ン や ア ン ロ ー ダ は ， 直 交 方 向 に 吊 り ロ ー プ の 支 持 部 を 移 動 さ せ て 吊 り 荷 の 運 搬 を 行 う 。 ま た . 建 設 現 場 で の 資 材 運 搬 な ど に 利 用 さ れ る ラ フ テ レ ン ク レ ー ン ， ク ロ ー ラ 式 ク レ ー ン な ど の 旋 回 式 ク レ ー ン は ， 長 大 な 腕 ( ブ ー ム ) を 旋 回 お よ び 起 伏 さ せ て 吊 り ロ ー プ 支 持 部 を 移 動 さ る 。 こ れ ら の 旋 回 式 ク レ ー ン の 多 く は ， 自 由 に 移 動 で き る 台 車 を 装 備 し た 移 動 式 ク レ ー ン で あ り ， そ の 機 動 力 の 高 さ か ら 広 く 普 及 し て い る{l)0 し か し ， 旋 回 式 ク レ ー ン は そ の 機 動 性 の 高 さ ゆ え に 多 岐 に 渡 る 作 業 を 実 施 す る こ と が 可 能 で あ る が ， こ れ ら の 作 業 を 安 全 か っ 迅 速 に 実 施 す る に は ク レ ー ン 作 業 の 熟 練 が 必 要 で あ り . ク レ ー ン 操 縦 者 の 経 験 や 勘 に 頼 っ て い る 状 態 で あ る 。 毎 年 の よ う に ク レ ー ン の 転 倒 事 故 な ど の 重 大 災害が 発 生 し て い る 現 状 か ら ， ク レ ー ン 作 業 の 安 全 性 の 確 保 が 急 務 と な っ て い る は)。 ま 1

た . 近 年 ク レ ー ン 操 縦 者 の 高 齢 化 や 女 性 の 進 出 が 進 む に し た が い . よ り 容 易 な 運 転 操 作 方 法 が 望 ま れ る よ う に な っ て き た 。 ク レ ー ン の 事 故 と し て は ， ク レ ー ン 本 体 の 転 倒 事 故 と 吊 り 荷 の 動 揺 に よ る 衝 突 事 故 が 報 告 さ れ て い る 。 前 者 に 対 す る 安 全 対 策 と し て ， 過 負 荷 防 止 装 置l刊による前ノ

7

へ の 転 倒 防 止 シ ス テ ム が 設 置 を 義 務 づ け ら れ て お り (4) 吊 り イ 苛 と ク レ ー ン 機 体 の 静 的 な 釣 り 合 い か ら 転 倒 モ ー メ ン 卜 を 算 出 し ， 安 全 な 吊 り 荷 重 と 作 業 下 径 を ク レ ー ン 操 縦 者 に 警 告 す る こ と に よ り ， 転 倒 防 止 に 役 立 っ て い る が ， 吊 り 荷 の 動 揺 に よ る 危 険 を 防 止 す る 機 能 は 備 わ っ て いない。 吊 り 荷 の 動 揺 に よ る 危 険 性 を 防 ぐ た め に は ， 吊 り 荷 の 運 搬 速 度 を 遅 く し て 吊 り 荷 の 動 揺 を お さ え る 必 要 が あ る D し か し . 運 搬 速 度 を 下 げ る こ と は 作 業 性 の 低 下 へ と つ な が る た め . ク レ ー ン 作 業 で は ， 安 全 性 と 作 業 性 の 相 反 す る 要 素 を 両 立 さ せ ね ば な ら な い 。 特 に 旋 回 式 ク レ ー ン の 旋 回 操 作 は 吊 り 荷 の 運 搬 速 度 が 大 き く な り ， 吊 り 荷 の 振 れ が 大 き く な り や す い 。 こ の た め ， 旋 回 運 動 を 行 っ た と き の 吊 り 荷 お よ び ク レ ー ン 機 体 の 挙 動 に 関 す る 研 究 が 多 数 報 告 さ れ{5hlh， こ れ ら の 動 特 性 を 精 度 よ く シ ミ ュ レ ー シ ョ ン で き る よ う に な っ て い る 。 ま た ， 吊 り 荷 の 振 れ を 減 少 さ せ る 研 究 と し て ， 荷 揺 れ が 最 小 と な る 最 適 軌 道 を 事 前 に 求 め . こ れ に 追 従 さ せ る 研 究(1 0).(1 1 )が 報 告 さ れ て い る ほ か は あ ま り 見 あ た ら な い 。 ブ ー ム 起 伏 作 業 で は . 吊 り 荷 は 前 後 方 向 に 動 揺 す る 。 こ れ は ク レ ー ン の 転 倒 モ ー メ ン ト の 増 加 に つ な が り ， 転 倒 事 故 の 原 因 と な る 。 前 後 方 向 の 動 揺 は 運 転 者 か ら 遠 近 方 向 と な り ， こ の 距 離 を 正 確 に 視 認 で き な い こ と が 振 れ 止 め 操 作 を 困 難 な も の と し て い る 。 こ の 動 作 時 の ク レ ー ン の 動 特 性 に 関 す る 研 究 は す で に 多 数 報 告 さ れ(12)「 15¥精 度 の 良 い シ ミ ュ レ ー シ ョ ン が 可 能 と な っ て い る が ， 吊 り 荷 振 れ 止 め に 関 す る 報 告(16)は ブ ー ム 起 伏 操 作 の 速 度 パ タ ー ン を 事 前 に 求 め ， こ れ に 追 従 制 御 さ せ る 方 法 で あ る 。 一方 ， 天 井 走 行 ク レ ー ン で 代 表 さ れ る 並 進 式 ク レ ー ン の 吊 り 荷 振 れ 止 め 制 御 技 術 に つ い て は 古 く か ら 研 究 さ れ て お り ， お も に 振 れ 止 め 最 短 時 間 制 2 - ・E・ - ・ 圃 園 田 園 田 園 園 田 園 園 田 園 田 園 盟 国 御 解 を示 し こ れ を 実験 で 検証 し た も の . お よ び 段 通 レ ギ ュ レ ー タ を 構 成 し . あ ら か じ め 求 め て お い た 最 適 振 れ ! と め 軌 道 に 追 従 す る よ う に 状 態 を フ ィ ー ド バ ッ ク さ せ た も の や フ ァ ジ ィ 制 御 を 利 用 し た も の な ど が 一部 で 実 用 化 さ れ て い る (17)-(22)。し か し ， こ れ ら の 問 題 で 扱 って い る ク レ ー ン 作 業 は 吊 り 荷 の 移 動 経 路 を 事 前 に 与 え る 必 要 が あ り . 天 井 走 行 ク レ ー ン な ど の 設 備 式 ク レ ー ン に お け る 特 定 な 作 業 を 行 う と き に は 有 効 で あ る が ， ラ フ テ レ ー ン ク レ ー ン な ど の 移 動 が 可 能 な 旋 回 式 ク レ ー ン で は ， そ の 作 業 現 場 や 作 業 内 容 は 多 枝 に 渡 る た め ， あ ら か じ め 作 業 内 容 を 制 御 装 置 に 入 力 す る の は 困難である。 本 研 究 で は . 旋 回 式 ク レ ー ン の 一般 的 な 作 業 で あ る 旋 回 操 作 お よ び ブ ー ム 起 伏 操 作 を 行 う と き の 吊 り 荷 振 れ 止 め 制 御 法 に つ い て 研 究 し た 。 ク レ ー ン の 操 縦 操 作 の 方 法 は . 通 常 の ク レ ー ン 操 作 と 同 様 に 操 縦 者 が 任 意 に 操 作 レ バ ー を 動 か し て 荷 役 作 業 を 行 う 場 合 と し ， 従 来 の 設 備 式 ク レ ー ン の 研 究 に 見 ら れ る よ う な 吊 り 荷 移 動 経 路 を 事 前 に 必 要 と せ ず に 吊 り 荷 の 振 れ 止 め 制 御 が 可 能 と な る よ う に す る 。 し か し ， 振 れ 止 め 制 御 シ ス テ ム か ら の 振 れ 止 め 操 作 は ク レ ー ン 操 縦 者 の 意 図 で は 行 わ れ な い た め ， 操 縦 に 違 和 感 を 感 じ る 恐 れ も あ り ， 振 れ 止 め 制 御 効 果 だ け で な く ， ク レ ー ン 操 縦 者 の 操 作 性 に つ い て も 満 足 で き る よ う に す る 。 第 2章 で は ， 吊 り 荷 振 れ 止 め 制 御 を 実 用 化 す る に あ た り . 作 業 中 の 吊 り 荷 の 振 れ 角 度 を 計 測 す る 吊 り 荷 振 れ 角 セ ン サ の 検 討 を 行 っ た 。 こ れ ま で に ブ ー ム 先 端 に ポ テ ン シ ョ メ ー タ な ど を 用 い て 振 れ 角 度 を 直 接 測 定 す る 方 法 ， カ メ ラ な ど を ブ ー ム 先 端 に 固 定 し ， 吊 り 荷 や ロ ー プ を 画 像 処 理 し て 振 れ 角 度 を 算 出 す る 方 法 な ど が 考 え ら れ た 。 し か し ， 旋 回 式 ク レ ー ン は 長 大 な ブ ー ム 先 端 に 吊 り ロ ー プ の 支 点 が あ る た め ， ブ ー ム の 振 動 や 使 用 環 境 の 過 酷 さ な ど が 障 害 と な り 実 用 に 至 っ て い な い の が 現 状 で あ る 。 こ こ で 提 案 す る 振 れ 角 セ ン サ は ， 吊 り 荷 ロ ー プ が 動 揺 し た 時 に ロ ー プ の 引 張 方 向 が 変 動 す る こ と に 着 目 し ， こ れ に よ る ブ ー ム の 曲 げ モ ー メ ン 卜 か ら 吊 り 荷 の 振 れ 角 を 求 め る 。 こ こ で は . 吊 り 荷 振 れ 角 を 求 め る 方 法 ， お よ び 実 験 結 果 を 3

不す。 第

3

章 で は . 実 機 旋 凶 式 ク レ ー ン を 縮 小 し た モ デ ル 実 験 装 置 と ， ク レ ー ン 機 体 お よ び 吊 り 荷 挙 動 を コ ン ビ ュ ー タ シ ミ ュ レ ー シ ョ ン す る た め の 解 析 モ デ ル を 示 す 。 吊 り 荷 娠 れ 止 め 制 御 シ ス テ ム を 検 f U E す る に あ た り ， 実 際 に ク レ ー ン を 操 縦 し ， 操 作 性 と 吊 り 荷 振 れ 止 め 制 御 成 績 を 調 査 す る 必 要 が あ る が . 実 機 ク レ ー ン を 用 い た 実 験 は 危 険 を 伴 う と 共 に ， 実 験 結 果 の 再 現 性 お よ び 装 置 が 大 が か り に な る な ど の 問 題 が あ る 。 こ の た め ， 旋 回 式 ク レ ー ン 実 機 の 性 能 を 類 推 で き る 大 き さ と 構 造 を 持 ち ， ク レ ー ン の一般 的 な 作 業 で あ る 旋 回 ， ブ ー ム 起 伏 ， 吊 り ロ ー プ 巻 上 げ 動 作 が で き る 実 験 装 置 を 作 成 し . 第 4---7章 の 実 験 に 使 用 す る 。 ま た . 解 析 モ デ ル に よ り ， 実 機 ク レ ー ン お よ び モ デ ル 実 験 装 置 が 目 標 と す る 作 業 を 実 施 し た と き の 吊 り 荷 お よ び 機 体 挙 動 が シ ミ ュ レ ー シ ョ ン で き ， 制 御 シ ス テ ム の 設 計 お よ び 制 御 パ ラ メ ー タ の チ ュ ー ニ ン グ に 利 用 す る 。 第

4

章 で は ， 旋 回 式 ク レ ー ン の 旋 回 振 れ 止 め 制 御 に つ い て 検 討 し た 。 ま ず . 最 適 レ ギ ュ レ ー タ 理 論(21)を 用 い た 状 態 、 フ ィ ー ド バ ッ ク 制 御 に よ る 振 れ 止 め 制 御 手 法 と ， 第 2章 に 示 す 振 れ 角 セ ン サ 出 力 の 時 間 遅 れ 補 正 法 を 提 案 し た 。 次 に ， そ の 制 御 成 績 を 第 3章 に 示 す モ デ ル 実 験 装 置 お よ び 解 析 モ デ ル に よ り 検 討 し た 。 第

5

章では，第

4

章 と 同 様 な 旋 回 式 ク レ ー ン の 旋 回 振 れ 止 め 制 御 に お い て ， フ ァ ジ ィ 理 論 を 用 い た 振 れ 止 め 制 御 手 法 を 示 す 。 最 適 レ ギ ュ レ ー タ 理 論 を 用 い た 状 態 フ ィ ー ド バ ッ ク 制 御 で は ， 制 御 に 要 す る 計 算 時 間 が 短 い た め . 比 較 的 低 性 能 な プ ロ セ ッ サ で も 演 算 が 可 能 で あ る が ， 作 業 条 件 が 変 化 す る と ， そ の た び に フ ィ ー ド パ ッ ク ゲ イ ン の 調 整 が 必 要 と な り ， こ れ ら の パ ラ メ ー タ を 事 前 に 求 め る た め の 傾 雑 な 手 続 き が 必 要 で あ っ た 。 こ の た め 制 御 則 が 理 解 し や す く . 経 験 に 基 づ い た チ ュ ー ニ ン グ が 容 易 で あ る フ ァ ジ ィ 理 論 を 適 用 し ， 操 縦 者 の 好 み に 合 わ せ た 制 御 特 性 変 更 の 容 易 さ を 実 現 さ せ た 。 ま た ， 第 2章 に 示 す 振 れ 角 セ ン サ 出 力 の 時 間 遅 れ を フ ァ ジ ィ ル ー ル で 補 正 す る 方 法 を 提 案 し た 。 次 に ， そ の 制 御 成 績 を 第 3章 に 示 す モ デ ル 実 4 E 圃・・-圃・・・・・・・・圃・・固・圃・圃・・・・・・・・・・・園・ 験 装 置 お よ び 解 析 モ デ ル に よ り 検 討 し た 。 第 6章 で は ， 旋 回 式 ク レ ー ン が ブ ー ム 起 伏 作 業 を す る と き の 振 れ 止 め 制 御 に つ い て 検 討 し た 。 ま ず ， 最 適 レ ギ ュ レ ー タ 理 論 を 用 い た 状 態 フ ィ ー ド バ ッ ク 制 御 に よ る 振 れ 止 め 制 御 手 法 と ， 第 2章 に 示 す 振 れ 角 セ ン サ 出 力 の 時 間 遅 れ 補 正 法 を 提 案 し た 。 次 に ， そ の 制 御 成 績 を 第

3

章 に 示 す モ デ ル 実 験 装 置 お よ び 解 析 モ デ ル に よ り 検 討 し た 。 ブ ー ム 起 伏 作 業 は 吊 り 荷 の 地 上 高 さ が 変 動 す る た め ， 吊 り ロ ー プ 巻 上 げ 操 作 を 同 時 に 行 う 条 件 に つ い て も 検証した。 第

7

章 で は ， 第

6

章 と 同 様 に . 旋 回 式 ク レ ー ン の ブ ー ム 起 伏 作 業 を 対 象 と し ， フ ァ ジ ィ 理 論 を 用 い た 振 れ 止 め 制 御 手 法 を 示 し た 。 ま た ， 第

2

章 に 示 す 振 れ 角 セ ン サ 出 力 の 時 間 遅 れ を フ ァ ジ ィ ル ー ル で 補 正 す る 方 法 を 提 案 し た 。 次 に ， そ の 制 御 成 績 を 第

3

章 に 示 す モ デ ル 実 験 装 置 お よ び 解 析 モ デ ル に よ り 検 討 し た 。 第

8

章 で は ， 研 究 し た 旋 回 式 ク レ ー ン の 吊 り 荷 振 れ 止 め 制 御 に つ い て 総 括 し て い る 。 5

第 l章の参考文献 (1)長塚源 - 本田早苗.実用クレーン便覧.産業凶書， (1986)， 1・10 (2) ク レ ー ン 等 の 災 害 事 例 と そ の 対 策 ， 省 労 働 基 準 局 安 全 衛 生 部 安 全 課 監 修 (3)津 村 勲 ・ 林 憲 彦 ・ 吉 松 英 昭 ・福島弘一，ラフテレーンクレーンの転倒防止装置の開発， R&D神 戸 製 鋼 技 報/Vo1.42， (1992)， 95・98 (4) クレーン等安全規則， 日本クレーン協会 (5) 伊 藤 広 ， 移 動 式 ク レ ー ン に お け る つ り 荷 の 動 特 性 ( 第 l報 ， 旋 回 運 動 の 理論的解明)， 日本機械学会論文集， 42・355，(1976)， 738・746 (6)伊 藤 広 ・ 仙 田 悦 弘 ， 移 動 式 ク レ ー ン に お け る つ り 荷 の 動 特 性 ( 第2報 . 旋 回 運 動 の 実 験的検討) ， 日本機 械学会論文集， 42・358， (1976)， 1718・1726 (7)谷 住 和 也 ・ 日 野 順 市 ・ 芳 村 敏 夫 ・ 坂 井 敬 通 . トラッククレーンの動特性のモデル化と 制 御 に 関 す る 研 究 ( 油 圧 系 を 考 慮 し た 旋 回 運 動 時 の 制 御 性 の モ デ ル 化 )， 日本機械学 会論文集， 60・572，C(1994)， 1262司1269 (8) 日 野 順 市 ・ 角 谷 直 也 ・ 芳 村 敏 夫 ・ 坂 井 敬 通 ， 部 分 構 造 合 成 法 に よ る ト ラ ッ ク ク レ ー ン の旋回運動時の振動制御， 日本機械学会論文集， 60・596，C(1994)， 24・29 (9)頭井洋・井上喜雄・井村章夫・藤川猛， リ ン ク 構 造 の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン に 関 す る 研 究 (第 l報 ， 弾 性 振 動 を 含 む 大 変 位 要 素 の 振 動 解 析 ) ， 日本機械学会論文集， 52・483 C(1986)， 2814・2821 (10)土屋輝雄・伊藤公嗣，旋回式クレーンの荷物の振れ止め制御，計測と制御， 13・10，(1974)， 797-805 (11)山崎信二・伊藤隆文・久村富持，ジブクレーンの制御に関する研究，計測自動制御学会 論文集， 15-6， (1979)， 826・832 (12)日野順市・藤田邦彦・芳村敏夫，旋回および起伏操作時のトラッククレーンの吊り荷のファ ジィ制御，日本機械学会論文集， 64・626， (1998)， 3798・3804 (13)伊 藤 広 ・ 仙 田 悦 弘 ・ 藤 本 秀 樹 ， 移 動 式 ク レ ー ン に お け る つ り 荷 の 動 特 性 ( 第4報 ， ブ ーム起伏時などの場合) ， 日本機械学会論文集， 44・372， (1978)， 2893・2899 (14)伊 藤 広 ・ 長 谷 川 光 彦 ・ 多 田 博 夫 ， 箱 形 ジ ブ を 装 備 し た ト ラ ッ ク ク レ ー ン の 動 特 性 に 関 6 -・・・圃圃圃圃・・・・・・・・・圃圃・・圃園圃圃圃圃圃・・・圃・圃圃圃・・ す る 研 究 ( 第 l報，つ り 荷 巻 上 げ ， お よ び ジ ブ 起 伏 運 動 の 場 合 )， 日 本 機 械 学 会 論 文 集， 52-475， C(1986)， 885・893 (15)坂井敬通・荒川敏明・芳村敏夫・日野順市， ト ラ ッ ク ク レ ー ン に お け る ク レ ー ン 作 業 時の動特性に関する研究， 日本機械学会論文集， 58・550，C(1992)， 1942-1949 (16)谷住和也・ 日野順市・芳村敏夫・坂井敬通， トラッククレーンの動特性のモデル化と制御 に関する研究(油圧系を考 慮 し た 起 伏 運 動 時 の 制 御 性 の モ デ ル 化 ) ，日本機械学会論文 集， 60-572， C(1994)， 1270・1277 (17)Jack C.Misake， A Look AutomaticmetalPouring， Foundry MT， Feb.(l979)， 26-40 (18)I.Morishita . K deguchi， MicrocomputerControl of OverheadTravellingCranes for Grab swingSuppression at the Goal Position， ACTA I:Y1EKO， (1979)， 403・410 (19)白井潤二・ほか7名， コンテナクレーンの振れ止め制御技術の実用化， 日本機 械学 会 論文集， 59・561. C(1993)， 1443・1447 (20)村田五雄・中島正道， コンテナクレーンの自動化， 日本機械学会論文集， 59-564， C(1993)， 2401・2407 (21)佐久本正和・林亨， Fuzzy制御のコンテナク レーン振れ止め制 御システムへの適用. 日本機械学会論文集， 58・550，C(1992)， 1792・1797 (22)兼 重 明 宏 ・ 北 岡 敏 民 ・ 宗 利 秀 和 ・ 寺 嶋 一 彦 . 巻 き 上 げ ， カ ー ブ 軌 道 を 有 す る 天 井 ク レ ーンの搬送制御， 日本機械学会論文集， 63・607，C(1997)， 921・928 (23)有本卓，線形システム論.産業図書. (1974)， 141・157 7

第

2

章

吊リ荷振れ角センサ

2

.

1

概 要

{ f)り 仰 の 振 れ

u

:

め 制 御 を 実 現 す る に あ た り ， 作 業 中 の 吊 り 荷 の 振 れ 角 度 を 計 測 す る 必 要 が あ る。 天 井定 行 ク レ ー ン の 吊 り 荷 の 位 置 検 出 で は ， ナ ト リ ウ ム ラ ン プ や ハ ロ ゲ ン ラ ン プ レ ー ザ ー ス キ ャ ン を 光 源 と し た 画 像 処 理 技 術 を 応 用 し た 装 置(1)-(:1) レ ー ザ ー 距 離 計 を 操 作 す る ノ

7

・式の装置 (1)な ど が 実 用 化 さ れ て い る 。 綻

I

n

l

よ ク レ ー ン に お い て は ， カ メ ラ な ど を ブ ー ム 先 端 に 固 定 し ， 吊 り 荷 や ロ ー プを￨由i像 処 s R し て 振 れ 角 度 を 算 出 す る 方 法 ， ブ ー ム 先 端 に ポ テ ン シ ョ メ ー タ な ど を 川 い て 振 れ 角 度 を ￨直 接 測 定 す る 方 法 な ど が 試 み ら れ て き た が ， 旋 回 式 ク レ ー ン は 長 大 な ブ ー ム 先 端 に 吊 り ロ ー プ の 支 点 が あ る た め ， ブ ー ム の 振 動 や 使 用 環 境 の 過 酷 さ な ど が 障 害 と な り 実 用 に 至 っ て い な い の が 現 状 で あ る 。 こ こ で 提 案 す る 振 れ 角 セ ン サ は ， 吊 り 荷 ロ ー プ が 動 揺 し た 時 に ロ ー プ の 引 張 万戸]が変動することに着甘し， こ れ に よ る ブ ー ム の 曲 げ モ ー メ ン ト を ブ ー ム 側 面 に 貼 り 付 け た ひ ず み ゲ ー ジ で 測 定 す る 。 た だ し ， こ の 測 定 デ ー タ に は ブ ー ム 質 量 と 弾 性 に よ る 影 響 や 吊 り ロ ー プ の 伸 び な ど ， 荷 揺 れ 以 外 の 振 動 情 報 が 含 ま れ る 。 し か し こ れ ら の 振 動 成 分 は ， 吊 り 荷 の 固 有 振 動 に 比 べ 周 波 数 が 高 い た め ， そ れ ら を 取 り 除 く た め に FIRデ ィ ジ タ ル フ ィ ル タUi)を 採 用 し ， ひ ず み ゲ ー ジ 出 力 か ら 何 倍 れ に 同 調 し た 成 分 の み を 抽 出 後 ， 次 節 に 示 す 変 換 方 法 を 用 い て 吊 り 荷 振 れ 角 を 求 め る 。 な お . FIRフ ィ ル タ を 選 定 し た 理 由 は ， 動 作 が 安 定 し て お り， fijノ1信 号 の 時 間 遅 れ が 事 前 に 把 握 で き る た め で あ る 。

8

2

.

2

吊 り 荷 振 れ 角 の 検 出 方 法

2.2.1 旋 回 方 向 成 分 の 検 出 図 2.1より， 吊 り ィ 苛 が 旋 凶 万 向 に 娠 り 子 運 動 を す る と き . ひ ず み ゲ ー ジ 貼 り 付 け 位 置 に 発 生 す る 荷 揺 れ に よ る 曲 げ モ ー メ ン ト M はド式で与えられる。 ルf

-

V

V

cosθ sin()~

_o

L

ミ ljVL，sin2

仇

~g 2 (2.1) ここで • YVは 吊 り 何 重 ， ん は 吊 り ロ ー プ 取 付 位 置 か ら ひ ず み ゲ ー ジ貼り、イ

I

け位 置までの距離， θ は吊り待ロープの振れ角， θ。は振れず]の旋 rl~jf向 成 分 で あ る。 旋 回 作 業 中 の た め ， 吊 り 荷 の 振 れ は 主 に 旋 同 j子向であり Oミめとする。し たがっ て 吊 り 荷 振 れ 角 セ ン サ 出 力 向 は 下 式 と な る 。 θA 1.l:2ん1;. I _ ，__1 2 E & Z ふ = -Stn 一一 一 一 =-Sl1'l 一一一一一一-' " 2 W Lg 2 W Lf! (2.2) ここで， εは ブ ー ム 側 板 に 曲 げ モ ー メ ン ト の み 検 出 す る た め に 2ゲ ー ジ 法 で 貼 り 付 け た ひ ず み ゲ ー ジ 出 力 .

Z

は ひ ず み ゲ ー ジ 貼 り 付 け 部 の ブ ー ム 断 面 係 数 ， Eはヤング率である。

Lg

Wcos8

S

t

r

a

i

n

g

a

u

g

e

Boom

W

e

i

g

h

t

Fig.2.1 Sensor system of rotary crane

2.2.2 半 径 方 向 成 分 の 検 出 吊 り 何 ロ ー プ が半律 方 向 に 動 揺 し た 時 に ロ ー プ 張 力 の 作 用 方 向 が 変 化 し . ブ ー ム に 加 わ る 曲 げ モ ー メ ン 卜 も こ れ に 影 響 さ れ る。こ の 時 の 曲 げ モ ー メ ン ト を ブーム

k

底 面 に 貼 り 付 け た ひ ず み ゲ ー ジ で 測 定 す る 。 図 2.2より， こ の と き の ひ ず み ゲ ー ジ 貼 り 付 け 位 置 に 発 生 す る ロ ー プ 張 力 に よ る 曲 げ モ ー メ ン ト M'7は 下式で与えられる。

M"

=

Wcos

θ

c

o

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(

，

ノ

ー

叫

ん

W L

=

ヲ

L

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v

-

20 )

+

c

o

s

v

}

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ (2.3) こ こ で，

W

は 吊 り 荷 重 .

v

ブーム起伏角度， θは 吊 り 荷 ロ ー プ の 半 径 方 向 の 振 れ角 • Lxは 吊 り ロ ー プ 取 付 位 置 か ら ひ ず み ゲ ー ジ 張 付 け 位 置 ま で の 距 離 で あ る 。 よ っ て 吊 り 荷 振 れ 角 セ ン サ ー 出 力0は下式となる。

S

t

r

a

i

n

g

a

u

g

e

Boom

L

_g メ1i V

_W

_e

_i

_g

_h

_t

Fig.2.2 Sensor system of rotary crane

10 θ

ペ

二

→

H

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ト

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…

ト

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一

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…

一

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一

什

O

叩

べ

ωS

叶

r-I

(陪(許守

，

一

叶

(2.4) ここで， εは ブ ー ム 上 底 板 に 2ゲ ー ジ 法 で 貼 り 付 け た ひ ず み ゲ ー ジ 出 力 ，

z

は ひ ず み ゲ ー ジ 貼 り 付 け 部 の ブ ー ム 断 面 係 数， Eはヤング本である。

2

.

3

実 験 結 果

2.3.1 実 機 ク レ ー ン に よ る 旋 回 方 向 成 分 の 検 出 旋 回 方 向 の 振 れ 角 セ ン サ 実 験 に 使 用 し た ラ フ テ レ ー ン ク レ ー ン の 仕 様 を 表 2.1に 示 す 。 表 2.2に 示 す ブ ー ム 長 お よ び 作 業 半 径 ， 吊 り 荷 重 の 実 験 条 件 に お い て 車 体 の 左 方 に 荷 物 を 吊 り 上 げ ， 吊 り 荷 に 旋 回 方 向 の 初 期 揺 れ を 発 生 さ せ ， 吊 り 荷 動 揺 量 を 地 面 か ら 直 接 ス ト ロ ー ク イ ン ジ ケ ー タ で 測 定 す る 。 吊 り 荷 振 れ 角 を 検 出 す る た め の ひ ず み ゲ ー ジ は ， 図 2.3に 示 す よ う に ， 先 端 ブ ー ム に 3カ 所 ， 基 本 ブ ー ム と ブ ー ム フ ッ ト に

3

カ 所 貼 り 付 け た 。 ひ ず み 量 は 動 ひ ず み 計 を 用 い て 採 取 し ， 測 定 条 件 は サ ン プ リ ン グ 周 波 数 50Hz. ゲ イ ン は 01---3が 100 μ

S

/

V

，

0

4

-

-

-

-

-

6

が 200μ

S

/

V

， カ ッ ト オ フ 周 波 数 10Hzである。 図 2.4にノイズの除去に使用した FIRフ ィ ル タ の 特 性 をIJミす。フィルタを設 計 す る う え で ， フ ィ ル タ 次 数 を 増 加 す る こ と に よ り 急 峻 な 遮 断 特 性 を 得 る が ， 出 力 信 号 の 時 間 遅 れ が 増 加 し ， 制 御 信 号 に 用 い る 上 で 不 利 と な る 。 こ こ で は フ ィ ル タ 次 数 28の 線 形 位 相 FIRフ ィ ル タ 仰 を 用 い ， サ ン プ リ ン グ 周 期 は 0.1秒 と し て い る 。 吊 り 荷 振 れ 角 度 は ひ ず み ゲ ー ジ 出 力 か ら FIRフ ィ ル タ で ノ イ ズ 処 理 後 ， 式 (2.2)より求める。 11

•

Table 2.1 Parameters of rotary crane for experiment

ltems Values Lifting capaci匂 68.6 kN Boom length 4.9""'17.7m

Boom type

_Q

-stage telescopic type Swing time 2.5 rpm

。

0

.

2

0

.

4

Frequency

0

.

6

0

.

8

(Hz) ( ∞ 勺 )

Table 2.2 Working condition

c

-

2

0

司

。

Test soom Operating Tested load

No. _{le Inmglth} radius [kN] [m] (¥Nithouthook) 1-00 21.2

_-

_. 8 _画一

。

ト一一 1-05 21.2 _{一 司} 8 4.9 トー 2幽00 17.7 8

。

2-05 17.7 8 4.9 2-10 17.7 8 9.8 3-00 14.5 7

。

3-05 14.5 7 4.9 一 一 3-10 14.5 7 9.8 4-00 11.3 5

。

4-05 11.3 5 4.9

u

・10 11.3 5 9.8 5-00 4.9 3

。

5-05 4.9 3 4.9 トー 5-10 4.9 3 9.8 -4

句

Fig.2.4 Frequency response of FIR filter

G5 条 件 2-10に お け る 実 験 結 果 を 図 2.5にポす。市り荷に

J

t

振 幅 約 2mの 初 期 揺 れ を 加 え ， そ の 後 放 置 し た 。 ひ ず み ゲ ー ジ 出 力 G1 の波形は吊りィ可動揺量と類 似した波形であり， 0.12Hzの荷揺れ振動が支配的であるが， 0.36Hzのブーム 固 有 振 動 数 成 分 も 加 わ っ て い る 。 式(2.2)よ り 求 め た セ ン サ 出)Jは ， フ ィ ル タ を 通過するため1.4秒 ( 吊 り 荷 周 期 に 対 し 1/6周期)の時間遅れんが生じるが， ノイズ成分は大幅に減少している。 こ の 条 件 に お け る 吊 り 荷 動 揺 量 と ひ ず み ゲ ー ジ 出 力 ， セ ン サ 出 力 の 関 係 を 図 2.6に 示 す 。 ひ ず み ゲ ー ジ 出 力 は 吊 り 荷 動 揺 量 に 対 し ， 上 述 の ノ イ ズ に よ り ば ら つ き が 存 在 す る が ， セ ン サ 出 力 は 吊 り 荷 動 揺 量 に 対 し . ほ ぼ 直 線 と な ってい る 。 な お ， 吊 り 荷 動 揺 量 実 測 値 と の 比 較 に 用 い た セ ン サ 出 力 は 1 .4秒 の 時 間 遅 れを補正している。 提 案 し た 吊 り 荷 振 れ 角 の 検 出 方 式 は ， ブ ー ム の 曲 げ モ ー メ ン ト を 計 測 す る シ ステムのため， 吊 り 荷 重 な ど の 変 動 にt陀 能 が 左 右 さ れ る と 考 え ら れ る 。 こ の た め ， セ ン サ 出 力 と 実 際 の 動 揺 量 の 相 関 係 数 を 比 較 し . 表 2.1に 示 す 実 験 条 件 お よび図 2.3に示す ひ ず み ゲ ー ジ 位 置 の 違 い に よ る 影 響 を 調 査 し た 。 実 験 結 果 を 図 2.7に 示 す 。 荷 物 を 吊 ら ず フ ッ ク だ け (NO.の 末 尾 が 00) の 条 件 で は 相 関 係 数 が 悪 く な っ て い る が ， 吊 り 荷 を 吊 る こ と に よ り 相 関 係 数 が 向 上 し て い る 。 G2 G3

Fig2.3 Loca tion of strain ga uges

沼 ) 図 問 。 圏 寸 O 臼 向 。 園 N O 臼

一

0

・

E 立 ∞ 一 ℃ h F 5

∞

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5

{ 。 _﹄ 。 一 × 一 }

5

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6

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Dynamic responses subjectto initial loadsway

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…

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…

『...・'・φ・..・φ・・.. P 聞2田2鑑没""却。鉱沼笠鯉... 当面苫... 誼 - - 草 " " " " " " ' " 凶... 全区主主語ヨヨ笠塑0航淘O割沼笠魁... 錨禄盆届詠孟扇訣盆扇... 丞扇面丞扇詠主語-金駅理金銭理2鐙複2鐙凶図嚢監略面孟士画面ま扇忌云語極支""""'"吋 I ...・...，・ 目・....・.. . • . . . . 人 人 ，・...・...目 . . • •. ... ...'1 a r ・

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「、 o αコ Cコ

。

、

Cコ Cコ

m

Relations ofboom strain and sway angle vs. sway displacement

m

Fig.2.6

1

5

1

4

モ デ ル 実 験 装 置 に よ る 半 径 方 向 成 分 の 検 出 2.3.2 荷 物 先 端 ブ ー ム よ り 基 本 ブ ー ム の 相 関 が 良 好 で あ る が ， ひずみゲージ位置は， ブ ー ム 起 伏 動 作 時 に 発 生 す る 、

1

'

:

筏jf向の 次章に7Jミすモデル実験装置を用い. 先 端 ブ ー ム ブ ー ム 長 が 短 く な る こ と に よ り . を

i

t)った状態、での糸異は少ない。 吊 実験条件は， 揺 れ を 吊 り 荷 に 加 え た と き の 振 れ 角 セ ン サ の 応 答 実 験 を 行 う。 ラ フ テ レ ン ク レ ー ン は 伸 縮 式 ブ ー これは， の村￨関が忠くなる傾向が見られた。 ムが採用されており， ￨弔り f可を下

f

手力-戸] ロ ー プ 長 2mとし. ブ ー ム 起 伏 角 度 1rad. り 荷 質 量 9.8N， ブ ー ム 長 が 短 く な る こ と に よ り 先 端 ブ ー ム が 2段 目 ブ ー に 揺 れ を 与 え る 。 図 2.8に 実 験 に 使 用 し た FIRフ ィ ル タ の 周 波 数 特 性 を ポ す 。 ム の 中 に 人 る た め で あ る 。 フ ィ ル タ 次 数 を 10次とした。 サ ン プ リ ン グ 周 波 数 を 10Hz. 条 件 2-10に よ る 旋 凹 動 作 を 行 っ た と き の 実 験 結 果 を 図 2.8に 示 す 。 ひ ず み ゲ ージ a~)J

G

1に 高 周 波 成 分 が 含 ま れ て い る こ と が わ か る が 実 験 結 果 を 図 2.8に 示 す 。 こ の と き の 吊 り 荷 動 揺 註 の 振 幅 は :300mmである。 ブ ー ム の 吊り荷，

l

吋イI

t

反動数は閃 2.5の 場 合 と 同 式(2.，1) フ ィ ル タ で ノ イ ズ 処 理 後 ， FIR 吊 り 荷 動 揺 角 度 は ひ ず み ゲ ー ジ 出 力 を セ ン サ 出)Jも閃 2.5 と 同 僚 に また， である。 {I)り 仰 の 振 れ が 抽 出 さ れ て い る 。 O.:35Hz ひ ず み ゲ ー ジ 出 力 は 吊 り 何 動 揺 量 と 類 似 し た 波 形 で あ り . より求めた。 2.3Hzの ブ ー ム 固 有 振 動 数 成 分 も こ れ に 加 わ の 荷 揺 れ 振 動 が 支 配 的 で あ る が ， っ て い る 。 補 正 後 の 出 力 は FIRフ ィ ル タ に よ り ノ イ ズ 成 分 は 大 幅 に 減 少 し て お 遅 れ 時 間 は 0.5秒である。 り， ，..・・同町 〈 ぞ -0

立

0

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1

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Frequency response of FIR filter Fig.2.9 5

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﹂

O m c ω ∞ λ 司 王 ∞ -5 90 60

30

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[

s

e

c

]

Dynamic responses in swing motion

16 Time Fig.2.8

圃

・

・

・

・

-

-

・

・

・

圃

圃

園

田

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・

・

・

・

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・

E

ε

c

c

∞

o.~[v

よ る ブ ー ム 起 伏 方 向 の 振 れ 各 検 出 に お い て も ， 良 好 な 結 果 が 得 ら れ た 。 し か し . 検 出 さ れ た 吊 り 荷 振 れ 角 度 は

FIR

フ ィ ル タ に よ る 時 間 遅 れ が 合 ま れ て お り ， 第

4

章 以 降 に 検 討 す る 振 れlr.め制御システムにおいて， こ の 時 間 遅 れ を 補 正 す る 必要がある。 ""T c 0

.aτ0.5

ト 1... ~、 や・-' VJ ...

コ=ァ

会 話

コ 」 戸

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コ

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-~ -~ O-~ (l) 1 " ぴ) I 、 内 . 、 」 (!j ...1 J "" α3

。

2 4 Time [sec] 6

Fig.2.10 Dynamic responses subject to initialload sway

2

.

4

結 言

実 機 に 適 用 可 能 な 吊 り 荷 振 れ 角 セ ン サ の 検 討 を 行 っ た 。 ブ ー ム 側 板 お よ び 上 底 板 に 生 じ る ひ ず み は 吊 り 荷 の 動 揺 成 分 に 加 え ブ ー ム や 吊 り ロ ー プ な ど の 岡 有 振 動 成 分 が 含 ま れ て い る 。 吊 り 荷 の 動 揺 成 分 は そ の 他 の 振 動 成 分 に 比 べ 振 動 周 波 数 は 低 く な っ て お り ， デ ィ ジ タ ル フ ィ ル タ に よ り 吊 り 荷 の 動 揺 成 分 が 抽 出が可能である。 本 章 で は . 旋 回 作 業 時 に 発 生 す る 旋 回 方 向 の 吊 り 荷 振 れ 角 ， お よ び ブ ー ム 起 伏 作 業 時 に 発 生 す る 半 径 方 向 の 吊 り 街 振 れ 角 を ， ブ ー ム ひ ず み 量 か ら 検 出 す る シ ス テ ム を 提 案 し . 実 機 実 験 お よ び モ デ ル 実 験 装 置 に よ り 検 証 し た 。 旋 回 方 向 の 吊 り 荷 振 れ 角 検 出 実 験 に お い て ， 定 格 荷 重 の 50%程度の吊り荷重においても， 十 分 な 精 度 で 吊 り 街 振 れ 角 を 抽 出 で き る こ と が 解 っ た 。 ま た ， 模 型 実 験 装 置 に 18 19 ー

一

一

一

一

一

一

一

一

一

一

一

一

一

一一一一一一一一一一一一一-

r

'

第2章の参考文献 (1) 庁ffl告・亦嶺幸

λ

クレーンの制御技術と今後の動向， クレーン， 25・11，(1987)， 2・10 (2) )-{~博光・桝本宇治， lolj像処理機能付自動j天井クレーン，産業機械， (1992-6)， 41-43 (:3) 軸丸修 4 ・ JJ~I崎広， 白郵J合庫クレーン用熱延製品(コイル)位置検出装置の開発， 日本非彼壊 検

1

t

協会第 7rn]産業におけるl画像センシング技術シンポジウム講演論文集， (1992-7)， 163・167 (.1)州部邦彦・橋本修・ III本治JF.藤原直史，自動クレーン用鉄鋼コイル位置認識装置の開発， 日 本機械学会論文集， 64・627，(1998)， 4256-4263 (ち) ~谷政Hii， ディジタルフィルタデザイン， (1987)，昭晃堂 20

第

3

章

モ デ ル 実 験 装 置 お よ び 解 析 モ デ ル

3

.

1

概 要

ク レ ー ン の 操 作 は ， 操 縦 者 が 吊 り 荷 の 動 き や 機 体 挙 動 を 確 認 し な が ら 操 縦 レ バ ー の 操 作 を 行 う マ ン ー マ シ ン 系 で あ る 。 こ の た め ， 本 研 究 で は 制 御 成 績 に 加 え ， 操 縦 者 の 操 作 フ ィ ー リ ン グ の 検 証 が 重 要 と な る 。 ま た . 実 機 ク レ ー ン を 用 い た 実 験 は 危 険 を 伴 う と 共 に . 実 験 結 果 の 再 現 性 お よ び 装 置 が 大 が か り と な る な ど の 問 題 か ら ， 実 機 旋 回 式 ク レ ー ン を 縮 小 し た モ デ ル 実 験 装 置 を 製 作 し . こ れ に よ る 吊 り 荷 振 れ 止 め 制 御 シ ス テ ム の 検 証 を 行 う 。 モ デ ル 実 験 装 置 に 加 え ， 解 析 モ デ ル に よ る 検 討 も 行 う 。 実 機 ク レーンお よ び モ デ ル 実 験 装 置 を コ ン ビ ュ ー タ シ ミ ュ レ ー シ ョ ン す る た め の 解 析 モ デ ル を 作 成 し，第

4

，..，__

7

章 に 示 す 制 御 シ ス テ ム と 組 み 合 わ せ る こ と に よ り 吊 り 何 お よ び 機 体 挙 動 と 制 御 成 績 を 解 析 可 能 と す る 。 ま た ， モ デ ル 実 験 装 置 に よ る 実 験 と 併 せ て 実 施 す る こ と に よ り ， 制 御 シ ス テ ム の 設 計 お よ び チ ュ ー ニ ン グ を 容 易 に 行 え る よ う に す る と 共 に ， モ デ ル 実 験 装 置 と 異 な る 機 体 諸 元 の ク レ ー ン へ 振 れ 止 め 制 御 シ ス テ ム を 適 応 さ せ る と き に ， 本 解 析 モ デ ル を 利 用 し た 制 御 系 設 計 が 可 能となる。

3

.

2

モ デ ル 実 験 装 置

3.2.1 概 要 振 れ 止 め 制 御 実 験 に 用 い た モ デ ル 実 験 装 置 の 全 体 お よ び 操 作 レ バ ー の 写 真 を 図 3.

1

.

3.2， 装 置 の 概 略 図 を に 図 3.3に 示 す 。 本 装 置 は 旋 回 式 ク レ ー ン 実 機 の 性 能 を 類 推 で き る 大 き さ と 構 造 を も ち 代 表 的 動 作 で あ る 旋 回 . ブ ー ム 起 伏 ， 21

吊 り ロ ー プ 巻 上 げ 動 作 を パ ー ソ ナ ル コ ン ビ ュ ー タ で 制 御 で き る シ ス テ ム と し た 。 旋[tJ]式 ク レ ー ン で は ブ ー ム の 弾 性 変 形 が 運 転 操 作 に 影 響 を 及 ぼ す た め(1)-ペ ブ ー ム は 柔 軟 な ア ル ミ パ イ プ と し ， そ の 付 け根 付 近 を実 機 同様 に 駆 動 装 置 で 押 し 上 げ る 構 造 と し た 。 実 験 装 置 に 使 用 し た モ ー タ 諸 元 を 表 3.1に 示 す 。 ス テ ッ ピ ン グ モ ー タ は 応 答 性 や 高 速 性 の 面 で サ ー ボ モ ー タ に 劣 る が ， 本 装 置 で は 保 持 ト ル ク が 要 求 さ れ ， 急 激 な 応 答 性 は 実 機 ク レ ー ン の 特 性 か ら 不 要 で あ る 。

h

1

りィ可振れ角の視Jf定は，

2

章 に 示 した ひ ず み ゲ ー ジ 式 吊 り 荷 振 れ 角 セ ン サ を 月jい . ブ ー ム の J-_ドおよ び左 右側 面 中 立 軸 上 に ひ ず み ゲ ー ジ を 貼 り ，

2

ゲ ー ジ 法 で 曲 げ モ ー メ ン ト 成 分 を 抽 出 し ， FIRフ ィ ル タ を 用 い て 吊 り 荷 振 れ 角 成 分 の みを抽出する。 Table 3.1 Specification of motors

Swing Motor Hoisting Motor Winch Motor

Model

l

lO R I E m L lo m肌 ORIENTAL

u ￨UPD596TG20・A IUPD566LF -AM PH296・01

Type ~J..~_~-:~，._，:，~ l¥I L.L.___

l 5山 E ￨5 m s E 2 m s E

Stepping MotorStepping Motor Stepping Motor

Holding Force 5.88 N. m ! 68 Resolving Power 0.12。 ￨ ORIENTAL DreivCl・ UDX5114 22 1.8。 ORIENTAL UD5115 一一一一」

Fig.3.1 General view of experimental model

Fig.3.2 View of control lever

Boom Rope Expansion Weight Winch motor Rack and pinion Hoisting motor Swing motor Tum

Fig.3.3 Experimental apparatus of scale-down rotary crane

3.2.2 モ ー タ ー 駆 動 装 置 ス テ ッ ピ ン グ モ ー タ を 駆 動 す る た め に は . 速 度 と 回 転 方 向 を 制 御 す る 信 号 を 出 力 す る イ ン タ ー フ ェ イ ス ボ ー ド が 必 要 で あ る 。 本 研 究 で は PC・9800シ リ ー ズ 用 の 拡 張 ス ロ ッ ト で 使 用 で き ， ス テ ッ ピ ン グ モ ー タ を 同 時 に

3

軸 制 御 可 能 な イ ン タ ー フ ェ イ ス ボ ー ド を 作 成 し た 。 外 観 写 真 . ボ ー ド ブ ロ ッ ク 図 を 図 3.4. 3.5 に示す。 ス テ ッ ピ ン グ モ ー タ ー の 回 転 速 度 に 比 例 し た パ ル ス 信 号 は ， 水 晶 発 振 子 出 力

を LS8253 (Programmable Interval Timer)を 用 い て カ ウ ン 卜 し ， 指 定 し た カ

ウ ン ト 数 に 応 じ て 任 意 の 周 期 で パ ル ス 信 号 を 発 生 さ せ る 。 こ の 手 法 を 用 い る こ と に よ り ， パ ー ソ ナ ル コ ン ビ ュ ー タ の CPU負 荷 を 減 少 さ せ る こ と が 可 能 と な る 。 モ ー タ 一 回 転 方 向 の 切 り 替 え は . LS8255 (Programmable Peripheral 24 -Interface)の Bポ ー ト 出 力 を 用 い る 。 精 密 な 位 置 決 め 用 と し て . プ ロ グ ラ ム に より LS8255のCポ ー ト 出 力 を H/L切 換 し て パ ル ス を 発 生 さ せ . こ れ を LS8255 のAポ ー ト 信 号 と 半 導 体 ス イ ッ チ LS157を用いて切り替える。

Fig.3.4 General view of interface board

LS8255(PPI) Direction PB

I

DirecUon PA

「

ヲ

ム

什

01 PC980J PC

「

1 0 Sfot _Pulse

V

e

l

o

c

i

t

y

F

i

g

.

3

.

5

Board b

l

o

c

k

diagram

3

.

3

解析モデル

3

.

3

.

1

旋 回 操 作 時の 解析 モ デ ル 旋 回 作 業 時 の 挙 動 を シ ミ ュ レ ー シ ョ ン す る た め . 図 3.6に 示 す 解 析 モ デ ル を 用 い る 。 こ の モ デ ル は ， 実 機 ク レ ー ン お よ び モ デ ル 実 験 装 置 の 吊 り 荷 の 揺 動 お よ び ブ ー ム の一次 固 有 振 動 を 表 現 で き る よ う ， ブ ー ム の 曲 げ 剛 性 を 考 慮 し た 集 中 質 量 系 と し て 扱 い ， ブ ー ム お よ び 吊 り ロ ー プ 質 量 は 両 端 に 分 割 し ， ブ ー ム 先 端 質 量mh， 吊 り 荷 質 量m¥lにまとめる。各質点の運動エネルギー，位置エネル ギ ー 算 出 に 必 要 な 質 点 の _XJYJ

Z

方 向 の 位 置 は ， 以 下 の よ う に 表 さ れ る 。 ブ ー ム 先 端 質 量m"の 座 標 お よ び 速 度 は . Xbニ(L"cosv +_ηsin v -L

，

)

cos rjJ+ c sin rjJ

1

Yhニ(Lb_COSV

+

_ヴsinv-Lr) sinrjJ-( cosrjJ

~

Zb二 Ltsinvーヴcosv

2

6

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

₍

₃

_.

₁

₎

れ

=-(L_hω 叶 '7sin¥ノ -L

，

)

sinrjJo +c sinrjJ+c cosrjJo

+

(

-

Lh sinv v +サsznv

+

1]COS Vジ)cosrjJ

た

=(L_h COSV +ηsin v-L

，

)

cosrjJo -c cosrjJ+c sin

ゆ

伊

+

(

一

Lhsin v v +功sznv+ヴcosv

け

ψ

)

sin

Zh= Lh COSVジ一命 COSV+1]sinvv

と な り ， 吊 り 荷 質 量m の 座 標 お よ び 速 度 は . X¥ I = Xh+L¥lsinDsin(ゆ

+β)

1

Y¥I二九一Lム、¥1Sl ZI¥=Zh一L

ム

l¥'cosθ ￨ X" ， = xh+LwsinD sin(ゆ

+

β)

+

LlI'cosθDs

岬

十

β)

+

L

，.

sinÐ ω(ゆ

+

β)~伊

+

戸)

1

(

3

.

2

)

(

3

.

3

)

人

二

Y_b-LwsinD

ω(

ゆ

+β)

-

L¥Vcos

θOω(

ゆ

+β)

+

L"，sinD sin(ゆ

+

β

)(o+

s

)

~

(3.4) Z"， = Zb -Lwcosθ+ L"，sinθD

I

と な る 。 各 質 点 の 運 動 エ ネ ル ギ 0 " に お よ び 位 置 エ ネ ル ギ Vh，V"を求めると， 2

九

=mh(

幻+丸

2+2

f

)

2

九二

m

は

い

，

:

+ Y，2 ， +

t

，

:

)

V"二 mbZbg V¥I'

=

mwZwg と な る 。 ブ ー ム の 弾 性 歪 エ ネ ル ギUhを下式に示す。 2Ub =kb'l1]2+kbζ(2

(

3

.

5

)

(3.6) ここで，kbり，kbCはη，( 方 向 の ブ ー ム 剛 性 で あ る 。 ラ グ ラ ン ジ ュ の 方 程 式(10)は，

訓示ーす号+号=仏

で 与 え ら れ る 。 な お ， ブ ー ム の 減 衰 は 小 さ い た め 無 視 す る 。 こ こ で， Tは 全 運 動 エ ネ ル ギ， Vは 全 位 置 エ ネ ル ギ， qJは一般 座 標， Q

，

は一般力であり， 27

式

(

3

.

9

)

の 各 要 素 は つ ぎ の よ う に な る。 AJJ=m/J十m L"

A

_J2

=

0 AJi= m" L" (sinvsinβcosθ-COSV Slnθ) AJ..J= m" L" sinvcosβsinD AJ5

=

m" L" [ { (sin v s村 山D-ω vcosθ

)

e

-

2sinvcosβcosO

/

3

}

e

+sinvsinβsinθβー 一K

，

川》リ吋，ηl +(mη，，"+m，.){(-cO-2Ot+LLA1

o

2 )slnv+L"v+

刀什

ω v} +m夙凧州η?凧υ 1凧久 九 仏 、"Lω げ川川mv日v

一

{

ω β

ル

仲

い

(sS幻sin A2I= 0 ，

c

Z

c

'

m L

，

η β m Aど こm"+m A2'

=

m" L"r;osβcosθ A2.J二 -m、ιL¥IsinβsinB A25 ={mh +mJ {LLM O+2sinvi;O+CO2 -2LBM

o

ジ

)

+m

ム

{cos

s

sinD

い

2+

戸

2)+Sinβmθ

/

3

e

+ sin

s

sll7D O

+2sinβ ω DOD+ω β slnDO(

わ幼}

-

K

町 λ _中

Fig. 3.6 Sim ulation model ofscale-down rotary crane forswing operation

AiJ= _AJi A._n

=

A_B Aη=F?1MLM2 r 二 _J~)

₊

J'，

{

q

_，

_}

二

(

1

1

_，ζ0β

y

{

Q

，

}

ニ

{

o

}

'

(

3

.

8

)

Ai.J

=

0 Ai5 = m

ム

_[L"川 θcosθ

い

+

戸

Y

₊

(LLM cosβ_{ー の 吋 )cosD}

o

-

_{g S}II7D

+

{(LLM sinβ+cω β )

伊+

2 (sinvcosβサ-s

吋じ

)}ωθ

o

]

+m

一

ぺ

(LBMS幻inD+ LM八NsinβCωosDθ

μ

)

ジ}

ジ

ド

一

ぺ

(LMNsinθ

一

LBMs幻inβCωosD)ii] A..JJニAJ4 .J A₄₂= A₂.J A4'二 A34 T=7~)+7~ で 表 わ さ れ る 。 式

(

3

.

7

)

に式

(

3

.

8

)

_{を 代 入 す る こ と に よ り .q}

_，

_{に 関 す る 非 線 形 微 分} 方 程 式 が 誘 導 で き ， 得 ら れ た 式 を qJの 二 階 微 分 項 で ま と め ， ベ ク ト ル ・ 行 列 表 示 す る と 下 式 と な り ， 左 辺_{A"は 質 量 を 表 す 定 数 ， 右 辺 A'5はq}

_，

_，

_q)

_，

_ゆ

_，

o

_，

₍

_j

_j

_など の関数となる。 AJJAJ2AJ司AJ..J η AJ5 A_{2J A22 A23 A2-1}

_C

_A25 A'J Ai2 A'J A34 θ Ai5 A-1J A42A.J.i A4..J β A45

(

3

.

9

)

A..J..J=mはL，12SIn2θ A45=m人も川

θ

{

(LL附 osβ-csinβ)

o

2 -

2

_{L" (}

ゎ

。

_)ωBD 一 ベ(

、

ム

L，sinD+LμL λM sin β +ccoωS β

)

o

_一2s 川

+

(

:

や

2LBMs

吋 伊

2ωωSβr冷j什わ_{+LNMω β v)}ジ円+LBMωβμ) . _(3.10) 式 (3.10)の 各 要 素 は つ ぎ の よ う に な る 。

2

8

₂₉

LLM

=

(L"cosv+ηsinv-L

，

)

l

LBMニ(L"sinvーヴcosv) ト LNM

=

(L" cosv+ηsinv ) (3.11) 式 (3.9)を解くにあた っては ， 掃 き 出 し 法 と ル ン ゲ ・ ク ッ タ ・ ギ ル 法(J())に よ る 数 値 解 析 を 行 う 。 通 常の 旋回 動 作で は . 旋 回 角 度 ゆ ， 旋 回 角 速 度 伊 ， 旋 回 角 加 速 度併を既知の時 間 関 数依，弘，ふ と し て 与 え る が ， 第

4

章，第

6

章 に 示 す 制 御 シ ス テ ム の 理 論 解 析 に お い て は，告Ij御出 力 仇 ，

O

o

1

O

o

を与える。 3.3.2 ブ ー ム 起 伏 作 業 時 の 解 析 モ デ ル ブ ー ム 起 伏 作 業 時の 解 析 モ デ ル を 図 3.7に示す 。 ブ ー ム の一次 固 有 振 動 お よ び 吊 り 荷 の 揺 動 を 表 現 でき る よ う ， ブ ー ム の 曲 げ 剛 性 を 考 慮 し た 集 中 質量 系 と して扱い，ブームおよび吊りロープ質量は両端に分割し，ブーム先端質量m

_b

• 吊 り 荷 質 量mllに ま と め ， そ の 運 動 エ ネ ル ギ₃位 置 エ ネ ル ギ 算 出 に 必 要 な 質 点の X，Z方 向 の 位 置 は 図 よ り 以 下の よ う に表される。なお，各質点の速度は位置 を 時 間 で 微 分 し て 求 め る 事 が で き る 。 ブ ー ム 先 端 質 量mhの座標および速度は，

X

h二 Lhcos¥_川 7sinv-Lr

1

Z戸 Lhsin¥ノー仰 sv

r

・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ (3.12) Xh = -Lbsin~ノジ+サStnV +7]COSVρ￨ Zh二 Lbω vv-7jcos と な り ， 吊 り 荷 質 量 mwの座標および速度は， X¥¥ニXh+ L\，•sinθ| Z" =Zb

ー

ム

cosfJ

r

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ (3.14) X¥V

=

Xh + L"，sinfJ+ LwcosθfJ

l

ム

=Zh-L"cosθ+

_人

mθ

e

r

.

・・・ ・ ・・ ・・・・・・・ ・ ・ ・ ・・ (3.15) となる。各質点の運動エネルギ九，眠、および位置エネルギ九， ywを求めると， 30 2

九

=mh

(X

~

+

Z

;

)

2R

=

m

u

(

x

:

+

2

;

)

V_hニm_hZt g 久二mwZ¥¥ g と な る 。 ブ ー ム の 弾 性 ひ ず み エ ネ ル ギ仏 を下 式 に ポす。 2 U_h二 k/ lI7庁2 ここでで、•

ι

khlηlはヴノ庁子向のブ一ム岡剛剛Ij性でで、ある。 ラクググ、や、ランジユのノ万

7

程 式(1 df♂

T

1

o

T

θ y β Uム ( 一一￨一一一￨一一一一+一一一+一一二ι二 U白 (3.16) (3.17) dl~ oq

，

)

oq

，

oq

，

oq

，

- J ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ (3.18)

。

二

1，2) で与えられる。ここで • Tは 全 運 動 エ ネ ル ギ， V は全位置エネルギ • q;は一般 座標 •

Q

J

は一般 力 で あ り T二 T_b

+

T¥V V = Vh十V¥V { qJ

二

}

η

{

，θ

y

{Qj}={OY

(3.19) で表わされる。式 (3.18) に式 (3.19) を代入することにより • qJに 関 す る 非 線 形 微 分 方 程 式 が 誘 導 で き ， 得 ら れ た 式 を q

，

の二階 微 分 項 で ま と め ， ベ ク ト ル ・ 行 列 表 示 す る と 下 式 と な る 。

日

JJA12

I

山

￨

A

1

1

1

11 ~ 1

=

1 ，" 1 ・ (3.20) A_2JA_{22 11θ 1 1} A_{23 1} 式 (3.20)の 各 要 素 は つ ぎ の よ う に な る 。 31