角の測度に就いて
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(2) . Ａｕｇ ．１９５０. ｌ Ｖｏ 」２ ， Ｎｏ，ｌ. 角. の. 吉. 度. 測. に. 就. 衛. 正. 田. て. い. 数学研究室 札幌分校溢 ｌ 生ｅａ ｌ ｄａ′ ○・ ｌ ｉ ｅ Ｄ１ａ １ １ｔ ｅ喪 ｓｕｒｅ ｏｆ Ａｎｇ ｓ １ ｓ ａｅ Ｙｏ ．. ｉ ｏ＝０ （ ▽） ｛ ．十. 我々は小、 中、 高等学校の擾業に於て、 度度角 の概念 を取扱う度 に何かもの足らなさを覚えた。 それは直観的 に導 入されたものをそのまふ抽象数学にまで使ってゐる. ｏ＜鍬 但 し、 ０≦（ 以上の四つの仮定をおくと次の事が言える。 （１） ① ＝ 且ｏ（但し ｐ ，ｑ は互に素なる正の整数で、 勿論 ０≦のく２” ，０≦り＜２虻 とする） なる時. ということによるのである。 例えば通常二つの ヴェクト ｅ が定義されるが、 此の り が二 ｏｓ ル Ｌ， ， Ｌ２ に対 して ｃ とには つの ヴェクトル Ｌ， ， Ｌ２ のなす 角で あるというこ 歴史的意味があるほかには、 さほ ど重要性があるわけで はない ようであるが、 それをここ では特に考察Ｌたい。. Ｓｒ （①） Ｓｒ（０）. （証明） ｓ煎り；ｓ ） ＝ｓ 贈 骨） ｒ（登り に勘（三十三十”…．十三） . 正. ｝ １. Ｐ. ；ｓ ｒ（ ｒ（音“ｓ ｑヶ. ｉ ｉ ｉ 〔（ 、 ） よ り〕. ８ ＝ ｑ・Ｓｒ （ ）. 二つのヴェクトル Ｌ・ ， Ｌ２ と原点 ○ を取って、 その組 ） を考え、 これを 角と定義する。 そ してこ （０；ＬＩ ，Ｌ２. となる。 ２＝α とおけば ｏ＝ｐ．α （但 し ０≦”＜２ 質 ） 縫っ 織、‐ ． 〕 １. ） に ， Ｌ２ の角の測度として０≦ｅ＜２冗 なる ０ を （０； Ｌ１ ０ ヴ 大きさには無関 一つ対窓させる。 更に は ェクトルの. Ｓｒ ０ （ ） て、 Ｓｒ（６）＝ー 〕．ｓｒ くり 敵 に ｓｒ（α） ＝ であるか ら Ｐ. 係であるものとする。 即ち ） ６（ＦＬｈ 〆Ｌ２） ＝ ０ （Ｌ， ， Ｌ２. ｓｒ（ ） ‘ “） コ ユ ｓ ｒ （６ ｝ １. 次に原点 ○ を中心として 牛径ｒなる円 Ｓ （０ラｒ） を ０） 考え、 この Ｓ （０；ｒ） に関 して０の一つの 函数 舷 （ ）を も を考える。 そ してこの Ｓｒ（６） は次の四つの性質２ ． つものとする。 即ち. 故に. 極（ｍ）－て １－ ｍ. ・ Ｈ １ （６）. ｉ ｌ. ｅ （証 柊）. 一般に. （ｉ） Ｓｎａ）≧○ と同時に一贋連続である。 ｉ） Ｓｒ（０）＝○ ；（ｉ ｉ ｉ ｉｍ ｓｒ（り）＝２忙ｒ ） ｌ （ｉ ０ ÷→２質. ・ 十・ ・ ・ ・ ‐十ｓｒ（. . 角. 但 じ、 ０≦ｅく２. Ｐ . ｑケ. るので、 筆者はそれ らの書物の定義をそのま ふ使って行 くことに する。 小. （ｉ）. ０. であることが証明される。. そのため手近かに新制高等教 科書に例を取って 「円の中 心角と円周の弧の長さとの関係」 の問題からその本質の 一部を明 らかに しよう。 それには順序として ヴ± クトル ）に出て い 峯間を考える必要があるがこれは一般の書物１. １ ， 最. ならば Ｓｒ（◎）＝Ｓｒ（０．）←Ｓｒ（０２）. ′ は任意の正の実数勿論、 ０≦ （１１） の＝ “ ０ （但 し、 ・. ）く２穴 ｏ ， ，０≦０＜２ とする） なる時、 ｛ｍ｝（但 し、ｎ＝１ ‘ ２ ３ ・ なる数列を考え ・ ・ … は正の有理数とす ） ；ね ， ，， 、 風 １） で証明 したこ ｔ ・ １・ ′ ′ とする。 そうすると、 （ つ ｌｉ ”＝・ 力 ｎ一・. とを使うことによって、（１１） の場合も. １ム ｖａｎ ｄｅ １） Ｂ． ｒ 、▽ａｅ ｌ ｌ ｒｄｅｎ： Ｍｏｄｅｒ ｅ ＡＩ ｇｅｂｒａ ．. Ｓｒ ） ） （ （ ） ｍ．（ ’ ． ａ Ｓｒ （６）. １９３７） 中村幸四郎： 解析幾何学 （岩波全書） （ （ｉ９４２） 冬掌々 ｉ ｌ ２Ｊ ＤＲ． Ｓｔａ ｓ ・ ｅｏｒｙ ｏｆｔｈｅ ｌｕｔ ｅｇｒａｌ １ ・ ａｗ ｓａｋｓ： Ｔ１ （１９３７） を 参動員. であることが証明される。 ６ を考える時には ′ （証明） ”なに・ ， － ６０.
(3) . 鰹. 学. 第２ 堪 第１ 号 ｉｍ 、 ｉｍ 、 ｉｍ （ ｌ ：◎ ′ ノ ：ｌ ） 」 ー ．＝ Ｙ＝ １ １・６＝ ｌ 】 ．こ 故 に Ｓｒ（αｎ）＝Ｓｒ（ｖ ｒｓ火６） ｒｏ）＝ソ ー －. ≦些ｎ え ゴー 従って 三－ ， Ｓｒ（ａ）. 今後ま ぎらわしくない限り ◎を以て角を表はずものと する。 ） の定義を拡張 して Ｓｒ（◎） 次に今迄考えて束た 勘（６ 〔一閲く◎＜＋閃〕 を考えることにする。. 参. ｉｍ ｓｒ（ｒ ｉ ）＝２賀ｒ よ り ｉ ｉ ｉ ） より印ち ｌ 先づ、 １ の仮定 （ . . . Ｓｒ ）＝２ ｒ （２ １ ｔ. ） の連続性により 故に ＳＫｍｎ. そ して ◎＝２ｎ鱈十０ で あ る か ら. （証終）. Ｓｒ（⑪）＝ｓｒ、２ｎ ｔ＋０） ７. ・ （６） ニー ｌｓｒ（２忙）十８ｒ. ）を２ズに近 づけ 更に、 今 （１） に於て ｅを固定 してｏ ｉ ｉ ｉ ） により た極限値を阪れば、 仮定 （. より. を得る。 般. 角. ′ ニ２ｑ勺十Ｃ. （但 し 一ｏ ｏ） である ） ｏ＜◎＜＋ｏ. 三 ））÷Ｓｒ ′ ） ＝ｓｒ（〔 ８ｒ う十⑪り ；ｒ ）≠ ←◎′ ）＝. なることが成立する。 叉前節で証明されたと同様な事実、 即ち、. ．. 何故ならば. ， ｓｒ（◎）＝２ ７ ｔ→』）＝ｒ｛） １飢ｒ十ｒ・６＝ｒ（２ｎ. ・即ち Ｓｒ逢わ＝トリ 、 従って. 任意の実数 ◎ に対して ⑪＝２ｎ”＋６（但 し、 ０≦０＜２貫， ｎ は ０ 叉は整数） なる ｎ ，６ が一意に定まることが言え るｏ. ） （▽１. ｉ ） ，（ｖ なることが成立するものとする。 そうすると （ｖ）. Ｓｒ （０）＝ｒ・ａ. り＝２ｎ弐十０. （ｖ）. としよう。. 掛（ ） て 。 ＝、 ′＝ー Ｏ Ｓｒ （０）. ２ ， 国. 昭和２５年８月. 、. Ｓｒ（ｇ） Ｓｒ（⑯）. ０≦６く２. Ｑ ◎. ｏ＜◎＜＋閃） ｏくぬ＜＋閃， 一ｃ （但し、 一ｃ なることが証明される。. ′〈２冗 ｏ≦０. と表はされたとすると. く◎）＝ｒ・◎ よ り ｒ＝１ の 時 に は 織、 Ｓｒ. ′ ′が＝６ ２（ － －０ １トーｎ. Ｓｒ（◎）＝⑩ で. ある。. である。 ′ である ′ ならば ６＊Ｌ 故 に、 ｎ＝ｎ 。. 以上で筆者の目的とするところは大体縫ったのである が、 何れ亦Ｌ ・ ｇ と ⑩ との間の関係、 例えば ⑪ の函 ，Ｌ. ′ ′ ならばｌｅ－６ Ｊ＞２穴 であり、 これは矛盾で 叉 ｎ＋ｎ ｒ としたことに原因する。 故に１ １＝ば ある。 それは ｎキｌ ′ ６ ６ ＝ 結局任意 であって でなければならぬ。 従って、 、 ’は一意的に定 の実数（ に 対 して、 ◎＝２ｎ穴十ｅ な る ｎ ，｛. う 数 ｃｏｓ（. なる も の、 即 ち、. まることになる。 今 ⑪＝２ｎ忙十０（但し、０≦６く２， ｎ＝０， 土１， ±２，ｒ”）. Ｅ （但しｉＬ， ，Ｌ２ の大きさであ ， ２巨ま ヴ ェ ク ト ル ＬＩ る） なる量等を考えることが出来るがこれ等については. ；０ ） の測度と なる一群の ◎＝◎ （ｎ ） を角 （０；ＬＩ ，Ｌ２ ）は ヴェクトルの大きさに して －つ対醸させる。 更にｃ. 更に考察 したいと思う。 終りに臨み、 恩師北大理学部教授河口商次博士に此の 諭女の御校閲を轍いたことを衷心より感謝する次第 であ. は無関係であるものとする。 即ち ′ ）＝◎（Ｌ， Ｌ ） ｅ ） （ＰＬ， ，ｐＬ２ ー ２. る。. ６１. ・. 〆.
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