ｙ'=ｆ(x, y) (a. e.)の解について

全文

(1)Title. ｙ'=ｆ(x, y) (a. e.)の解について. Author(s). 藤戸, 伊佐美. Citation. 北海道教育大学紀要. 第二部. A, 数学・物理学・化学・工学編, 22(2) : 66-68. Issue Date. 1972-01. URL. http://s-ir.sap.hokkyodai.ac.jp/dspace/handle/123456789/5948. Rights. Hokkaido University of Education.

(2) . ｌＶｏ．２２，２，Ｎｏ. ｉｏｎｌ工Ａ）ｉｉｖｅｒｉｔｌｏｆＨｏｋｋａｉｄｏＵｎｔｔｏｎ（ＳｅｃＪｏｕｒｎａｓｙｏｆＥｄｕｃａ. ｊａｎｕａｒｙｌ９７２. ）の解についてダ＝′ （ α ％，ｅ．，ｙ）（. 藤戸．伊佐美北海道教育大学函館分校数学教室. ′＝′（ｉｏｎｓｏｆｙｏｎｔｈｅＣｏｎｔｉｎｕｏｕｓＳｏｌｕｔ. ））（α ．ｅ．. ｌｓａｉＦＵｊＩＴＯ］エーｉｉｉｖｅｒｉｄｏＵｎｔｋｔｔｏｎｓｉｔＴｈｅＤｅｐａｒｔｈｅｍａｙｏｆＥｄｕｃａｅＢｒａｎｃｈｃｓｔｍｅｎｔｏｆＮ【ａ，Ｈｏｋｋａ，Ｈａｏｄａ. ＡｂｓｔｒａｃｔｆｔｈｅｌｔｉｄｈｉｉｄｆｔｈｉｓｓｅｎｅｓｌｎｔｈｅｐｒｅｃｅｄｉｎｇｎｕｍＬｂｅｒｏ，ｗｅｃｏｎｓｅｒｅｔｅｃｏｎｔｎｕｏｕｓｓｏｕｏｎｓｏ ′ ）．ｅｑｕａｔｌｏｎｙ＝ｆ（劣，ｙ）＠ β．ｉｏｎダニｉｏｎｓｏｆｔｈｅｅｑｕａｔｉｎｕｏｕｓｓｏｌｕｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｃｏｎｔＴｈｉｒｅａｔｓｏｆａｒｅｌａｔｓｐａｐｅｒｔ. ′；′（尤のｗｈｅｎ ′（劣ツ）ｉｉｎｕｏｕｓｉｉｌｉｎｆｈｈｓｃｏｎｔｔ六工，，，，の（仏像）ａｎｄｔｅｓｏｕｔｏｎｓｏｔｅｅｑｕａｏｎｙ ’ ｄｈｉｈｉｉｉＬｉｔｔｈｌｌｌｔｔｄ五ｅｓｅｃｏｎｉｔｒｙ．ｐ［偽る］×尺ａｎｓａｔｓｅｓｔｅｏｃａｙｐｓｃｚｓｃｏｎｏｗ. １．. 序. ］の部分集合で，ｅの測度粥（ｅ）＝０［偽ろ］は実数直線の閉区間を示す．ｅは［偽ろ，更にｅの閉ろ尺尤］に等しいとする．尺を実数の空間とし， ′（萄ゼは［仏ろ，ｙ）を［偽］× で連続な実数値関数とする．ｅ幸尤でｙ′＝′（劣，ｙ）の連続な解の存在については，この紀要の前号で示したが，ここで. は，この解の一つの性質（定理とした）を述べる． ′ ２）の解について．．ｅ． “ ニデ（工，″）（α Ｃ，ＣＩは，夫々［偽ろ］での連続な実数値関数及び一階連続微分可能な実数値関数の空間とする．Ｉ１ｌ１９１１ｌｃ軸９′ １飾もの”．ｌ１１１Ｃして・＝＝９ｃ１＝ｓｕｐｌｇ（匁）ｃ又，ヨ９に対）＝ｓｕｐ，胸１，Ｃヨ９に対して，１，９１. ⑦Ｅ（のの）ぁ ‘＋．，. り〕のＥ〔α ，. ′脳ｉ１９１１１９」ｆｇ１９１ｌｃ１仰．・に，０ｌｃｂＩＪＩ９１・モリ（尤））は１〕（〕） ”＆）を示す，姥ふ均十，〕＋ｌにも鑓十．〔獅ｚ（岬，）＝１，とする．１ｃ〕十，こととする．. ′ ）９［α ２（尤）とする．（９，Ｅ，ｙ）の連続な任意の解をの（北）＝（９．，ろ］－βヨ尤に対し，ｙ＝′（匁アを０ＶＩ尺＞が存在して，任意の）及びＣ９２ＥＣ）六Ｊ）は，ヨッに対し，適当な γ の近傍（ｙ，定理. ，. 匁Ｅ［α ，ろ］に対し，１）ドたメツｙ（ｙ）ョｙ．）－六匁Ｊ２．一γ２，ｙ２ ÷ →１” Ｊ，ダるがとれて０のある分割［］の時に対しを充たすとする．こ，分割の分点で定まる各開，偽，８＞）で，区間Ｚｆ＝ α乞．， ‘＋〆（尤）＝′（匁，坐（の）. Ｚニー（，２，… “）. を充たす＆が存在し，（６６）.

(3) . 第２２巻第２号. 北海道教育大学紀要（第２部Ａ）. ７年１月昭和４. Ｉ（）－夢（“書－尤 α＆）＜ ◎ －（・にも ”．）９，Ｃこの定理を証明するために，５個の補題を設ける． ′ Ｉ補題１１）９）で，＝（９，ｌ・．Ｃヨ９，ｃ．ｅ，，Ｃョ９２に対し，適当な αＥＣが存在して， α ＝０（” （。の２一９２一α ．. ＝０，. 証明. ・. ｅ内に分点を持つ［偽る］の分割をとり，夫々の分割された区間で線形な実数値関数Ｚ％及. １１→ ０（” → 閃），－曲十α －９，び各区間で定数値をとる階段関数 α －－ｃ→ ０（れ → “ をとり，影－９２閃）と出来る，一方，（９，Ｃヨ額α ）９）９１１（９．・ｃ（＆の → ０２一（ら十物刃２の定義より（前紀要参照），１，＝α ． ′ ０００－－ｌび故一及＝（ α 幻に α （）より』＝ αβ α ｃ．．．，. （のり一９２一ヒニ○一（のる－％一畑 αのり＝氷り・』－弱ー－ｉ－Ｃ飼リニ。. （（のるについては前紀要）． ′ Ｉ ′ 補題２．Ｃヨリ，Ｃヨ′ に対し，［偽る］－ｅヨエで，９（尤）＝ｆ（尤）ならば，［焦ろ］で９＝ｆ， ′ デろ β 触が対し証明＝［偽］より，ｅヨに）→ ９′ （尤），ｅ幸れとれて，劣 → ，従って，９（尤鯵，′（ェ）. ′尤）＝／（）より）尤 →／（尤％．９（ ′ ）＝′（）工尤９（. Ｉ補題３１（９）９一刻ｃＩ＝０．Ｃヨリならば，１，証明. ０補題１の証明で α筋＝０． ′． α＝．ｅヨに対し，尤を分点として持つ右側のらの微分係数. の極限は，豹 α）に等しく，左側のらの微分係数の極限は ′ り ‐ ＠）ふα）＝９′ （尤）＝９」（）；９′α），．．．・。（９）；＝９．. のに等しい，９ＥＣＩより９ ↓◎. Ｉ補題４．Ｃヨ９，，Ｃョ９， α：定数値関数とする．）▽十一ｉ＝（９１）９－（９１・極リニ。Ｃ ′ ′ び）及（＝十α ）これは，（９９．夕の定義より明らかである，９補題５． ′（，ｙ）は定理の条件を充たすとする，Ｃヨ勺に対し，物＞０，鴎＞０がとれて，９［偽ろ］デダＶメゎラｙに対し，［α ，ｐ（ｙ）ヨッ．，ｙ２をとると，，］ヨエ）１＜たｌ１）－′（燭ｙ２１′（エｙ．－ｙ２，ｙ．但し，Ｖｐ（ｙ）＝［朝，１ターン１＜ｐ，タＥＲ］．証明［仏可がｃｏｍｐａｃｔより，９［偽る］は，ｃｏｍｐａｃｔ，仮定より鴇〃（ｙ）ヨ兎角に対し，. １＜たメタ）１）－六麓夕ｉ六尤夕．２，ータ２虹偽ろ］こ. Ｕ. ｙｐ〃（ｙ），. わ α 〕〔胃Ｅ９，. ）として，ｍｉｎ１の－” ｚｍａｘを〃－＝をブド２ｐとおく，｛Ｖｐ吻（％）｝は，互いに，（％）＝（α ，偽十．，巧γ ” もｊニー２，，．・，， . 包含されないようにしておく．この時，任意のＶｐ ″評２（％）＝（”もの”）の中に少なくとも１個欲を含む，９［α ］ヨデッ，，Ｖｐ（ｙ）ヨタ，夕２に対して，. １＜たβ，一賜）－”尤Ｊ２）１”影夕．）に対し，Ｖｐ吻（ｙ・）コＶｙ），こオは（ｙ－ｐ）の中に｛” 何故なら，頚Ｖ陽（ｙ｝は入り得ても ‘ 多，ｙ十ｐ１個である，２個入った時は，ｐの定義に反する，そこで，Ｖｐ吻（ｙ・）の左端を定める数の中で γ－）＝ ▽卿％）とすると，ｙ＋ｐ＜””， αもの十，ｐ以下になる最大の数をのとする，（，. 何故なら，偽十．. ＜ｙ十ｐならば（の，命十）の中に物たが少なくとも１個あることより，（ｙ－ｐ．，ｙ＋ｐ）の中に偽，命十，ｖ｝の要素が入り矛盾．故に，Ｖｐ（ｙ）ヨタな先らの２個のにＩ気恥Ｅ（ｐー，〃，，ｔ％）より. （６７）.

(4) . １ＶＯ，２２，２，Ｎｏ. ｉｉｉＩＡ）ｌｏｆＨｏｋｋａｉｄｏＵｎｉｔｔｔｊｏｕｒｎａｓｏｎ（ＳｅｃｏｎｌｖｅｒｙｏｆＥｄｕｃａ. Ｊａｎｕａｒｙｌ９７２. ）コ≦虚脱一朝．）－六尤溌２１パエタ１＜売物脱－タ２．定理の証明. ｃ却に対しｒ（… リゴ終，癖））ゐとおく，補題ーよ鈍ＥＣ（９卿，一 ◎ －ｉ，＝ ′ ァ′ ０領・＠ゐｃ）＝０）＜８．故に．一方ｅ＞， α形階段関数，脳－ｃ仰ｂ． ′ ）取，Ｉ）飽ー）－α一１）－α１ ”（９１Ｃ仰．Ｃ αβ （） ≦＝（９１）＋＝α－α一１α暇）く８）－？（９１）－？（９１，. １（））とおく．更にＴの）＝Ｔ（９，）＋αれとおく．補題５より，ｐｏ＝ αれの定める区間をム＝（匁れれ（９・，％れ十．１（２（））Ｖｉ２一に対して，をとと］ヨ１にく（／）る＠）＝［ｍｎｐ９１１１９９，ｐ，リ，９，ｅ，，９１２１２））））ーｌｒ（９（１）一ｒ（９（）』 “ ）－た（９（）１１ｒも（９（Ｃぼれ）＝１. ２（）は ‐ 副ゞ泳がもーエー【；飾９１ヂ）ず）』））－／αが醐叩かｄ釧物十 ≦ だけ（瑠も）・－“１，１｝を更に細分割する．それを｛ム｝と記す．今（）のここで，た（％＋．一物）＝た′＜１なるように｛Ｌｚ， ′ ′＜ｐ（１一助なる〆をとる＝＠）０ｒー＝＝＜８ｌよりー＠）－１式で，ｏ＜８１９．。９殉０，叩），不動， “ ．点定理よりＣ（ム）コＶ釣（仏）ョ『％がとれて，Ｔのれ（９鯵）＝９れ７るＥＣム）．従って，９．補題４より ′ ）＠のの解となる．補題３と上記ェ（９“ 物（））は，ムでのｙ＝′（，ｙ夕．故に（９飽％，＝（９飽れ ′ 結果よりふで（物）賀ダ）＝（９れおれ＝物．故に，９“ はムでのｙ＝六Ｊ）＠のの解となる‐ ９“ ルＥＣム）及び補題２より，９はんでのｙ′＝六尤Ｊ）の解となる．ｉｒ（９１）′－ ”叩偽）（ α ｅ＝（） αβ ）＝＝９１一リーｔ叩）十ｌ．， ◎ 一９一１頒功（，２十１／２十だ脚．一帥』”％）－”先＜８／１パ毛９．ｒＣ（）＜８｝，９一１％２十８／２＝８＜８／．. 以上で定理の証明は終わる．. （６８）.

(5)