包合型の擬積基本階別リー環について

全文

(1)Title. 包合型の擬積基本階別リー環について. Author(s). 八ッ井, 智章. Citation. 北海道教育大学紀要. 自然科学編, 61(2): 23-32. Issue Date. 2011-02. URL. http://s-ir.sap.hokkyodai.ac.jp/dspace/handle/123456789/2342. Rights. Hokkaido University of Education.

(2) 北海道教育大学紀要（自然科学編）第61巻第2号 JournalofHokkaidoUniversityofEducation（NaturalSciences）Vol．61，No．2. 平成23年2 月 February，2011. OnPseudo−ProductFundamentalGradedLieAlgebrasofInvolutiveType YATSUI Tomoaki. DepartmentofMathematics，AsahikawaCampus，HokkaidoUniversityofEducation. 包合型の擬積基本階別リー環について. 八ッ井智幸北海道教育大学旭川枚数学教室. ABSTRACT InthispaperwedescribethenecessaryandsufRcientconditionsbrapseudo−PrOductfundamen−. talgradedLiealgebraoftheinvolutivetypetobeisomorphictothecontactalgebraoforderk of bidegree（n，m）．. 1．INTRODUCTION. Letm＝09pbeafundamentalgradedLiealgebraofFL−thkindwithsubspaceseandf p＜0. 0fg−1・Thetriplet（m；e，f）isca11edapseudo−PrOductfundamentalgradedLiealgebraifthe. followlngCOnditionshold：（i）g−1＝e①f．（ii）［e，e］＝［f，月＝0．. Apseudo−PrOductfundamentalgradedLiealgebra（m；e，f）oftheFL−thkindissaidtobeofthe involutivetypeifthefo1lowlngCOnditionshold：（1）m≦−2：＝ O gpisacommutativeidealofm・ク≦−2. （2）FbrX∈gp（−FL＋1≦p≦−2），［X，g−1］＝OimpliesX＝0・（3）り（m）−1＝（X∈g−1：［X，m≦−2］＝0）isapropersubspaceofg−l．（4）FbrX∈り（m）−1，［X，g−1］＝OimpliesX＝0・. （5）f＝り（m）−1．（6）K（り（m）−1）isaninvolutivesubspaceofHom（e，g−2），Wherek・isthemappingofり（m）−1 intoHom（e，g−2）definedbyK（Y）（X）＝［Y，X］（Y∈り（m）−1，X∈e）．. Themosttypicalexampleofapseudo−prOductfundamentalgradedLiealgebraoftheinvo−. 1utivetypeisthecontactalgebraoforderkofbidegree（n，m）．Thisisthesymbolalgebraof COntaCtmanibldoforderkofbidegree（n，m）（see［Yam83］）．Additionallyfundamentalgraded. Liealgebrassatisfyingconditions（1）−（4）aboveappearedassymbolalgebrasofPD−manifolds in［YAm82］．. Thepurposeofthispaperistodescribethenecessaryandsufncientconditionsforapseudo−. productfundamentalgradedLiealgebraoftheinvolutivetypetobeisomorphictothecontact algebraoforderkofbidegree（n，m）． The main theoremis outlined below．. 23.

(3) YATSUITomoaki. Theorem．Let（m；C，f）be a compleごrPSeudo−Prt）ductjkndamenta19rudedLie a19ebrTlqfthe 川川／′′／′′・・／岬・・り…／ロ＝0ロ′，／′・／／＝／り−ん岬′／′り‖・小一−−‥じ・†）‥l・、・、′川′・〃川／t−−′・、り／●′川・／り′′…′／り／ p∈Z. 9radedLie algebru qfthe FL−kind andsetn＝dime，m＝dimg−P andk＝FL−1・77Le ノ′川′／りJJ′川／り／ご／川′／・・／い‥′／！／・／りり111ノ・、ノ、＝J…J・／一／ノノ・・／り／／J‥川′／小・／り／！／・／りり・直り†／け人り／′ノ・／・！／J什（乃，∽）げαれdoれg封げgl≠0αれdgo−mO血geβe，fαre豆γ代血c豆わge・. Notation and conventions．. （1）A11vectorspacesareconsideredoverthecomplexnumberfieldC． f. （2）GradedvectorspacesarealwaysZ−graded・IfwewriteV＝0％，thenitisunder− P＝∫. StOOdthatlち＝0Ibrp＜SOrP＞t・WedenotebylLthesubspace V＝OTt，・ク＜O. AIsoIbrk∈Zwedenotebyl宅kthesubspace Olち・ p≦た. LetV＝O ThandW＝OI％begradedvectorspaces・Fbrr∈Z，WeSet ク∈Z. p∈Z. Hom（りⅣ）r＝（甲∈Hom（りⅣ）：甲（特）⊂I％＋rbrallp∈Z〉・ 2．PRELIMINARIES ThissectionoutlinesseveraldefinitionsregardinggradedLiealgebras，gradedmodules，and. Spencercohomologyspacesofgradedmodules．. 2．1．Graded Lie algebras．Letgbe aLiealgebra．Assumethatthereisgivenafamil Subspaces（gp）p∈ZOfgsatisfyingthefollowingconditions：. （i）g＝0鮎・ク∈Z. （ii）dimgp＜∞brallp∈Z・（iii）［gp，gq］⊂gp＋qhrallp，q∈Z・ Undertheseconditions，9＝ 09piscalled agrtLdedLie a19ebrtL Moreoverthenotionof p∈Z. homomorphisms，isomorphisms，SubalgebrasandidealsforgradedLiealgebrasisdefinedina obvious manner．. AgradedLiealgebrag＝Ogpiscalledt77mSitiveifforX∈gp（p≧0），［X，g−］＝Oimplies ク∈Z. X＝0，Where9−isthenegativepart（Dgpofg・ p＜O. NextletusdefinefundamentalgradedLiealgebras・AgradedLiealgebram＝Ogpissaid ク＜O. tobeカ↓ndamenialifthebllowingconditionshold：. （i）dimm＜∞．（ii）g−1≠Oandmisgeneratedbyg−1・. LetFLbeapositiveinteger・AfundamentalgradedLiealgebram＝Ogpissaidtobeofthe p＜O. FL−thkind（orofdepth〃′）if9−lL≠Oandgp＝Oforallp＜−FL・ Letm＝OgpbeafundamentalgradedLiealgebraofthe〃′−thkind・Accordingto［Tan70，ク＜O. pp・23−25］，thereexistsatransitivegradedLiealgebrag（m）＝Og（m）psatisfyingthefo1low一夕∈Z. lngCOnditions：（i）g（m）p＝鮎brク＜0・. （ii）g（m）＝Og（m）pisthemaximumamongthetransitivegradedLiealgebrassatisfying p∈Z. ？4.

(4) OnPseudo−ProductFundamentalGradedLieAlgebrasofInvolutiveType. condition（i）above．. ThetransitivegradedLiealgebrag（m）＝Og（m）piscalledtheprvlongationofm・ p∈Z. Letm＝OgpbeafundamentalgradedLiealgebraofFL−thkindwithsubspaceseandf p＜0. 0fg−1Thetriplet（m；e，f）iscalledapseudoTPrVductjhndamentalgradedLiealgebrYLifthe. fo1lowlngCOnditions：（i）. g ，．‖い. e，e］＝［f，f］＝0．. （ii）. Let（m；e，f）beapseudo−PrOductfundamentalgradedLiealgebraandg（m）＝Og（m）pbethe p∈Z. prolongationofm．Wesetthefollowlng： go＝‡ズ∈g（m）0：［ズ，e］⊂e，［ズ，f］⊂胃， gp＝. ‡方∈g（m）ク：［ズ，g−1］⊂鮎−1〉（ク≧1）■. Theng＝OgpisatransitivegradedLiealgebra，Whichisca11edtheprolongationof（m；e，f）・ p∈Z. AtransitivegradedLiealgebrag＝OgpiscalledapseudoTPrVductgrudedLiea19ebrTLif ク∈Z. therearegivensubspaceseandfofg−1Satisfyingthebllowingconditionshold：（i）（g−；C，f）isapseudo−PrOductfundamentalgradedLiealgebra．（ii）［go，e］⊂e，［go，月⊂f・ The prolongationofapseudo−PrOductfundamentalgraded Lie algebra（m；e，f）is apseudo−. productgradedLiealgebra．. 2・2・Graded modules・Letm＝ Ogp beafundamentalgradedLiealgebraofthe〃′−th p＜O. kind・Thevector space Eis called a（left）m−mOduleifthereis agivenbilinearmapping mx且∋（ズ，d）トナズα∈且，aSbllows：［ズ，y］α＝ズ（yα）−y（gα），. WhereX，Y∈m，a∈E・LetEbeanm−mOdule・ThedirectsumE＝OEpiscalleda（1eft）ク∈Z. gradedm−mOduleifthebllowlngCOnditionshold：（i）dim丘■ク＜∞brallク∈Z・. （ii）gダガr⊂旦夕＋rbrallク＜0，r∈Z・ LetE＝OEpbeagradedm−mOdule・IfE−V≠0（v＞0）andEk＝Obrallk＜−V，then p∈Z. E＝OEpissaidtobeofdepthv・Foranintegerl，WedefineE（l）＝OE（l）pbysetting p∈Z. p∈Z. E（l）p＝Ep＋l；thenE（l）＝OE（l）pisagradedm−mOdule・ p∈Z. Wesaythatagradedm−mOduleE＝OEpsatisfiescondition（Cl）ifbra∈Ep（p≧0）， p∈Z. g−1a＝Oimpliesa＝0・AIsowesaythatagradedm−mOduleE＝OEpofdepthvsatisfies p∈Z. COndition（C2）ifa∈Ep（p≧−V＋1），g−1a＝Oimpliesa＝0・. 2・3・Spencer cohomology space・Let m＝ Ogp be afundamentalgraded Lie algebra p＜O. andE＝OEpbeagradedm−mOduleofdepthv＞0・Thenwehavethecohomologyspace p∈Z. HP（m，E）associatedwiththecomplex（CP（m，E），∂），WhereCP（m，E）＝Hom（AP（m），E）and. thecoboundaryoperator 25.

(5) YATSUITomoaki. ∂：Cp（m，且）→Cp＋1（m，且）. isdefinedby p＋1. （∂α）（ズ1，…，弟叫）＝∑（−1）ト1芳㈲（ズ1，…，妥f，…，ズ州） J＝1. ＋∑（−1）汁ノ仙肪，gノ］，ズ1…藩，…，ガノ，…弟叫）， g＜ノ. Wherea，∈CP（m，E），Xl，…，Xp＋1∈m・SinceEisagradedm−mOdule，Wehavethenatura gradation：CP（m，E）＝（DCP（m，E），，Where r∈Z. Cp（m，且）r＝‡山∈Cp（m，g）：餌（ズ恒…，方言p）⊂且h＋・・・＋Jp＋r払rallズJた∈ggん（た＝1，…，p））・. Clearly（CP（m，E）r）p∈Zbrmsasubcomplexof（CP（m，E））p∈竺）brwhichthep−thcohomology. SpaCeWi11bedenotedbyHP（m，E），．Thenwehavethefo1lowlngthedirectsumdecomposition：. 月叩（m，g）＝0即（m，旦レ r∈Z. WecallthespaceH（m，E）＝（D HP（m，E），the9enertLlized郎encercohomolqgyspaceqfthe p，r∈Z. タmde（才m−mO血ge且．. Condition（Cl）isequivalenttothebllowingcondition：ガ0（m，g）r＝O brallr≧0．. AIsocondition（C2）isequivalenttotheb1lowingcondition：ガ0（m，g）r＝O hrallr≧−V＋1．た. Letm＝OgpbeafundamentalgradedLiealgebraandE＝ O Epagradedm−mOdule p＜O. p＝−V. ofdepthvsatisfyingthecondition（Cl），Wherek≧−1．Agradedm−mOduleE＝OEpis ク∈Z. Ca11edtheprvlon9ationofEifthefollowingconditionshold（cf・［Tan70，専11，Remarkl］）：（i）gp＝旦夕brallク≦た・（ii）聖rv∈Ep（p≧k＋1），g−1V＝Oimpliesv＝0・. （iii）E＝OEpisthemaximumamonggradedm−mOdulessatisfyingcondition（i）and（ii） p∈Z. above・Moreprecisely，1etN＝ONi，beanygradedm−mOdulesatisfying（i）and（ii）・ p∈Z. ThenN＝⑳Ni，isembeddedinE＝⑳Epasagradedm−mOdule．Indeed，theprolongation ク∈Z. p∈Z. E＝OE。OfEisconstructedasb1lows：Ⅵ厄set p∈Z. 居た＋1＝‡甲∈Hom（m，且）た＋1：甲（［ズ，y］）＝ズ（甲（y））−y（甲（y））brズ，y∈m〉， andweputE（k＋l）＝ O E。，WhereEp＝Epbrp≦k．WbdefineamappingmxE（k＋1）∋ p≦た＋1. （ズ，甲）「トズ・甲∈点（れ1）asbllows‥ ズ・U＝且旬］bru∈且，ガ・甲＝一甲（ズ）br甲∈点仕＋1）. Thenthismapplngdefinesagradedm−mOdulestructureonE（k＋1） Inductivelywedefine 動＝〈甲∈Hom（m，眉（ト1））′：甲（［ズ，y］）＝ズ（甲（y））−y（甲（ズ））brズ，y∈m‡．. −ご（；.

(6) OnPseudo−ProductFundamentalGradedLieAlgebrasofInvolutiveType. ThenE＝OEpbecomesagradedm−mOdulesatisfyingconditions（i），（ii）and（iii）． p∈Z. Let E＝OEp beagradedm−mOduleofdepthl）＞Osatisfyingcondition（Cl），andlet p∈Z. k≧−1beaninteger．ForEtobetheprolongationofE≦k，itisnecessaryandsufEcientthat. ガ1（m，且）r＝O forallr≧た＋1． 3．INVOLUTIVE TABLEAUX ThissectionglVeSabriefsummaryofdefinitionsandtheoremsinthetheoryofinvolutive. tableaux・ThenotationsusedareaPerthosein［MNO7］・ Let V and W befinite dimenslOnalvector spaces．A tableau ais alinear subspace of Hom（りⅣ）．. Foranh−dimensionalsubspaceThofV，WeSetthebllowing： Ker（α，鴨）＝〈α∈α：α（鴨）＝0〉．. An h−dimensionalsubspace T％of Vis called9eneric with respect to aifthe dimension of Ker（a，Th）istheminimum，i．e．，. dimKer（a，Th）＝min（dimKer（a，鴨）：Th∈Gr（竹h）），. WhereGr（V，h）denotestheGrassmannianmanifo1doftheh−dimenionalsubspacesofV・Sim− ilarly，aflag（0）＝Th⊂Tl⊂…⊂Ti2＝VofViscalled9enmCWithrespecttocLifThis genericwithrespectto aforallh＝1，…，n−1．Thecharactersofaarethenon−negative. integerssj（a）（j＝1，…，n）definedinductivelyby ∫什1（α）＋…＋∫乃（α）＝dimKer（α，り）（ノ＝0，…，〃−1）， Where（0）＝Th⊂Tl⊂…⊂TL＝Visagenericflag．Fromthedefinition，itcanbeshown. that dimW≧sl（a）≧s2（a）≧…≧sn（a），. dima＝Sl（α）＋s2（a）＋…＋sn（a）．. Thefirstprolongationofaisthesubspacea（1）⊂Hom（Va）ofal11inearmappings甲：V→a suchthat 甲（ul）（u2）＝甲（u2）（ul）払rallul，U2∈析. Theh−thprolongationofaisthesubspacea（h）ofHom（Va（h￣1））definedinductivelybysetting （a（h，l））（1）forh≧2．Ifa（h）≠Oforallh≧1，thenaissaidtobeqfi頑nitetype． Thefo1lowingresultcanbeestablished（cf・［BCG91，Chap・IV，Proposition3・6］）：. dimα（1）≦∫1（α）＋2∫2（α）＋…＋乃∫乃（α）． Thetableauaissaidtobeinvolutiveifequalityholdsintheaboveinequality．Notethataflag Jトー1. （0）＝Th⊂Tl⊂…⊂Ti2＝VofVsatisfyingtheconditiondima（1）＝∑dimKer（a，巧）is generic．. g＝O. Leta⊂Hom（T（W）beatableau・Thegradedvectorspacem（a）＝任＝別（a）pisdefined ク≧−1. bysettingm（a）。＝a（p）（p≧−1），Wherea（0）＝aanda（￣1）＝W．ConsideringVasa COmmutativeLiealgebra，themappingVx∑m（a）∋（v，甲）トナV・甲∈∑m（a）definedby U・∽＝O bru∈γ，Ⅷ∈∑椚（α）−1，U・甲：＝一甲（u）bru∈り甲∈町t（α）ク（ク≧0） givesaVTmOdulestructureonm（a）．AIsobysettingm＝g−1＝V，mbecomesafundamental. gradedLiealgebraofthefirstkindandm（a）isagradedm−mOdulesatisfyingthecondition （C2）・Notethatthem−mOdule三m（a）istheprolongationofm（a）≦0・ ThefollowlngreSultshowsaslgnificantrelationshipbetweentheinvolutivenessofaandthe VanishingofHP（m，m（a）），（Fortheproof，See［GS64］and［BCG91］）．. 27.

(7) YATSUITomoaki. Theorem3．1．（Guillemin−Sternberg，Serre［GS64］）LetV andW bej言nitedimensionalvec− ／りJ・、ノ…いり…／∩！＝11＝川（「、Il●IJ一‥′／り／′い川．／丁′′／りJ一／川J′n ノ、ノJ′′・＝／′J／／J・・（／りJ＝／＝J′／ノ／イ. 月叩（m，分t（α））r＝0ノbrαggr≧pαmdク≧0． Thefo1lowingtwoexamplesarefrom［Kur67，PP．3839］．. Example3．1．Leta⊂Hom（V，W）beatableausuchthatdimV＝1．SinceCP（m，m（a）），＝ brallp≧2，thetableauαisinvolutive． Example3．2．Let a⊂Hom（V，W）beatableausuchthatdimW＝1．SinceHom（竹W）≧. V＊，aCanbeconsideredasasubspaceofV＊．Thenthefirstprolongationa（1）ofaisS2（a）and dima（1）＝dimS2（a）＝S（s＋1）／2，Wheres＝dima．Thereexistsabasis（tl，…，tn）ofVsuch that. α＝C′1＋…＋Cry，α⊥＝C′汁1＋…＋Cらい Where（tl，…，tn）isthedualbasisof（tl，…，tn）・Wesetlう＝Ctl＋…＋Cti（i＝1，・・・，n）； Ker（a，り）＝CtJ＋…＋CtSforj＝1，・・・，SandKer（a，り）＝Obrj≧s・Hence， ∫. 乃−1. ∑dimKer（a，巧）＝∑i＝ J＝0. ∫（∫＋1）. ≠＝1. Thetableau ais thereforeinvolutive． 4．INVOLUTIVE GRADED MODULES. Letm＝g−1beafundamentalgradedLiealgebraofthefirstkindand E＝ OEp be ク∈Z. agradedm−mOdulesatisfyingcondition（Ci）・Thegradedm−mOdule E＝ OEpiscalled p∈Z. inwluiiveifHP（m，E），＝Obrallr≧pandp≧0・NotethatifE＝OEpisinvolutive， p∈Z. thenEistheprolongationofE≦l払ralll≧−1．. Example4．1．Let VandWbe丘nitedimensionalvectorspaces．Weset ダ（りⅣ）＝ 0ダ（りⅣ）p，笠た（りⅣ）p＝Ⅳ㊨∫た＋州（Ⅴ＊）・ク≧−た−1. We also put m＝g＿1＝ V．Considering V as a commutative Lie algebra，the mapping Vxm（a）∋（v，甲）→V・甲∈m（a）definedby. u・甲：＝−U．甲（u∈㌣甲∈耳た（竹Ⅳ））. givesagradedm−mOdulestructureon少（V，W）satisfyingcondition（C2），Wherev」isthe interiormultiplication，Referringto［BCG91，P．324］，Wehave. 月岬（m，笠た（りⅣ））r＝月叩（m，笠0（Ⅴ，Ⅳ）（た））r＝月岬（m，笠0（γ，Ⅳ））れr＝O. br（p，r）≠（0，−1−k）．Inparticular，耳k（竹W）isaninvolutivegradedm−mOdule． Example4．2．Let V and W befinitedimensionalvectorspaces and a⊂Hom（りW）be a. tableau・Wesetm＝9−1＝V・Thegradedm−Odule飢（a）canbenaturallyembeddedina gradedm−mOdule笠0（竹W）．ByTheorem3．1，alSinvolutiveifandonlyifthegradedm−mOdule m（a）isinvolutive．AIsoiftheconditionHl（m，m（a））。＝Oholds，thena＝Hom（T（W）．. Letm＝9−1beafundamentalgradedLiealgebraofthefirstkindandE＝ OEp be ク∈Z. agradedm−mOdulesatisfyingthecondition（C2）．Nowweconsiderthefo1lowingshortexact. SequenCeOfm−mOdules： 0→且≦−2→且→g／且≦−2→0．. ？8.

(8) OnPseudo−ProductFundamentalGradedLieAlgebrasofInvolutiveType. Thenweobtainthefo1lowlnglongexactsequence： …→月叩（m，且≦一2）r→月叩（m，且）r→月叩（m，且／且≦−2）r→. 打叶1（m，且≦−2）r→打出1（m，且）r→打叶1（m，且／且≦−2）r→… SinceCP（m，E≦一2），＝Obrr≧p−1，HP（m，E），isisomorphictoHP（m，E／E≦一2），brr≧p andp≧0．Thusweobtainthefollowingproposition． Proposition4．1．Letm＝g＿1be a舟ndamenta19rTlded Lie aわebra qfihej言rst kind and 上’＝◎J：’′，／…．り川・／・・／l−ト′′…／′′／いり／／小／川J／／／′‥‖…／′／′り′′（（■コI・川川〃／’（l−l・い′・／・ヾ′、州′・り丁′／′ん・ p∈Z. ／り／J／’（11−・／ご／／ご⊆−コI．、ノ1り・′−、■／‥川・／／，一往／′′／〃け／ん・′′／り′・・／ご′、り′‥′汗‖／′′／什・〃川・／・・／ll−川…／′′／・、小川・／・り′／／／イ／ご／ノご≧一二∴、り′‥′什り／′′／ノ′・・J／川・／・・／l−ト′′′川／′′／・・. Leta⊂Hom（T（W）beatableau．Forr≧pandp≧0，byProposition4．1，. 月叩（m，那（α（ゐ）））r⊆ガp（m，那（α）（ゐ）／別（α）（ゐ）≦＿2）r⊆ガp（m，那（α）（ゐ））r ≧ガp（m，ガt（α））r＋ゐ． Ifaisinvolutive，thenHP（m，m（a）），＝Oforr≧pandp≧0．Henceweobtain. HP（m，m（a（h））），＝0 forr≧pandp≧0， whichmeansthata（h）isinvolutiveforallh≧0・Thusweobtainthefo1lowingwell−known result（cf・［GS64］，［BCG91］）・. Proposition4．2．LeiV andW beβniiedimensionalvectorspacesanda⊂Hom（VW）bea. ／り／′／川′′．／／−nいノ′け＝／′′／…．／／′川nり∫I／、川′・‖／′′／…ハり・り／川≧1． Theb1lowlngPrOpOSitionplaysanimportantroleintheproofofthemaintheorem． Proposition4．3．LetV andW bej言niiedimensionalvectorspacesanda⊂Hom（TtW）bea ／・′／′／川′′．／／−n≠（I＝／＝／n′、′Jけり／′′／ノ′t・．／／＝〃n∴、・一日J小JJ／／・／岬・．. Prt）qf Sinceaisinvolutive7 JI. JI. dima（1）＝Eisi（a）≧∑si（a）＝dima・ g＝1. f＝1. ByProposition4．2，WeCanprOVethebllowinginequalityinductively：. dima（h）≧…≧dima（l）≧dima＞0． Hencea（h）≠Oforallh≧1． 5．FuNDAMENTAL GRADED LIE ALGEBRA OF THEINVOLUTIVE TYPE. Letm＝09pbeafundamentalgradedLiealgebraofthe〃・−thkindsatisfyingthefollowing p＜O 、. 3 4. 叫・⋮．㈹. 1 2. 11■∫′、l■∫′1＼l■′. a a la a′l ll. COnditions（cf．［Yam82，Page150］）： is acommutat，iveidealofm．. ∈gp（−FL＋1≦p≦−2），［X，g−1］＝OimpliesX＝0・＝〈X∈g−1：［X，m≦−2］＝0）isapropersubspaceof9−1・ ∈り（m）−1，［X，g−1］＝OimpliesX＝0．. Letm＝OgpbeafundamentalgradedLiealgebraoftheFL−thkindsatisfyingconditions p＜0. （al）（a4）・Letg（m）＝Og（m）pbetheprolongationofm・Forp≧0，WePut p∈Z. り（m）ク＝‡ズ∈g（m）p：［ズ，m≦−2］＝0〉・ Fbrconvenience，WePutり（m）p＝9p払rp≦−2・. 29.

(9) YATSUITomoaki. Lemma5．1．t玩derthe aboveassumptions，Wehave （1）〝≧3・. （2）［り（m）p，g−1］⊂り（m）クー1ルrαggp≧0・（3）［り（m）p，り（m）ヴ］＝0ノbrp，ヴ≧−1・ Prvqf Fbrconvenience，Wedenoteり（m）pbyりp・（1）Itbllowsfrom（al）and（a3）・. （2）［［bp，9−1］，m≦−2］⊂［りp，［g−1，m≦−2］］＋［g−1，［りp，m≦−2］］＝0；hence［bp，g−1］⊂りp−1・（3）［［り−1，り−1】，g−1］⊂【り−1，［り−1，9−1】］＝0・By（a3），【り−1，り−1］＝0・We assume that ［りp，りq］＝Oforp＋q≦k−1・Fbrp，qSuChthatp＋q＝k，［［りp，りq］，g−1］⊂［りp，［りq，g−1］］＋［［りp，g−1］，りq］⊂【りp，りq−1］＋［bp−1，りq］＝Obyinductionhypothesis，SO［りp，bq］＝0・. □. ByLemma5．1，C：＝m≦−2（Dり（m）−1isacommutativeidealofm．Furtherwesete：＝m／c；. then cis a commutativefundamentalgraded Lie algebra ofthefirst kind．We define the mappingαp：り（m）p→Hom（e，り（m）p−1）asfo1lows‥. αク（ズ）（y）＝【ズ，y］brズ∈り（m）p，y∈e，. whereYisanelementofg＿1SuChthatY＝Y＋c．By（a4）andthetransitivityofg（m）， themappingαpisinjective・Thuswecanconsiderり（m）pasasubspaceHom（e，り（m）p−1）・ Lemma5・2・Fbrp≧−l，COnSiderin9り（m）p恒sp・り（m）p＋1）asasubspaceqfHom（e，り（m）p−1）. 恒βp．Hom（e，り（m）p）），り（m）舛1CO豆陀C豆de5び血塊eノ言相子叩gO喝α如れ（り（m）ク）（1）げり（m）p． P和げR）rガ∈り（m）0，. α0（〃）（ざ）（り）＝α−1（［〃，ズ］）（り）＝［［ガ，ズ］，y】＝［［ガ，y］，ズ］＝α0（〃）（り）任）， whereE＝X＋c，り＝Y＋c，X，Y∈9＿1．Henceα。（H）∈（り（m）＿1）（1）．conversely，br 甲∈（り（m）−1）（1），WedefineD￠∈Hom（m，m）ashllows： β甲（ズ）＝甲（ズ＋c）払rズ∈m・. ThenD甲∈9（m）0．ClearlyD甲∈り（m）oandα0（D甲）＝甲．Henceり（m）0＝（り（m）＿l）（1）．. Similarlywecaninductivelyprovethatり（m）p＋1＝（り（m）p）（l）brallp≧0． ForafundamentalgradedLiealgebramsatisfyingconditions（al）（a4），thegradedvector SPaCeり（m）＝0り（m）pnaturallybecomesagradede−mOdulesatis秒ingcondition（C2）・ p∈Z. Lemma5．3．t玩dertheaboveassumptions，thehllowingthreeconditionsa代equivalent：（i）乃eタmdede−mO血geり（m）（−1）由豆乃γOg那加e．. （ii）月叩（e，り（m））r＝0舟rr≧クー1αれdク≧0．（iii）り（m）−1isaninvolutivesubspaceqfHom（e，g−2）・ Prvqf（i）⇔（ii）fo1lowsfromHP（m，り（m）（−1）），＝HP（m，り（m）），−l． Nextweshowthat（ii）⇔（iii）．ByLemma5．2，り（m）（−1）istheprolongationofり（m）（−1）≦0．. ByTheorem3．1，（iii）isequivalenttothecondition“H2（m，り（m）（−1）），＝Obrallr≧pand P≧0”・Thisisequivalentto（ii）・. □. UndertheconditionsofLemma5・3，afundamentalgradedLiealgebram＝09pSatisfyin p＜O. COnditions（al）（a4）issaidtobeqftheinvolutivelype・. Example5．1．Let VandWbe丘nitedimensionalvectorspaces．Weset −1. Cた（竹Ⅳ）＝ 0♂（竹Ⅳ）ク， p＝−た−1. Cた（りⅣ）p＝Ⅳ㊧ぶん＋舛1. 30. （Ⅴ＊）（−た−1≦p≦−2），Cた（りⅣ）＿1＝Ⅴ①（Ⅳ㊨∫た（Ⅴ＊））．.

(10) OnPseudo−ProductFundamentalGradedLieAlgebrasofInvolutiveType. Thebracketoperationofek（りW）isdefinedasfollows：【∽㊥∫r，U］＝∽㊥（u」∫r）払ru∈り∽∈Ⅳ，∫r∈ぶr（Ⅴ＊）．. Equippedwiththisbracketoperation，ek（T（W）becomesafundamentalgradedLiealgebra. Ofthe（k＋1）−thkindsatis秒ingconditions（al）（a4）・ThefundamentalgradedLiealgebra. ek（竹W）isca11edthe contactalgebrYLqForderk qfbidqgree（n，m），Wheren＝dimV and m＝dimW．Clearlyり（ek（VW））＝3：k（VW）．Henceek（V，W）isoftheinvolutivetype．. Proposition5・1・Letm＝Ogp beajhndamentalgradedLiea19ebrTlqfiheFL−thkindsatis− p＜0. ／●′／′Jり／川…／／／高／ノ・、「り／＝りJノ．. （1）Hdimg−1−dimり−1（m）＝1，thenmisqftheinvolutivetype．. （2）〝dim鋸＝1かβOme−〝≦た≦−2αれdガ1（e，C）r＝0かαggた＋2≦r≦−1フ兢e㍑ lllノ・、り．／−′仙／りJ‖川／り／JJ＝＝／・・／／．／‥J／†／・／りり・イ1／′・／JJ川／J′／／′・・／〃丹．. Prvqfl（1）ByExample3・1andLemma5・3，misoftheinvolutivetype・. （2）SinceHl（e，C），＝Ofora11k＋2≦r≦−1，り（m），istheprolongation（り（m），−1）（1）of り（m），−1forallk＋2≦r≦−1．ByExample3．2andLemma5．3，misoftheinvolutivetype．□. Hereweconsideracaseinwhichmis anilpotentsubalgebraofafinitedimensionalsimple graded Lie algebra．Below，We uSe the notation with respect tofinite dimensionalsimple gradedLiealgebrasasin［Yam93］．. Proposition5・2・Let5＝05p beajinitedimensionalsirTtPlegrtLdedLieaわebrt”uChthal ク∈Z. ／／′・′＝．りり／ノ′・・〃り′イ5・再＝任＝′．′、りノー′川・／り′′＝〃／′′／〃川ん／／・′‥小／・／り＝・申／′・／卜／／′／・・川・／、り／′、ノ小′′リ p∈Z. 川′′・／′／′り′′・、川／′川卜川‥′・里／／′1／一り′イ5−・再＝任＝′，′、り川′・ん汗・一／′′／…／仰・J㍉…／り′′／りイ p∈Z. β＝0βp豆βαβ豆mpgeタmdedエ豆e吻eわ和げ吻pe（CJ，（α1，αJ〉）（J≧2）・ク∈Z. PrvげIfthenegativepart5−isinvolutive，thentheprolongationof5−isinfinitedimensional． Byconditions（al）（a4）and［Yam93，Theorem5・2］，5＝05pisasimplegradedLiealgebra p∈Z. Oftype（Cl，‡α1，αl））（l≧2）・Conversely，if5＝05pisasimplegradedLiealgebraoftype ク∈Z. （Cl，（α1，αl））（l≧2），thenthenegativepart5−Of5＝05pisthecontactalgebraoforder2 p∈Z. Ofbidegree（n，m）．Hence5＿isoftheinvolutivetype．. □. Apseudo−PrOductfundamentalgradedLiealgebra（m；e，f）issaidtobeoftheinvolutivetype ●l ●l. f＝り（m）−1． msatisfiesconditions（al）（a4）. ，l. ︵. m. ＼︶＼l■一′ l′. ︵・lノ′■■・ l 11・l. ifthefollowlngCOnditionshold：. isafundamentalgradedLiealgebraoftheinvolutivetype．. Theorem5・1・Let（m；e，f）beapseudo−PrOductfundamentalgradedLiealgebruqftheinvolutive ／J／／〃・り′‖／ロ＝0日′，／′・／／′・／りい／…り／り／ノり′‥小t−−‥e・rI‥し、州′〃・／／′り／l−−ノ、りノ●仙／刷′川／り／†／川ん／ク∈Z. Liea19ebraqFtheFL−thkindandsetn＝dime，m＝dimg−FL andk＝FL−1・乃・e舟ndamental J／川〟＝／／．′‥J／†／・／り・りIllノ・、∴ヾ＝ナノ′＝ソ′／′ん・／・＝／J‥・＝J′／り・／り／J／・／りり＝／＝＝／け人・イ／…／り／＝・（〃い刷り一／りJ＝／＝〃／／／イ〃＝ハー／／＝＝・′Jり／川…／ノ／…い／′り仙. （i）go−mO血ge5e，fα代わTe血c乞わge．（ii）gl≠0・. 31.

(11) YATSUITomoaki. Prt）qfIfthefundamentalgradedLiealgebramisisomorphictothecontactalgebraoforderk Ofbidegree（n，m），thenitiswellknownthattheaboveconditions（i）and（ii）aresatisfied． CorlVerSelyweassumethatconditions（i）and（ii）aresatisfied・Weset【1＝〈X∈91：【X，f］＝0）， Ll＝and【0＝go；Sincemisoftheinvolutivetype，theprolongationg（m）ofmisinfinite. dimenslOnal・By［Yat92，Theorems32anf138］，WeSeethat【1≠0・Hence【＝Ll（D【00［lis. areductivegradedLiealgebrasuchthat【＝Ll（D［Ll，【1］0【1isasimplegradedLiealgebra． Furtherweset S＝fem≦−2；thenSisanirreducible［−mOdule・Thus岳＝挺0（D【1isa PSeudo−prOductgradedLiealgebraoftype（【，S）（cf・［YYO2，page413］）・Since9（m）isinfinite dimensionalandFL≧3，by［％t92）Theorem □. ＜. Example5・2・Letm＝Ogp beafundamentalgradedLiealgebrawithbasis（el，…，e7） p＜O. such that g＿3＝Cel，g＿2＝Ce2＋Ce3，g＿1＝Ce4＋Ce5＋Ce6＋Ce7．. Herethenon−ZerObracketrelationsbetweentheelementsel，‥．，e7areaSfo1lows：［e4，e6］＝e2，［e4，e7】＝e3，［e5，e6］＝e3，［e5，e7］＝−e2，［e2，e7］＝el，［e3，e6］＝el．（ThisfundamentalgradedLiealgebraism7＿3＿25rin［Kuz99］．）Thenthefundamentalgraded Liealgebramsatisfiestheconditions（al）（a4）．Wbpute＝Ce6＋Ce7，f＝Ce4＋Ce5；then f＝り（m）−1，and（m；e，f）isapseudo−PrOductfundamentalgradedLiealgebra・Wecaneasily PrOVethat dimり（m）0＝2．Weset11＝C（e6＋e7）；thenthefragO＝Th⊂Tl⊂Th＝e satis丘es. dimKer（り（m）＿1，Tl）＝0，dimり（m）0＝dimKer（り（m）＿1，Th）＋dimKer（り（m）＿1，n）． Therefore（m；e，f）isoftheinvolutivetype・Howeversincedimg−2＝dimり−1（m）＝2，misnot isomorphictothecontactalgebraoforderkofbidegree（n，m）． REFERENCES ［BCG91］B・L・Bryant，S・−S・Chern，R・B・Gardner，H・L・Goldschmidt，P・A・GrifBth，Exteriordifferentialsys− tems，inMathematicalSciencesResearchInstitutePublications，Vol．18，Springer−Verlag，NewYork， 1991．. ［GS64］ V．W．GuilleminandS．Sternberg，Analgebraicmodeloftransitivedifferentialgeometry，Bull．Amer． Math．Soc．70（1964），16−47．［Kur67］M・Kuranishi，I」eCtureSOninvolutivesystemsofpartialdifferentialequations，Pub・Soc・Mat・Sao Paulo，1967．. ［Kuz99】0．Kuzumich，Graded nilpotent Lie algebrasinlowdimensions，LobachevskiiJ．Math．3（1999）， 147184．. ［MNO7］E．Musso，LNicolodi，Aclassofoverdeterminedsystemsdefinedbytableaux：involutivenessandthe Cauchyproblem，PhysicaD229（2007），3542 ［Tan70］N・Tanaka，Ondifferentialsystems，gradedLiealgebrasandpseudo−grOupS，J・Math・KyotoUniv・10 （1970），182. ［Yam82］K．Yamaguchi，Contactgeometryofhigherorder，Japan．J．Math．8（1982），109176．［Yam83］K．YAmaguchi，Geometrizationofjetbundles，HokkaidoMath．J．12（1983），274＝0．［Yam93］K・Yamaguchi，Di鮎rentialsystemsassociatedwithsimplegradedLiealgebras，AdvancedStudiesin PureMath・22（1993），413−494・. ［YYO2］K．YamaguchiandT．Yatsui，Geometryofhigherorderdifferentialequationsoffinitetypeassociated withsymmetricspaces，AdvancedStudiesinPureMath．37（2002），387458．［Yat92］T．Yatsui，OncompletelyreducibletransitivegradedLiealgebrasoffinitedepth，Japan．J．Math．18 （1992），291330．（旭川校准教授）. 32.

(12)